1. Proporcionalidad. Regla de tres
 Razón y proporción numérica
 Magnitudes directamente proporcionales
 Regla de tres simple directa
 Magnitudes inversamente proporcionales
 Regla de tres simple inversa
 Problemas de porcentajes

2. Proporcionalidad. Regla de tres Razón y proporción numérica
10
La razón entre los números 10 y 2 es 5, su cociente: 5
0,15 15 1 2
La razón entre 0,15 y 0,3 es  
0,3 30 2
a
Razón entre dos números a y b es el cociente
b
Los números 2, 5 y 8, 20 forman una 2 8
Es decir: 
proporción, pues sus razones son iguales. 5 20
Los números a, b y c, d forman una proporción si la razón entre
a y b es la misma que entre c y d.
a c
Es decir:  Se lee “a es a b como c es a d”
b d
A a y d se les llama extremos. a c
 ad = bc
A b y c se les llama medios. b d
El producto de los extremos es igual al producto de los medios.

3. Proporcionalidad. Regla de tres Magnitudes directamente proporcionales (I)
Ejemplo: Un saco de patatas pesa 20 kilogramos. ¿Cuánto pesan 2 sacos?
Un cargamento de patatas pesa 520 kg. ¿Cuántos sacos se podrán hacer?
Observa:
Sacos: 1 saco 2 sacos 3 sacos ? sacos
1 2 3 ?
?
Fíjate:
20 40 60 520
Kilos: 20 kg 40 kg 60 kg 520 kg
1 2 3 ? 520
Habrás advertido que:    ...  ?   26
20 40 60 520 20
Las magnitudes número de sacos y peso en kilogramos son directamente proporcionales.
La constante de proporcionalidad para pasar de sacos a kilogramos es 20.
En general, si dos magnitudes son tales que a doble, triple… cantidad de la
primera corresponde doble, triple… de la segunda, entonces se dice que
esas magnitudes son directamente proporcionales.
Recuerda: El producto de los extremos es igual al producto de los medios.

4. Proporcionalidad. Regla de tres Magnitudes directamente proporcionales (II)
Ejercicio Si un dólar vale 0,95 euros, ¿cuánto costarán 6 dólares?
¿Cuántos dólares podremos comprar con 20 euros?
Las magnitudes dólares y euros son directamente proporcionales, luego:
En definitiva:
Dólares: 1 2 3
doláres 1

euros 0,95
Euros: 0,95 2 · 0,95 3 · 0,95
= 1,9 = 2,85
(dólares) · 0,95 = euros.
Por tanto, 6 dólares cuestan 6 · 0,95 = 5,7 euros
Para pasar de dólares a euros
Por lo mismo, 20 euros = 0,95 · (x dólares), se multiplica por 0,95.
luego Para pasar de euros a dólares
x = 20 : 0,95 = 21,05 se divide por 0,95
20 euros = 21,05 dólares
Recuerda: El producto de los extremos es igual al producto de los medios.

5. Proporcionalidad. Regla de tres Regla de tres simple directa
Ejemplo. En 50 litros de agua de mar hay 1300 g de sal.
¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5200 g de sal?
La cantidad de agua y la cantidad de sal son directamente proporcionales.
litros de agua 50
La proporción establecida es: 
gramos de sal 1300
Si representamos por x el número de litros que contendrán 5200 g de sal, se
verifica la proporción:
50 x 50 · 5200
 50 · 5200 = 1300 x x  200
1300 5200 1300
Disposición práctica
En 50 litros hay 1300 g de sal 50 l 1300 g 50 · 5200
x  200
En x litros habrá 5200 g de sal x l 5200 g 1300
Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el nombre
de regla de tres simple directa.

6. Proporcionalidad. Regla de tres Magnitudes inversamente proporcionales
Ejemplo:
Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos
días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo?
Observa: Doble de 3 Triple de 3
Hombres: 3 6 9 18
Fíjate: 3 · 24 = 72 6 · 12 = 72 9 · 8 = 72 ?
18 · 24 = 72
Días: 24 12 8 ?
Mitad de 24 Un tercio de 24
Si dos magnitudes son tales que a doble, triple… cantidad de la primera
corresponde la mitad, la tercera parte… de la segunda, entonces se dice
que esas magnitudes son inversamente proporcionales.
Pero aún no hemos contestado la pregunta inicial: ¿cuántos días emplearán 18 hombres?
Si 18 · ? = 72, entonces ? = 72 : 18 = 4 días

7. Proporcionalidad. Regla de tres Regla de tres simple inversa
Ejemplo. Un ganadero tiene pienso suficiente para alimentar 220 vacas durante 45
días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de pienso a 450 vacas?
Fíjate en que, con el mismo pienso, si el número de vacas se duplica, tendrá para la
mitad de días; y si las vacas se triplican, para un tercio de los días, etc.
Por tanto, las magnitudes número de vacas y número de días son
inversamente proporcionales.
Vacas: 220 450
220 · 45 = 450 · x x = 22
Días: 45 x
Disposición práctica
220 vacas tienen para 45 días 220 vacas 45 días 220 · 45
x  22
450 vacas tendrán para x días 450 vacas x días 450
Esta forma de plantear y resolver problemas sobre magnitudes inversamente
proporcionales se conoce con el nombre de regla de tres simple directa.

8. Proporcionalidad. Regla de tres Problemas de porcentajes (I)
Ejemplo1. En las rebajas de enero el descuento de una tienda es del
20% sobre el precio indicado. Un señor compra un juego de toallas
etiquetado con 90 euros. ¿Cuánto tiene que pagar?
Un descuento del 20% quiere decir que de cada 100 euros pagamos 80.
Aplicando la regla de tres, se tiene:
Si de 100 euros pagamos 80 100 80 80 · 90
x  72
De 90 euros pagaremos x 90 x 100
Tendrá que pagar 72 euros por el juego de toallas.
En la práctica
Un descuento del 20% equivale a multiplicar por 0,20. La cantidad
resultante es lo rebajado.
Rebaja: 90 · 0,20 = 18. Se paga: 90 – 18 = 72 euros
Directamente. Si descuentan el 20%, se pagará el 80%.
Se pagarán 90 · 0,80 = 72 euros

9. Proporcionalidad. Regla de tres Problemas de porcentajes (II)
Ejemplo 2. Una señorita compra un coche cuyo precio de fábrica es de
8200 euros. A este precio hay que añadirle un16% de IVA (impuesto
sobre el valor añadido). ¿Cuál será el precio final del coche?
Si el impuesto es del 16%, quiere decir que por cada 100 euros debemos pagar 116.
Aplicando la regla de tres simple se tiene:
Si por 100 euros pagamos 116 100 116 116 ·8200
x  9512
Por 8200 euros pagaremos x 8200 x 100
Por tanto, tendrá que pagar 9512 euros por el coche.
En la práctica
Un incremento del 16% equivale a multiplicar por 0,16. La cantidad
resultante es el incremento total.
Incremento: 8200 · 0,16 = 1312. Se paga: 8200 + 1312 = 9512 euros
Directamente. Si se incrementa el 16%, se pagará el 116%.
Se pagarán 8200 · 1,16 = 9512 euros