2. iPor favor, poderia me dizer que caminho devo seguir agora?Isso depende bastante de até onde você quer chegar.Lewis Carrol - Alice no País das MaravilhasAtravés dos séculos a Matemática tem sido a mais poderosa e efetiva ferra-menta para a compreensão das leis que regem a Natureza e o Universo.Os tópicos introdutórios que apresentamos neste livro originaram-se, inicial-mente, dos problemas práticos que surgiram no dia a dia e que continuaramimpulsionados pela curiosidade humana de entender e explicar os fenônemosque regem a natureza.Historicamente, o Cálculo Diferencial e Integral de uma variável estuda dois ti-pos de problemas: os associados à noção de derivada, antigamente chamadosde tangências e os problemas de integração, antigamente chamados de qua-draturas. Os relativos à derivação envolvem variações ou mudanças, comopor exemplo, a extensão de uma epidemia, os comportamentos econômicosou a propagação de poluentes na atmosfera, dentre outros. Como exemplosde problemas relacionados à integração destacam-se o cálculo da áreas de re-giões delimitadas por curvas, do volume de sólidos e do trabalho realizadopor uma partícula.Grande parte do Cálculo Diferencial e Integral foi desenvolvida no século XVI-II por Isaac Newton para estudar problemas de Física e Astronomia. Aproxi-madamente na mesma época, Gottfried Wilhelm Leibniz, independentementede Newton, também desenvolveu considerável parte do assunto. Devemos aNewton e Leibniz o estabelecimento da estreita relação entre derivada e inte-gral por meio de um teorema fundamental. As notações sugeridas por Leibnizsão as universalmente usadas.O principal objetivo do livro foi apresentar os primeiros passos do Cálculo Di-ferencial e Integral de uma variável com simplicidade, através de exemplos,mas sem descuidar do aspecto formal da disciplina, dando ênfase à interpre-tação geométrica e intuitiva dos conteúdos.O livro inclui a maioria da teoria básica, assim como exemplos aplicados eproblemas. As provas muito técnicas ou os teoremas mais sofisticados quenão foram provados no apêndice, foram ilustrados através de exemplos, apli-cações e indicações bibliográficas adequadas e estão incluidos como referênciaou leitura adicional para os leitores interessados.Os conceitos centrais do Cálculo Diferencial e Integral de uma variável são re-lativamente profundos e não se espera que possam ser assimilados de uma só
3. iivez. Neste nível, o importante é que o leitor desenvolva a habilidade de calcu-lar e adquira a compreensão intuitiva dos problemas. As expressões do tipo éfacil verou semelhantes, que aparecem no texto, não devem ser encaradas deforma literal e tem o propósito de dar um aviso ao leitor de que naquele lugara apresentação é resumida e os detalhes, perfeitamente acessíveis, deverão serpreenchidos.Esperamos que o livro permita ao leitor um acesso rápido e agradável ao Cál-culo Diferencial e Integral de uma variável.Não podemos deixar de recomendar aos alunos a utilização, criteriosa, dossoftwares de Cálculo existente no mercado, pois eles são um complemento útilao aprendizado da disciplina.Desejamos agradecer aos nossos colegas do Departamento de Análise e doIME-UERJ que, de algum modo, nos motivaram e deram condições para es-crever estas notas e à Sra. Sonia M. Alves pela digitação. O texto foi digitadoutlizando Amstex e a maioria dos desenhos foram feitos utilizando o softwareMathematica. Certamente, todos os erros são exclusivamente de responsabili-dade dos autores. Mauricio A. Vilches- Maria Luiza Correa Rio de Janeiro
4. iii Copyright by Mauricio A. Vilches Todos os direitos reservadosProibida a reprodução parcial ou total
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