Gases

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  1. 1. LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, `as 4:49 a.m. Exerc´ıcios Resolvidos de Termodinˆamica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´ısica te´orica, Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´ısica Mat´eria para a QUARTA prova. Numerac¸˜ao conforme a quarta edic¸˜ao do livro “Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/  jgallas Conte´udo 22 ENTROPIA E A II LEI DA TERMO- DIN ˆAMICA 2 22.1 Quest˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 22.2 Exerc´ıcios e Problemas . . . . . . . . . 4 22.3 Problemas Adicionais . . . . . . . . . . 12 Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br (lista4.tex) http://www.if.ufrgs.br/  jgallas P´agina 1 de 14
  2. 2. LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, `as 4:49 a.m. 22 ENTROPIA E A II LEI DA TERMODIN ˆAMICA 22.1 Quest˜oes Q-6. Explique qualitativamente como as forc¸as de atrito entre duas superf´ıcies aumentam a temperatura destas su- perf´ıcies. Por que o processo inverso n˜ao ocorre? ¡ Quando duas superf´ıcies est˜ao em contato, ocorrem interac¸˜oes de natureza el´etrica entre as suas mol´eculas. Com o movimento relativo, essas interac¸˜oes s˜ao rompidas, a energia cin´etica das mol´eculas aumenta, acarretando um aumento da temperatura das superf´ıcies. No processo inverso, a energia t´ermica dificultaria a interac¸˜ao entre as mol´eculas e as for´cas envolvidas seriam localizadas e insuficientes para produzir movimento relativo das su- perf´ıcies. Q-7. Um bloco volta `a sua posic¸˜ao inicial, depois de se mover dissipando energia por atrito. Por que este processo n˜ao ´e termicamente revers´ivel? ¡ Porque a energia t´ermica produzida no atrito, n˜ao pode ser reconvertida em energia mecˆanica, conforme a se- gunda lei da termodinˆamica. Q-10. Podemos calcular o trabalho realizado durante um processo irrevers´ı vel em termos de uma ´area num diagrama p - V? Algum trabalho ´e realizado? ¡ Nos processos irrevers´ıveis h´a realizac¸˜ao de trabalho - sobre o sistema ou pelo sistema sobre o seu ambiente - mas este trabalho n˜ao pode ser obtido pelo c´alculo de uma ´area no diagrama p - V, porque a press˜ao do sistema n˜ao ´e definida num processo irrevers´ıvel. Q-14. Sob que condic¸˜oes uma m´aquina t´ermica ideal seria ¢¤£¥£§¦ eficiente? ¡ A eficiˆencia de uma m´aquina t´ermica pode ser expressa por ¨© H C H Para o rendimento ser de ¢¤££¦ , C , o calor liberado, teria que ser nulo, mas essa seria ent˜ao uma m´aquina perfeita que, de acordo com a segunda lei, n˜ao existe. Considerando a eficiˆencia expressa em termos das temperaturas extremas, ¨ © ¢ ! C ! H para um rendimento de ¢¤££¦ , a temperatura da fonte fria teria de ser !$# © £ K, o que estaria em desacordo com a terceira lei da termodinˆamica (ver discuss˜ao sobre o zero absoluto, por exemplo, na sec˜ao ¢¤£ % do segundo volume do Curso de F´ısica B´asica, do autor H. Moyses Nussenzveig). http://www.if.ufrgs.br/  jgallas P´agina 2 de 14
