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  1. 1. Conhecimento Anterior • Produtos Notáveis • Fatoração • Conjuntos Numéricos • Números Complexos • Noções de Função
  2. 2. Vamos aprender Teoremas métodos divisão multiplicação subtração adição operações grau definição Equações polinomiais Polinômio s
  3. 3. Polinômio Definição: Chamamos de polinômio na variável x, toda expressão na forma: Onde: an, an-1, an-2,...,a2, a1, a0 são números complexos denominados coeficientes n é um número inteiro não negativo x é uma variável complexa 01 2 2 2 2 1 1 ... axaxaxaxaxa n n n n n n ++++++ − − − −
  4. 4. Polinômio s definição 01 2 2 2 2 1 1 ... axaxaxaxaxa n n n n n n ++++++ − − − −
  5. 5. Polinômio Grau do polinômio: O grau do polinômio é determinado pelo maior expoente da variável. Exemplos:  4x2 – 3  2º grau  8x5 + 6x3 + 2x  5º grau
  6. 6. Polinômio s Maior expoente da variávelgrau definição 01 2 2 2 2 1 1 ... axaxaxaxaxa n n n n n n ++++++ − − − −
  7. 7. Tente fazer sozinho 1) (Mack-SP) Determine m real para que o polinômio: p(x) = (m-4)x3 + (m2 -16)x2 + (m+4)x + 4 seja de grau 2.
  8. 8. Tente fazer sozinho 1) (Mack-SP) Determine m real para que o polinômio: p(x) = (m-4)x3 + (m2 -16)x2 + (m+4)x + 4 seja de grau 2.
  9. 9. Solução p(x) = (m-4)x3 + (m2 -16)x2 + (m+4)x + 4 Resposta: m não existe. 4 04 = =− m m 4 0162 ±≠ ≠− m m
  10. 10. Tente fazer sozinho 2) (Faap-SP) Calcule os valores de a, b e c para que os polinômios p1(x) e p2(x) sejam idênticos: p1(x) = a(x+c)3 + b(x+d) p2(x) = x3 + 6x2 +15x +14
  11. 11. Tente fazer sozinho 2) (Faap-SP) Calcule os valores de a, b e c para que os polinômios p1(x) e p2(x) sejam idênticos: p1(x) = a(x+c)3 + b(x+d) p2(x) = x3 + 6x2 +15x +14
  12. 12. Solução p1(x) = a(x+c)3 + b(x+d) e p2(x) = x3 + 6x2 +15x +14 ( ) ( ) ( ) ( ) 1415633 1415633 1415633 14156 233223 233223 233223 233 +++=+++++ +++=+++++ +++=+++++ +++=+++ xxxbdacxbacacxax xxxbdbxacxacacxax xxxbdbxcxccxxa xxxdxbcxa
  13. 13. Solução p1(x) = a(x+c)3 + b(x+d) e p2(x) = x3 + 6x2 +15x +14 ( ) 1415633 233223 +++=+++++ xxxbdacxbacacxax 1 33 = = a xax 2 6.1.3 63 22 = = = c c xacx ( ) 3 1512 152.1.3 153 2 2 = =+ =+ =+ b b b xxbac
  14. 14. Operações com Polinômios A) Adição: Sendo p(x) = 3x2 +2x-1 e q(x) = -x3 +7x2 -6, logo p(x) + q(x) = -x3 +10x2 +2x-7. B) Subtração: Sendo p(x) = 3x2 -4x+1 e q(x) = 5x2 -3x+4, logo p(x) - q(x) = -2x2 -x-3.
  15. 15. Operações com Polinômios C) Multiplicação :  Sendo p(x) = 7 e q(x) = 2x3 -4x2 +5x-3, logo p(x).q(x) = 7(2x3 -4x2 +5x-3)=14x3 -28x2 +35x-21.  Sendo p(x) = 3x-4 e q(x) = -2x+5, logo p(x) . q(x) = (3x-4)(-2x+5) = -6x2 +15x+8x-20 = = -6x2 +23x-20.
