Para aproveitar 100%            dessa aula você precisa                    saber:• Potenciação e Radiciação•   Introdução ...
O que você sabe sobrelogaritmos?
Para que  serve oLogaritmo?
Logaritmo    Logaritmo de a na base b é o número real x, tal que bx = a, com a e b positivos e b diferente de 1.          ...
a>0eb>0            definição   log b a = x ⇔ b x = a                                                b≠1Logaritmo
Tente fazer     sozinho!Calcule :a) log 36 6b) log 0, 2 125
Soluçãoa ) log 36 6 = x                 b) log 0, 2 125 = x36 = 6     x                                 0,2 x = 125( 6 ) =...
Voltando a definição de logaritmo, temos            que x é o logaritmo, b é base e a é o                        logaritma...
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ExercícioCalcule:a) O logaritmo de 4 na base 1/8.b) O número cujo logaritmo em base 3 vale   -2.c) A base na qual o logari...
ExercícioCalcule:a) O logaritmo de 4 na base 1/8.b) O número cujo logaritmo em base 3 vale   -2.c) A base na qual o logari...
Soluçãoa) O logaritmo de 4 na base 1/8.              log 18 4 = x              ( 18 )     x                             =4...
b) O número cujo logaritmo em base 3 vale -2.                 log 3 x = −2                   −2                 3 =x      ...
2) Determine o domínio da função:   f ( x) = log x +1 ( x − 5 x + 6)                      2
SoluçãoRestrições para a basex+1>0 e x+1≠1                      -                                                      +  ...
Consequências da definição1ª)   log a 1 = 0            , pois a0 = 1.2ª)   log a a = 1 , pois a1 = a.3ª) log a a = n , poi...
a>0eb>0            definição       log b a = x ⇔ b x = a                                                          b≠1     ...
Exercício  Classifique as sentenças como verdadeirasou falsas:  a ) log 5 1 = 1       e) log 7 3 = 3   7  b) log1 5 = 5   ...
Soluçãoa) log 5 1 = 1 falsa, pois 51 = 5b) log1 5 = 5 falsa, pois 15 = 1c) log 5 5 = 1 verdadeira, pois 51 = 5d ) log 5 1 ...
Sistemas de Logaritmos Logaritmo decimal: apresenta base 10.            log10 x = log x Logaritmo neperiano: apresenta b...
a>0eb>0            definição       log b a = x ⇔ b x = a                                                           b≠1    ...
Exercícios Qual é o valor de cada uma das seguintesexpressões? a ) log 5 5 + log 3 1 − log 10 b) ln e − 3 ln e + 2 ln 1   ...
Soluçãoa ) log 5 5 + log 3 1 − log 10 =      1 +      0 − 1          =0b) ln e − 3 ln 3 e + 2 ln 1 =       2log e e − 3 lo...
Propriedades do logaritmo1ª) Logaritmo do produto       log a ( b.c ) = log a b + log a cExemplo:       log 5 ( 5.25) = lo...
Propriedades do logaritmo2ª) Logaritmo do quociente             b       log a   = log a b − log a c             cExe...
Propriedades do logaritmo3ª) Logaritmo da potência               ( )           log a b = c log a b                 cExempl...
a>0eb>0            definição       log b a = x ⇔ b x = a                                                                b≠...
Tente fazer sozinho! Sabendo que log 2 = a e log 3 = b, calcule,em função de a e b:     a ) log 6 =     b) log 1,5 =      ...
Tente fazer sozinho! Sabendo que log 2 = a e log 3 = b, calcule,em função de a e b:     a ) log 6 =     b) log 1,5 =      ...
Soluçãoa ) log 6 = log( 2.3) = log 2 + log 3 = a + b                  15       3b) log 1,5 = log  = log  = log 3 −...
Mudança de base  Para mudar log a b para base c, usaremosa fórmula:                       log c b             log a b =   ...
a>0eb>0            definição       log b a = x ⇔ b x = a                                                                  ...
Exercício 1Calcule o valor de:log 4 3. log 5 4. log 3 5
Soluçãolog 4 3. log 5 4. log 3 5 =log 3 log 4 log 5     .     .      =1log 4 log 5 log 3
Exercício 2(Fuvest - SP) Se x é um número real, x > 2 elog 2 ( x − 2) − log 4 x = 1, então o valor de x é :a) 4 - 2 3b) 4 ...
Soluçãolog 2 ( x − 2) − log 4 x = 1              x − 4x + 4                                            2                  ...
O que vimos nessa aula:• Definição de logaritmo• Consequências da definição• Propriedades do logaritmo• Mudança de base• C...
Bibliografia• Dante, Luiz Roberto – Matemática Contexto  e Aplicações. 4ª edição – 2008. Editora  Ática – SP. Páginas: 224...
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  1. 1. Para aproveitar 100% dessa aula você precisa saber:• Potenciação e Radiciação• Introdução às Funções• Função Afim• Função quadrática• Inequações do 1º e do 2º graus• Função Exponencial
  2. 2. O que você sabe sobrelogaritmos?
