Ciclo Trigonométrico eCiclo Trigonométrico eRazões TrigonométricasRazões Trigonométricas
ConceitosConceitosanterioresanteriores
Círculo TrigonométricoCírculo TrigonométricoOO ciclo trigonométricociclo trigonométrico é representado por umé representad...
xxyyº180º90º270º0º360Procuramos a localização de um ângulo, emordem crescente, no sentido anti-horário.
O que significa aO que significa arepresentação de umrepresentação de um ânguloângulonegativonegativo??Significa que aSign...
Determinação de quadrantesDeterminação de quadrantesAsAs retasretas xx ee yy dividemdividem oo círculocírculo trigonométri...
CicloCicloTrigonométricoTrigonométricocírculocírculo r = 1r = 1PropriedadePropriedadess4 quadrantes4 quadrantessentidosent...
Unidades de medidas de umUnidades de medidas de umânguloângulo GrauGrauExemplos: 30º, 60º, 180ºExemplos: 30º, 60º, 180ºra...
Como passar de grau paraComo passar de grau pararadiano?radiano?xxyyπ≅º1802º90π≅23º270π≅π2º360 ≅Basta fazer umaBasta fazer...
Exemplo:Exemplo:Passar 30º para radianos.Passar 30º para radianos.π º180º30x6º180º3030º180πππ===xx630ºLogo,π≅
Como passar de radiano paraComo passar de radiano paragrau?grau?Ou fazemos umaOu fazemos uma regra de trêsregra de três, o...
unidadeunidaderadianoradiano radradgraugrau ººCicloCicloTrigonométricoTrigonométricocírculocírculo r = 1r = 1PropriedadePr...
ExercícioExercício1) Apresente o quadrante onde estão localizados1) Apresente o quadrante onde estão localizadosos seguint...
SoluçãoSoluçãoquadrante1º280º-c)quadrante3º252º5180.757b)quadrante2º138ºa)⇒⇒=⇒⇒πxxyyº180º90º270º0º360º13857πº280−
Arcos ou Ângulos CôngruosArcos ou Ângulos Côngruos(Congruentes)(Congruentes)Ângulos côngruosÂngulos côngruos sãosão ângulo...
OsOs ângulos côngruosângulos côngruos que distam 60ºque distam 60ºdo ângulo de 0º, são:do ângulo de 0º, são:ouou...º780º42...
Fórmula GeralFórmula GeralPara medidas emPara medidas em grausgraus..Para medidas emPara medidas em radianosradianos..KK ...
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Menor DeterminaçãoMenor DeterminaçãoPositivaPositivaMenor determinação positivaMenor determinação positiva é oé o ânguloân...
ParaPara calcular a MDPcalcular a MDP de umde umângulo, bastaângulo, bastadividirdividir esse ânguloesse ângulo por 360ºpo...
Menor determinaçãoMenor determinaçãonegativanegativaMDN = MDP – 360ºMDN = MDP – 360ºExemplo:Exemplo:Menor determinação neg...
ExercícioExercício2) Apresente a fórmula geral, em graus,2) Apresente a fórmula geral, em graus,dos arcos côngruos a :dos ...
SoluçãoSoluçãoº12605180.35535==π12601260 36036033180180º180º.360 +⇒ K
Lembrando:Lembrando:
Seno de um arcoSeno de um arco1OyMxMxhipotenusaopostocatetosena ====sensen
Dependendo do quadrante, oDependendo do quadrante, osinalsinal dodo senosenopode serpode ser positivo ou negativopositivo ...
Exemplo 1: 30º , 150º , 210º , 330ºExemplo 1: 30º , 150º , 210º , 330º21º30 =sen21º150 =sen21º210 −=sen21º330 −=sen30º30º1...
Exemplo 2: 45º , 135º , 225º , 315ºExemplo 2: 45º , 135º , 225º , 315º22º45 =sen22º135 =sen22º225 −=sen22º315 −=sen45º45º1...
sensen60º60º120º120º240º240º 300º300ºExemplo 3: 60º , 120º , 240º , 300ºExemplo 3: 60º , 120º , 240º , 300º23º60 =sen23º12...
ExercícioExercício3) (EEAR-SP) O seno de é igual a:3) (EEAR-SP) O seno de é igual a:9122π94sen-d)95sen-c)94senb)95sena)ππππ
SoluçãoSolução280º2440ºMDPº24409180.1229122===πxxyyº180º90º270º0º360º280º809180.494º1009180.595====ππ24402440 360360662802...
