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  1. 1. definiçãoProbabilidade elementos Cálculos
  2. 2. • Conjuntos Numéricos• Análise Combinatória• Reconhecer os naipes de um baralho e a quantidade de cartas de cada naipe
  3. 3. Probabilidade é achance de um eventoocorrer, em um espaçoamostral.
  4. 4. definição Chance de um evento ocorrerProbabilidade
  5. 5. Espaço Amostral Espaço Amostral é o conjunto de todos osresultados possíveis de um experimento. Éindicado pela letra grega Ω.
  6. 6. definição Chance de um evento ocorrer Conjunto de todos definição os resultados Espaço Amostral representação Ω elementosProbabilidade
  7. 7. Evento Evento é qualquer subconjunto de umespaço amostral. É indicado pela letra E.
  8. 8. definição Chance de um evento ocorrer Conjunto de todos definição os resultados Espaço Amostral representação Ω elementos definição Subconjunto de Ω representação EProbabilidade evento
  9. 9. Exemplos:A) Lançamento de um dado. Espaço Amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Alguns dos possíveis eventos:. Um número maior que 5  E = {6}. Um número par  E = {2, 4, 6}. Um número par e primo  E = {2}
  10. 10. Exemplos:B) Lançamento de duas moedas. Espaço Amostral: Ω = {(k,k);(k,c);(c,k);(cc)} Alguns dos possíveis eventos:. Obter duas faces iguais  E = {(k,k);(c,c)}. Obter apenas uma coroa  E = {(k,c);(c,k)}
  11. 11. 1) Uma urna contém 2 bolas verdes e 4 amarelas.a) Defina o espaço amostral do experimento: retirar uma bola ao acaso.b) Defina os eventos E1: retirar bola verde e E2: retirar bola amarela.
  12. 12. 1) Uma urna contém 2 bolas verdes e 4 amarelas.a) Defina o espaço amostral do experimento: retirar uma bola ao acaso.b) Defina os eventos E1: retirar bola verde e E2: retirar bola amarela.
  13. 13. a) Ω = {V1, V2, A1, A2, A3, A4}b) E1 = {V1, V2} E2 = {A1, A2, A3, A4 }
  14. 14. Intersecção de conjuntos Seja Ω = {2, 3, 5, 16, 17, 20} São apresentados dois eventos:A: ocorrer um número par = {2, 16, 20}B: ocorrer um múltiplo de 5= {5, 20} A ∩ B = {20}  1 elemento
  15. 15. União de conjuntos Seja Ω = {2, 3, 5, 16, 17, 20} São apresentados dois eventos:A: ocorrer um número par = {2, 16, 20}B: ocorrer um múltiplo de 5= {5, 20} A ∪ B = {2, 5, 16, 20}  4 elementos Atenção!
  16. 16. A) Evento certo Eventos certos são aqueles que apresentamos mesmos elementos do espaço amostral. n(E) = n(Ω)Exemplo: Seja o seguinte evento: obter um númeronatural menor que 7, no lançamento de umdado. E = Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
  17. 17. definição Chance de um evento ocorrer Conjunto de todos definição os resultados Espaço Amostral representação Ω elementos definição Subconjunto de Ω representação EProbabilidade evento Evento n(E)=n(Ω) certo tipos
  18. 18. B) Evento impossível Eventos impossíveis ocorrem quando nãohá elementos no conjunto E. n(E) = 0Exemplo: Seja o seguinte evento: obter 3 caras nolançamento de duas moedas. E={ }