  3. 3. Para que serve oLogaritmo?
  4. 4. Logaritmo Logaritmo de a na base b é o número real x, tal que bx = a, com a e b positivos e b diferente de 1. log b a = x ⇔ b = a xExemplos: a ) log 3 9 = x ⇔ 3 = 9 ⇔ x = 2 x b) log 2 8 = x ⇔ 2 = 8 ⇔ x = 3 x
  5. 5. a>0eb>0 definição log b a = x ⇔ b x = a b≠1Logaritmo
  6. 6. Tente fazer sozinho!Calcule :a) log 36 6b) log 0, 2 125
  7. 7. Soluçãoa ) log 36 6 = x b) log 0, 2 125 = x36 = 6 x 0,2 x = 125( 6 ) = ( 6) 2 x 1 2 2   =5 3 x6 = ( 6) 2x 1 2  10  x 1 1   =5 32x = 2 5 1 5 − x = 53x= 4 x = −3
  8. 8. Voltando a definição de logaritmo, temos que x é o logaritmo, b é base e a é o logaritmando. logaritmando log b a = x base logaritmoDizemos que x é o logaritmo de a na base b
  9. 9. a>0eb>0 definição log b a = x ⇔ b x = a b≠1 logaritmando elementos base logaritmoLogaritmo
  10. 10. ExercícioCalcule:a) O logaritmo de 4 na base 1/8.b) O número cujo logaritmo em base 3 vale -2.c) A base na qual o logaritmo de ¼ vale -1.
  11. 11. ExercícioCalcule:a) O logaritmo de 4 na base 1/8.b) O número cujo logaritmo em base 3 vale -2.c) A base na qual o logaritmo de ¼ vale -1.
  12. 12. Soluçãoa) O logaritmo de 4 na base 1/8. log 18 4 = x ( 18 ) x =4 −x 8 =2 2 −3 x 2 =2 − 3x = 2 x =−2 3
  13. 13. b) O número cujo logaritmo em base 3 vale -2. log 3 x = −2 −2 3 =x x= 1 9c) A base na qual o logaritmo de ¼ vale -1. log x 1 4 = −1 x =1 −1 4 x=4
  14. 14. 2) Determine o domínio da função: f ( x) = log x +1 ( x − 5 x + 6) 2
  15. 15. SoluçãoRestrições para a basex+1>0 e x+1≠1 - + -1 0x > -1 x≠0Restrições para o logaritmandox2 – 5x + 6 > 0 + +x2 – 5x + 6 = 0 2 - 3x1 = 2 e x2 = 3 -1 0 2 3S = ] -1, 0 [ U ] 0 , 2 [ U ] 3 , +∞ [
  16. 16. Consequências da definição1ª) log a 1 = 0 , pois a0 = 1.2ª) log a a = 1 , pois a1 = a.3ª) log a a = n , pois an = an. n4ª) a log a n =n5ª) log a x = log a y ⇔ x = y
  17. 17. a>0eb>0 definição log b a = x ⇔ b x = a b≠1 logaritmando elementos base logaritmo log a 1 = 0 log a a = 0 consequências log a a n = nLogaritmo a log a n = n log a x = log a y ⇔ x = y
  18. 18. Exercício Classifique as sentenças como verdadeirasou falsas: a ) log 5 1 = 1 e) log 7 3 = 3 7 b) log1 5 = 5 f ) log 3 3 = 7 7 c) log 5 1 = 0 g )2 log 2 5 =5 d ) log 5 1 = 0 h) 2 log 5 2 =5
  19. 19. Soluçãoa) log 5 1 = 1 falsa, pois 51 = 5b) log1 5 = 5 falsa, pois 15 = 1c) log 5 5 = 1 verdadeira, pois 51 = 5d ) log 5 1 = 0 verdadeira, pois 50 = 1e) log 7 3 = 3 falsa, pois 73 ≠ 37 7f ) log 3 3 = 7 verdadeira 7g )2 log 2 5 = 5 verdadeirah) 2 log 5 2 = 5 falsa
  20. 20. Sistemas de Logaritmos Logaritmo decimal: apresenta base 10. log10 x = log x Logaritmo neperiano: apresenta base e. log e x = ln x
  21. 21. a>0eb>0 definição log b a = x ⇔ b x = a b≠1 logaritmando elementos base logaritmo log a 1 = 0 log a a = 0 consequências log a a n = nLogaritmo a log a n = n log a x = log a y ⇔ x = y decimal sistemas ln neperiano base e
  22. 22. Exercícios Qual é o valor de cada uma das seguintesexpressões? a ) log 5 5 + log 3 1 − log 10 b) ln e − 3 ln e + 2 ln 1 2 3
  23. 23. Soluçãoa ) log 5 5 + log 3 1 − log 10 = 1 + 0 − 1 =0b) ln e − 3 ln 3 e + 2 ln 1 = 2log e e − 3 log e e 3 + 2 log e 1 = 2 1 1 2 − 3. + 2.0 = 2 −1 + 0 = 1 3
  24. 24. Propriedades do logaritmo1ª) Logaritmo do produto log a ( b.c ) = log a b + log a cExemplo: log 5 ( 5.25) = log 5 5 + log 5 25 log 5 ( 5.25) = 1 + 2 = 3