  3. 3. LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, `as 4:49 a.m. Q-18. Por que um carro faz menos quilˆometros por litro de gasolina no inverno do que no ver˜ao? ¡ As m´aquinas t´ermicas reais n˜ao operam ciclos exatamente revers´ıveis e quanto maior for a difernc¸a de tempera- tura entre a fonte quente e a fonte fria, maior ´e a quantidade de energia que n˜ao se aproveita. Assim, nos dias mais frios, um motor de autom´ovel tem a sua eficiˆencia diminu´ıda. Q-21. Dˆe exemplos de processos em que a entropia de um sistema diminui, e explique por que a segunda lei da termo- dinˆamica n˜ao ´e violada. ¡ No processo de congelamento de uma amostra de ´agua, a entropia deste sistema diminui, porque a ´agua precisa perder calor para congelar. A segunda lei da termodinˆamica n˜ao ´e violada porque a entropia do meio, que recebe o calor cedido pela ´agua, aumenta. Este aumento ´e maior do que a diminuic¸˜ao, tal que a entropia do sistema + ambiente aumenta. Q-23. Duas amostras de um g´as, inicialmente `a mesma temperatura e press˜ao, s˜ao comprimidas de volume V para o vo- lume ('0) , uma isotermicamente e a outra adiabaticamente. Em qual dos casos a press˜ao final ´e maior? A entropia do g´as varia durante qualquer um dos processos? ¡ No processo isot´ermico a press˜ao final ´e: 1 2 2 © 1 ) 1 © ) 1 2 No processo adiab´atico, a press˜ao final ´e: 1 2 432 © 165 )7 3 1 © )83 1 2 A press˜ao final ´e maior no processo adiab´atico. A variac¸˜ao da entropia no processo isot´ermico ´e dada por: 9A@ ©BDC !FE B 2 9A@ © BDC !GE B ) No processo adiab´atico, a entropia n˜ao varia, uma vez que 9 ´e nulo neste caso. Q-25. Ocorre variac¸˜ao da entropia em movimentos puramente mecˆanicos? ¡ Sim, por causa da energia t´ermica produzida pelo atrito. Q-28. Calor ´e transferido do Sol para a Terra. Mostre que a entropia do sistema Terra-Sol aumenta durante o processo. http://www.if.ufrgs.br/  jgallas P´agina 3 de 14
  4. 4. LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, `as 4:49 a.m. ¡ O Sol libera calor `a alta temperatura e tem a sua entropia diminu´ıda. J´a a Terra absorve o calor `a temperatura bem mais baixa. A entropia da Terra aumenta no processo e este aumento ´e maior do que a diminuic¸˜ao da do Sol, tal que a variac¸˜ao da entropia do sistema Terra-Sol ´e positiva. 22.2 Exerc´ıcios e Problemas P-4. Um mol de um g´a ideal monoatˆomico passa pelo ciclo mostrado na Fig. 22-18. O processo bc ´e uma expans˜ao adiab´atica; 1IH © ¢P£ £ atm, H © ¢ £¥£AQR¢P£TSIU mU , e IV ©XW £¥£ H . Calcule: (a) o calor adicionado ao g´as, (b) o calor cedido pelo g´as; (c) o trabalho realizado pelo g´as e (d) a eficiˆencia do ciclo. ¡ Para chegar aos resultados pedidos, antes ´e necess´ario obter o valor da temperatura e da press˜ao no final de cada um dos processos do ciclo. Comec¸ando com o processo adiab´atico que liga os estados b e c, tem-se: 1IH 3 H © 1 VY43V 1 V © 1`H 5 H V§a 3 ©cb ¢P£edfhgFi 5 ¢¤£pSIU W £AQq¢¤£ SIU aDrts uwv © £ Yx ¢ atm © xp ¢€yAQq¢¤£0 Pa As temperaturas nos estados b e c s˜ao: ! H © 1`H H BDC © b ¢P£i b ¢ £p¢Q‚¢P£¥ƒ$„4dTi b ¢ £AQ‚¢P£TSIU`gFU¤i b ¢ £i b…W Yx ¢€y‡†ˆ'8gG‰ E  i © ¢P)) K ! V © 1 VYIV BDC © b xˆ ¢¤y‘Qq¢¤£  „4dTi b’W £AQq¢¤£pSIU`gFU¤i