SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 20
Baixar para ler offline
REZOLVAREA
   ECUAŢIILOR ALGEBRICE


 1) ECUAŢII ALGEBRICE CU
  COEFICIENŢI ÎN £ , ¡ , ¤ , ¢
 2) ECUAŢII BINOME,

  BIPĂTRATE, RECIPROCE
ECUAŢII ALGEBRICE CU
           COEFICIENŢI ÎN £
   Forma generală:
                       n −1
      an x + an −1 x
          n
                              + ... + a1 x + a0 = 0,
      x ∈ £ , ai ∈ £ , ∀i = 0, n
   Orice ecuaţie algebrică de gradul n cu
    coeficienţi în corpul numerelor £
                                    complexe      are
    exact n rădăcini complexe.
ECUAŢII ALGEBRICE CU
       COEFICIENŢI ÎN ¡
 Dacă o ecuaţie algebrică cu toţi
 coeficienţii în corpul numerelor
 reale ¡ , admite soluţia complexă
 dar nereală α = a + ib, α ∈ £  ¡,
 atunci admite şi soluţia conjugată
 α = a − ib, α ∈ £  .¡
EXEMPLE ŞI
          CONTRAEXEMPLE
   Ecuaţia x 3 − x 2 + x − 1 = 0 soluţiile ±,1
                                are          i

    Ecuaţia x − 2 x + 3 x − 2 x + 2 = 0
             4     3    2
                                     are
    soluţiile ±i,1 ± i
   Ecuaţia x + ix − x − i = 0 soluţiile −i, ±1
               3    2
                             are


       - Explicaţi!
APLICAŢIE
   Rezolvaţi ecuaţia

       x − 5 x + 10 x − 10 x + 4 = 0
        4       3       2



ştiind că admite soluţia
       x1 = 1 + i
REZOLVARE
 Ecuaţia are coeficienţi reali, deci admite şi
  soluţia x2 = 1 − i
 Împărţim ecuaţia prin
                                (     )      (    )
                            x − 1+ i   x − 1− i 
                            prin împărţirea 
                                         
 cu schema lui Horner sau
  obişnuită;
 Obţinem ecuaţia de gradul II: x − 3 x + 2 =
                                          2
                                                       0
 Cele 4 soluţii sunt: 1 + i,1 − i ,1, 2
ECUAŢII ALGEBRICE CU
       COEFICIENŢI ÎN ¤
 Dacă  o ecuaţie algebrică cu toţi
 coeficienţii în corpul numerelor
 raţionale ¤ admite soluţia
 iraţională a + b c ∈ ¡  ¤atunci
 admite şi soluţia conjugată a − b c
EXEMPLE ŞI
          CONTRAEXEMPLE
    Ecuaţia x − x − 3x + 3 = 0 soluţiile ± 3,1
             3   2
                             are
   Ecuaţia x − 2 x − 5 x + 8 x + 4 =are
                4      3    2
                                         0
    soluţiile 1 ± 2, ±2
   Ecuaţia x 3 − 3 x 2 − x + 3 = 0 soluţiile
                                  are
   Ecuaţia 3, ±1 are soluţiile        3
                                          2 i 33 4
              x3 − 2 = 0
     - Explicaţi!
                                  3
                                    2,     ±
                                         2    2
ECUAŢII ALGEBRICE CU
               COEFICIENŢI ÎN ¢
            p
   Dacăα = q ∈¤ este o soluţie raţională a ecuaţiei
    cu coeficienţi întregi
    an x + an −1 x + ... + a1 x + a0 = 0, ai ∈ ¢ , ∀ i = 0, n
        n         n −1

    atunci p / a0şi q / an

    Dacă ecuaţia admite soluţii întregi, acestea sunt
    printre divizorii termenului liber.
APLICAŢIE
   Determinaţi parametrul a ∈ ¢ şi rezolvaţi
    ecuaţia x − 3 x + ax + 1 = 0ştiind că are cel
              3     2

    puţin o soluţie întreagă.

