PROGRESSÕES ARITMÉTICAS
AO FINAL DESTA AULA SERÁ IMPORTANTE
ENTENDER:
 Conjunto dos números reais.
 O que é uma sequência numérica?
 Como deter...
O QUE É UMA SEQUÊNCIA NUMÉRICA?
São elementos cujos números pertencem ao conjunto
dos números reais, esses elementos estão...
EXEMPLOS
Sequências infinitas:
Sucessão dos números pares (2, 4, 6, 8 ,...)
Sucessão dos números impares (1, 3, 5, 7,...)
...
O QUE É UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA?
É toda sequência numérica na qual, a partir do
segundo, cada termo é igual à soma de se...
DETERMINAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA
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n para todo n lN , e podemos fazê-lo aplic...
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EXEMPLOS
1) (-5, -3, -1, 1, 3, 5, 7,...) é P.A. de razão r = 2.
2) (8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8,...) é P.A. de razão r = 0.
3) ...
AGORA VAMOS ALGUNS EXEMPLOS DE
EXERCÍCIOS
Exemplo 1: Escreva os quatro primeiros termos de uma P.A
sabendo que:
= -3 e r =...
Exemplo 2: Escreva uma P.A. de cinco termos sabendo que:
= e r = 3.
= + r = + 3
= + r = + 6
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FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A.
Determinar o termo geral de uma P.A. é calcular o valor de uma
termo qualquer. Essa fór...
Questão 1: Calcule na P.A.: (2, 5, 8,...)
= + (n – 1). r
= 2 + (20 – 1). 3
= 2 + 19. 3
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Questão 2: Determine a razão, sabendo que = 14 e = 0.
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AGORA TENTE FAZER SOZINHO.
Determine o sexto termo de uma P.A. onde = - 3 e r = 5
 Só para relembrar é o primeiro termo e...
SUBSTITUA NA FÓRMULA OS TERMOS QUE
VOCÊ POSSUI
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r = 5
 n = 6, pois é o sexto termo dessa P.A.
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= + ( n – 1 ). r
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INTERPOLAÇÃO
Agora um outro exercício de P.A. que se chama interpolação.
Este tipo de problema consiste em descobrir a raz...
6 RAZÕES
5 meios
O problema fica resolvido com a determinação da razão da P.A.
Como = - 8 e = 22, então:
= + 6 . r 22 = - ...
Obs: Entre – 8 e 22 existem 6 razões, por isso na montagem
da expressão multiplicamos 6. r.
O número que se multiplica pel...
AGORA TENTE FAZER ESTE EXERCÍCIO.
1 - (FATES) - Interpolar 10 meios aritméticos entre 2 e 57 e
escrever a P. A. correspond...
11 RAZÕES
10 meios
(são 10 termos entre as extremidades que são 2 e 57)
= + 11 . r
57 = 2 + 11 . r
57- 2 = 11r
r = 55/11
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SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A. FINITA
Podemos definir a soma dos termos de uma P.A. finita através
da fórmula:
Onde:
soma dos...
EXEMPLO
Calcule a soma dos doze primeiros termos da P.A. (- 3, -1, 1, 3,
...).
 Neste caso devemos primeiro determinar o ...
Agora podemos utilizar a fórmula de somatória dos termos da
P.A. , já que temos os elementos necessários:
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12.16...
AGORA TENTE FAZER SOZINHO!
2 - (PUC-SP) - Determine uma P.A. sabendo que a
soma de seus 8 primeiros termos é 324 e que = 7...
Solução:
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(2, 13, 24, 35, 46, 57, 68, 79)
Poderemos calcular qualquer termo
das fórmulas ger...
BIBLIOGRAFIA
FACCHINI,Walter. Matemática Volume Único. Editora
Saraiva, 2007.
BACCARO, Nelson. Matemática; 2ºgrau. Editora...
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  1. 1. PROGRESSÕES ARITMÉTICAS
  2. 2. AO FINAL DESTA AULA SERÁ IMPORTANTE ENTENDER:  Conjunto dos números reais.  O que é uma sequência numérica?  Como determinar uma sequência finita ou infinita?  Como determinar os termos de uma sequência?  O que é uma sucessão aritmética e soma dos termos de uma P.A.?