Cosseno de um arcoCosseno de um arco1cos OxOxhipotenusaadjacentecatetoa ===coscos
Dependendo do quadrante, oDependendo do quadrante, o sinalsinal dodocossenocossenotambém pode sertambém pode ser positivo ...
Exemplo 1: 30º , 150º , 210º , 330ºExemplo 1: 30º , 150º , 210º , 330º23º30cos =23º150cos −=23º210cos −=23º330cos =30º30º1...
Exemplo 2: 45º , 135º , 225º , 315ºExemplo 2: 45º , 135º , 225º , 315º22º45cos =22º135cos −=22º225cos −=22º315cos =45º45º1...
Exemplo 3: 60º , 120º , 240º , 300ºExemplo 3: 60º , 120º , 240º , 300º21º60cos =21º120cos −=21º240cos −=21º300cos =sensen6...
Importante saber!Importante saber!xxyyπ≅º1802º90π≅23º270π≅π2º360 ≅10ºcos00ºsen==0270ºcos1-270ºsen==1180ºcos0180ºsen−==090º...
ExercícioExercício23e)213d)0c)3-b)2-a):aigualé629cos3720ºsensomaASE)-(Unit4)+−+π
SoluçãoSolução2360ºsen120ºsen ==⇒º8706180.29629==πcletra02323629cos3720ºsen ⇒=−=+π37203720 3603601010120120870870 36036022...
ExercícioExercício324e)24-3d)423c)23-4b)423a):éº3015cos2-m1msentençaasatisfazquemrealnúmeroOCE)-(Unifor5)+−+=+
SoluçãoSolução22-45ºcos-135ºcos ==⇒( )( )c.Letra423282624424224222222222−=−==−−++−==−−++−=mmm30153015 36036088135135( )222...
Tangente de um arcoTangente de um arcoadjacentecatetoopostocatetoaasentga ==cosxxyysen +sen +cos +cos +tg +tg +sen -sen -c...
ExercícioExercíciox?cosovalequanto,1,5xtgequadrante1ºdoénãoxSe6)=
SoluçãoSolução⇒==10151,5xtg1313213.51310131313510cos13510cos====xx135325100225101522222==+=⇒+=yyyyxx15151010yy
Cotangente de um arcoCotangente de um arcoasenacosatg1acotg ==34−=xtgExemplo:Exemplo:Sendo um arco x do 2º quadrante. Se ,...
Exemplo:Exemplo:Sendo um arco x do 3º quadrante. Se ,Sendo um arco x do 3º quadrante. Se ,entãoentãoSecante de um arcoSeca...
Exemplo:Exemplo:Sendo um arco x do 4º quadrante. Se ,Sendo um arco x do 4º quadrante. Se ,entãoentãoCossecante de um arcoC...
cosseccossecRazõesRazõesTrigonométricasTrigonométricasseseccsensencotgcotgtgtgcocosscongruênciacongruêncianúmero denúmero ...
ExercícioExercício?tgE?cossecvalequanto,1160cotge23Se7)αααπαπ =<<
SoluçãoSolução1161cossec6111sen =⇒= ααααsen1cossec =⇒=6011xtg6137213600121601122222==+=⇒+=xxxx11116060xxα6011tg1160cotg =⇒...
BibliografiaBibliografia Dante, Luiz Roberto – MatemáticaDante, Luiz Roberto – MatemáticaContexto e Aplicações. 3ª edição...
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  1. 1. Ciclo Trigonométrico eCiclo Trigonométrico eRazões TrigonométricasRazões Trigonométricas
  2. 2. ConceitosConceitosanterioresanteriores
  3. 3. Círculo TrigonométricoCírculo TrigonométricoOO ciclo trigonométricociclo trigonométrico é representado por umé representado por umcírculocírculo que apresentaque apresenta raioraio igual aigual a 11 e cujae cujacircunferênciacircunferência éé orientadaorientada..xxyy
  4. 4. xxyyº180º90º270º0º360Procuramos a localização de um ângulo, emordem crescente, no sentido anti-horário.