b ¢ £i b’W Yx ¢¤y“†”'gF‰ E  i © x £ K Na compress˜ao isob´arica, tem-se ! V ”V © !D• • ! • © ! V • IV ©–b x £  i 5 H W £— H a © xˆ W K As transferˆencias de calor e o trabalho realizado em cada processo s˜ao calculados com a primeira lei: ˜ ab © £ ab ©™Bed“f 9 ! ©–b ¢ £i b x ) i b’W Yx ¢¤y“†”'gF‰ E  i b ¢P)) xp W i  © ¢¤y§g8y J ˜ bc © 9ih int © Bed“f 9 ! ©cb ¢ £i b x ) i b…W Yx ¢€y‡†ˆ'8gG‰ E  i b ¢P)¥) x £i  © ¢¥¢¤y§g J ˜ ca © 1 • b • V i ©–b xˆ ¢€yAQq¢¤£  „4d§i b ¢ £ W £i(Q‚¢P£ S`U g U © ))0£ J ca ©jBed(k 9 ! ©lb ¢ £i b % ) i b’W Yx ¢¤y“†”'gF‰ E  i b xp W x £i  © % y % J Ent˜ao, finalmente, (a) absorvido © ab © ¢¤y§g8y J. (b) cedido © ca © % y % J. (c) ˜ efetivo © ˜ bc m ˜ ca © ¢¥¢€yTg ))0£ ©jn )g J. (d) ¨o© p qFp p r absorvido p ©tswu v r  v  © £ Yv¥x . http://www.if.ufrgs.br/  jgallas P´agina 4 de 14
  5. 5. LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, `as 4:49 a.m. E.7 Para fazer gelo, um freezer extrai y§) kcal de calor de um reserva´orio a ¢) 2 C em cada ciclo. O coeficiente de performance do freezer ´e % g . A temperatura do ambiente ´e ) v 2 C. (a) Quanto calor, por ciclo, ´e rejeitado para o ambiente? (b) Qual a quantidade de trabalho por ciclo necess´aria para manter o freezer em funcionamento? ¡ (a) A performance do freezer ´e dada por:  © C ˜ E o trabalho externo necess´ario ´e: ˜ © C  © y)—wTxyd E % g © g Yx g kcal H © ˜ m C H ©–b g Yx g m y)¥iwwTxyd E © y n wx g kcal (b) ˜ © g wx g kcal © x ¢ kJ. E-10. Num ciclo de Carnot, a expans˜ao isot´ermica de um g´as ideal acontece a y££ K e a compress˜ao isot´ermica a x ££ K. Durante a expans˜ao, % ££ cal de calor s˜ao transferidas pelo g´as. Calcule (a) o trabalho realizado pelo g´as durante a expans˜ao t´ermica; (b) o calor rejeitado pelo g´as durante a compress˜ao isot´ermica e (c) o trabalho realizado pelo g´as durante a compress˜ao isot´ermica. ¡ (a) Na expans˜ao isot´ermica, 9‘h int © £ e ˜ © . Portanto, ˜ © % £¥£ cal © )¥£ n x J. (b) Na compress˜ao isot´ermica tamb´em © ˜ , mas o calor ´e liberado: C © ! C ! H H © x £¥£ y£¥£ % £¥£ © x g % cal © ¢ % g0£ J (c) ˜ © x g % cal © ¢ % g8£ J. E-15. Para o ciclo de Carnot ilustrado na Fig. 22-9, mostre que o trabalho realizado pelo g´as durante o processo bc (passo ) ) tem o mesmo valor absoluto que o realizado durante o processo da (passo y ). ¡ O processo bc ´e a expans˜ao adiab´atica, a temperatura inicial ´e ! H e a final ´e ! C e © £ . Ent˜ao, pela primeira lei, 9‘h int © ˜ . 9‘h int ©Bed V 9 ! ©jBed V b ! C ! Hi ˜ © m Bed V b ! H ! C i O processo da ´e a compress˜ao adiab´atica, a temperatura inicial ´e ! C e a final ´e ! H. 9‘h int © ˜ e 9‘h int © Bed V b ! H ! C i . O trabalho ´e ˜ © Bed V b ! H ! Ci . Portanto, ˜ bc © ˜ da . P-20. Uma bomba t´ermica ´e usada para aquecer um edif´ıcio. Do lado de fora a temperatura ´e %e2 C e dentro do edif´ıcio deve ser mantida a )¥) 2 C. O coeficiente de performance ´e xp W e a bomba injeta ¢ W Mcal de calor no edif´ıcio por hora. A que taxa devemos realizar trabalho para manter a bomba operando? http://www.if.ufrgs.br/  jgallas P´agina 5 de 14
