เอกสารประกอบการบรรยาย

1. ความรู้พื้นฐานทางคณิตศาสตร์
อ.อธิศ ปทุมวรรณ
มหาวิทยาลัยนเรศวร

2. เนื้อหา
 เซ็ต ฟังก์ชัน และ กราฟ
 ตัวอักษร สตริง และภาษา
 เทคนิคการพิสูจน์
 ไวยากรณ์และออโตมาตา
2 ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ

3. ความหมายของเซ็ต
เซ็ต (Set) คือ กลุ่มของวัตถุโดยไม่คานึงถึงการจัดเรียง
เรียกสิ่งที่อยู่ในเซตว่า สมาชิก
a เป็นสมาชิกของเซ็ต S จะเขียนอยู่ในรูป 𝑎 ∈ 𝑆
a ไม่เป็นสมาชิกของเซ็ต S จะเขียนอยู่ในรูป 𝑎 ∌ 𝑆
เซ็ต S ประกอบด้วยสมาชิกคือ a, b c จะเขียนในรูป 𝑆 = { 𝑎, 𝑏, 𝑐}
3 ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ

4. ลักษณะของเซ็ต
 เซ็ตจากัด (Finite Set ) ทราบจานวนสมาชิกที่แน่นอน
𝑆 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
𝑆 = { 𝑎, 𝑏, 𝑐, … , 𝑧}
 เซ็ตไม่จากัด (Infinite Set) ไม่ทราบจานวนสมาชิกแน่นอน
𝑆 = { 1, 2, 3, … }
𝑆 = { 𝑛 | 𝑛 𝑚𝑜𝑑 3 = 0}
 เซ็ตว่าง (Empty Set) ไม่มีจานวนสมาชิกเลย
𝑆 = { } หรือ 𝑆 = 𝜙
4 ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ

5. เซตทีเท่ากัน (Equal Sets)
่
 เซตสองเซตจะเท่ากันก็ต่อเมื่อเซตทั้งสองมีสมาชิกเหมือนกัน
 เซต A เท่ากับ เซต B แทนด้วย 𝐴= 𝐵
 เซต A ไม่เท่ากับ เซต B แทนด้วย 𝐴 ≠ 𝐵
𝐴 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑋 = 0, 1, 3, 5
𝐵 = 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 𝑌 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐼 + , 𝑥 < 6}
𝐶 = {𝑐, 𝑏, 𝑎} 𝑍 = {1, 3, 5, 7}
𝐴= 𝐵 𝑋≠ 𝑌
𝐴= 𝐶 𝑋≠ 𝑍
5 ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ

6. เซตที่เทียบเท่ากัน (Equivalent Sets)
 เซตที่มีจานวนสมาชิกเท่ากัน และ สมาชิกของเซตจับคู่กันได้พอดี
แบบหนึ่งต่อหนึ่ง
 เซต A เทียบเท่ากับ เซต B แทนด้วย 𝐴 ↔ 𝐵
𝐴 = 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 𝑋 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝐼+
𝐵 = 1, 2, 3, 4 𝑌 = {𝑥|𝑥 = 2𝑛, 𝑛 = 1, 2, 3, … }
𝐴↔ 𝐵 𝑋↔ 𝑌
6 ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ

7. เซตที่เทียบเท่ากัน (Equivalent Sets)
 ถ้า 𝐴 = 𝐵 แล้ว 𝐴 ↔ 𝐵
 ถ้า 𝐴 ↔ 𝐵 ไม่อาจสรุปได้ว่า 𝐴 = 𝐵
7 ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ

8. สับเซ็ต (Subset)
 การที่เซต A จะเป็นสับเซตของเซต B ได้นั้นสมาชิกทุกตัวของเซต
A จะต้องเป็นสมาชิกของเซต B
 เซต A เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย 𝐴 ⊂ 𝐵
 เซต B ไม่เป็นสับเซตของเซต C แทนด้วย 𝐵 ⊄ 𝐶
A B C
8 ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ

9. สับเซ็ต (Subset)
 เซ็ตทุกเซ็ตเป็นสับเซ็ตของตนเอง 𝐴⊂ 𝐴
 เซ็ตว่างเป็นสับเซตของทุกเซ็ต ∅ ⊂ 𝐴
 ถ้าเซ็ต 𝐴 ⊂ ∅ แล้ว 𝐴 = ∅
 ถ้า 𝐴 ⊂ 𝐵 และ B ⊂ 𝐶 แล้ว 𝐴 ⊂ 𝐶
 𝐴 = 𝐵 ก็ต่อเมื่อ 𝐴 ⊂ 𝐵 และ B ⊂ 𝐴
9 ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ

