Análise Combinatória
Objetivos da aula• Princípio Fundamental da Contagem• Arranjo Simples• Permutações: simples e com repetição• Combinação si...
Princípio Fundamental daContagemVamos imaginar o caso de uma montadorade carros que dispõe de 5 cores (preto,vinho, azul, ...
Temos 15diferentes tipos decarro.
AnáliseCombinatóriaPrincípio Fundamentalda contagemEvento que dependede evento anterior
Tente fazer sozinho1) Se jogarmos uma moedapara o alto 3 vezes, quantassequências diferentespodemos obter?
Tente fazer sozinho1) Se jogarmos uma moedapara o alto 3 vezes, quantassequências diferentespodemos obter?
SoluçãoLogo, temos 8 resultados diferentes
Fatorial de um númeronaturalRepresentamos o fatorial de umnúmero colocando um ponto deexclamação depois desse número (n!)E...
Cálculo do FatorialO fatorial de um número natural n édado pelo seguinte produto:n! = n . (n-1) . (n-2) . (n-3). ... . 2.1...
O fatorial de zeroé igual a 10! = 1
Tente fazer sozinho2) Calcule:!6!15!3!17
Solucão15344.5.616.17!3.4.5.6!.15!3.15.16.17!3.4.5.6!.15!3!.15.16.17!6!15!3!17====
Tente fazer sozinho3) (UEMG) Simplificando a expressão, obtemos:( )( )!2!1!+++nnn1111)1)−+−− nnd)nnc)nbnna
SoluçãoLetra D( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) 11!122!!122!!1211!!12!1!!2!1!+=+++=+++=++++=++++=+++nnnnnnnnnnnnn...
Arranjo SimplesO arranjo simples acontece quandofazemos qualquer agrupamento com todosou alguns elementos de um conjunto, ...
Sendo:n  número total de elementos do conjuntop  quantidade de algarismos pedida( )!!pnnApn−=( )60!3!3.4.5.6!3!6!36!636=...
AnáliseCombinatóriaPrincípio Fundamentalda contagemArranjoSimplesDefiniçãoFórmulaAgrupamento de pelomenos 2 elementosImpor...
Tente fazer sozinho4) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8e 9.a)Quantos números de 3 algarismos distintospodemos...
Tente fazer sozinho4) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8e 9.a) Quantos números de 3 algarismos distintospodemo...
Soluçãoa) = 504b) = 336c) = 8409 8 78 7 6 17 6 5 41 1783
PermutaçãoA permutação é um caso particular doarranjo simples, pois acontece quandoagrupamos todos os elementos do conjunt...
Permutação SimplesA permutação simples acontece quandofazemos qualquer agrupamento com todosos elementos de um conjunto.Ex...
Permutação SimplesPara calcular o número total deanagramas, podemos seguir o seguinteraciocínio:= 24Também podemos usar a ...
Tente fazer sozinho5) (UF Pel. – RS Adaptado) Tomando comobase a palavra UFPEL, resolva asseguintes questões:a)Quantos ana...
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Soluçãoa) = 120b) = 12c) = 6 ; 6 .4 = 24= 2 ;2 x 24 = 481 3 2 14 3 2 153 2 1 12UF2 1
Tente fazer sozinho6) (UNIRIO) Uma família formada por 3 adultose 2 crianças vai viajar, sendo 2 na frente e 3atrás. Saben...
Tente fazer sozinho6) (UNIRIO) Uma família formada por 3 adultose 2 crianças vai viajar, sendo 2 na frente e 3atrás. Saben...
Solução= 82 2 2 1 1bancosda frentebancosde trásjanelascaronamotorista
Permutação com RepetiçãoCaso o conjunto dado apresenteelementos repetidos, usaremos a seguintefórmula:Sendo:n  o número t...
Permutação com RepetiçãoExemplo: A palavra ARARAQUARA apresentaum total de 10 letras, sendo 5A, 3R, 1Q e 1U50402.3!5!5.6.7...
Tente fazer sozinho7) Apresente a quantidadede anagramas da palavraMISSISSIPI.
Tente fazer sozinho7) Apresente a quantidadede anagramas da palavraMISSISSIPI.
SoluçãoMISSISSIPI: 10 letras, sendo1M, 4I, 4S, 1P63002.3.4!4!4.5.6.7.8.9.102.3.4!4!4.5.6.7.8.9.10!4!4!104,410====P
AnáliseCombinatóriaPrincípio Fundamentalda contagemArranjoSimplesDefiniçãoFórmulaAgrupamento de pelomenos 2 elementosImpor...