  3. 3. O QUE É UMA SEQUÊNCIA NUMÉRICA? São elementos cujos números pertencem ao conjunto dos números reais, esses elementos estão dispostos em uma certa ordem, um conjunto assim é chamado de sequência numérica. Quando uma sequência tem infinitos termos ela se chamara infinita; caso contrário, é uma sequência finita.
  4. 4. EXEMPLOS Sequências infinitas: Sucessão dos números pares (2, 4, 6, 8 ,...) Sucessão dos números impares (1, 3, 5, 7,...) Sequências finitas: Sucessão dos números (1, 2, 3, 4, 5) Sucessão dos números (10, 20, 30, 40, 50)
  5. 5. O QUE É UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA? É toda sequência numérica na qual, a partir do segundo, cada termo é igual à soma de seu antecessor com uma constante chamada de razão, essa constante é indicada pela letra r.
  6. 6. DETERMINAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA Determinar uma sequência é saber qual a imagem de n para todo n lN , e podemos fazê-lo aplicando a lei de recorrência ou o termo geral. O que é lei de recorrência? É uma lei que permite calcular cada termo da sequência, apartir do termo anterior. ∈ *
  7. 7. É necessário também, para determinação da sequência, que o primeiro termo seja dado. 91811 81711 71611 61511 5: 1 5 55455 44344 33233 22122 1 1 1 =⇒+=⇒+=⇒+= =⇒+=⇒+=⇒+= =⇒+=⇒+=⇒+= =⇒+=⇒+=⇒+= =    += = + AAAAnA AAAAnA AAAAnA AAAAnA ALogo nA A n
  8. 8. Onde : é o primeiro termo. é o segundo termo. é o terceiro termo. é o quarto termo. é o quinto termo. 1A 2A 5 4 3 A A A
  9. 9. EXEMPLOS 1) (-5, -3, -1, 1, 3, 5, 7,...) é P.A. de razão r = 2. 2) (8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8,...) é P.A. de razão r = 0. 3) (20, 16, 12, 8, 4, 0) é P.A. de razão r = -4. Então uma P.A. pode ser: Crescente: quando r é maior que zero (r > 0). Constante: quando r é igual a zero (r = 0). Decrescente: quando r é menor que zero (r < o).
  10. 10. AGORA VAMOS ALGUNS EXEMPLOS DE EXERCÍCIOS Exemplo 1: Escreva os quatro primeiros termos de uma P.A sabendo que: = -3 e r = 4. r = - = + r = -3 + 4 = 1 = + r =1 + 4 = 5 = + r = 5 + 4 = 9 = + r = 9 + 4 = 13 1A 1A2A 2A1A ⇒ 2A 3A 4A 5A 2A ⇒ 3A 3A ⇒ 4A 4A ⇒ 5A
  11. 11. Exemplo 2: Escreva uma P.A. de cinco termos sabendo que: = e r = 3. = + r = + 3 = + r = + 6 = + r = + 9 = + r = + 12 1A 2 2A 3A 4A5A 1A2A 3A4A ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 2A 3A 4A 5A 2 2 2 2
  12. 12. FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A. Determinar o termo geral de uma P.A. é calcular o valor de uma termo qualquer. Essa fórmula permite que encontremos, dados três dos quatro elementos. Sendo: termo geral n números de termos primeiro termo r razão nA nA ⇒ ⇒ 1A ⇒ ⇒
  13. 13. Questão 1: Calcule na P.A.: (2, 5, 8,...) = + (n – 1). r = 2 + (20 – 1). 3 = 2 + 19. 3 = 2 + 54 = 59 20A nA 1A 20A 20A 20A 20A 325 3 20 2 12 1 20 =⇒−=⇒−= = = = = rrAAr onde r n A AAn
  14. 14. Questão 2: Determine a razão, sabendo que = 14 e = 0. = + ( n – 1 ). r = 0 + (8 – 1). r 14 = 0 + 7 . r 14 = 7r r = 14 / 7 r = 2 8A 1A nA 1AnA ? 8 0 14 1 8 = = = == r n A AAn
  15. 15. AGORA TENTE FAZER SOZINHO. Determine o sexto termo de uma P.A. onde = - 3 e r = 5  Só para relembrar é o primeiro termo e r é a razão. 1A 1A
  16. 16. SUBSTITUA NA FÓRMULA OS TERMOS QUE VOCÊ POSSUI = - 3 r = 5  n = 6, pois é o sexto termo dessa P.A. = ? = + ( n – 1 ). r = - 3+ ( 6 – 1 ). 5 = - 3+ 5 . 5 = - 3 + 25 = 22 1A nA nA 1A nA nA nA nA
  17. 17. INTERPOLAÇÃO Agora um outro exercício de P.A. que se chama interpolação. Este tipo de problema consiste em descobrir a razão, para podermos determinar os elementos dessa P.A., onde são dados dois valores (que são as extremidades) e a quantidades de termos que ficam entre essas extremidades, chamamos de interpolar. Exemplo: Faça a interpolação de cinco meios aritméticos entre - 8 e 22. Neste caso devemos descobrir cinco números entre - 8 e 22 que formem juntamente com estes a seguinte P.A.