   Răspuns: a = 1, x1 = 1, x2,3 = 1 ± şi
                                       2
a = −3, x1 = −1, x2,3 = 2 ± 5
REZOLVAREA ECUAŢIILOR
                       BINOME
   Ecuaţii de forma:  z = a, a ∈ £ , a = x + iy
                        n
   Se scrie numărul complex a sub formă trigonometrică
     a = r ( cos t undesin t )
                    +i
                       x       y
r = x + y , cos t = ,sin t = , t ∈ [ 0, 2π )
     2    2

                       r       r
   Soluţiile ecuaţiei sunt rădăcinile de ordin nale numărului
    complex   a   :

                t + 2kπ         t + 2 kπ     
    zk = r  cos
         n
                         + i sin              ÷, k = 0, n − 1
                    n               n        
REZOLVAREA ECUAŢIILOR
            BIPĂTRATE
   Ecuaţii de forma: ax
                           4
                               + bx 2 + c = 0, x ∈ £ , a, b, c ∈ £
   Generalizare: ax 2 n + bx n + c = 0, x ∈ £ , a, b, c ∈ £

   Folosim substituţia: x
                               2
                                   =   ysau   x = y obţinem
                                               n
                                                  şi

    ecuaţia rezolventă   ay + by + c = cu soluţiile y1,2
                               2
                                       0

   Rezolvăm ecuaţiile x
                           n
                                   = y1 şi x n = y2
EXEMPLE ŞI
              CONTRAEXEMPLE
   Care dintre următoarele ecuaţii sunt
    ecuaţii bipătrate?
    2x + 5x − 7 = 0
          4    2


    4 y − 3y + 2 = 0
       6    3


     x + 8x + 3 = 0
      6       4
APLICAŢIE
   Să se rezolve ecuaţia:

           4 x − 13 x + 9 = 0
               4         2

                               3
   Răspuns corect:   x1,2 = ±     şi   x3,4 = ±1
                               2
ECUAŢIII RECIPROCE
 Ecuaţii de forma:
                  n −1
a x +a x
  n
     n
             n −1       + ... + + a1 x + a0 = 0
cu an = a0 , an −1 = a1 , an − 2   = a2 , ...

ax + bx + cx + cx + bx + a = 0
    5       4       3      2


ax + bx + cx + bx + a = 0
  4    3     2


ax + bx + bx + a = 0
  3    2
REZOLVAREA ECUAŢIILOR
     RECIPROCE DE GRADUL III
   Orice ecuaţie reciprocă de grad impar
    admite soluţia α = −1;
   După împărţirea prin x − 1 rămâne de
    rezolvat o ecuaţie de gradul II.
APLICAŢIE
   Să se rezolve ecuaţia:
    2 x + 3x + 3x + 2 = 0
       3      2



   Răspuns corect:
                       1   15
    x1 = −1, x2,3   = − ±i
                       4   4
REZOLVAREA ECUAŢIILOR
      RECIPROCE DE GRADUL IV
    Ecuaţia ax + bx + cx + bx + a = 0se împarte prin

               4       3       2

        x2
     şi după gruparea termenilor rezultă:
        2 1           1
     a  x + 2 ÷+ b  x + ÷+ c = 0
           x          x
                      1
   Cu substituţia x + = y se obţine ecuaţia rezolventă
                      x
    de gradul II   (       )
                 a y 2 − 2 + by + c = 0
APLICAŢIE
   Să se rezolve ecuaţia:

    2 x + 3 x − 10 x + 3x + 2 = 0
       4      3         2




   Răspuns corect:
                          7 ± 33
    x1 = x2 = 1, x3,4   =
                             4
X + 4 X − 3X + 4 X + 1 = 0
 4     3     2

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Unitati de masura arii
Unitati de masura ariiUnitati de masura arii
Unitati de masura ariiChelaru Ancuta
 
Campul electrostatic.
Campul electrostatic.Campul electrostatic.
Campul electrostatic.Elena Negotei
 