  19. 19. definição Chance de um evento ocorrer Conjunto de todos definição os resultados Espaço Amostral representação Ω elementos definição Subconjunto de Ω representação EProbabilidade evento Evento n(E)=n(Ω) certo Evento n(E)=0 tipos impossível
  20. 20. C) Evento complementar Evento complementar (Ec) é aquele queocorre quando o evento E não ocorre. n(Ec)=n(Ω)-n(E)Exemplo: Seja Ω = {2, 3, 5, 16, 17, 20} São apresentados dois eventos:A: ocorrer um número par = {2, 16, 20}Ac: ocorrer um número ímpar= {3, 5, 17}
  21. 21. definição Chance de um evento ocorrer Conjunto de todos definição os resultados Espaço Amostral representação Ω elementos definição Subconjunto de Ω representação EProbabilidade evento Evento n(E)=n(Ω) certo Evento n(E)=0 tipos impossível Evento Comple- n(Ec)=n(Ω)-n(E) mentar
  22. 22. Probabilidade é a chance de um eventoocorrer, em um espaço amostral. Ou seja, éo número de elementos de um evento,dividido pelo número de elementos doespaço amostral. n( E ) P n( )
  23. 23. Exemplos:A) Qual a probabilidade de ocorrer umnúmero natural maior que 4, no lançamentode um dado? E = {5, 6}  n(E) = 2 Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  n(Ω) = 6 n( E ) 2 1 P n( ) 6 3
  24. 24. Exemplos:B) Qual a probabilidade de ocorrer pelomenos uma cara, no lançamento de duasmoedas? E = {(k,k);(k,c);(c,k)}  n(E) = 3 Ω = {(k,k);(k,c);(c,k);(c,c)}  n(Ω) = 4 n( E ) 3 P n( ) 4
  25. 25. definição Chance de um evento ocorrer Conjunto de todos definição os resultados Espaço Amostral representação Ω elementos definição Subconjunto de Ω representação EProbabilidade evento Evento n(E)=n(Ω) certo Evento n(E)=0 tipos impossível Evento Comple- n(Ec)=n(Ω)-n(E) mentar Fórmula geral n( E ) P Cálculo n( )
  26. 26. 2) No lançamento de um dado perfeito,qual é a probabilidade de que o resultadoseja:a) Um número primo?b) O número 3?c) Um número menor que 1?d) Um número menor que 7?
  27. 27. 2) No lançamento de um dado perfeito,qual é a probabilidade de que o resultadoseja:a) Um número primo?b) O número 3?c) Um número menor que 1?d) Um número menor que 7?
  28. 28. 3 1a) Um número primo? P 6 2 1b) O número 3? P 6 0c) Um número menor que 1? P 0 6 6d) Um número menor que 7? P 1 100% 6
  29. 29. 3) Uma caixa contém 10 letras: as cincovogais e as cinco primeiras consoantes doalfabeto. Uma letra é sorteada ao acaso.Qual é a probabilidade de que a letrasorteada seja:a) Uma consoante?b) Uma letra da palavra bode?
  30. 30. 3) Uma caixa contém 10 letras: as cincovogais e as cinco primeiras consoantes doalfabeto. Uma letra é sorteada ao acaso.Qual é a probabilidade de que a letrasorteada seja:a) Uma consoante?b) Uma letra da palavra bode?
  31. 31. Ω = {a, e, i, o , u, b, c, d, f, g}  n(Ω) = 10a) Uma consoante? 5 1 P 10 2b) Uma letra da palavra bode? 4 2 P 10 5
  32. 32. 4) Um dos anagramas da palavra AMOR éescolhido ao acaso. Qual é a probabilidadede que seja a palavra ROMA?
  33. 33. 4) Um dos anagramas da palavra AMOR éescolhido ao acaso. Qual é a probabilidadede que seja a palavra ROMA?