  18. 18. 6 RAZÕES 5 meios O problema fica resolvido com a determinação da razão da P.A. Como = - 8 e = 22, então: = + 6 . r 22 = - 8 + 6 . r r = 5 Os números procurados são - 3, 2, 7, 12, 17 e a P.A. é (- 8, - 3, 2, 7, 12, 17, 22) ( )22,,,,,,8 65432 AAAAA− ↑ ↑ 1A 7A 1A 7A 7A 1A ⇒ ⇒
  19. 19. Obs: Entre – 8 e 22 existem 6 razões, por isso na montagem da expressão multiplicamos 6. r. O número que se multiplica pela razão irá varias de acordo com a quantidades de termos. 1 2 3 4 5 6 ( )22,,,,,,8 65432 AAAAA−
  20. 20. AGORA TENTE FAZER ESTE EXERCÍCIO. 1 - (FATES) - Interpolar 10 meios aritméticos entre 2 e 57 e escrever a P. A. correspondente com primeiro termo igual a 2. Lembre-se que é preciso determinar a razão!
  21. 21. 11 RAZÕES 10 meios (são 10 termos entre as extremidades que são 2 e 57) = + 11 . r 57 = 2 + 11 . r 57- 2 = 11r r = 55/11 r = 5 ( )57,,,,,,,,,,,2 111098765432 AAAAAAAAAA ↑ ↑ 1A 12A 12A 1A
  22. 22. SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A. FINITA Podemos definir a soma dos termos de uma P.A. finita através da fórmula: Onde: soma dos termos de uma P.A. finita primeiro termo termo geral n número de termos 2 ).( 1 nAA S n n + = nS ⇒ 1A ⇒ nA ⇒ ⇒
  23. 23. EXEMPLO Calcule a soma dos doze primeiros termos da P.A. (- 3, -1, 1, 3, ...).  Neste caso devemos primeiro determinar o valor de através da fórmula do termo geral. r = - r = (-1) – (-3) r = 2 nA rnAAn ).1(1 −+= 2A 1A 19 223 2).112(3 ).1(1 = +−= −+−= −+= n n n n A A A rnAA
  24. 24. Agora podemos utilizar a fórmula de somatória dos termos da P.A. , já que temos os elementos necessários: 96 2 192 2 12.16 2 12).193( 2 ).( 1 ⇒= = +− = + = n n n n n S S S nAA S 19=nA 31 −=A 12=n
  25. 25. AGORA TENTE FAZER SOZINHO! 2 - (PUC-SP) - Determine uma P.A. sabendo que a soma de seus 8 primeiros termos é 324 e que = 79. 8A
  26. 26. Solução: 2 8 16 8632648 )6328(648 )6328(2.324 2 8).79( 324 2 ).( 1 1 1 1 1 1 ⇒= =− += += + = + = A A A A A nAA S n n 11 7/77 777 7279 ).18(279 ).1(1 = = = += −+= −+= r r r r r rnAAn
  27. 27. SENDO ASSIM OS ELEMENTOS DESSA P.A, SÃO (2, 13, 24, 35, 46, 57, 68, 79) Poderemos calcular qualquer termo das fórmulas gerais desde de que sejam conhecidos três desses quatro valores!
  28. 28. BIBLIOGRAFIA FACCHINI,Walter. Matemática Volume Único. Editora Saraiva, 2007. BACCARO, Nelson. Matemática; 2ºgrau. Editora Ática,1995.

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