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www.AulasDeMatematicApoio.com - Matemática - Progressão Aritmética Presentation Transcript

  • 1. PROGRESSÕES ARITMÉTICAS
  • 2. AO FINAL DESTA AULA SERÁ IMPORTANTE ENTENDER: Conjunto dos números reais. O que é uma sequência numérica? Como determinar uma sequência finita ou infinita? Como determinar os termos de uma sequência? O que é uma sucessão aritmética e soma dos termos de umaP.A.?
  • 3. O QUE É UMA SEQUÊNCIA NUMÉRICA? São elementos cujos números pertencem ao conjuntodos números reais, esses elementos estão dispostosem uma certa ordem, um conjunto assim é chamado desequência numérica. Quando uma sequência tem infinitos termos ela sechamara infinita; caso contrário, é uma sequência finita.
  • 4. EXEMPLOSSequências infinitas:Sucessão dos números pares (2, 4, 6, 8 ,...)Sucessão dos números impares (1, 3, 5, 7,...)Sequências finitas:Sucessão dos números (1, 2, 3, 4, 5)Sucessão dos números (10, 20, 30, 40, 50)
  • 5. O QUE É UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA? É toda sequência numérica na qual, a partir dosegundo, cada termo é igual à soma de seuantecessor com uma constante chamada derazão, essa constante é indicada pela letra r.
  • 6. DETERMINAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA Determinar uma sequência é saber qual a imagem den para todo n ∈ * lN , e podemos fazê-lo aplicando a leide recorrência ou o termo geral. O que é lei de recorrência? É uma lei que permite calcular cada termo dasequência, apartir do termo anterior.
  • 7. É necessário também, para determinação dasequência, que o primeiro termo seja dado.  A1 = 5   An +1 = n + 1 Logo : A1 = 5 A2 = n + 1 ⇒ A2 = A1 + 1 ⇒ A2 = 5 + 1 ⇒ A2 = 6 A3 = n + 1 ⇒ A3 = A2 + 1 ⇒ A3 = 6 + 1 ⇒ A3 = 7 A4 = n + 1 ⇒ A4 = A3 + 1 ⇒ A4 = 7 + 1 ⇒ A4 = 8 A5 = n + 1 ⇒ A5 = A4 + 1 ⇒ A5 = 8 + 1 ⇒ A5 = 9
  • 8. Onde :A1 é o primeiro termo.A2 é o segundo termo.A3 é o terceiro termo.A4 é o quarto termo.A5 é o quinto termo.
  • 9. EXEMPLOS• (-5, -3, -1, 1, 3, 5, 7,...) é P.A. de razão r = 2.• (8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8,...) é P.A. de razão r = 0.• (20, 16, 12, 8, 4, 0) é P.A. de razão r = -4.Então uma P.A. pode ser:Crescente: quando r é maior que zero (r > 0).Constante: quando r é igual a zero (r = 0).Decrescente: quando r é menor que zero (r < o).
  • 10. AGORA VAMOS ALGUNS EXEMPLOS DE EXERCÍCIOSExemplo 1: Escreva os quatro primeiros termos de uma P.Asabendo que: A1 = -3 e r = 4. r= A2 - A1 A2 = A1 + r ⇒ A2 = -3 + 4 = 1A3= A2 + r⇒ A3 =1 + 4 = 5A4= A3 + r⇒ A4 = 5 + 4 = 9A5= A4 + r⇒ A5 = 9 + 4 = 13
  • 11. Exemplo 2: Escreva uma P.A. de cinco termos sabendo que:A1= 2 e r = 3.A2 =A1 + r ⇒ A2 = 2+ 3A3= A2 + r ⇒ A3 = 2 + 6A4 = A3 + r ⇒ A4 = 2 + 9 A5A5 = A4 + r ⇒ 2= + 12
  • 12. FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A. Determinar o termo geral de uma P.A. é calcular o valor de umatermo A n qualquer. Essa fórmula permite que encontremos,dados três dos quatro elementos.Sendo: An ⇒ termo geral n ⇒ números de termosA1 ⇒ primeiro termo r ⇒ razão
  • 13. Questão 1: Calcule A20 na P.A.: (2, 5, 8,...) An= A1 + (n – 1). r An = A20A20 = 2 + (20 – 1). 3 A1 = 2A20= 2 + 19. 3 n = 20A20= 2 + 54 r=3 ondeA20 = 59 r = A2 − A1 ⇒ r = 5 − 2 ⇒ r = 3
  • 14. Questão 2: Determine a razão, sabendo que A8 = 14 e A1 = 0. An= A1 + ( n – 1 ). rAn = 0 + (8 – 1). r An = A8 = 1414 = 0 + 7 . r A1 = 014 = 7r n =8 r = 14 / 7 r =? r=2
  • 15. AGORA TENTE FAZER SOZINHO. Determine o sexto termo de uma P.A. onde A1 =-3er=5 Só para relembrar A1 é o primeiro termo e r é arazão.
