2. ECUAŢII ALGEBRICE CU
COEFICIENŢI ÎN £
Forma generală:
n −1
an x + an −1 x
n
+ ... + a1 x + a0 = 0,
x ∈ £ , ai ∈ £ , ∀i = 0, n
Orice ecuaţie algebrică de gradul n cu
coeficienţi în corpul numerelor £
complexe are
exact n rădăcini complexe.
3. ECUAŢII ALGEBRICE CU
COEFICIENŢI ÎN ¡
Dacă o ecuaţie algebrică cu toţi
coeficienţii în corpul numerelor
reale ¡ , admite soluţia complexă
dar nereală α = a + ib, α ∈ £ ¡,
atunci admite şi soluţia conjugată
α = a − ib, α ∈ £ .¡
4. EXEMPLE ŞI
CONTRAEXEMPLE
Ecuaţia x 3 − x 2 + x − 1 = 0 soluţiile ±,1
are i
Ecuaţia x − 2 x + 3 x − 2 x + 2 = 0
4 3 2
are
soluţiile ±i,1 ± i
Ecuaţia x + ix − x − i = 0 soluţiile −i, ±1
3 2
are
- Explicaţi!
5. APLICAŢIE
Rezolvaţi ecuaţia
x − 5 x + 10 x − 10 x + 4 = 0
4 3 2
ştiind că admite soluţia
x1 = 1 + i
6. REZOLVARE
Ecuaţia are coeficienţi reali, deci admite şi
soluţia x2 = 1 − i
Împărţim ecuaţia prin
( ) ( )
x − 1+ i x − 1− i
prin împărţirea
cu schema lui Horner sau
obişnuită;
Obţinem ecuaţia de gradul II: x − 3 x + 2 =
2
0
Cele 4 soluţii sunt: 1 + i,1 − i ,1, 2
7. ECUAŢII ALGEBRICE CU
COEFICIENŢI ÎN ¤
Dacă o ecuaţie algebrică cu toţi
coeficienţii în corpul numerelor
raţionale ¤ admite soluţia
iraţională a + b c ∈ ¡ ¤atunci
admite şi soluţia conjugată a − b c
8. EXEMPLE ŞI
CONTRAEXEMPLE
Ecuaţia x − x − 3x + 3 = 0 soluţiile ± 3,1
3 2
are
Ecuaţia x − 2 x − 5 x + 8 x + 4 =are
4 3 2
0
soluţiile 1 ± 2, ±2
Ecuaţia x 3 − 3 x 2 − x + 3 = 0 soluţiile
are
Ecuaţia 3, ±1 are soluţiile 3
2 i 33 4
x3 − 2 = 0
- Explicaţi!
3
2, ±
2 2
9. ECUAŢII ALGEBRICE CU
COEFICIENŢI ÎN ¢
p
Dacăα = q ∈¤ este o soluţie raţională a ecuaţiei
cu coeficienţi întregi
an x + an −1 x + ... + a1 x + a0 = 0, ai ∈ ¢ , ∀ i = 0, n
n n −1
atunci p / a0şi q / an
Dacă ecuaţia admite soluţii întregi, acestea sunt
printre divizorii termenului liber.
10. APLICAŢIE
Determinaţi parametrul a ∈ ¢ şi rezolvaţi
ecuaţia x − 3 x + ax + 1 = 0ştiind că are cel
3 2
puţin o soluţie întreagă.
Răspuns: a = 1, x1 = 1, x2,3 = 1 ± şi
2
a = −3, x1 = −1, x2,3 = 2 ± 5
11. REZOLVAREA ECUAŢIILOR
BINOME
Ecuaţii de forma: z = a, a ∈ £ , a = x + iy
n
Se scrie numărul complex a sub formă trigonometrică
a = r ( cos t undesin t )
+i
x y
r = x + y , cos t = ,sin t = , t ∈ [ 0, 2π )
2 2
r r
Soluţiile ecuaţiei sunt rădăcinile de ordin nale numărului
complex a :
t + 2kπ t + 2 kπ
zk = r cos
n
+ i sin ÷, k = 0, n − 1
n n
12. REZOLVAREA ECUAŢIILOR
BIPĂTRATE
Ecuaţii de forma: ax
4
+ bx 2 + c = 0, x ∈ £ , a, b, c ∈ £
Generalizare: ax 2 n + bx n + c = 0, x ∈ £ , a, b, c ∈ £
Folosim substituţia: x
2
= ysau x = y obţinem
n
şi
ecuaţia rezolventă ay + by + c = cu soluţiile y1,2
2
0
Rezolvăm ecuaţiile x
n
= y1 şi x n = y2
13. EXEMPLE ŞI
CONTRAEXEMPLE
Care dintre următoarele ecuaţii sunt
ecuaţii bipătrate?
2x + 5x − 7 = 0
4 2
4 y − 3y + 2 = 0
6 3
x + 8x + 3 = 0
6 4
14. APLICAŢIE
Să se rezolve ecuaţia:
4 x − 13 x + 9 = 0
4 2
3
Răspuns corect: x1,2 = ± şi x3,4 = ±1
2
15. ECUAŢIII RECIPROCE
Ecuaţii de forma:
n −1
a x +a x
n
n
n −1 + ... + + a1 x + a0 = 0
cu an = a0 , an −1 = a1 , an − 2 = a2 , ...
ax + bx + cx + cx + bx + a = 0
5 4 3 2
ax + bx + cx + bx + a = 0
4 3 2
ax + bx + bx + a = 0
3 2
16. REZOLVAREA ECUAŢIILOR
RECIPROCE DE GRADUL III
Orice ecuaţie reciprocă de grad impar
admite soluţia α = −1;
După împărţirea prin x − 1 rămâne de
rezolvat o ecuaţie de gradul II.
18. REZOLVAREA ECUAŢIILOR
RECIPROCE DE GRADUL IV
Ecuaţia ax + bx + cx + bx + a = 0se împarte prin
4 3 2
x2
şi după gruparea termenilor rezultă:
2 1 1
a x + 2 ÷+ b x + ÷+ c = 0
x x
1
Cu substituţia x + = y se obţine ecuaţia rezolventă
x
de gradul II ( )
a y 2 − 2 + by + c = 0
19. APLICAŢIE
Să se rezolve ecuaţia:
2 x + 3 x − 10 x + 3x + 2 = 0
4 3 2
Răspuns corect:
7 ± 33
x1 = x2 = 1, x3,4 =
4