  6. 6. LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, `as 4:49 a.m. ¡ O calor injetado, expresso em J/s, ´e: H © b ¢ W Qq¢¤£ u i b y ¢ W v †zi xv £¥£|{ © )¥£ n x J/s O coeficiente de performance da bomba ´e dada por:  © C ˜ © H ˜ ˜ ©} H ˜ ¢ A taxa de realizac¸˜ao de trabalho necess´aria para operar a bomba vai ser ent˜ao ˜ f © H 'f  m ¢ © )¥£ n x xˆ W m ¢ © y x¥v W P-24. (a) Mostre que, quando um ciclo de Carnot ´e trac¸ado num diagrama temperatura (Kelvin) versus entropia (T - S), o resultado ´e um retˆangulo. Para o ciclo de Carnot mostrado na Fig. 22-19, calcule (b) o calor ganho e (c) o trabalho realizado pelo sistema. ¡ (a) Os dois processos isot´ermicos do ciclo de Carnot v˜ao produzir dois segmentos de reta, perpendiculares ao eixo T no diagrama (T - S), e os dois processos adiab´aticos ocorrem sem trocas de calor, produzindo dois segmentos perpendiculares ao eixo S. (b) No diagrama T - S, a ´area sob o segmento de reta ab fornece H e sob o segmento cd, fornece C: H ©lb y£¥£  i b £ Yv £ £ ¢¤£i~†”'  © )¥£¥£ J (c) Calculando C: C ©lb ) % £  i b £ ¢ £ Yv it†ˆ'  © ¢P) % J E, finalmente, o trabalho realizado pelo sistema ´e: ˜ © H 8 C © )0£¥£ ¢P) % © g % J P-25. Numa m´aquina de Carnot de dois est´agios, uma quantidade r de calor ´e absorvida `a temperatura ! r , o trabalho ˜ r ´e feito e uma quantidade u ´e rejeitada `a temperatura ! u pelo primeiro est´agio. O segundo est´agio absorve o calor rejeitado pelo primeiro, realiza um trabalho ˜ u , e rejeita uma quantidade de calor U `a temperatura ! U . Prove que a eficiˆencia desta combinac¸˜ao ´e €0‚ S €ƒ…„ € ‚ . ¡ Para o primeiro est´agio da m´aquina pode-se escrever, de acordo com a equac¸˜ao (22-11), r u © ! u ! r Para o segundo est´agio, igualmente, U u © ! U! u Essas relac¸˜oes permitem vincular r e U atrav´es de u : U © ! U! u ! u ! r r http://www.if.ufrgs.br/  jgallas P´agina 6 de 14
  7. 7. LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, `as 4:49 a.m. U © ! U! r r O rendimento da m´aquina ´e ent˜ao expresso por ¨© ¢ U r que ´e equivalente a ¨o© ¢ ! U! r ou seja, o rendimento da m´aquina ´e func¸˜ao das temperaturas extremas entre as quais opera o ciclo. P-30. Um mol de um g´as ideal monoatˆomico ´e usado para realizar trabalho em uma m´aquina que opera seguindo o ciclo mostrado na Fig. 22-21. Suponha que 1 © ) 1 2 , © ) 2 , 1 2 © ¢ £ˆ¢ Qq¢P£¥ƒ Pa, e 2 © £ £)¥) % mU . Calcule (a) o trabalho realizado por ciclo; (b) o calor adicionado por ciclo durante o trecho de expans˜ao abc, e (c) a eficiˆencia da m´aquina. (d) Qual a eficiˆencia de Carnot de uma m´aquina operando entre as temperaturas mais alta e mais baixa que ocorrem neste ciclo? Compare esta eficiˆencia com aquela calculada em (c). ¡ (a) O trabalho l´ıquido produzido por ciclo ´e igual `a ´area do diagrama p - V da fig. 22-21. Calculando os trabalhos correspondentes `a expans˜ao e `a compress˜ao, vem ˜ bc © ) 1 2 b )¥ 2 2 i © ) 1 2 2 © y % y % J ˜ da © 1 2 b 2 )¥ 2 i © 1 2 2 © )¥)g0) % J ˜ ciclo © y % y % ))g¥) % © ))g¥) % J (b) No processo ab, ˜ © £ e © 9‘h int ©cBed V 9 ! . As temperaturas nos estados inicial e final deste processo s˜ao: ! a © 1 2 2 BDC © )g xˆwxx K ! b © ) 1 2 2 