  16. 16. Polinômio s multiplicação subtração adição operações Maior expoente da variávelgrau definição 01 2 2 2 2 1 1 ... axaxaxaxaxa n n n n n n ++++++ − − − −
  17. 17. Tente fazer sozinho 3) Sejam f(x) e g(x) dois polinômios de graus 7 e 5, respectivamente. Julgue as sentenças seguintes, corrigindo o que for falso: a)O grau de f(x) . g(x) é 35 b) O grau de f(x) + g(x) é 7 c) O grau do polinômio (x2 -1).g(x)+f(x) é 7
  18. 18. Tente fazer sozinho 3) Sejam f(x) e g(x) dois polinômios de graus 7 e 5, respectivamente. Julgue as sentenças seguintes, corrigindo o que for falso: a)O grau de f(x) . g(x) é 35 b) O grau de f(x) + g(x) é 7 c) O grau do polinômio (x2 -1).g(x)+f(x) é 7
  19. 19. Solução f(x)  grau 7 e g(x)  grau 5 a)f(x) . g(x)  grau 35 (falso) x7 . x5 = x12  grau 12 b) f(x) + g(x)  grau 7 (verdadeiro) c) (x2 -1) . g(x) + f(x)  grau 7 (falso) grau 7 ou menor que 7, pois o coeficiente da soma dos termos de grau 7 pode ser zero
  20. 20. Divisão de Polinômios C.1) Método da chave No método da chave temos que armar a conta, como se fosse uma divisão de números naturais: e seguir os passos conforme os exemplos. quociente dividendo divisor resto
  21. 21. Exemplo 1: Calcule (x2 + 2x – 15) : (x + 5) 1º passo: ordenar e completar o dividendo, se necessário. Nesse caso não será necessário 2º passo: armar a conta. Divisão de Polinômios x2 + 2x - 15 x + 5
  22. 22. 3º passo: dividir o 1º termo do dividendo pelo 1º termo do divisor. Divisão de Polinômios x2 + 2x - 15 x + 5 x
  23. 23. 4º passo: multiplicar o resultado por cada termo do divisor, colocando a resposta embaixo do dividendo, com o sinal contrário. Divisão de Polinômios x2 + 2x - 15 x + 5 x-x2 - 5x Para facilitar o próximopasso, procure colocar ostermos semelhantes namesma direção.
  24. 24. 5º passo: efetuar a soma da 1ª com a 2ª linha, obtendo um novo dividendo. Divisão de Polinômios x2 + 2x - 15 x + 5 x-x2 - 5x - 3x - 15
  25. 25. 6º passo: verificar se o grau do 1º termo do novo dividendo é menor que o grau do 1º termo do divisor. Caso não seja, voltamos ao 3º passo. Divisão de Polinômios x2 + 2x - 15 x + 5 x-x2 - 5x - 3x - 15
  26. 26. Logo, quociente é x – 3 e resto é 0. Divisão de Polinômios x2 + 2x - 15 x + 5 x-x2 - 5x - 3x - 15 x2 + 2x - 15 x + 5 x - 3-x2 - 5x - 3x - 15 3x + 15 0
  27. 27. Exemplo 2: Encontre o resto da divisão de x4 + 1 por x3 +1. 1º passo: x4 + 1 = x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1 2º passo: Divisão de Polinômios x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1
  28. 28. Exemplo 2: Encontre o resto da divisão de x4 + 1 por x3 +1. 3º passo: Divisão de Polinômios x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1 x
  29. 29. Exemplo 2: Encontre o resto da divisão de x4 + 1 por x3 +1. 4º passo: Divisão de Polinômios x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1 x-x4 - x
  30. 30. Exemplo 2: Encontre o resto da divisão de x4 + 1 por x3 +1. 5º passo: Divisão de Polinômios x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1 x-x4 - x - x + 1
  31. 31. Exemplo 2: Encontre o resto da divisão de x4 + 1 por x3 +1. 5º passo: Logo, o quociente é x e o resto é - x +1 Divisão de Polinômios x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1 x-x4 - x - x + 1 6º passo: como o 1ºtermo do novodividendo apresentao grau menor que ograu do 1º termo dodivisor, não podemoscontinuar a divisão.
