UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE – FURG
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  1. 1. UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE – FURG INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E FÍSICA – IMEF CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II – TURMA:B TRANSFORMADAS DE LAPLACE No Cálculo I, estudamos que a diferenciação e a integração são transformações, ou seja, essas operações transformam uma função em outra função. Além disso, essas duas transformações têm a propriedade da linearidade segundo a qual a transformada de uma combinação linear é uma combinação linear das transformadas. Para α e β constantes, ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]xg dx d xf dx d xgxf dx d βαβα +=+ e ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ +=+ dxxgdxxfdxxgxf βαβα desde que cada derivada e cada integral existam. Agora vamos estudar um tipo especial de transformação integral chamada Transformada de Laplace.Além da propriedade da linearidade, essa transformada tem muitas outras propriedades importantes que a tornam muito útil na resolução de problemas lineares de valor inicial. DEFINIÇÃO 1: Seja ( )tf uma função definida para 0≥t e seja s uma variável real arbitrária. A Transformada de Laplace de ( )tf , designada por L ( ){ }tf ou ( )sF é definida por: L ( ){ } ( ) ( )∫ ∞+ − == 0 dttfesFtf st (1) para todos os valores de s que tornem a integral em (1) convergente. *Obs.: 1. Ao calcular a integral em (1), a variável s é considerada como constante, pois a integração é em relação à t. 2. Nem toda função possui transformada de Laplace. Dizemos que uma função ( )tf possui transformada de Laplace, se a integral ( )∫ ∞+ − 0 dttfe st converge para algum valor de s. 3. Quando a integral definida em (1) convergir, o resultado será uma função de s. Usaremos letras minúsculas para denotar a função que está sendo transformada e a letra maiúscula correspondente para denotar sua transformada de Laplace, como por exemplo: L ( ){ } ( )sFtf = , L ( ){ } ( )sGtg = , L ( ){ } ( )sXtx = , L ( ){ } ( )sYty = Ex.: Determine a transformada de Laplace das funções abaixo: 1. 1. ( ) 1=tf Solução: ( )sF =L { }1 = ( ) s e s dtedte sb b b st b st 1 1lim 1 lim1 0 0 =−−==⋅ − +∞→ ∞+ − +∞→ − ∫ ∫ , para 0>s . A integral diverge para 0≤s .
  2. 2. 2. 2. ( ) 2 ttf = Solução: ( )sF =L { }2 t =       +−−−==⋅ −−− +∞→ ∞+ − +∞→ − ∫ ∫ 332 2 0 0 22 222 limlim s e s e s b e s b dtetdtte sbsbsb b b st b st Se 0<s , temos +∞=      +      −−−− +∞→ 332 2 222 lim sss b s b e sb b e a integral imprópria diverge. Se 0>s , temos 3 22 33332 2 222 lim 12222 lim se bssb sssss b s b e sbb sb b =      ++ −=      +      −−− +∞→ − +∞→ portanto a integral imprópria converge a ( ) 3 2 s sF = . Para o caso especial em que 0=s , temos: +∞===⋅ ∫∫ ∫ +∞→ ∞+ − +∞→ − b b b t b st dttdtetdtte 0 2 0 0 022 limlim e a integral imprópria diverge. Podemos concluir então: L { } 3 2 2 s t = , para 0>s 3. ( ) at etf = Solução: ( )sF =L { }at e = ( ) ( ) [ ] as e sa dtedtee bsa b b tsa b atst − =− − ==⋅ − +∞→ ∞+ − +∞→ − ∫ ∫ 1 1lim 1 lim 0 0 , para as > . Para as ≤ , a integral imprópria diverge. 4. ( ) ( )atsentf = Solução: ( )sF =L ( ){ }atsen = = ( ) ( ) ( ) b stst b st atsene as s ate as a dtatsene 0 0 2222 coslim∫ ∞+ −− +∞→ −       + − + −=⋅ = ( ) ( ) 22222222 coslim as a as a absene as s abe as a sbsb b + =      + + + − + −= −− +∞→ , para 0>s . A integral imprópria diverge para 0≤s .