BDC © % y vpYv g K ab ©–b ¢ £†gF‰ E i b x ) i b’W Yx ¢¤y“†”'gF‰ E  i b % y vpwv g )g xˆwxx i  © x y£ W g0£ J bc ©jB4d P b ! c ! b i ! c © ! b c b © ¢P£ n xˆwx ) K bc ©–b ¢ £†gF‰ E i b % ) i b…W wx ¢€y“†”'8gG‰ E  i b ¢P£ n xpwx ) % y vˆwv g0i  © ¢¢ x¥v ) Yx £ J H © ab m bc © x y£ W g8£ m ¢¢ xv ) Yx £ © ¢€yTg¥gT¢ J (c) A eficiˆencia da m´aquina pode ser calculada por ¨©‡ ˜ H © ))g¥) % ¢¤y§g¥gT¢ © £ ¢ % y (d) A eficiˆencia da m´aquina ideal de Carnot operando entre as mesmas temperaturas extremas seria: ¨ Carnot © ¢ ! H ! C © ¢ )g xˆwxx ¢P£ n xpwx ) © £ g % http://www.if.ufrgs.br/  jgallas P´agina 7 de 14
  8. 8. LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, `as 4:49 a.m. Comparado o rendimento da m´aquina com o da m´aquina ideal, tem-se ¨ ¨ Carnot © £ ¢ % y £ g % © £ )¥£ % O rendimento da m´aquina ´e de )0£ % £§¦ do da m´aquina ideal. P-36. Um inventor afirma ter criado quatro m´aquinas, todas operando entre y££ K e x £¥£ K. As caracter´ısticas de cada m´aquina, por ciclo, s˜ao as seguintes: m´aquina (a), H © )0£¥£ J, C © ¢g % J, ˜ © y£ J; m´aquina (b), H © % ££ J, C © )¥£¥£ J, ˜ © y£¥£ J; m´aquina (c), H © v £¥£ J, C © )0££ J, ˜ © y£¥£ J; m´aquina (d), H © ¢¤£¥£ J, C © n £ J, ˜ © ¢P£ J. Usando a primeira e a segunda leis da termodinˆamica, verifique para cada m´aquina se alguma destas leis est´a violada. ¡ (a) Primeira lei da termodinˆamica: 9‘h int © ˆ ˜ © H C © )0£¥£ ¢g % © ) % J 9ih int © ) % y£ © ¢ % J Como 9ih int ‰ © £ , est´a violada a primeira lei. Para verificar a segunda lei, calcula-se o rendimento da m´aquina para ser comparado ao rendimento da m´aquina ideal de Carnot operando entre as mesmas temperaturas: ¨ m´aq. ©‡ ˜ H © y£ )0£¥£ © £ ) ¨ Carnot © ! H ! C ! H © y££ x £¥£ y£¥£ © £ ) % Como ¨ m´aq. Š ¨ Carnot, a segunda lei n˜ao est´a violada. (b) © H 8 C © x ££ J 9‘h int © x ££ y£¥£ © ¢P£¥£ J Como 9‘h int ‰ © £ , esta m´aquina tamb´em viola a primeira lei. ¨ m´aq. ©‡ ˜ H © y£¥£ % £¥£ © £ W Sendo ¨ m´aq. ‹ ¨ Carnot, tamb´em est´a violada a segunda lei. (c) © H 8 C © v £¥£ )0£¥£ © y£¥£ J 9ih int © y£¥£ y£¥£ © £ ¨ m´aq. ©Œ ˜ H © y£¥£ v £¥£ © £ wv g Esta m´aquina est´a de acordo com a primeira lei, mas viola a segunda, uma vez que ¨ m´aq. ‹ ¨ Carnot. (d) © H 0™ C © ¢¤££ n £ © ¢¤£ J 9‘h int © ¢¤£ ¢¤£ © £ ¨ m´aq. ©Œ ˜ H © ¢¤£ ¢¤£¥£ © £ ¢P£ http://www.if.ufrgs.br/  jgallas P´agina 8 de 14
  9. 9. LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, `as 4:49 a.m. Esta m´aquina est´a de acordo com a primeira e a segunda leis. E-41. Suponha que a mesma quantidade de calor, por exemplo, ) v £ J, ´e transferida por conduc¸˜ao de um reservat´orio a y££ K para outro a (a) ¢P£¥£ K, (b) )0££ K, (c) x ££ K e (d) xv £ K. Calcule a variac¸˜ao de entropia em cada caso. ¡ (a) Se ! C © ¢¤£¥£ K, 9A@ H © H ! H ©Ž ) v £ y£¥£ © £ Yv % J/K 9A@ C © C ! C © ) v £ ¢P£¥£ © ) wv J/K 9A@ © 9‘@ H m 9A@ c © £ wv % m ) Yv © ¢ n % J/K (b) ! C © )0££ K 9A@ C © C ! C © ) v £ )0£¥£ © ¢ wx £ J/K 9‘@ © £ wv % m ¢ wx £ © £ wv % J/K (c) ! C © x ££ K 9A@ C © C ! c © ) v £ x £¥£ © £ W g J/K 9A@ © £ wv % m £ W g © £ )¥) J/K (d) ! C © x¥v £ K 9A@ c © c ! C © ) v £ x¥v £ © £ g0) J/K 9A@ © £ wv % m £ g0) © £ £g J/K P-44. Um cubo de gelo de ¢P£ g a ¢¤£ 2 C ´e colocado num lago que est´a a ¢ %e2 C. Calcule a variac¸˜ao de entropia do sistema quando o cubo de gelo atingir o equil´ıbrio t´ermico com o lago. O calor espec´ıfico do gelo ´e £ % £ cal/g. 2 C. ( Sugest˜ao: O cubo de gelo afetar´a a temperatura do lago?) ¡ ´E claro que o cubo de gelo n˜ao afeta a temperatura do lago. O gelo vai absorver calor para derreter e ter sua temperatura final elevada at´e ¢ %e2 C. Nessa transferˆencia de calor, a variac¸˜ao de entropia do lago ser´a negativa e a do gelo, positiva. Comec¸ando a calcular as variac¸˜oes de entropia do gelo, tem-se: 9A@ gelo © gxe €0‘ €’”“ ! ! ©–b ¢¤£†•Ti b £ % £ex€d E 'P•  i E B )g x ) v¥x © £ ¢ n cal/K 9A@ gelo © g—– F ! © b ¢¤£˜•pi b…W £exyd E 'P•pi )g x  © ) n x cal/K 9A@ ´agua © gˆx ´agua  € ‘ €’ “ ! ! ©–b ¢P£˜•Ti b ¢ £exyd E 'P•  i E B ) W¥W )g x © £ % y cal/K O calor cedido pelo lago para levar o gelo ao seu estado final de equil´ıbrio ´e: lago ©lb ¢P£˜•Ti€™ b £ % £exyd E 'P•  i b ¢P£  i m W £—xyd E 'P• m b ¢ £exyd E 'P•  i b ¢ %  ihš © ¢¤££¥£ cal A variac¸˜ao de entropia do lago vai ser: 9A@ lago ©Ž ¢P£¥££exyd E ) WW  © xp yTg cal/K http://www.if.ufrgs.br/  jgallas P´agina 9 de 14
  10. 10. LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, `as 4:49 a.m. A variac¸˜ao de entropia do sistema ´e, ent˜ao, 9‘@ sistema © £ ¢ n m ) n x m £ % y © xpYv¥v cal/K J´a a variac¸˜ao de entropia do {€›œ{¤f ¨ gGd m dgž~› ¨PB f ¨ ´e: 9A@ © xp y§g m xˆwvv © £ ¢ n cal/K P-48. Um mol de um g´as ideal monoatˆomico evolui de um estado inicial `a press˜ao p e volume V at´e um estado final `a press˜ao ) 1 e volume )¥ , atrav´es de dois diferentes processos. (I) Ele expande isotermicamente at´e dobrar o vo- lume e, ent˜ao, sua press˜ao aumenta a volume constante at´e o estado final. (II) Ele ´e comprimido isotermicamente at´e duplicar a press˜ao e, ent˜ao, seu volume aumenta isobaricamente at´e o estado final. Mostre a trajet´oria de cada processo num diagrama p-V. Para cada processo calcule, em func¸˜ao de p e de V: (a) o calor absorvido pelo g´as em cada parte do processo; (b) o trabalho realizado pelo g´as em cada parte do processo; (c) a variac¸˜ao da energia interna do g´as, h int,f h int,i e (d) a variac¸˜ao de entropia do g´as, @ f @ i. ¡ (I) Expans˜ao isot´ermica: 9‘h int © £ e © ˜ ; (a) e (b) ia © ˜ ia ©jC !žE B IŸ ˆ  © 1 E B ) Processo isoc´orico: ˜ © £ e 9‘h int © ; af ©¡d V 9 ! © x ) CAb ! f ! a i ! a © 1 CŽ¢ ! f © y 1 C © y ! a af © x ) CAb y ¢Pi 1 C © n ) 1 (c) 9‘h int,iaf © af © n ) 1 (d) 9A@ ia © ia ! © 1 E B ) ! ©¡C E B ) 9A@ af ©ˆd V  € f € a “ ! ! © x ) C E B y © x C E B ) 9A@ (I) © 9A@ ia m 9A@ af ©lb ¢ m x i C E B ) © y C E B ) (II) Compress˜ao isot´ermica: 9‘h int © £ e © ˜ , (a) e (b) ib © ˜ ib ©¡C !GE B b b © ) ib © ˜ ib © 1 E B ) Expans˜ao isob´arica: bf ©jd P 9 ! © % ) CAb ! f ! b i ) 1 b f u i ! b © ) 1 )¥ ! f ! f © y ! b http://www.if.ufrgs.br/  jgallas P´agina 10 de 14