  5. 5. O que significa aO que significa arepresentação de umrepresentação de um ânguloângulonegativonegativo??Significa que aSignifica que a localizaçãolocalização dele deve serdele deve serprocurada noprocurada no sentidosentido contrário (contrário (horáriohorário).).Exemplos:Exemplos:xxyyº30−º30
  6. 6. Determinação de quadrantesDeterminação de quadrantesAsAs retasretas xx ee yy dividemdividem oo círculocírculo trigonométricotrigonométricoemem 44 partes, chamadaspartes, chamadas quadrantesquadrantes..4º Q4º Q3º Q3º Q2º Q2º Q 1º Q1º QOs quadrantes apresentamOs quadrantes apresentamsempre a mesma posiçãosempre a mesma posiçãono círculo trigonométrico.no círculo trigonométrico.
  7. 7. CicloCicloTrigonométricoTrigonométricocírculocírculo r = 1r = 1PropriedadePropriedadess4 quadrantes4 quadrantessentidosentidoanti-horárioanti-horáriocircunferênciacircunferência orientadaorientada
  8. 8. Unidades de medidas de umUnidades de medidas de umânguloângulo GrauGrauExemplos: 30º, 60º, 180ºExemplos: 30º, 60º, 180ºrad2,rad54,rad43 πππ RadianoRadianoExemplos:Exemplos:
  9. 9. Como passar de grau paraComo passar de grau pararadiano?radiano?xxyyπ≅º1802º90π≅23º270π≅π2º360 ≅Basta fazer umaBasta fazer umaregra de trêsregra de três,,sabendo que:sabendo que:π≅º180
  10. 10. Exemplo:Exemplo:Passar 30º para radianos.Passar 30º para radianos.π º180º30x6º180º3030º180πππ===xx630ºLogo,π≅
  11. 11. Como passar de radiano paraComo passar de radiano paragrau?grau?Ou fazemos umaOu fazemos uma regra de trêsregra de três, ou procedemos, ou procedemoscomo no exemplo abaixo:como no exemplo abaixo:º2702180.32180.3grau.pararad23Passar==π90º
  12. 12. unidadeunidaderadianoradiano radradgraugrau ººCicloCicloTrigonométricoTrigonométricocírculocírculo r = 1r = 1PropriedadePropriedadess4 quadrantes4 quadrantessentidosentidoanti-horárioanti-horáriocircunferênciacircunferência orientadaorientadaarcosarcos
  13. 13. ExercícioExercício1) Apresente o quadrante onde estão localizados1) Apresente o quadrante onde estão localizadosos seguintes arcos:os seguintes arcos:280º-c)57b)138ºa)π
  14. 14. SoluçãoSoluçãoquadrante1º280º-c)quadrante3º252º5180.757b)quadrante2º138ºa)⇒⇒=⇒⇒πxxyyº180º90º270º0º360º13857πº280−
  15. 15. Arcos ou Ângulos CôngruosArcos ou Ângulos Côngruos(Congruentes)(Congruentes)Ângulos côngruosÂngulos côngruos sãosão ângulosângulos que apresentam aque apresentam amesma extremidademesma extremidade e número dee número de voltas diferentesvoltas diferentes..Exemplo:Exemplo:...º960º600º240 ≅≅≅...º780º420º60 ≅≅≅...º840º480º120 ≅≅≅...º1020º660º300 ≅≅≅
  16. 16. OsOs ângulos côngruosângulos côngruos que distam 60ºque distam 60ºdo ângulo de 0º, são:do ângulo de 0º, são:ouou...º780º420º60 ≅≅≅º60º360. +K
  17. 17. Fórmula GeralFórmula GeralPara medidas emPara medidas em grausgraus..Para medidas emPara medidas em radianosradianos..KK  número de voltasnúmero de voltas menor determinação positivamenor determinação positivaα+Kº.360απ +K.2α