съвременни теории за еволюцията
съвременни теории за еволюциятасъвременни теории за еволюцията
съвременни теории за еволюциятаaniezina
 
Test chimie organică
Test chimie organică Test chimie organică
Test chimie organică ilyutzza
 
Generatoare electrice
Generatoare electriceGeneratoare electrice
Generatoare electriceStefi Kovacs
 
Reflexia in oglinzi
Reflexia in oglinziReflexia in oglinzi
Reflexia in oglinziantocisilvia
 
Referat curentul electric
Referat curentul electricReferat curentul electric
Referat curentul electricAdina Dobos
 
Prezentare La Fizica(Ianovitchi Tatiana)
Prezentare La Fizica(Ianovitchi Tatiana)Prezentare La Fizica(Ianovitchi Tatiana)
Prezentare La Fizica(Ianovitchi Tatiana)alexcurbet
 
Proiect transnational.pptx
Proiect transnational.pptxProiect transnational.pptx
Proiect transnational.pptxNadiaNadia758627
 
Osnovna nacela upravnog postupka
Osnovna nacela upravnog postupkaOsnovna nacela upravnog postupka
Osnovna nacela upravnog postupkastevansek
 
Proiect pe tema Ocupatii
Proiect pe tema   OcupatiiProiect pe tema   Ocupatii
Proiect pe tema OcupatiiRobert XD
 
Structura invelisului electronic
Structura invelisului electronicStructura invelisului electronic
Structura invelisului electronicromancalupulesku
 
Fortele Intermoleculare
Fortele IntermoleculareFortele Intermoleculare
Fortele Intermolecularealexcurbet
 
Aspirina si paracetamolul
Aspirina si paracetamolulAspirina si paracetamolul
Aspirina si paracetamolulElena Tomoiaga
 

Mais procurados (20)

Unitati de masura arii
Unitati de masura ariiUnitati de masura arii
Unitati de masura arii
 
Campul electrostatic.
Campul electrostatic.Campul electrostatic.
Campul electrostatic.
 
съвременни теории за еволюцията
съвременни теории за еволюциятасъвременни теории за еволюцията
съвременни теории за еволюцията
 
Us matematika
Us   matematikaUs   matematika
Us matematika
 
Test chimie organică
Test chimie organică Test chimie organică
Test chimie organică
 
Generatoare electrice
Generatoare electriceGeneratoare electrice
Generatoare electrice
 
Reflexia in oglinzi
Reflexia in oglinziReflexia in oglinzi
Reflexia in oglinzi
 
Referat curentul electric
Referat curentul electricReferat curentul electric
Referat curentul electric
 
Prezentare La Fizica(Ianovitchi Tatiana)
Prezentare La Fizica(Ianovitchi Tatiana)Prezentare La Fizica(Ianovitchi Tatiana)
Prezentare La Fizica(Ianovitchi Tatiana)
 
Proiect transnational.pptx
Proiect transnational.pptxProiect transnational.pptx
Proiect transnational.pptx
 
Presiunea solidelor
Presiunea solidelor Presiunea solidelor
Presiunea solidelor
 
Curcubeul
CurcubeulCurcubeul
Curcubeul
 
Osnovna nacela upravnog postupka
Osnovna nacela upravnog postupkaOsnovna nacela upravnog postupka
Osnovna nacela upravnog postupka
 
Proiect pe tema Ocupatii
Proiect pe tema   OcupatiiProiect pe tema   Ocupatii
Proiect pe tema Ocupatii
 
Structura invelisului electronic
Structura invelisului electronicStructura invelisului electronic
Structura invelisului electronic
 
Fortele Intermoleculare
Fortele IntermoleculareFortele Intermoleculare
Fortele Intermoleculare
 
Câmpul electric
Câmpul electricCâmpul electric
Câmpul electric
 
Atomul. Structura atomului
Atomul. Structura atomuluiAtomul. Structura atomului
Atomul. Structura atomului
 