ArranjoSimplesDefiniçãoFórmulaAgrupamento de pelo menos 2 elementosImporta a ordemPermutaçãoDefiniçãoTiposComrepetiçãosimp...
Combinação SimplesA combinação simples acontecequando agrupamos uma quantidade p deelementos de um conjunto com n elemento...
Combinação SimplesPara resolver problemas que ocorrem acombinação simples, usaremos a fórmula:Exemplo: Se devemos sortear ...
Tente fazer sozinho8) (UERJ)Sete diferentes figuras foram criadas parailustrar, em grupo de 4 distintas, o Manual doCandid...
Tente fazer sozinho8) (UERJ)Sete diferentes figuras foram criadas parailustrar, em grupo de 4 distintas, o Manual doCandid...
Solução( )352.3!4!4.5.6.7!3!4!7!47!4!747====−=C
Tente fazer sozinho9) (IME-RJ) Com 10 espécies de frutas,quantos copos de salada, contendo 6espécies diferentes, podem ser...
Tente fazer sozinho9) (IME-RJ) Com 10 espécies de frutas,quantos copos de salada, contendo 6espécies diferentes, podem ser...
Solução( )2102.3.4!6!6.7.8.9.10!4!6!10!610!6!10610====−=C
AnáliseCombinatóriaPrincípio Fundamentalda contagemArranjoSimplesDefiniçãoFórmulaCombinaçãoSimplesDefiniçãoFórmulaAgrupame...
Bibliografia• http://www.colegioweb.com.br/matematica/principio-fun• http://matematica-online-clc.blogspot.com/2009/07/ana...
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  1. 1. Análise Combinatória
  2. 2. Objetivos da aula• Princípio Fundamental da Contagem• Arranjo Simples• Permutações: simples e com repetição• Combinação simples
  3. 3. Princípio Fundamental daContagemVamos imaginar o caso de uma montadorade carros que dispõe de 5 cores (preto,vinho, azul, vermelho e prata) para fabricar3 modelos de carros diferentes (Sapoti, Figoe Amora).Para saber quantos tipos de carrosdiferentes podem ser fabricados, bastacruzar cada cor, com cada tipo de carro.Usando o esquema a seguir fica mais fácil!
  4. 4. Temos 15diferentes tipos decarro.
  5. 5. AnáliseCombinatóriaPrincípio Fundamentalda contagemEvento que dependede evento anterior
  6. 6. Tente fazer sozinho1) Se jogarmos uma moedapara o alto 3 vezes, quantassequências diferentespodemos obter?
  7. 7. Tente fazer sozinho1) Se jogarmos uma moedapara o alto 3 vezes, quantassequências diferentespodemos obter?
  8. 8. SoluçãoLogo, temos 8 resultados diferentes
  9. 9. Fatorial de um númeronaturalRepresentamos o fatorial de umnúmero colocando um ponto deexclamação depois desse número (n!)Exemplos:4! 7! 20!
  10. 10. Cálculo do FatorialO fatorial de um número natural n édado pelo seguinte produto:n! = n . (n-1) . (n-2) . (n-3). ... . 2.1Exemplos:• 4! = 4.3.2.1 = 24• 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1= 3628800
  11. 11. O fatorial de zeroé igual a 10! = 1
  12. 12. Tente fazer sozinho2) Calcule:!6!15!3!17
  13. 13. Solucão15344.5.616.17!3.4.5.6!.15!3.15.16.17!3.4.5.6!.15!3!.15.16.17!6!15!3!17====
  14. 14. Tente fazer sozinho3) (UEMG) Simplificando a expressão, obtemos:( )( )!2!1!+++nnn1111)1)−+−− nnd)nnc)nbnna
  15. 15. SoluçãoLetra D( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) 11!122!!122!!1211!!12!1!!2!1!+=+++=+++=++++=++++=+++nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
  16. 16. Arranjo SimplesO arranjo simples acontece quandofazemos qualquer agrupamento com todosou alguns elementos de um conjunto, cujaordem dos elementos é considerada.Exemplo: Quantos números de 3 algarismosdistintos podemos formar com os algarismos2, 3, 4, 5 e 6.= 60 números5 4 3
  17. 17. Sendo:n  número total de elementos do conjuntop  quantidade de algarismos pedida( )!!pnnApn−=( )60!3!3.4.5.6!3!6!36!636===−=ATambém podemos usar a fórmula dearranjo simples:
  18. 18. AnáliseCombinatóriaPrincípio Fundamentalda contagemArranjoSimplesDefiniçãoFórmulaAgrupamento de pelomenos 2 elementosImporta a ordemEvento que dependede evento anterior( )!!pnnApn−=
  19. 19. Tente fazer sozinho4) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8e 9.a)Quantos números de 3 algarismos distintospodemos escrever?b)Quantos números de 4 algarismos distintosque terminem com 7 podemos escrever?c) Quantos números de 7 algarismos distintosque iniciem com 3 e terminem com 8podemos escrever?