  3. 3. 5. ( )    > ≤≤ = 2,2 20, t tt tf Solução: ( )sF =L ( ){ }tf = ( ) =+      −−=⋅+⋅=⋅∫ ∫∫∫ ∞+ − +∞→ −− ∞+ −−− 0 0 2 0 22 2 0 lim2 1 2 b st b ststststst dtee s e s t dtedttedttfe [ ] ( )=−−+−−=−+−−= −− +∞→ −−− +∞→ −− ssb b ssbst b ss ee ss e s e s e ss e s e s 2 2 2 2 2 22 2 2 2 lim 2112 lim 2112 2 2 2 2 2 2 2 12112 s e e ss e s e s s sss − −−− − =++−−= , para 0>s . Para 0≤s , a integral imprópria diverge. TEOREMA 1: Se α e β são duas constantes, então: L ( ) ( ){ } αβα =+ tgtf L ( ){ } β+tf L ( ){ }tg para todo s tal que as transformadas de ( )tf e de ( )tg existam. Demonstração: L ( ) ( ){ } ( ) ( )[ ] ( ) ( ) =+=+=+ ∫∫∫ ∞+ − ∞+ − ∞+ − dttgedttfedttgtfetgtf ststst 000 βαβαβα = α L ( ){ } β+tf L ( ){ }tg sempre que ambas as integrais convergirem para cs > . Ex.: Dos exemplos 1 e 2, temos: L { }=+ 2 32 t 2 L { } 31 + L { }=2 t 0, 62 3 >+ s ss TRANSFORMADAS DE ALGUMAS FUNÇÕES BÁSICAS L{ } ( )0 1 1 >= s s L{ } ( )0,3,2,1, ! 1 >== + sn s n t n n K L{ } ( )0 2 1 2 3 >= − sst π L ( )0 1 2 1 >=       − ss t π L{ } ( )as as eat > − = , 1 L ( ){ } ( )022 > + = s as a atsen L ( ){ } ( )0cos 22 > + = s as s at
  4. 4. L ( ){ } ( )as as a atsenh > − = 22 L ( ){ } ( )as as s at > − = 22 cosh Ex.: Usando a propriedade de linearidade e as transformadas básicas, determine as seguintes transformadas de Laplace: 1. L{ }432 2 +− tt Solução: L{ } 2432 2 =+− tt L{ } 32 −t L{} 4+t L{} 0, 434 1 23 >+−= s sss 2. L{ }tsent 2cos32 + Solução: L{ } 22cos32 =+ tsent L{ } 3+sent L{ } 0, 4 3 1 2 2cos 22 > + + + = s s s s t CONDIÇÕES SUFICIENTES PARA A EXISTÊNCIA DE L ( ){ }tf Para garantir a existência de L ( ){ }tf é suficiente que ( )tf seja contínua por partes e de ordem exponencial para Tt > . Sabemos que uma função ( )tf é contínua por partes em [ )+∞,0 , se em qualquer intervalo bta ≤≤≤0 há no máximo um número finito de pontos nktk ,,2,1, K= , sendo kk tt <−1 , nos quais ( )tf é descontínua e é contínua em cada intervalo aberto kk ttt <<−1 . DEFINIÇÃO 2: Dizemos que uma função ( )tf é de ordem exponencial c, se existem constantes positivas Mc, e T, tais que ( ) tc Metf ≤ para todo Tt > . OBS.: Se ( )tf for uma função crescente, então a condição ( ) tc Metf ≤ para todo Tt > , significa simplesmente que o gráfico de ( )tf no intervalo ( )+∞,T não cresce mais rápido que o gráfico da função exponencial ( ) tc Metg = , onde M e c são constantes positivas. TEOREMA 2: Se ( )tf é contínua por partes no intervalo [ )+∞,0 e de ordem exponencial c, então L ( ){ }tf existe para cs > . Demonstração: Pela propriedade aditiva de intervalos de integrais definidas, podemos escrever
  5. 5. L ( ){ } ( ) ( ) 21 0 IIdttfedttfetf T st T st +=+= ∫∫ ∞+ −− A integral 1I existe, pois pode ser escrita como uma soma de integrais sobre os intervalos nos quais a função ( )tfe st− é contínua. Além disso, como ( )tf é de ordem exponencial, existem constantes positivas c, M e T de modo que ( ) tc Metf ≤ para Tt > , então podemos escrever: ( ) ( ) ( ) cs e MdteMdteeMdttfeI Tcs T tcs T tcts T ts − −==≤≤ −− ∞+ −− ∞+ − ∞+ − ∫∫∫2 para cs > . Como ( ) dteM T tcs ∫ ∞+ −− converge, a integral ( ) dttfe T ts ∫ ∞+ − converge pelo teste de comparação para integrais impróprias. Portanto 2I existe para cs > . A existência de 1I e 2I implica que