  34. 34. Total de anagramas da palavra amorΩ = 4! = 4.3.2.1=24 1 Logo, P 24
  35. 35. Para calcular a probabilidade da união deeventos dividimos o número de elementosdo conjunto união pelo número de elementosdo espaço amostral. n(AUB) P(AUB) n( )
  36. 36. Exemplo: De um baralho de 52 cartas, uma éextraída ao acaso. Qual é a probabilidadede sair um valete ou uma carta de ouros? A: sair um valete  n(A) = 4 B: sair carta de ouros  n(B) = 13 A∩B: sair valete de ouros  n(A∩B) = 1 Logo, n(A∪B) = 4+13-1=16
  37. 37. A: sair um valete  n(A) = 4B: sair carta de ouros  n(B) = 13A∩B: sair valete de ouros  n(A∩B) = 1Logo, n(A∪B) = 4+13-1=16 n(AUB) 16 4 P(AUB) n( ) 52 13
  38. 38. definição Chance de um evento ocorrer Conjunto de todos definição os resultados Espaço Amostral representação Ω elementos definição Subconjunto de Ω representação EProbabilidade evento Evento n(E)=n(Ω) certo Evento n(E)=0 tipos impossível Evento Comple- n(Ec)=n(Ω)-n(E) mentar Fórmula geral n( E ) P Cálculo n( ) Probabilidade n(AUB) P(AUB) Da união n( ) Variações
  39. 39. 5) Os dados da tabela seguinte referem-sea uma pesquisa realizada com 155 moradoresde um bairro revela os hábitos quanto ao usode TV e Internet pagas. Só TV aberta TV paga Internet gratuita 76 44 Internet paga 14 21 Um dos entrevistados é selecionado aoacaso. Qual a probabilidade de que ele use TVou Internet pagas?
  40. 40. 5) Os dados da tabela seguinte referem-sea uma pesquisa realizada com 155 moradoresde um bairro revela os hábitos quanto ao usode TV e Internet pagas. Só TV aberta TV paga Internet gratuita 76 44 Internet paga 14 21 Um dos entrevistados é selecionado aoacaso. Qual a probabilidade de que ele use TVou Internet pagas?
  41. 41. Só TV aberta TV paga Internet gratuita 76 44 Internet paga 14 21A: TV paga  n(A)=44+21=65B: Internet paga  n(B)=14+21=35n(A∩B)=21  n(A∪B)= 65+35-21=79 n(AUB) 79 P(AUB) n( ) 155
  42. 42. Temos um caso de probabilidadecondicional quando um evento A ocorre,sabendo que o evento B já ocorreu. O cálculo da probabilidade condicionalé dado pela fórmula: P(A  B) P(A/B) P(B)
  43. 43. Exemplo: Ao retirar uma carta de um baralho de52 cartas, qual é a probabilidade de sairum ás vermelho sabendo que ela é de copas? A: sair ás vermelho  n(A)=2 B: sair carta de copas  n(B)=13 A∩B: ás de copas  n(A∩B)=1
  44. 44. Exemplo: A: sair ás vermelho  n(A)=2 B: sair carta de copas  n(B)=13 A∩B: ás de copas  n(A∩B)=1 1 P(A  B) 1 P(A/B) 52 P(B) 13 13 52
  45. 45. definição Chance de um evento ocorrer Conjunto de todos definição os resultados Espaço Amostral representação Ω elementos definição Subconjunto de Ω representação EProbabilidade evento Evento n(E)=n(Ω) certo Evento n(E)=0 tipos impossível Evento Comple- n(Ec)=n(Ω)-n(E) mentar Fórmula geral n( E ) P Cálculo n( ) Probabilidade n(AUB) P(AUB) Da união n( ) Variações Probabilidade P(A  B) condicional P(A/B) P(B)
  46. 46. 6) Uma família planejou ter 3 crianças.Qual é a probabilidade de que a famíliatenha 3 homens, já que a primeira criançaque nasceu é homem?
  47. 47. 6) Uma família planejou ter 3 crianças.Qual é a probabilidade de que a famíliatenha 3 homens, já que a primeira criançaque nasceu é homem?