  • 16. SUBSTITUA NA FÓRMULA OS TERMOS QUE VOCÊ POSSUI A1 = - 3 r= 5 n = 6, pois é o sexto termo dessa P.A.An = ?An = A1 + ( n – 1 ). rAn = - 3+ ( 6 – 1 ). 5An = - 3+ 5 . 5An = - 3 + 25An = 22
  • 17. INTERPOLAÇÃO Agora um outro exercício de P.A. que se chama interpolação. Este tipo de problema consiste em descobrir a razão, parapodermos determinar os elementos dessa P.A., onde são dadosdois valores (que são as extremidades) e a quantidades determos que ficam entre essas extremidades, chamamos deinterpolar.Exemplo: Faça a interpolação de cinco meios aritméticos entre - 8 e 22. Neste caso devemos descobrir cinco números entre - 8 e 22que formem juntamente com estes a seguinte P.A.
  • 18. 6 RAZÕES ( − 8, A2 , A3 , A4 , A5 , A6 ,22) ↑ ↑ A1 5 meios A7 O problema fica resolvido com a determinação da razão da P.A.Como A1 = - 8 e A7 = 22, então:A7 = A1 + 6 . r ⇒ 22 = - 8 + 6 . r ⇒ r = 5 Os números procurados são - 3, 2, 7, 12, 17 e a P.A. é (- 8, - 3,2, 7, 12, 17, 22)
  • 19. Obs: Entre – 8 e 22 existem 6 razões, por isso na montagemda expressão multiplicamos 6. r.O número que se multiplica pela razão irá varias de acordo com aquantidades de termos. 1 2 3 4 5 6 ( − 8, A2 , A3 , A4 , A5 , A6 ,22)
  • 20. AGORA TENTE FAZER ESTE EXERCÍCIO. 1 - (FATES) - Interpolar 10 meios aritméticos entre 2 e 57 eescrever a P. A. correspondente com primeiro termo igual a 2. Lembre-se que é preciso determinar a razão!
  • 21. 11 RAZÕES ( 2, A2 , A3 , A4 , A5 , A6 , A7 , A8 , A9 , A10 , A11 ,57 ) ↑ ↑ A1 A12 10 meios (são 10 termos entre as extremidades que são 2 e 57)A12= A1 + 11 . r10 = 2 + 11 . r57- 2 = 11rr = 55/11r=5
  • 22. SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A. FINITA Podemos definir a soma dos termos de uma P.A. finita atravésda fórmula: ( A1 + An ).n Sn = 2 Onde: Sn ⇒ soma dos termos de uma P.A. finita A1 ⇒ primeiro termo An ⇒ termo geral n ⇒ número de termos
  • 23. EXEMPLO Calcule a soma dos doze primeiros termos da P.A. (- 3, -1, 1, 3,...). Neste caso devemos primeiro determinar o valor de An atravésda fórmula do termo geral.An = A1 + (n − 1).r An = A1 + (n − 1).r A2 A1 An = −3 + (12 − 1).2r= -r = (-1) – (-3) An = −3 + 22r=2 An = 19
  • 24. Agora podemos utilizar a fórmula de somatória dos termos daP.A. , já que temos os elementos necessários: ( A1 + An ).n An = 19 Sn = 2 ( −3 +19).12 A1 = −3 Sn = 2 Sn = 16.12 n = 12 2 192 Sn = ⇒96 2
  • 25. AGORA TENTE FAZER SOZINHO!2 - (PUC-SP) - Determine uma P.A. sabendo que asoma de seus 8 primeiros termos é 324 e que A8 = 79.
  • 26. Solução: ( A1 + An ).nSn = 2 An = A1 + (n − 1).r ( A1 + 79).8324 = 79 = 2 + (8 − 1).r 2 79 = 2 + 7 r324.2 = (8 A1 + 632)648 = (8 A1 + 632) 7 r = 77648 −632 = 8 A1 r = 77 / 7 16 r = 11A1 = ⇒2 8
  • 27. SENDO ASSIM OS ELEMENTOS DESSA P.A, SÃO (2, 13, 24, 35, 46, 57, 68, 79) Poderemos calcular qualquer termo das fórmulas gerais desde de que sejam conhecidos três desses quatro valores!
  • 28. BIBLIOGRAFIA FACCHINI,Walter. Matemática Volume Único. EditoraSaraiva, 2007. BACCARO, Nelson. Matemática; 2ºgrau. EditoraÁtica,1995.