  32. 32. Polinômio s Método da Chave métodos divisão multiplicação subtração adição operações Maior expoente da variávelgrau definição Divisão comum 01 2 2 2 2 1 1 ... axaxaxaxaxa n n n n n n ++++++ − − − −
  33. 33. Divisão de Polinômios Note que para toda divisão de polinômios, vale a sentença: D(x) = d(x) . q(x) + r(x) Exemplo: x4 + 1 = x (x3 + 1) – x + 1
  34. 34. Tente fazer sozinho 4) (Uespi) O resto da divisão do polinômio 4x3 + 12x2 + x – 4 por 2x + 3 é: a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8
  35. 35. Tente fazer sozinho 4) (Uespi) O resto da divisão do polinômio 4x3 + 12x2 + x – 4 por 2x + 3 é: a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8
  36. 36. Solução 4x3 + 12x2 + x – 4 2x + 3 2x2 + 3x – 4-4x3 – 6x2 6x2 + x – 4 – 6x2 – 9x – 8x – 4 + 8x+12 8 Letra E
  37. 37. Tente fazer sozinho 5) Determine o polinômio p(x) que dividido pelo polinômio f(x) = x + 5, tem por quociente q(x) = x – 2 e deixa resto r(x) = 3.
  38. 38. Tente fazer sozinho 5) Determine o polinômio p(x) que dividido pelo polinômio f(x) = x + 5, tem por quociente q(x) = x – 2 e deixa resto r(x) = 3.
  39. 39. Solução D(x)= d(x).q(x) + r(x) P(x)= f(x) . q(x) + r(x) P(x) = (x + 5) (x – 2) + 3 P(x) = x2 – 2x + 5x – 10 + 3 P(x) = x2 + 3x – 7
  40. 40. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini Vamos usar o próximo exemplo para mostrar os passos a serem seguidos: Exemplo 1: Calcular o quociente e o resto de (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 1º passo: Calcular a raiz do divisor.303 =⇒=− xx
  41. 41. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 2º passo: Dispor a raiz do divisor e os coeficientes do dividendo da seguinte forma 1 -4 5 -23
  42. 42. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 2º passo: Dispor a raiz do divisor e os coeficientes do dividendo da seguinte forma 1 -4 5 -23 coeficientes do dividendo raiz do divisor
  43. 43. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 3º passo: abaixar o 1º coeficiente do dividendo 1 -4 5 -23 1
  44. 44. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 4º passo: multiplicar o número abaixado pela raiz do divisor e somar com o coeficiente seguinte. (3 . 1 - 4 = -1) 1 -4 5 -23 1 -1
  45. 45. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 4º passo: multiplicar o número abaixado pela raiz do divisor e somar com o coeficiente seguinte. 1 -4 5 -23 1 + x -1 Colocar o resultado embaixo do coeficiente somado
  46. 46. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 5º passo: repetir as operações (multiplicar pela raiz do divisor e somar com o coeficiente seguinte)
  47. 47. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 5º passo: 1 -4 5 -23 1 -1 x + 2 1 -4 5 -23 1 -1 x + 2 4
  48. 48. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 6º passo: identificar o resto e os coeficientes do quociente. 1 -4 5 -23 1 -1 2 4 Resto = 4 O quociente é: x2 – x + 2
  49. 49. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini Exemplo 2: (2x3 – 5x + 1) : (x + i). 1º passo: 2º passo: 3º passo: ixix −=⇒=+ 0 2 0 - 5 1- i 2 0 - 5 1- i 2
  50. 50. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini Exemplo 2: (2x3 – 5x + 1) : (x + i). 4º e 5º passos: 6º passo: 2 0 - 5 1- i 2 -2i -7 1+7i O quociente é: 2x2 – 2ix – 7 O resto é: 1 + 7i
  51. 51. Polinômio s Dispositivo de Briot-Ruffini Método da Chave métodos divisão multiplicação subtração adição operações Maior expoente da variávelgrau definição Divisão comum Seguir os 6 passos 01 2 2 2 2 1 1 ... axaxaxaxaxa n n n n n n ++++++ − − − −
  52. 52. Tente fazer sozinho 6) O polinômio p(x) = -x3 + ax2 + 5x + b (a e b são constantes reais) é divisível por x – 5. Quando dividimos p(x) por x + 2, obtemos resto 35. a)Determine os valores de a e b. b) Qual é o resto da divisão de p(x) por x+4?