  48. 48. Ω = {HHH, HHM, HMH, MHH, MMH, MHM, HMM, MMM}  n(Ω)=8A: ter 3 homens  n(A)=1B: primeira é homem  n(B)=4A∩B={HHH}  n(A∩B)=1 1 P(A  B) 1 P(A/B) 8 P(B) 4 4 8
  49. 49. Questões de Vestibular
  50. 50. 7) (PUC) Há em um hospital 9 enfermeiras(Karla é uma delas) e 5 médicos (Lucas éum deles). Diariamente, devem permanecerde plantão 4 enfermeiras e 2 médicos. Quala probabilidade de Karla e Lucas estaremde plantão no mesmo dia? 1 1 8 1 2 a) b) c) d) e) 3 4 45 5 3
  51. 51. 7) (PUC) Há em um hospital 9 enfermeiras(Karla é uma delas) e 5 médicos (Lucas éum deles). Diariamente, devem permanecerde plantão 4 enfermeiras e 2 médicos. Quala probabilidade de Karla e Lucas estaremde plantão no mesmo dia? 1 1 8 1 2 a) b) c) d) e) 3 4 45 5 3
  52. 52. 9! 5!n( ) C9, 4 .C5, 2 1260 4!(9 4)! 2!(5 2)! 8! 4!n( E ) C8,3 .C4,1 224 3!(8 3)! 1!(4 1)! n( E ) 224 8p( E )  letra c n( ) 1260 45
  53. 53. 8) (FEI-SP) Numa caixa tem-se 9 fichasnumeradas de 1 a 9. Três fichas sãoescolhidas ao acaso e sem reposição. Aprobabilidade de não sair a ficha 7 é: 1 1 2 1 2 a) b) c) d) e) 6 3 9 4 3
  54. 54. 8) (FEI-SP) Numa caixa tem-se 9 fichasnumeradas de 1 a 9. Três fichas sãoescolhidas ao acaso e sem reposição. Aprobabilidade de não sair a ficha 7 é: 1 1 2 1 2 a) b) c) d) e) 6 3 9 4 3
  55. 55. Probabilidade Probabilidade Probabilidadede não sair 7 de não sair 7 de não sair 7 na primeira: na segunda: na terceira: 8 7 6 P P P 9 8 7 8 7 6 2  letra e P 9 8 7 3
  56. 56. 9) (PUC) Em um ônibus há apenas 4 bancos vazios,cada qual com 2 lugares. Quatro rapazes e quatromoças entram nesse ônibus e devem ocupar osbancos vagos. Se os lugares foram escolhidosaleatoriamente, a probabilidade de que cada bancoSeja ocupado por um rapaz e uma moça é: 1 6 3 8 2 a) b) c) d) e) 70 35 14 35 7
  57. 57. 9) (PUC) Em um ônibus há apenas 4 bancos vazios,cada qual com 2 lugares. Quatro rapazes e quatromoças entram nesse ônibus e devem ocupar osbancos vagos. Se os lugares foram escolhidosaleatoriamente, a probabilidade de que cada bancoseja ocupado por um rapaz e uma moça é: 1 6 3 8 2 a) b) c) d) e) 70 35 14 35 7
  58. 58. n(Ω)=8! n(E)=4!.4!.24 8 7 4 4 x2 6 5 3 3 x2 4 3 2 2 x2 2 1 1 1 x2 4 2 4!4! 8  letra dP 8! 35
  59. 59. 10) (UFSC) Em uma caixa há 28 bombons, todoscom forma, massa e aspecto exterior exatamenteiguais. Desses bombons, 7 tem recheio de coco, 4de nozes e 17 são recheados com amêndoas. Seretirarmos da caixa 3 bombons simultaneamente,a probabilidade de se retirar um bombom de cadasabor é, aproximadamente: a)7,5% b)11% c)12,5% d )13% e)14,5%
  60. 60. 10) (UFSC) Em uma caixa há 28 bombons, todoscom forma, massa e aspecto exterior exatamenteiguais. Desses bombons, 7 tem recheio de coco, 4de nozes e 17 são recheados com amêndoas. Seretirarmos da caixa 3 bombons simultaneamente,a probabilidade de se retirar um bombom de cadasabor é, aproximadamente: a)7,5% b)11% c)12,5% d )13% e)14,5%
  61. 61. n( ) C28,3 3276n( E ) C7,1.C4,1 C17,1 7 4 17 476 n( E ) 476p( E ) 0,145  letra e n( ) 3276
  62. 62. • Matemática – Volume Único: Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Degenszajn, David; Périgo, Roberto – Atual Editora – 4ª edição – 2007 – Páginas: 391 a 412• Matemática Contexto e Aplicações: Dante, Luiz Roberto – Editora Ática – 3ª edição – 2008 - Páginas: 338 a 367• Figuras: google imagens

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