10. เพาเวอร์เซ็ต (Power Set)
 ถ้า A เป็นเซตใด ๆ เพาเวอร์ของเซต A คือ เซตที่มีสมาชิกเป็นสับ
เซตทั้งหมดของ A เขียนแทนด้วย P(A)
𝐴=∅
𝑃(𝐴) = ∅
𝐵 = {𝑎}
𝑃(𝐵) = ∅, {𝑎}
C = {𝑎, 𝑏}
𝑃(𝐶) = ∅, {𝑎}, {𝑏}, {𝑎, 𝑏}
10 ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ

11. เอกภพสัมพัทธ์
 เซตที่ถูกกาหนดขึ้นโดยมีข้อตกลงว่า จะกล่าวถึงสิ่งที่เป็นสมาชิก
ของเซตนี้เท่านั้น จะไม่กล่าวถึงสิ่งอื่นใดที่ไม่เป็นสมาชิกของเซตนี้
โดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ 𝕌 แทนเซตที่เป็นเอกภพสัมพัทธ์
𝕌 = 1,2,3 𝕌
𝐴= 𝑥| 𝑥>2
1 2
11 ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ

12. เอกภพสัมพัทธ์ (ตัวอย่าง)
กาหนดให้
𝕌= 𝑥| 𝑥 ∈ℕ
𝐸= 𝑥| 𝑥<5
𝐹= 𝑥 3 < 𝑥 < 7}
จะเห็นว่าขอบเขตของสมาชิกเป็น 1, 2, 3, 4, …
ดังนั้น 𝐸 = 1, 2, 3, 4
และ 𝐹 = {4, 5, 6}
12 ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ

13. เอกภพสัมพัทธ์ (ตัวอย่าง)
กาหนดให้
𝕌= 𝑥| 𝑥 ∈ℕ
𝐸= 𝑥| 𝑥<5
𝐹 = 𝑥 3 < 𝑥 < 7}
จะเห็นว่าขอบเขตของสมาชิกเป็น 1, 2, 3, 4, …
ดังนั้น 𝐸 = 1, 2, 3, 4
และ 𝐹 = {4, 5, 6}
13 ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ

14. การดาเนินการที่ทากับเซ็ต (Set Operation)
 ปฏิบัติการระหว่างเซต คือ การนาเซตต่าง ๆ มากระทากันเพื่อให้เกิด
เป็นเซตใหม่ได้ ซึ่งทาได้ 4 วิธี คือ
 ยูเนียน (Union) ยูเนียนของเซต A และ B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิก
ของเซต A หรือ B
 อินเตอร์เซคชัน (Intersection) อินเตอร์เซคชันของเซต A และ B คือเซตที่
ประกอบด้วยสมาชิกของเซต A และ B
 คอมพลีเมนต์ (Complement) คอมพลีเมนต์ของเซต A คือเซตที่
ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์
แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A
 ผลต่างของเซต (Difference) ผลต่างของเซต A และ B คือเซตที่
ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B
14 ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ

15. ยูเนียน (Union)
𝑆1 ∪ 𝑆2 = {𝑎|𝑎 ∈ 𝑆1 𝑜𝑟 𝑎 ∈ 𝑆2 }
𝕌= 1, 2, 3, … , 20 𝕌
𝐴= 1, 2, 3, 4, 5, 6
𝐵= 2, 4, 6, 8, 10 B
A
𝐴∪ 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}
15 ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ

16. อินเตอร์เซกชัน (Intersection)
𝑆1 ∩ 𝑆2 = {𝑎|𝑎 ∈ 𝑆1 𝑎𝑛𝑑 𝑎 ∈ 𝑆2 }
𝕌= 1, 2, 3, … , 20 𝕌
𝐴= 1, 2, 3, 4, 5, 6
𝐵= 2, 4, 6, 8, 10 𝐴 𝐵
𝐴∩ 𝐵 = {2, 4, 6}
16 ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ

17. คอมพลีเมนต์ (Complement)
𝐴′ = 𝑥 ∈ 𝕌 𝑥 ∉ 𝐴}
𝕌 = 2, 3,5,7 𝕌
𝐴 = 2, 7
𝐴′ = 3, 5 𝐴
𝐴′
17 ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ

18. ผลต่างของเซต (Difference)
𝐴− 𝐵 = 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∉ 𝐵}
𝐴 = 1, 2,3,4,5,6 𝕌
𝐵 = 3,4
𝐴 − 𝐵 = 1,2,5,6 𝐴 𝐵
18 ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ

19. สัญลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับจานวนต่าง ๆ ที่ควรทราบ
สัญลักษณ์ ความหมาย
ℕ เซตของจานวนนับ
ℤ เซตของจานวนเต็ม
ℤ+ เซตของจานวนเต็มบวก
ℤ− เซตของจานวนเต็มลบ
ℝ เซ็ตของจานวนจริง
ℝ+ เซ็ตของจานวนจริงบวก
ℝ− เซ็ตของจานวนจริงลบ
19 ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