Números Complexos  Conceito, Formas Algébrica, Forma  Trigonométrica e Operações.                                Prof. Ary...
Conceito (parte I) Os números complexos surgiram para sanar uma das maiores dúvidas que atormentavam os matemáticos: Qual ...
Conceito (parte II) Por isso, foi criado um número especial, que denominamos algebricamente como i, que elevado ao quadrad...
Conceito (parte III) Desse modo:                  x +1 = 0                   2                  x = −1               (como...
Conclusão do conceito Assim, foi criado um novo conjunto numérico denominado conjunto dos números complexos ou conjunto do...
Relação fundamental O conjunto dos números complexos possui, desse modo, a seguinte relação fundamental:                 i...
Exemplos   −2 = 2 ⋅ (−1)   −4 = 4 ⋅ (−1)  Aplicando a      Aplicando a     relação          relação  fundamental:     fund...
Forma algébrica (parte I) O número complexo possui uma parte real (a) e outra imaginária (b), onde sua parte imaginária co...
Forma algébrica (parte II) Um número complexo que não possui parte real (a = 0) é denominado número complexo puro. Um núme...
Exemplos 2 + 4i → número complexo 8 − i 2 → número complexo 6i      → número complexo puro 4       → número real –i      →...
Conjugado de um número complexo Um número complexo z = a + bi possui um conjugado que é representado por z, onde:        ...
Exemplos Dados os números complexos, encontrar seus respectivos conjugados:          z = 2 – 4i →z = 2 + 4i              ...
Operações com númeroscomplexos na forma algébrica Como os números complexos possuem a parte real (a) e a parte imaginária ...
Adição e subtração com númeroscomplexos na forma algébrica Para somar e subtrair números complexos deve-se efetuar as oper...
Exemplos (2 + 4i) + (3 + i) = (2 + 3) + (4 + 1)i = 5 + 5i (1 + 4i) – (2 – 7i) = (1 – 2) + (4 – 7)i (1 + 4i) – (2 – 7i) = –...
Multiplicação com númeroscomplexos na forma algébrica Para efetuar a multiplicação aplica-se simplesmente a propriedade di...
Exemplos (2 + 3i)(1 + i) = 2 + 2i + 3i + 3i² = 2 + 5i – 3 (2 + 3i)(1 + i) = –1 + 5i 2 (1 + i) = 2 + 2i (2 – i)(–3 + 2i) = ...
Divisão com números complexos naforma algébrica Para se dividir números complexos, deve- se multiplicar ambos os números (...
Exemplo      3 + 2i (3 + 2i )(1 − i )            =      1+ i    (1 + i )(1 − i )      3 + 2i 3 − 3i + 2i − 2i    2        ...
Potências de i (parte I) Nas      potências de    i  notam-se regularidades de quatro em quatro no expoente:            i ...
Potências de i (parte II) Desse modo, para encontrar o resultado de qualquer potência de i, dividimos o expoente por 4 e r...
Exemplo    1047    4       3   261           i1047 = i3 = – i                              Prof. Ary de Oliveira
Número complexo no plano deArgand-Gauss Os números complexos podem ser representados num plano, onde a reta das abscissas ...
Exemplo Colocar no plano de Argand-Gauss o número complexo z = 3 + 2i.          y (reta imaginária)          4          3 ...
Módulo e argumento de um númerocomplexo (parte I) No gráfico, o módulo de um número complexo (ρ) é o segmento de reta que ...
Módulo e argumento de um númerocomplexo (parte II)       a                       ρ = a +b                                 ...
Forma trigonométrica Utilizando as relações dadas no slide anterior e aplicando-as à Forma Algébrica, obtemos a Forma Trig...
Exemplo Passar para a forma trigonométrica o número complexo z = 1 + i 3 . ρ= 1 +      2           ( )         . 3 2 = 1+ ...
Operações com números complexos naforma trigonométrica - Multiplicação Para multiplicar números complexos na Forma Trigono...
Operações com números complexos naforma trigonométrica - Divisão A fórmula para efetuar a divisão entre dois números compl...
Operações com números complexos naforma trigonométrica - Potenciação Para efetuar a potenciação entre números complexos na...
Operações com números complexos naforma trigonométrica – Radiciação De forma análoga à potenciação, para efetuar a radicia...