  25. 25. Propriedades do logaritmo2ª) Logaritmo do quociente b log a   = log a b − log a c cExemplo: 2 log( 0,2 ) = log  = log 2 − log 10  10  log 5 ( 0,2 ) = log 2 − 1
  26. 26. Propriedades do logaritmo3ª) Logaritmo da potência ( ) log a b = c log a b cExemplo: log 7 a = 10 log 7 a 10
  27. 27. a>0eb>0 definição log b a = x ⇔ b x = a b≠1 logaritmando elementos base logaritmo log a 1 = 0 log a a = 0 consequências log a a n = nLogaritmo a log a n = n log a x = log a y ⇔ x = y decimal sistemas ln neperiano base e produto log a (bc ) = log a b +log a c propriedades quociente log a ( b c ) = log a b − log a c potência log a b c = c log a b
  28. 28. Tente fazer sozinho! Sabendo que log 2 = a e log 3 = b, calcule,em função de a e b: a ) log 6 = b) log 1,5 = c) log 5 = d ) log 30 = e) log 1 = 4 f ) log 3 1,8 =
  29. 29. Tente fazer sozinho! Sabendo que log 2 = a e log 3 = b, calcule,em função de a e b: a ) log 6 = b) log 1,5 = c) log 5 = d ) log 30 = e) log 1 = 4 f ) log 3 1,8 =
  30. 30. Soluçãoa ) log 6 = log( 2.3) = log 2 + log 3 = a + b  15  3b) log 1,5 = log  = log  = log 3 − log 2 = b − a  10  2  10 c) log 5 = log  = log 10 − log 2 = 1 − a 2d ) log 30 = log( 3.10 ) = log 3 + log 10 = b + 1 2e) log 1 = log 1  = 2 log 1  = 2( log 1 − log 2 ) = 2( − a ) = −2a     4 2 2 1 1  18  1  2.32 f ) log 3 1,8 = log(1,8) = log(1,8) = log  = log  10  1 3 3 3  10  3    1 ( 1 ) = log 2 + log 3 − log 10 = ( a + 2b − 1) 3 2 3
  31. 31. Mudança de base Para mudar log a b para base c, usaremosa fórmula: log c b log a b = log c a Exemplo: Mudando log 2 12 para base 10. log 12 log 2 12 = log 2
  32. 32. a>0eb>0 definição log b a = x ⇔ b x = a b≠1 logaritmando elementos base logaritmo log a 1 = 0 log a 1 = 0 log a a = 0 log a a n = n consequências log a 1 = 0Logaritmo a log a n =n log a x = log a y ⇔ x = y decimal sistemas ln neperiano base e produto log a (bc ) = log a b +log a c propriedades quociente log a ( b c ) = log a b − log a c potência log a b c = c log a b Mudança log c a log b a = de base log c b
  33. 33. Exercício 1Calcule o valor de:log 4 3. log 5 4. log 3 5
  34. 34. Soluçãolog 4 3. log 5 4. log 3 5 =log 3 log 4 log 5 . . =1log 4 log 5 log 3
  35. 35. Exercício 2(Fuvest - SP) Se x é um número real, x > 2 elog 2 ( x − 2) − log 4 x = 1, então o valor de x é :a) 4 - 2 3b) 4 - 3c) 2 + 2 3d) 4 + 2 3e) 2 + 4 3
  36. 36. Soluçãolog 2 ( x − 2) − log 4 x = 1 x − 4x + 4 2 2 = 2 log 2 x xlog 2 ( x − 2) − =1 log 2 4 x2 − 4x + 4 4= log 2 x xlog 2 ( x − 2) − =1 2 4x = x − 4x + 4 22 log 2 ( x − 2 ) − log 2 x = 2 x 2 − 8x + 4 = 0log 2 ( x − 2) − log 2 x = 2 2 x = 4±2 3 ( )log 2 x − 4 x + 4 − log 2 x = 2 2  x2 − 4x + 4  Como x > 0, entãolog 2   =2  resposta letra D.  x 
  37. 37. O que vimos nessa aula:• Definição de logaritmo• Consequências da definição• Propriedades do logaritmo• Mudança de base• Como resolver equações e inequações logarítmicas
  38. 38. Bibliografia• Dante, Luiz Roberto – Matemática Contexto e Aplicações. 4ª edição – 2008. Editora Ática – SP. Páginas: 224 a 255.• Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo, Roberto; Degenszajn, David – Matemática (volume único). 4ª edição – 2007. Editora Atual – SP. Páginas: 103 a 131.• Bianchini, Edwaldo; Paccola, Herval – Curso de Matemática. 3ª edição – 2003. Editora Moderna – SP. Páginas: 133 a 154.

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