Progressão Geométrica
O que você precisa saber para esta              aula?   Conjunto de números reais.   Sucessão de números reais.
O que você vai aprender         nessa aula:O que é uma progressão geométrica?Qual é a razão de uma P.G. e como determina...
O que é uma Progressão Geométrica?Dizemos que uma sequência numérica constitui uma progressão geométricaquando, a partir d...
Observe a sequência:(2, 4, 8, 16, 32, 64,...), dizemos que ela é umaprogressão geométrica, pois se encaixa nadefinição dad...
Muitas situações envolvendosequências são consideradas PG,dessa forma, foi elaborada umaexpressão capaz de determinarqualq...
Exemplo:Em uma progressão geométrica, temos que o 1º termo equivale a 4 e a razão igual a 3. Determine o 8º termo dessa PG...
Agora tente fazer sozinho.(PUC) Dada a PG (3, 9, 27, 81, ...).Determine o 20º termo.Obs:Você pode determinar a razão atrav...
Resolução:A20 = 3.3        19A20 = 3.1162261467A20 = 3486784401
Vejamos agora alguns tipos de   Progressão Geométrica: Progressão geométrica constante Uma progressão geométrica constante...
Progressão geométrica         crescenteUma progressão geométrica crescente é toda  progressão geométrica em que cada termo...
Progressão geométrica         decrescenteUma progressão geométrica decrescente é toda  progressão geométrica em que cada t...
Progressão geométrica           oscilanteUma progressão geométrica oscilante (ou alternante) é  toda progressão geométrica...
Progressão geométrica           quase nulaUma progressão geométrica quase nula é toda  progressão geométrica em que o prim...
Soma dos termos           de uma PGA soma dos termos de uma PG é calculada através  da seguinte expressão matemática:     ...
Exemplo:Dada a PG (3, 9, 27, 81, ...), determine a soma dos 20 primeiros elementos dessa PG.       A1.(q n − 1)Sn   =     ...
Agora tente fazer sozinho:Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...) .Não se esqueça que para determinar o...
Resolução:q=2       1.( 2 − )           10                1Sn    =           2− 1       1.(1024 − )1Sn    =             1S...
Bibliografia:FACCHINI,Walter.Matemática Volume   Único. Editora Saraiva, 2007.
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  1. 1. Progressão Geométrica
  2. 2. O que você precisa saber para esta aula? Conjunto de números reais. Sucessão de números reais.
  3. 3. O que você vai aprender nessa aula:O que é uma progressão geométrica?Qual é a razão de uma P.G. e como determina-lá?Como determinar os termos de uma P.G.?Como determinar a soma dos termos de uma P.G?
  4. 4. O que é uma Progressão Geométrica?Dizemos que uma sequência numérica constitui uma progressão geométricaquando, a partir do 2º termo, a divisão entre um elemento e seu antecessor for sempre igual.
  5. 5. Observe a sequência:(2, 4, 8, 16, 32, 64,...), dizemos que ela é umaprogressão geométrica, pois se encaixa nadefinição dada. 4:2=2 8:4=2 16 : 8 = 2 32 : 16 = 2O termo constante da progressão geométrica é denominado razão.
  6. 6. Muitas situações envolvendosequências são consideradas PG,dessa forma, foi elaborada umaexpressão capaz de determinarqualquer elemento de umaprogressão geométrica. Veja afórmula: n −1 An = A1.q
  7. 7. Exemplo:Em uma progressão geométrica, temos que o 1º termo equivale a 4 e a razão igual a 3. Determine o 8º termo dessa PG.Onde : 8− A = .3 8 4 1 A = .3 8 4 7 A = .2187 8 4 A = 8 8748
  8. 8. Agora tente fazer sozinho.(PUC) Dada a PG (3, 9, 27, 81, ...).Determine o 20º termo.Obs:Você pode determinar a razão através da fórmula: A2q = A1
  9. 9. Resolução:A20 = 3.3 19A20 = 3.1162261467A20 = 3486784401
  10. 10. Vejamos agora alguns tipos de Progressão Geométrica: Progressão geométrica constante Uma progressão geométrica constante é toda progressão geométrica em que todos os termos são iguais, sendo que para isso a razão q tem que, caso a1 diferente de 0(zero), ser sempre 1 ou 0 (nulo). Exemplos de progressão geométrica constante: P.G.(1,1,1,1,1,1,1,1,1,...) - razão q = 1 P.G.(0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão nula ou indeterminada
  11. 11. Progressão geométrica crescenteUma progressão geométrica crescente é toda progressão geométrica em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que para isso há dois casos: para a1positivo a razão q tem que ser sempre positiva e maior que 1 e para a1 negativo a razão q tem que ser positiva e menor que 1.Exemplos de progressão geométrica crescente:P.G. (1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,...) - razão q = 2P.G. (2,6,18,54,162,486,1458,4374,13122,...) - razão q = 3P.G. (-100,-10,-1,-0.1,-0.01,-0.001,-0.0001,-0.00001,...) - razão q = 1/10
  12. 12. Progressão geométrica decrescenteUma progressão geométrica decrescente é toda progressão geométrica em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso há dois casos: para a1positivo a razão q tem que ser sempre positiva e menor que 1 e para a1 negativa a razão q tem que ser positiva e maior que 1.Exemplos de progressão geométrica decrescente:P.G. (-1,-2,-4,-8,-16,-32,-64,-128,-256,-512,-1024,-2048,- 4096,...) - razão q = 2P.G. (8,4,2,1,1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,1/64,1/128,...) - razão q = 1/2
  13. 13. Progressão geométrica oscilanteUma progressão geométrica oscilante (ou alternante) é toda progressão geométrica em que todos os termos são diferentes de zero e dois termos consecutivos tem sempre sinais opostos, sendo que para isso a razão q tem que ser sempre negativa e diferente de zero .Exemplos de progressão geométrica oscilante:P.G. (3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,...) - razão q = -2P.G. (1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,...) - razão q = -1
  14. 14. Progressão geométrica quase nulaUma progressão geométrica quase nula é toda progressão geométrica em que o primeiro termo é diferente de zero e todos os demais são iguais a zero, sendo que para isso a razão q tem que ser sempre igual a zero.Exemplos de progressão geométrica quase nula:P.G. (8,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...)razão q = 0P.G. (-169,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...)razão q = 0
  15. 15. Soma dos termos de uma PGA soma dos termos de uma PG é calculada através da seguinte expressão matemática: A1.( q −1) n Sn = q −1
  16. 16. Exemplo:Dada a PG (3, 9, 27, 81, ...), determine a soma dos 20 primeiros elementos dessa PG. A1.(q n − 1)Sn = 3 −1 3.(320 − 1)Sn = 3 −1 3(3486784401 − 1)Sn = 2 3.3486784400Sn = 2 10460353200Sn = 2Sn = 5230176600
  17. 17. Agora tente fazer sozinho:Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...) .Não se esqueça que para determinar o valor de q(razão), você deve utilizar a fórmula: A2 q= A1
  18. 18. Resolução:q=2 1.( 2 − ) 10 1Sn = 2− 1 1.(1024 − )1Sn = 1Sn =1023
  19. 19. Bibliografia:FACCHINI,Walter.Matemática Volume Único. Editora Saraiva, 2007.
  20. 20. FIM

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