Exercícios de Fixação                        Prof. Ary de Oliveira
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  1. 1. Números Complexos Conceito, Formas Algébrica, Forma Trigonométrica e Operações. Prof. Ary de Oliveira
  2. 2. Conceito (parte I) Os números complexos surgiram para sanar uma das maiores dúvidas que atormentavam os matemáticos: Qual o resultado da operação x + 1 = 0 ? 2 x = −1∴ x = −1 2 Prof. Ary de Oliveira
  3. 3. Conceito (parte II) Por isso, foi criado um número especial, que denominamos algebricamente como i, que elevado ao quadrado resulte em −1 , matematicamente: 2 i = −1∴ i = −1 Esse novo conceito possibilitou a resolução da equação mostrada anteriormente. Prof. Ary de Oliveira
  4. 4. Conceito (parte III) Desse modo: x +1 = 0 2 x = −1 (como i = −1) x=i Prof. Ary de Oliveira
  5. 5. Conclusão do conceito Assim, foi criado um novo conjunto numérico denominado conjunto dos números complexos ou conjunto dos números imaginários, que representamos pela letra » . Prof. Ary de Oliveira
  6. 6. Relação fundamental O conjunto dos números complexos possui, desse modo, a seguinte relação fundamental: i = −1 2 ou i = −1 Prof. Ary de Oliveira
  7. 7. Exemplos −2 = 2 ⋅ (−1) −4 = 4 ⋅ (−1) Aplicando a Aplicando a relação relação fundamental: fundamental: −2 = i 2 −4 = 2i Prof. Ary de Oliveira
  8. 8. Forma algébrica (parte I) O número complexo possui uma parte real (a) e outra imaginária (b), onde sua parte imaginária conta com a presença do i. Assim, a Forma Algébrica de um número complexo é: a + bi Parte real Parte imaginária Prof. Ary de Oliveira
  9. 9. Forma algébrica (parte II) Um número complexo que não possui parte real (a = 0) é denominado número complexo puro. Um número complexo que não possua a parte imaginária (b = 0) é denominado número real e os números imaginários que possui ambas as partes são simplesmente chamados de números complexos. Prof. Ary de Oliveira
  10. 10. Exemplos 2 + 4i → número complexo 8 − i 2 → número complexo 6i → número complexo puro 4 → número real –i → número complexo puro i² → número real Prof. Ary de Oliveira
  11. 11. Conjugado de um número complexo Um número complexo z = a + bi possui um conjugado que é representado por z, onde: z = a – bi (lê-se conjugado de z) Prof. Ary de Oliveira
  12. 12. Exemplos Dados os números complexos, encontrar seus respectivos conjugados: z = 2 – 4i →z = 2 + 4i  z = i →z = –i z = 1 + 2i →z = 1 – 2i z = 2 →z = 2 z = –3 – 8i →z = –3 + 8i Prof. Ary de Oliveira
  13. 13. Operações com númeroscomplexos na forma algébrica Como os números complexos possuem a parte real (a) e a parte imaginária (b) separadas, as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação diferem um pouco das habituais com números reais. Prof. Ary de Oliveira
  14. 14. Adição e subtração com númeroscomplexos na forma algébrica Para somar e subtrair números complexos deve-se efetuar as operações na parte real e na parte imaginária separadamente, ou seja parte real (a) com parte real (c) e parte imaginária (b) com parte imaginária (d). (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i Prof. Ary de Oliveira
  15. 15. Exemplos (2 + 4i) + (3 + i) = (2 + 3) + (4 + 1)i = 5 + 5i (1 + 4i) – (2 – 7i) = (1 – 2) + (4 – 7)i (1 + 4i) – (2 – 7i) = – 2 – 7i (3 + i) – (4 + i) = (3 – 4) + (i – i) = – 1 i + (2 + 4i) = 2 + (1 + 4)i = 2 + 5i Prof. Ary de Oliveira
  16. 16. Multiplicação com númeroscomplexos na forma algébrica Para efetuar a multiplicação aplica-se simplesmente a propriedade distributiva: (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi² ∴ (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci – bd ∴ (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i Prof. Ary de Oliveira
  17. 17. Exemplos (2 + 3i)(1 + i) = 2 + 2i + 3i + 3i² = 2 + 5i – 3 (2 + 3i)(1 + i) = –1 + 5i 2 (1 + i) = 2 + 2i (2 – i)(–3 + 2i) = –6 +4i +3i – 2i² = –4 + 7i Prof. Ary de Oliveira