  53. 53. Tente fazer sozinho 6) O polinômio p(x) = -x3 + ax2 + 5x + b (a e b são constantes reais) é divisível por x – 5. Quando dividimos p(x) por x + 2, obtemos resto 35. a) Determine os valores de a e b. b) Qual é o resto da divisão de p(x) por x+4?
  54. 54. Solução -1 a 5 b5 -1 a – 5 5a – 20 25a – 100 + b 0 -1 a 5 b- 2 -1 a + 2 - 2a + 1 4a – 2 + b 35 25a – 100 + b = 0 4a – 2 + b = 35 a = 3 b = 25
  55. 55. Teorema do Resto “ Seja p(x) um polinômio tal que p ≥ 1. O resto da divisão de p(x) por x – a é igual a p(a), ou seja, r = p(a).”
  56. 56. Teorema do Resto Exemplo: Para calcular o resto da divisão de p(x) = 3x2 – 17x + 15 por x – 2, basta aplicar o Teorema do Resto. A raiz do divisor é : x – 2 = 0  x = 2 Pelo Teorema do Resto temos que: r(x) = p(2) r(x) = 3.22 – 17.2 + 15 = 12 – 34 + 15 = - 7.
  57. 57. Polinômio s Teorema do resto Teoremas Dispositivo de Briot-Ruffini Método da Chave métodos divisão multiplicação subtração adição operações Maior expoente da variávelgrau definição Divisão comum Seguir os 6 passos r(x)=p(a) , sendo (x-a) divisor de p(x) 01 2 2 2 2 1 1 ... axaxaxaxaxa n n n n n n ++++++ − − − −
  58. 58. Tente fazer sozinho 7) (Unifesp) A divisão de um polinômio p(x) por um polinômio k(x) tem q(x) = x3 + 3x2 + 5 como quociente e r(x) = x2 + x + 7 como resto. Sabendo-se que o resto da divisão de k(x) por x é 2, o resto da divisão de p(x) por x é: a) 10 b) 12 c) 15 d) 25 e) 70
  59. 59. Tente fazer sozinho 7) (Unifesp) A divisão de um polinômio p(x) por um polinômio k(x) tem q(x) = x3 + 3x2 + 5 como quociente e r(x) = x2 + x + 7 como resto. Sabendo-se que o resto da divisão de k(x) por x é 2, o resto da divisão de p(x) por x é: a) 10 b) 12 c) 15 d) 25 e) 70
  60. 60. Solução P(x)= k(x) . q(x) + r(x) P(x) = k(x) . (x3 + 3x2 + 5) + (x2 + x + 7) P(0) = k(0) . (03 + 3.02 + 5) + (02 + 0 + 7) P(0) = k(0) . 5 + 7 Pelo Teorema do resto, temos que k(0) = 2 Logo, p(0) = 2 . 5 + 7 = 17  letra C
  61. 61. Teorema de D’Alembert “ Seja a (complexo) é raiz de um polinômio f(x), então f(x) é divisível por x – a e, reciprocamente, se f(x) é divisível por x – a, então a é raiz de f(x).”