Agitatiatermica
AgitatiatermicaAgitatiatermica
Agitatiatermica
 
Aspirina si paracetamolul
Aspirina si paracetamolulAspirina si paracetamolul
Aspirina si paracetamolul
 

Destaque (20)

Numere rationale VII
Numere rationale VIINumere rationale VII
Numere rationale VII
 
Formule calcul prescurtat VII-VIII
Formule calcul prescurtat VII-VIIIFormule calcul prescurtat VII-VIII
Formule calcul prescurtat VII-VIII
 
Algebra clasa a vi a
Algebra clasa a vi aAlgebra clasa a vi a
Algebra clasa a vi a
 
Geometrie VI
Geometrie VIGeometrie VI
Geometrie VI
 
Povestea fluturelui albastru
Povestea fluturelui albastruPovestea fluturelui albastru
Povestea fluturelui albastru
 
Constructii poliedre
Constructii poliedreConstructii poliedre
Constructii poliedre
 
Prezentarefunctiadegrad2
Prezentarefunctiadegrad2Prezentarefunctiadegrad2
Prezentarefunctiadegrad2
 
Elemente de geometrie
Elemente de geometrieElemente de geometrie
Elemente de geometrie
 
Poliedre
PoliedrePoliedre
Poliedre
 
Proiect de lectie
Proiect de lectieProiect de lectie
Proiect de lectie
 
Poliedre
PoliedrePoliedre
Poliedre
 
Etape plantare trandafiri
Etape plantare trandafiriEtape plantare trandafiri
Etape plantare trandafiri
 
Lectie relatiile lui viet ec gr ii
Lectie relatiile lui viet ec gr iiLectie relatiile lui viet ec gr ii
Lectie relatiile lui viet ec gr ii
 
Cilindrul circular drept
Cilindrul circular dreptCilindrul circular drept
Cilindrul circular drept
 
9 клас
9 клас9 клас
9 клас
 
Barem Culegere evaluare nationala 2012
Barem Culegere evaluare nationala 2012Barem Culegere evaluare nationala 2012
Barem Culegere evaluare nationala 2012
 
Calcul de arii si volume
Calcul de arii si volumeCalcul de arii si volume
Calcul de arii si volume
 
Rebusuri rezolvate
Rebusuri rezolvateRebusuri rezolvate
Rebusuri rezolvate
 
Ecuatia de gradul al ii lea
Ecuatia de gradul al ii leaEcuatia de gradul al ii lea
Ecuatia de gradul al ii lea
 
Sisteme de ecuatii
Sisteme de ecuatiiSisteme de ecuatii
Sisteme de ecuatii
 

Semelhante a Ecuaţii algebrice

Semelhante a Ecuaţii algebrice (20)

125907307 ecuatii-trigonometrice
125907307 ecuatii-trigonometrice125907307 ecuatii-trigonometrice
125907307 ecuatii-trigonometrice
 
Analiza matematica
Analiza matematicaAnaliza matematica
Analiza matematica
 
an num old
an num oldan num old
an num old
 
Ecuatii neliniare rom
Ecuatii neliniare romEcuatii neliniare rom
Ecuatii neliniare rom
 
D mt1 i_030
D mt1 i_030D mt1 i_030
D mt1 i_030
 
probleme an I
probleme an Iprobleme an I
probleme an I
 
Calculul numeric teorie
Calculul numeric teorieCalculul numeric teorie
Calculul numeric teorie
 
D mt1 i_047
D mt1 i_047D mt1 i_047
D mt1 i_047
 
6207247 probleme-de-algebra-liniara-dumitru-busneag
6207247 probleme-de-algebra-liniara-dumitru-busneag6207247 probleme-de-algebra-liniara-dumitru-busneag
6207247 probleme-de-algebra-liniara-dumitru-busneag
 
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrianTeorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
 
E c matematica_m2_var_07_lro
E c matematica_m2_var_07_lroE c matematica_m2_var_07_lro
E c matematica_m2_var_07_lro
 
divizori-descriere 2.doc
divizori-descriere 2.docdivizori-descriere 2.doc
divizori-descriere 2.doc
 