  20. 20. Tente fazer sozinho4) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8e 9.a) Quantos números de 3 algarismos distintospodemos escrever?b) Quantos números de 4 algarismos distintosque terminem com 7 podemos escrever?c) Quantos números de 7 algarismos distintosque iniciem com 3 e terminem com 8podemos escrever?
  21. 21. Soluçãoa) = 504b) = 336c) = 8409 8 78 7 6 17 6 5 41 1783
  22. 22. PermutaçãoA permutação é um caso particular doarranjo simples, pois acontece quandoagrupamos todos os elementos do conjuntodado.Exemplo: dados 1, 2, 3, 4, 5, se queremosformar números de 3 algarismos, temos umcaso de arranjo. Se queremos formarnúmeros de 5 algarismos, temos um caso dearranjo, particularmente, a permutação.
  23. 23. Permutação SimplesA permutação simples acontece quandofazemos qualquer agrupamento com todosos elementos de um conjunto.Exemplo:A palavra AMOR apresenta 4 letras e comelas, podemos formar alguns anagramas:ROMA – MORA – ROAM - ARMO
  24. 24. Permutação SimplesPara calcular o número total deanagramas, podemos seguir o seguinteraciocínio:= 24Também podemos usar a fórmula depermutação simples: Pn = n!P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 244 3 2 1
  25. 25. Tente fazer sozinho5) (UF Pel. – RS Adaptado) Tomando comobase a palavra UFPEL, resolva asseguintes questões:a)Quantos anagramas podemos formar?b)Quantos anagramas podemos formar, demodo que comece e termine com vogal?c)Quantos anagramas podemos formar, demodo que as letras UF apareçam semprejuntas?
  26. 26. Tente fazer sozinho5) (UF Pel. – RS Adaptado) Tomando comobase a palavra UFPEL, resolva asseguintes questões:a)Quantos anagramas podemos formar?b)Quantos anagramas podemos formar, demodo que comece e termine com vogal?c)Quantos anagramas podemos formar, demodo que as letras UF apareçam semprejuntas?
  27. 27. Soluçãoa) = 120b) = 12c) = 6 ; 6 .4 = 24= 2 ;2 x 24 = 481 3 2 14 3 2 153 2 1 12UF2 1
  28. 28. Tente fazer sozinho6) (UNIRIO) Uma família formada por 3 adultose 2 crianças vai viajar, sendo 2 na frente e 3atrás. Sabendo-se que apenas 2 pessoaspodem dirigir e que as crianças devem ir atráse na janela, o número total de maneirasdiferentes através das quais estas 5 pessoaspodem ser posicionadas, não permitindo ascrianças irem no colo de ninguém, é igual a:a) 120 b) 96 c) 48 d) 24 e) 8
  29. 29. Tente fazer sozinho6) (UNIRIO) Uma família formada por 3 adultose 2 crianças vai viajar, sendo 2 na frente e 3atrás. Sabendo-se que apenas 2 pessoaspodem dirigir e que as crianças devem ir atráse na janela, o número total de maneirasdiferentes através das quais estas 5 pessoaspodem ser posicionadas, não permitindo ascrianças irem no colo de ninguém, é igual a:a) 120 b) 96 c) 48 d) 24 e) 8
  30. 30. Solução= 82 2 2 1 1bancosda frentebancosde trásjanelascaronamotorista
  31. 31. Permutação com RepetiçãoCaso o conjunto dado apresenteelementos repetidos, usaremos a seguintefórmula:Sendo:n  o número total de elementosα, β, γ  número que indica a quantidadesde elementos repetidos de cada tipo.!!!!,,γβαγβα nPn=
  32. 32. Permutação com RepetiçãoExemplo: A palavra ARARAQUARA apresentaum total de 10 letras, sendo 5A, 3R, 1Q e 1U50402.3!5!5.6.7.8.9.102.3!5!5.6.7.8.9.10!3!5!103,510====P
  33. 33. Tente fazer sozinho7) Apresente a quantidadede anagramas da palavraMISSISSIPI.