  18. 18. Divisão com números complexos naforma algébrica Para se dividir números complexos, deve- se multiplicar ambos os números (numerador e denominador) pelo conjugado do número complexo do denominador. z1 z1.z 2 = z 2 z 2 .z 2 Prof. Ary de Oliveira
  19. 19. Exemplo 3 + 2i (3 + 2i )(1 − i ) = 1+ i (1 + i )(1 − i ) 3 + 2i 3 − 3i + 2i − 2i 2 = 1+ i 1− i2 3 + 2i 5 − i 5 − i = = 1+ i 1+1 2 3 + 2i 5 i = − 1+ i 2 2 Prof. Ary de Oliveira
  20. 20. Potências de i (parte I) Nas potências de i notam-se regularidades de quatro em quatro no expoente: i =1 0 i =1 4 i =i 1 i =i 5 i = −1 2 i = −1 6 i = −i 3 i = −i 7 Prof. Ary de Oliveira
  21. 21. Potências de i (parte II) Desse modo, para encontrar o resultado de qualquer potência de i, dividimos o expoente por 4 e resolvemos a potência utilizando como novo expoente i o resto da divisão. Prof. Ary de Oliveira
  22. 22. Exemplo 1047 4 3 261 i1047 = i3 = – i Prof. Ary de Oliveira
  23. 23. Número complexo no plano deArgand-Gauss Os números complexos podem ser representados num plano, onde a reta das abscissas é denominada reta dos números reais (ou eixo real) e a reta das ordenadas é denominada reta dos números complexos (ou eixo imaginário). Esse plano é denominado plano de Argand- Gauss. Prof. Ary de Oliveira
  24. 24. Exemplo Colocar no plano de Argand-Gauss o número complexo z = 3 + 2i. y (reta imaginária) 4 3 z = 3 + 2i 2 1 x (reta dos reais) 1 2 3 4 Prof. Ary de Oliveira
  25. 25. Módulo e argumento de um númerocomplexo (parte I) No gráfico, o módulo de um número complexo (ρ) é o segmento de reta que vai do ponto origem O (0,0) até o ponto P(a, b) de um número complexo z = a + bi. O argumento de z (θ) é o ângulo que o segmento forma com o eixo das abscissas (eixo real) medido no sentido anti-horário. z = a + bi ρ θ = arg(z) Prof. Ary de Oliveira
  26. 26. Módulo e argumento de um númerocomplexo (parte II) a ρ = a +b 2 2 z = a + bi b sin θ = ρ ρ b a cos θ = θ=arg(z) ρ b tan θ = a Prof. Ary de Oliveira
  27. 27. Forma trigonométrica Utilizando as relações dadas no slide anterior e aplicando-as à Forma Algébrica, obtemos a Forma Trigonométrica de um número complexo. b sin θ = ∴ b = ρ sin θ ρ a z = a +bi cosθ = ∴ a = ρ cosθ ρ z = ρ cos θ + ρ sin θ i z = ρ (cos θ + i sin θ ) Prof. Ary de Oliveira
  28. 28. Exemplo Passar para a forma trigonométrica o número complexo z = 1 + i 3 . ρ= 1 + 2 ( ) . 3 2 = 1+ 3 = 4 = 2 3 1 π sin x = cos x = arg( z ) = 2 2 3  π π z = ρ (cos θ + i sin θ ) ∴ z = 2 cos + i sin   3 3 Prof. Ary de Oliveira
  29. 29. Operações com números complexos naforma trigonométrica - Multiplicação Para multiplicar números complexos na Forma Trigonométrica utilizamos a fórmula: z1 z 2 = ρ1 ρ 2 [cos(θ1 + θ 2 ) + i sin(θ1 + θ 2 )] Prof. Ary de Oliveira
  30. 30. Operações com números complexos naforma trigonométrica - Divisão A fórmula para efetuar a divisão entre dois números complexos na Forma Trigonométrica é a seguinte: z1 ρ1 = [cos(θ1 − θ 2 ) + i sin (θ1 − θ 2 )] z2 ρ 2 Prof. Ary de Oliveira
  31. 31. Operações com números complexos naforma trigonométrica - Potenciação Para efetuar a potenciação entre números complexos na Forma Trigonométrica utilizamos esta fórmula: z = z n n [cos (n θ ) + i sin (n θ )] Prof. Ary de Oliveira
  32. 32. Operações com números complexos naforma trigonométrica – Radiciação De forma análoga à potenciação, para efetuar a radiciação com números complexos na Forma Trigonométrica utilizamos a formula:   θ + 2 kπ   θ + 2 kπ  w= n z  cos   + i sin     n   n  Prof. Ary de Oliveira
  33. 33. Exercícios de Fixação Prof. Ary de Oliveira
  34. 34. Exercícios de Fixação Prof. Ary de Oliveira
  35. 35. Exercícios de Fixação Prof. Ary de Oliveira
  36. 36. Exercícios de Fixação Prof. Ary de Oliveira
  37. 37. Exercícios de Fixação Prof. Ary de Oliveira
  38. 38. Exercícios de Fixação Prof. Ary de Oliveira
  39. 39. Exercícios de Fixação Prof. Ary de Oliveira
  40. 40. Exercícios de Fixação Prof. Ary de Oliveira
  41. 41. Exercícios de Fixação Prof. Ary de Oliveira
  42. 42. Exercícios de Fixação Prof. Ary de Oliveira

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