Variante bacalaureat m2 - 2011
Variante bacalaureat  m2 - 2011Variante bacalaureat  m2 - 2011
Variante bacalaureat m2 - 2011
 
D mt1 ii_013
D mt1 ii_013D mt1 ii_013
D mt1 ii_013
 
Ode rom
Ode romOde rom
Ode rom
 
Sinteza
SintezaSinteza
Sinteza
 
D mt2 i_002
D mt2 i_002D mt2 i_002
D mt2 i_002
 
Binom Newton
Binom NewtonBinom Newton
Binom Newton
 
Algebra si analiza de 11
Algebra si analiza de 11Algebra si analiza de 11
Algebra si analiza de 11
 
MBc
MBcMBc
MBc
 

Ecuaţii algebrice

  • 1. REZOLVAREA ECUAŢIILOR ALGEBRICE  1) ECUAŢII ALGEBRICE CU COEFICIENŢI ÎN £ , ¡ , ¤ , ¢  2) ECUAŢII BINOME, BIPĂTRATE, RECIPROCE
  • 2. ECUAŢII ALGEBRICE CU COEFICIENŢI ÎN £  Forma generală: n −1 an x + an −1 x n + ... + a1 x + a0 = 0, x ∈ £ , ai ∈ £ , ∀i = 0, n  Orice ecuaţie algebrică de gradul n cu coeficienţi în corpul numerelor £ complexe are exact n rădăcini complexe.
  • 3. ECUAŢII ALGEBRICE CU COEFICIENŢI ÎN ¡  Dacă o ecuaţie algebrică cu toţi coeficienţii în corpul numerelor reale ¡ , admite soluţia complexă dar nereală α = a + ib, α ∈ £ ¡, atunci admite şi soluţia conjugată α = a − ib, α ∈ £ .¡
  • 4. EXEMPLE ŞI CONTRAEXEMPLE  Ecuaţia x 3 − x 2 + x − 1 = 0 soluţiile ±,1 are i Ecuaţia x − 2 x + 3 x − 2 x + 2 = 0 4 3 2  are soluţiile ±i,1 ± i  Ecuaţia x + ix − x − i = 0 soluţiile −i, ±1 3 2 are - Explicaţi!
  • 5. APLICAŢIE  Rezolvaţi ecuaţia x − 5 x + 10 x − 10 x + 4 = 0 4 3 2 ştiind că admite soluţia x1 = 1 + i
  • 6. REZOLVARE  Ecuaţia are coeficienţi reali, deci admite şi soluţia x2 = 1 − i  Împărţim ecuaţia prin ( ) ( )  x − 1+ i   x − 1− i   prin împărţirea   cu schema lui Horner sau obişnuită;  Obţinem ecuaţia de gradul II: x − 3 x + 2 = 2 0  Cele 4 soluţii sunt: 1 + i,1 − i ,1, 2
  • 7. ECUAŢII ALGEBRICE CU COEFICIENŢI ÎN ¤  Dacă o ecuaţie algebrică cu toţi coeficienţii în corpul numerelor raţionale ¤ admite soluţia iraţională a + b c ∈ ¡ ¤atunci admite şi soluţia conjugată a − b c
  • 8. EXEMPLE ŞI CONTRAEXEMPLE Ecuaţia x − x − 3x + 3 = 0 soluţiile ± 3,1 3 2  are  Ecuaţia x − 2 x − 5 x + 8 x + 4 =are 4 3 2 0 soluţiile 1 ± 2, ±2  Ecuaţia x 3 − 3 x 2 − x + 3 = 0 soluţiile are  Ecuaţia 3, ±1 are soluţiile 3 2 i 33 4 x3 − 2 = 0 - Explicaţi! 3 2, ± 2 2