  18. 18. congruênciacongruêncianúmero denúmero devoltas diferentesvoltas diferentesmesmamesmaextremidadeextremidadedefiniçãodefiniçãoαπ +K.2α+Kº.360fórmulafórmulageralgeralunidadeunidaderadianoradiano radradgraugrau ººCicloCicloTrigonométricoTrigonométricocírculocírculo r = 1r = 1PropriedadePropriedadess4 quadrantes4 quadrantessentidosentidoanti-horárioanti-horáriocircunferênciacircunferência orientadaorientadaarcosarcos
  19. 19. Menor DeterminaçãoMenor DeterminaçãoPositivaPositivaMenor determinação positivaMenor determinação positiva é oé o ânguloângulo quequeapresenta oapresenta o menor módulomenor módulo em um conjunto deem um conjunto dearcos côngruos.arcos côngruos.Exemplo:Exemplo:A menor determinação positiva é 60º.A menor determinação positiva é 60º....º780º420º60 ≅≅≅
  20. 20. ParaPara calcular a MDPcalcular a MDP de umde umângulo, bastaângulo, bastadividirdividir esse ânguloesse ângulo por 360ºpor 360º. O. O restoresto dessadessadivisão é adivisão é a MDPMDP..Exemplo:Exemplo:A MDP de 1117º é 37º.A MDP de 1117º é 37º.Logo, a fórmula geral desses arcos éLogo, a fórmula geral desses arcos é11171117 360360333737º37º360 +K
  21. 21. Menor determinaçãoMenor determinaçãonegativanegativaMDN = MDP – 360ºMDN = MDP – 360ºExemplo:Exemplo:Menor determinação negativa de 1117ºMenor determinação negativa de 1117ºMDP = 37ºMDP = 37ºMDN = 37º - 360º = -323ºMDN = 37º - 360º = -323º
  22. 22. ExercícioExercício2) Apresente a fórmula geral, em graus,2) Apresente a fórmula geral, em graus,dos arcos côngruos a :dos arcos côngruos a :535π
  23. 23. SoluçãoSoluçãoº12605180.35535==π12601260 36036033180180º180º.360 +⇒ K
  24. 24. Lembrando:Lembrando:
  25. 25. Seno de um arcoSeno de um arco1OyMxMxhipotenusaopostocatetosena ====sensen
  26. 26. Dependendo do quadrante, oDependendo do quadrante, osinalsinal dodo senosenopode serpode ser positivo ou negativopositivo ou negativo..
  27. 27. Exemplo 1: 30º , 150º , 210º , 330ºExemplo 1: 30º , 150º , 210º , 330º21º30 =sen21º150 =sen21º210 −=sen21º330 −=sen30º30º150º150º210º210º 330º330ºsensen
  28. 28. Exemplo 2: 45º , 135º , 225º , 315ºExemplo 2: 45º , 135º , 225º , 315º22º45 =sen22º135 =sen22º225 −=sen22º315 −=sen45º45º135º135º225º225º 315º315ºsensen
  29. 29. sensen60º60º120º120º240º240º 300º300ºExemplo 3: 60º , 120º , 240º , 300ºExemplo 3: 60º , 120º , 240º , 300º23º60 =sen23º120 =sen23º240 −=sen 23º300 −=sen
  30. 30. ExercícioExercício3) (EEAR-SP) O seno de é igual a:3) (EEAR-SP) O seno de é igual a:9122π94sen-d)95sen-c)94senb)95sena)ππππ
  31. 31. SoluçãoSolução280º2440ºMDPº24409180.1229122===πxxyyº180º90º270º0º360º280º809180.494º1009180.595====ππ24402440 36036066280280D.Letra94sen9122senLogo,ππ−=
  32. 32. Cosseno de um arcoCosseno de um arco1cos OxOxhipotenusaadjacentecatetoa ===coscos
  33. 33. Dependendo do quadrante, oDependendo do quadrante, o sinalsinal dodocossenocossenotambém pode sertambém pode ser positivo oupositivo ou negativonegativo..