  34. 34. Tente fazer sozinho7) Apresente a quantidadede anagramas da palavraMISSISSIPI.
  35. 35. SoluçãoMISSISSIPI: 10 letras, sendo1M, 4I, 4S, 1P63002.3.4!4!4.5.6.7.8.9.102.3.4!4!4.5.6.7.8.9.10!4!4!104,410====P
  36. 36. AnáliseCombinatóriaPrincípio Fundamentalda contagemArranjoSimplesDefiniçãoFórmulaAgrupamento de pelomenos 2 elementosImporta a ordemCasoParticular PermutaçãoEvento que dependede evento anterior( )!!pnnApn−=
  37. 37. ArranjoSimplesDefiniçãoFórmulaAgrupamento de pelo menos 2 elementosImporta a ordemPermutaçãoDefiniçãoTiposComrepetiçãosimplesAgrupamento de todoselementos dadosP!CasoParticularcaracterística( )!!pnnApn−=!!!!,,γβαγβα nPn=
  38. 38. Combinação SimplesA combinação simples acontecequando agrupamos uma quantidade p deelementos de um conjunto com n elementos,sem importar a ordem que esses elementossão escolhidos.Exemplo: Se devemos sortear 3 pessoasdentre as 5 que se candidataram a umaviagem, não importa a ordem que as 3 serãoescolhidas, pois todas as 3 irão da mesmaforma.
  39. 39. Combinação SimplesPara resolver problemas que ocorrem acombinação simples, usaremos a fórmula:Exemplo: Se devemos sortear 3 pessoasdentre 5.( )!!!pnpnCpn−=( )102!3!3.4.52!3!3.4.5!2!3!5!35!3!535====−=C
  40. 40. Tente fazer sozinho8) (UERJ)Sete diferentes figuras foram criadas parailustrar, em grupo de 4 distintas, o Manual doCandidato do Vestibular Estadual de 2007. Umdesses grupos está apresentado a seguir:Considere que cada grupo de 4 figuras quepoderia ser formado é distinto de outro somentequando pelo menos uma de suas figuras fordiferente. Nesse caso, o número total de gruposdistintos entre si que poderiam ser formados parailustrar o Manual do Candidato é igual a:
  41. 41. Tente fazer sozinho8) (UERJ)Sete diferentes figuras foram criadas parailustrar, em grupo de 4 distintas, o Manual doCandidato do Vestibular Estadual de 2007. Umdesses grupos está apresentado a seguir:Considere que cada grupo de 4 figuras quepoderia ser formado é distinto de outro somentequando pelo menos uma de suas figuras fordiferente. Nesse caso, o número total de gruposdistintos entre si que poderiam ser formados parailustrar o Manual do Candidato é igual a:
  42. 42. Solução( )352.3!4!4.5.6.7!3!4!7!47!4!747====−=C
  43. 43. Tente fazer sozinho9) (IME-RJ) Com 10 espécies de frutas,quantos copos de salada, contendo 6espécies diferentes, podem ser feitos?
  44. 44. Tente fazer sozinho9) (IME-RJ) Com 10 espécies de frutas,quantos copos de salada, contendo 6espécies diferentes, podem ser feitos?
  45. 45. Solução( )2102.3.4!6!6.7.8.9.10!4!6!10!610!6!10610====−=C
  46. 46. AnáliseCombinatóriaPrincípio Fundamentalda contagemArranjoSimplesDefiniçãoFórmulaCombinaçãoSimplesDefiniçãoFórmulaAgrupamento de pelomenos 2 elementosImporta a ordem( )!!pnnApn−=( )!!!pnpnCpn−=CasoParticular PermutaçãoAgrupamento de pelomenos 2 elementosImporta a ordemEvento que dependede evento anterior
  47. 47. Bibliografia• http://www.colegioweb.com.br/matematica/principio-fun• http://matematica-online-clc.blogspot.com/2009/07/ana• Dante, Luiz Roberto: Matemática Contexto &Aplicações 2 – Ensino Médio, Editora Ática – 3ªedição. Págs: 308 a 325

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