  62. 62. Polinômio s Teorema de D’Alembert Teorema do resto Teoremas Dispositivo de Briot-Ruffini Método da Chave métodos divisão multiplicação subtração adição operações Maior expoente da variávelgrau definição Divisão comum Seguir os 6 passos r(x)=p(a) , sendo (x-a) divisor de p(x) a é raiz de f(x) f(x) é divisível por (x-a) 01 2 2 2 2 1 1 ... axaxaxaxaxa n n n n n n ++++++ − − − −
  63. 63. Equações Polinomiais Equação polinomial é aquela que pode ser escrita na forma: Exemplos:  x3 + 1 = 0  3x2 – 2ix + 1 = 0  x4 – 2x3 + x2 + 2x – 2 = 0 0... 01 1 1 =++++ − − axaxaxa n n n n
  64. 64. Polinômio s Teorema de D’Alembert Teorema do resto Teoremas Dispositivo de Briot-Ruffini Método da Chave métodos divisão multiplicação subtração adição operações Maior expoente da variávelgrau definição Divisão comum Seguir os 6 passos r(x)=p(a) , sendo (x-a) divisor de p(x) a é raiz de f(x) f(x) é divisível por (x-a) Definição Equações polinomiais 01 2 2 2 2 1 1 ... axaxaxaxaxa n n n n n n ++++++ − − − − 0... 01 1 1 =++++ − − axaxaxa n n n n
  65. 65. Equações Polinomiais Raiz da equação é o valor que da variável, que satisfaz a igualdade. Exemplos: a) 2x + 12 = 0 b) x2 – 9 = 0 2 x = - 12 x2 = 9 x = - 6 x = ± 3
  66. 66. Polinômio s Teorema de D’Alembert Teorema do resto Teoremas Dispositivo de Briot-Ruffini Método da Chave métodos divisão multiplicação subtração adição operações Maior expoente da variávelgrau definição Divisão comum Seguir os 6 passos r(x)=p(a) , sendo (x-a) divisor de p(x) a é raiz de f(x) f(x) é divisível por (x-a) Definição Equações polinomiais definição raiz Valor da variável que satisfaz a igualdade 01 2 2 2 2 1 1 ... axaxaxaxaxa n n n n n n ++++++ − − − − 0... 01 1 1 =++++ − − axaxaxa n n n n
  67. 67. Equações Polinomiais ( ) 022xxx 02x2xc)x 2 23 =+− =+− 022xxou0x 2 =+−= i1x i;1x 2 1 −= += ( ) ( ) ( )( ) 01x2x 02x12xx 02x2xd)x 2 2 23 =++ =+++ =+++ 01xou02x 2 =+=+ -2x = 1x ±=
  68. 68. Equações Polinomiais Podemos decompor um polinômio em fatores do 1º grau, de acordo com suas raízes, através da fórmula: Onde: an é o coeficiente de xn . xi são as raízes de p(x). )(...))()(()( 321 nn xxxxxxxxaxp −⋅⋅−−−=
  69. 69. Equações Polinomiais Exemplo: Sabendo que as raízes do polinômio 2x3 – 4x2 – 2x + 4 são os números –1, 1 e 2, podemos decompor esse polinômio em fatores do 1º grau, usando a fórmula: Sendo assim, temos: 2(x + 1) (x – 1) (x – 2) )(...))()(()( 321 nn xxxxxxxxaxp −⋅⋅−−−=
  70. 70. Tente fazer sozinho 8) Resolva a equação abaixo, sabendo que duas de suas raízes são – 1 e 1. x4 – 2x3 + x2 – 2 = 0
  71. 71. Tente fazer sozinho 8) Resolva a equação abaixo, sabendo que duas de suas raízes são – 1 e 1. x4 – 2x3 + x2 – 2 = 0
  72. 72. Solução Como – 1 e 1 são raízes de p(x) = 0, então p(x) = (x + 1)(x – 1).q(x) = 0. Logo, Como as raízes de q(x) são 1 + i e 1 – i , então as raízes da equação são ± 1 e 1 ± i. 1 -2 1 2 -2-1 1 -3 4 -2 01 1 -2 2 0 q(x) = x2 – 2x + 2