  11. 11. LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, `as 4:49 a.m. bf © % ) CAb y ¢i 1 C © ¢ % ) 1 ˜ bf © 1 9 © ) 1 b ) £ % £i © x 1 (c) 9‘h int,bf © bf ˜ bf © 5 ¢ % ) v )za 1 © n ) 1 (d) 9A@ ib © C E B ) 9‘@ bf ©jd P  € f € b “ ! ! © % ) C E B y © % C E B ) 9‘@ (II) © 9‘@ ib m 9A@ bf ©cb ¢ m % i C E B ) © y C E B ) Sendo a entropia uma vari´avel de estado, confirma-se que 9A@ (I) © 9A@ (II). P-53. Um mol de um g´as monoatˆomico passa pelo ciclo mostrado na Fig. 22-24. (a) Quanto trabalho ´e realizado quando o g´as se expande de a at´e c pelo caminho abc? (b) Quais as variac¸˜oes de energia interna e entropia de b at´e c? (c) Quais as variac¸˜oes de energia interna e entropia num ciclo completo? Expresse todas as respostas em termos de1 2 , 2 , R e ! 2 . ¡ (a) No caminho abc s´o h´a realizac¸˜ao de trabalho no processo isob´arico ab. ˜ ab ´e igual `a ´area do gr´afico sob o segmento de reta ab: ˜ ab © 1 9 © x 1 2 2 (b) No processo isoc´orico bc, as temperaturas, inicial e final, s˜ao: ! a © 1 2 2 C ! b © ! a y§ 2 2 © y ! a ! c © b y ! a i b ) 1 2 i1 2 ©jW ! a Para a variac¸˜ao da energia interna vem, 9ih int,bc ©Bed V 9 ! ©–b ¢ £i b x ) C i b…W y§i ! a © v C ! a E para a variac¸˜ao de entropia, tem-se 9A@ bc ©jB4d V  € c € b “ ! ! ©jB4d V E B ! c ! b 9A@ bc © x ) C E B ) (c) A variac¸˜ao da energia interna no ciclo deve ser nula. Pode-se confirmar isso calculando-se as variac¸˜oes asso- ciadas aos processos ab e ca e somando-as ao j´a conhecido valor da variac¸˜ao no processo bc: 9‘h int,ab ©Bed V 9 ! ©–b ¢ £i b x ) C i b y ¢i 1 2 2 C © n ) 1 2 2 9‘h int,ca ©Bed V 9 ! ©–b ¢ £i b x ) C i b ¢ W i 1 2 2 C © )T¢ ) 1 2 2 http://www.if.ufrgs.br/  jgallas P´agina 11 de 14
  12. 12. LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, `as 4:49 a.m. 9‘h int,ciclo © 9‘h int,ab m 9‘h int,bc m 9‘h int,ca ©lb n ) m v )T¢ ) i…„ 2 2 © £ Para calcular a variac¸˜ao de entropia no ciclo, tamb´em se precisa calcular a variac¸˜ao correspondente aos processos ab e ca e somar os resultados ao valor j´a obtido para o processo bc. Comec¸ando pelo processo isob´arico ab: 9A@ ab ©jB4d P  € b € a “ ! ! ©–b ¢ £i b % ) C i E B y © % C E B ) Como o processo ca n˜ao ´e nem a press˜ao, nem a volume constante, usam-se dois outros processos que levem o sistema do estado c ao estado a. Considere-se primeiro um processo `a press˜ao constante, ) 1 2 , no qual o volume seja reduzido de y§ 2 a 2 : ! c c © ! d d ! d © W 1 2 2 C 2 y§ 2 © ) 1 2 2 C 9A@ cd ©Bed P  € d € c “ ! ! ©cb ¢ £i b % ) C i E B ¢ y © % C E B ) Agora, considere-se um processo a volume constante, que leve o sistema do estado intermedi´ario d ao estado a: 9A@ da ©Bed V  € a € d “ ! ! ©cb ¢ £i b x ) C i E B ¢ ) © x ) C E B ) E, finalmente, a variac¸˜ao de entropia no ciclo ´e: 9A@ ciclo © 9A@ ab m 9A@ bc m 9A@ cd m 9A@ da ©lb % m x ) % x ) i C E B ) © £ 22.3 Problemas Adicionais P-56. Um mol de um g´as ideal ´e usado em uma m´aquina que opera seguindo o ciclo da Fig. 22-26. BC e DA s˜ao proces- sos adiab´aticos revers´ıveis. (a) O g´as ´e monoatˆomico, diatˆomico ou poliatˆomico? (b) Qual a eficiˆencia da m´aquina? ¡ (a) Considerando o processo adiab´atico BC e tomando os valores inicial e final para a press˜ao e o volume do gr´afico, vem 1 2 b )¥ 2 i 3 © 1 2 x ) b ¢ v 2 i 3 x )£Qž)83¤QFe32 © ¢ v 3e32 )  ƒw¥ 3 „ © )8Y3 % m§¦ © y ¦ e ¦ © % x O g´as ´e, portanto, monoatˆomico. (b) Para obter a eficiˆencia do ciclo, ´e preciso calcular o calor absorvido e o calor liberado. No processo AB tem-se: AB ©Bed P 9 ! Para obter a variac¸˜ao da temperatura neste processo, faz-se ! A © 1 2 2 C http://www.if.ufrgs.br/  jgallas P´agina 12 de 14