  34. 34. Exemplo 1: 30º , 150º , 210º , 330ºExemplo 1: 30º , 150º , 210º , 330º23º30cos =23º150cos −=23º210cos −=23º330cos =30º30º150º150º210º210º 330º330ºsensencoscos
  35. 35. Exemplo 2: 45º , 135º , 225º , 315ºExemplo 2: 45º , 135º , 225º , 315º22º45cos =22º135cos −=22º225cos −=22º315cos =45º45º135º135º225º225º 315º315ºsensencoscos
  36. 36. Exemplo 3: 60º , 120º , 240º , 300ºExemplo 3: 60º , 120º , 240º , 300º21º60cos =21º120cos −=21º240cos −=21º300cos =sensen60º60º120º120º240º240º 300º300ºcoscos
  37. 37. Importante saber!Importante saber!xxyyπ≅º1802º90π≅23º270π≅π2º360 ≅10ºcos00ºsen==0270ºcos1-270ºsen==1180ºcos0180ºsen−==090ºcos190ºsen==
  38. 38. ExercícioExercício23e)213d)0c)3-b)2-a):aigualé629cos3720ºsensomaASE)-(Unit4)+−+π
  39. 39. SoluçãoSolução2360ºsen120ºsen ==⇒º8706180.29629==πcletra02323629cos3720ºsen ⇒=−=+π37203720 3603601010120120870870 36036022150150 23-30ºcos-150ºcos ==⇒
  40. 40. ExercícioExercício324e)24-3d)423c)23-4b)423a):éº3015cos2-m1msentençaasatisfazquemrealnúmeroOCE)-(Unifor5)+−+=+
  41. 41. SoluçãoSolução22-45ºcos-135ºcos ==⇒( )( )c.Letra423282624424224222222222−=−==−−++−==−−++−=mmm30153015 36036088135135( )222222222222222222222221++−=+−=++−=++−=+−=−+mmmmmmmm
  42. 42. Tangente de um arcoTangente de um arcoadjacentecatetoopostocatetoaasentga ==cosxxyysen +sen +cos +cos +tg +tg +sen -sen -cos +cos +tg -tg -sen -sen -cos -cos -tg +tg +sen +sen +cos -cos -tg -tg -
  43. 43. ExercícioExercíciox?cosovalequanto,1,5xtgequadrante1ºdoénãoxSe6)=
  44. 44. SoluçãoSolução⇒==10151,5xtg1313213.51310131313510cos13510cos====xx135325100225101522222==+=⇒+=yyyyxx15151010yy
  45. 45. Cotangente de um arcoCotangente de um arcoasenacosatg1acotg ==34−=xtgExemplo:Exemplo:Sendo um arco x do 2º quadrante. Se ,Sendo um arco x do 2º quadrante. Se ,entãoentãoApresenta o mesmo sinal da tangente!43−=xtg
  46. 46. Exemplo:Exemplo:Sendo um arco x do 3º quadrante. Se ,Sendo um arco x do 3º quadrante. Se ,entãoentãoSecante de um arcoSecante de um arcoacos1asec =53cos −=xApresenta o mesmo sinal docosseno!35sec −=x
  47. 47. Exemplo:Exemplo:Sendo um arco x do 4º quadrante. Se ,Sendo um arco x do 4º quadrante. Se ,entãoentãoCossecante de um arcoCossecante de um arcoasen1acossec =54cos =xApresenta o mesmo sinal do seno!45seccos =x
  48. 48. cosseccossecRazõesRazõesTrigonométricasTrigonométricasseseccsensencotgcotgtgtgcocosscongruênciacongruêncianúmero denúmero devoltas diferentesvoltas diferentesmesmamesmaextremidadeextremidadedefiniçãodefiniçãoαπ +K.2α+Kº.360fórmulafórmulageralgeralunidadeunidaderadianoradiano radradgraugrau ººCicloCicloTrigonométricoTrigonométricocírculocírculo r = 1r = 1PropriedadePropriedadess4 quadrantes4 quadrantessentidosentidoanti-horárioanti-horáriocircunferênciacircunferência orientadaorientadaarcosarcos
  49. 49. ExercícioExercício?tgE?cossecvalequanto,1160cotge23Se7)αααπαπ =<<
  50. 50. SoluçãoSolução1161cossec6111sen =⇒= ααααsen1cossec =⇒=6011xtg6137213600121601122222==+=⇒+=xxxx11116060xxα6011tg1160cotg =⇒= αα
  51. 51. BibliografiaBibliografia Dante, Luiz Roberto – MatemáticaDante, Luiz Roberto – MatemáticaContexto e Aplicações. 3ª edição – 2008.Contexto e Aplicações. 3ª edição – 2008.Editora Ática – SP. Páginas: 28 a 51.Editora Ática – SP. Páginas: 28 a 51. Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo,Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo,Roberto; Degenszajn, David – MatemáticaRoberto; Degenszajn, David – Matemática(volume único). 4ª edição – 2007. Editora(volume único). 4ª edição – 2007. EditoraAtual – SP. Páginas: 236 a 241.Atual – SP. Páginas: 236 a 241. Imagens: google imagensImagens: google imagens

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