  • 9. ECUAŢII ALGEBRICE CU COEFICIENŢI ÎN ¢ p  Dacăα = q ∈¤ este o soluţie raţională a ecuaţiei cu coeficienţi întregi an x + an −1 x + ... + a1 x + a0 = 0, ai ∈ ¢ , ∀ i = 0, n n n −1 atunci p / a0şi q / an Dacă ecuaţia admite soluţii întregi, acestea sunt printre divizorii termenului liber.
  • 10. APLICAŢIE  Determinaţi parametrul a ∈ ¢ şi rezolvaţi ecuaţia x − 3 x + ax + 1 = 0ştiind că are cel 3 2 puţin o soluţie întreagă.  Răspuns: a = 1, x1 = 1, x2,3 = 1 ± şi 2 a = −3, x1 = −1, x2,3 = 2 ± 5
  • 11. REZOLVAREA ECUAŢIILOR BINOME  Ecuaţii de forma: z = a, a ∈ £ , a = x + iy n  Se scrie numărul complex a sub formă trigonometrică a = r ( cos t undesin t ) +i x y r = x + y , cos t = ,sin t = , t ∈ [ 0, 2π ) 2 2 r r  Soluţiile ecuaţiei sunt rădăcinile de ordin nale numărului complex a :  t + 2kπ t + 2 kπ  zk = r  cos n + i sin ÷, k = 0, n − 1  n n 
  • 12. REZOLVAREA ECUAŢIILOR BIPĂTRATE  Ecuaţii de forma: ax 4 + bx 2 + c = 0, x ∈ £ , a, b, c ∈ £  Generalizare: ax 2 n + bx n + c = 0, x ∈ £ , a, b, c ∈ £  Folosim substituţia: x 2 = ysau x = y obţinem n şi ecuaţia rezolventă ay + by + c = cu soluţiile y1,2 2 0  Rezolvăm ecuaţiile x n = y1 şi x n = y2
  • 13. EXEMPLE ŞI CONTRAEXEMPLE  Care dintre următoarele ecuaţii sunt ecuaţii bipătrate? 2x + 5x − 7 = 0 4 2 4 y − 3y + 2 = 0 6 3 x + 8x + 3 = 0 6 4
  • 14. APLICAŢIE  Să se rezolve ecuaţia: 4 x − 13 x + 9 = 0 4 2 3  Răspuns corect: x1,2 = ± şi x3,4 = ±1 2
  • 15. ECUAŢIII RECIPROCE  Ecuaţii de forma: n −1 a x +a x n n n −1 + ... + + a1 x + a0 = 0 cu an = a0 , an −1 = a1 , an − 2 = a2 , ... ax + bx + cx + cx + bx + a = 0 5 4 3 2 ax + bx + cx + bx + a = 0 4 3 2 ax + bx + bx + a = 0 3 2
  • 16. REZOLVAREA ECUAŢIILOR RECIPROCE DE GRADUL III  Orice ecuaţie reciprocă de grad impar admite soluţia α = −1;  După împărţirea prin x − 1 rămâne de rezolvat o ecuaţie de gradul II.
  • 17. APLICAŢIE  Să se rezolve ecuaţia: 2 x + 3x + 3x + 2 = 0 3 2  Răspuns corect: 1 15 x1 = −1, x2,3 = − ±i 4 4
  • 18. REZOLVAREA ECUAŢIILOR RECIPROCE DE GRADUL IV Ecuaţia ax + bx + cx + bx + a = 0se împarte prin  4 3 2 x2 şi după gruparea termenilor rezultă:  2 1   1 a  x + 2 ÷+ b  x + ÷+ c = 0  x   x 1  Cu substituţia x + = y se obţine ecuaţia rezolventă x de gradul II ( ) a y 2 − 2 + by + c = 0
  • 19. APLICAŢIE  Să se rezolve ecuaţia: 2 x + 3 x − 10 x + 3x + 2 = 0 4 3 2  Răspuns corect: 7 ± 33 x1 = x2 = 1, x3,4 = 4
  • 20. X + 4 X − 3X + 4 X + 1 = 0 4 3 2