  13. 13. LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, `as 4:49 a.m. ! B © 1 2 b ) ! 2 i C © ) ! A AB ©–b ¢ £†gF‰ E i b % ) C i b 1 2 2 C i © % ) 1 2 2 No processo CD tem-se: CD ©™Bed P 9 ! Calculando as variac¸˜oes de temperatura necess´arias, ! B 3 S r B © ! C 3 S r C ) 1 2 2 C b )¥ 2 ih3 S r © ! c b ¢ v 2 iœ3 S r ! C © ¢ ) 1 2 2 C No processo isob´arico CD, vem C ! C © D ! D ! D © ! C D C © 1 2 2 ) C W 2 ¢ v 2 © 1 2 2 y C CD ©cb ¢ £egG‰ E i b % ) C i b 1 2 2 ) C i © % 1 2 2 y A eficiˆencia do ciclo ´e dada por: ¨o© AB 8 CD AB ¨© % '0) % '8y % '0) © £ % P-57. Um mol de um g´as ideal monoatˆomico, inicialmente `a press˜ao de % ££ kN/mu e temperatura de v £¥£ K expande a partir de um volume inicial   © ¢ ££ mU at´e Ÿ © ) £¥£ mU . Durante a expans˜ao, a press˜ao p e o volume do g´as est˜ao relacionados por 1 ©cb % ££‘Q‚¢P£ U i ¨  f ’ S f „’¨ • onde p est´a em kN/mu ,   e Ÿ est˜ao em mU e d © ¢ £¥£ mU . Quais s˜ao: (a) a press˜ao final e (b) a temperatura final do g´as? (c) Qual o trabalho realizado pelo g´as durante a expans˜ao? (d) Qual a variac¸˜ao de entropia do g´as durante a expans˜ao? (Sugest˜ao: use dois processos revers´ıveis simples para achar a variac¸˜ao de entropia.) ¡ (a) Simplesmente substituindo os dados fornecidos na relac¸˜ao dada para a press˜ao em termos do volume, vem 1 b © ) £eg U i ©–b % £AQq¢¤£ U i ¨  rts ©w© S u s ©Y© „ 'T¢ ££ © ¢ W y‘Q‚¢P£ U N/mu (b) Para a temperatura final tem-se: 1     !   © 1 Ÿ Ÿ ! Ÿ ! Ÿ © b ¢ W yAQ‚¢P£¥U$„4dTi b ) ££†gFU€i b % ££‘Q‚¢P£ U „4dTi b ¢ ££†g U i v ££  © yy) K http://www.if.ufrgs.br/  jgallas P´agina 13 de 14
  14. 14. LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, `as 4:49 a.m. Para calcular o trabalho realizado pelo g´as, vem: ˜ ©  1 “ ˜ © 1  — f f ’ ¨  f ’ S f „’¨ • “ ˜ © 1   ¨ f ’’¨ •˜ª d( S f ¨ •P« f f ’ ˜ © 1   d ¨ f ’’¨ • ª ¨ S f ¨ • m ¨ S f ’…¨ • « ˜ ©cb % £¥£‘Q‚¢P£ U i b ¢ ££i ¨ r ª ¨ S u m ¨ S r « ˜ ©cb % ££iQq¢¤£ U i ª ¨ S r m ¢ « © xp ¢ v kJ (d) Para calcular a variac¸˜ao de entropia, consideram-se dois processos sucessivos pelos quais o sistema passa do estado inicial ao final. Comec¸ando por um processo isot´ermico a ! © v £¥£ K, no qual 9‘h int © £ e © ˜ , tem-se ©BDC !FE B ”Ÿ   ©–b ¢ £†gF‰ E i b’W wx ¢¤y“†”'gF‰ E  i b v ££  i E B ) £¥£ ¢ £¥£ © x y % W J 9A@$¬ © ! © % g v J/K Considere-se agora um processo isoc´orico, no qual a press˜ao e a temperatura chegam aos valores finais: ˜ © £ e ©™Bzd V 9 ! 9A@$¬~¬ ©  €0‘ €P’­“ ! ©jBzd V  €0‘ €’”“ ! ! 9A@$¬~¬ ©Bzd V E B ! Ÿ !   ©cb ¢ £†gG‰ E i b x ) C i E B y¥y§) v ££ © xp W ¢ J/K A variac¸˜ao de entropia ´e ent˜ao 9A@ © 9‘@ ¬ m 9A@ ¬~¬ © % g v xp W ¢ © ¢ n % J/K http://www.if.ufrgs.br/  jgallas P´agina 14 de 14

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