  73. 73. Multiplicidade da Raiz Entende-se por multiplicidade da raiz o número de vezes que uma mesma raiz aparece. Exemplo: Na resolução da equação x2 – 12x + 36 = 0 , encontramos duas raízes iguais a 6. Nesse caso, dizemos que x = 6 é uma raiz de
  74. 74. Polinômio s Teorema de D’Alembert Teorema do resto Teoremas Dispositivo de Briot-Ruffini Método da Chave métodos divisão multiplicação subtração adição operações Maior expoente da variávelgrau definição Divisão comum Seguir os 6 passos r(x)=p(a) , sendo (x-a) divisor de p(x) a é raiz de f(x) f(x) é divisível por (x-a) Definição Equações polinomiais definição multiplicidade definição raiz Nº de vezes que a raiz aparece Valor da variável que satisfaz a igualdade 01 2 2 2 2 1 1 ... axaxaxaxaxa n n n n n n ++++++ − − − − 0... 01 1 1 =++++ − − axaxaxa n n n n
  75. 75. Multiplicidade da Raiz Para identificar qual é a multiplicidade de uma raiz, basta dividir o polinômio pela raiz, até encontrar um resto diferente de zero. Exemplo: Qual é a multiplicidade da raiz 2 do polinômio p(x) = x4 – 5x3 + 6x2 + 4x – 8?
  76. 76. Multiplicidade da Raiz Exemplo: Qual é a multiplicidade da raiz 2 do polinômio p(x) = x4 – 5x3 + 6x2 + 4x – 8? 1 -5 6 4 -82 1 -3 0 4 02 1 -1 -2 02 2 1 1 0 1 3 não Logo, a raiz 2 tem multiplicidade 3.
  77. 77. Polinômio s Teorema de D’Alembert Teorema do resto Teoremas Dispositivo de Briot-Ruffini Método da Chave métodos divisão multiplicação subtração adição operações Maior expoente da variávelgrau definição Divisão comum Seguir os 6 passos r(x)=p(a) , sendo (x-a) divisor de p(x) a é raiz de f(x) f(x) é divisível por (x-a) Definição Equações polinomiais identificação definição multiplicidade definição raiz Divisões sucessivas Nº de vezes que a raiz aparece Valor da variável que satisfaz a igualdade 01 2 2 2 2 1 1 ... axaxaxaxaxa n n n n n n ++++++ − − − − 0... 01 1 1 =++++ − − axaxaxa n n n n
  78. 78. Tente fazer sozinho 9) Determine uma equação algébrica do 4º grau que tenha -1 como raiz de multiplicidade 3 e 2 como outra raiz.
  79. 79. Tente fazer sozinho 9) Determine uma equação algébrica do 4º grau que tenha -1 como raiz de multiplicidade 3 e 2 como outra raiz.
  80. 80. Solução Como o – 1 tem multiplicidade 3 e o 2 é a outra raiz, podemos escrever o polinômio assim: p(x) = (x + 1)3 (x – 2) = 0 p(x) = (x3 +3x2 + 3x + 1) (x – 2) = 0 p(x) = x4 + x3 – 3x2 – 5x – 2 = 0
  81. 81. Bibliografia • Matemática – Volume Único: Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Degenszajn, David; Périgo, Roberto – Atual Editora – 4ª edição – 2007 – Páginas: 551 a 585 • Matemática Contexto e Aplicações: Dante, Luiz Roberto – Editora Ática – 3ª edição – 2008 - Páginas: 134 a 164 • Figuras: google imagens
  82. 82. Note que para toda divisão de polinômios, vale a sentença: D(x) = d(x) . q(x) + r(x) Exemplo: x4 + 1 = x (x3 + 1) – x + 1

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