L ( ){ }tf existe para cs > . Ex.: Calcule L ( ){ }tf para a função ( )    ≥ <≤− = 1,1 10,1 t t tf Solução: Essa função é contínua por partes e de ordem exponencial para 0>t . Além disso, ( )tf está definida em duas partes, logo L ( ){ }tf pode ser expressa como a soma de duas integrais como: L ( ){ }tf = ( ) =⋅+−⋅= ∫∫∫ ∞+ −− ∞+ − 1 1 00 1)1( dtedtedttfe ststst 0, 12 lim 1 1 0 >−=+      = − ∞+ − +∞→ − ∫ s s e s dte s e sts b ts DEFINIÇÃO 3: Dizemos que ( ) cEtf ∈ se: (i) ( )tf é definida 0≥∀t ; (ii) ( )tf é contínua por partes em todo o intervalo [ ]T,0 , 0>T ; (iii) ( )tf é de ordem exponencial c. OBS.: Estamos considerando funções que satisfazem às hipóteses do Teorema 2, portanto se ( ) cEtf ∈ , então ( )=sF L ( ){ }tf existe para cs > . TEOREMA 3: Se ( ) cEtf ∈ , então para qualquer constante a temos: L ( ){ } ( ) acsasFtfeat +>−= , Demonstração: Se ( ) cEtf ∈ , então ( )=sF L ( ){ }tf existe para cs > , portanto
  6. 6. L ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) casasFdttfedttfeetfe tastatsat >−−=== ∫∫ ∞+ −− ∞+ − , 00 , ou seja acs +> Ex.: Determine L{ }t et 4 Solução: Temos que ( ) ttf = , então ( )=sF L ( ){ }=tf L{} 2 1 s t = , portanto L { } ( ) ( ) 4, 4 1 4 2 4 > − =−= s s sFte t TEOREMA 4: Se ( ) cEtf ∈ e L ( ){ } ( )sFtf = , então para qualquer inteiro positivo n temos: L ( ){ } ( ) ( )[ ]sF ds d tft n n nn 1−= Verificação: Supondo que L ( ){ } ( )sFtf = existe e é possível trocar a ordem de diferenciação e integração, então: ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) −=−= ∂ ∂ == ∫∫∫ ∞+ − ∞+ − ∞+ − 000 dtttfedttfe s dttfe ds d sF ds d ststst L ( ){ }tft portanto L ( ){ }tft = ( )[ ]sF ds d − (1) De (1), obtemos: L ( ){ }=tft2 L ( ){ } ds d tftt −=⋅ L ( ){ }tft = ( )[ ] ( )[ ]sF ds d sF ds d ds d 2 2 =       −− portanto L ( ){ }=tft2 ( )[ ]sF ds d 2 2 (2) De (2), obtemos: L ( ){ }=tft3 L ( ){ } ds d tftt −=⋅ 2 L ( ){ }tft2 = ( )[ ] ( )[ ]sF ds d sF ds d ds d 3 3 2 2 −=       − portanto L ( ){ }=tft3 ( )[ ]sF ds d 3 3 − (3) Generalizando, obtemos: L ( ){ }=tftn ( ) ( )[ ]sF ds d n n n 1− Ex.: 1. Calcule L{ }tsent 2 : Solução: Sendo ( ) tsentf 2= , temos que ( ) 4 2 2 + = s sF , então:
  7. 7. L{ } ( )222 4 4 4 2 2 + =      + −= s s sds d tsent TEOREMA 5: Se ( )tf for uma função contínua por partes em [ )+∞,0 , de ordem exponencial e periódica com período T, então L ( ){ } ( )∫ − − − = T st sT dttfe e tf 01 1 . Prova: Escrevendo a transformada de Laplace de f como a soma de duas integrais: L ( ){ } ( ) ( )∫∫ ∞+ −− += T st T st dttfedttfetf 0 Se fizermos Tut += , a última integral fica ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ ∞+ −− ∞+ −+− ∞+ − ==+= 00 sTsusTTus T st eduufeeduTufedttfe L ( ){ }tf Portanto L ( ){ } ( ) sT T st edttfetf −− += ∫0 L ( ){ }tf Resolvendo a última equação, obtemos: L ( ){ } sT etf − − L ( ){ }=tf ( )∫ − T st dttfe 0 portanto L ( ){ }( )sT etf − −1 = ( )∫ − T st dttfe 0 logo L ( ){ } ( )∫ − − − = T st sT dttfe e tf 01 1 Ex.: Determine a transformada de Laplace da função periódica de período 2=T , definida no intervalo 20 <≤ t por: ( )    <≤ <≤ = 21,0 10,1 t t tf e fora do intervalo, por ( ) ( )tftf =+ 2 . Solução: L ( ){ } ( ) ( )s stst s st s es dtedte e dttfe e tf − −− − − − + =     ⋅+⋅ − = − = ∫∫∫ 1 1 01 1 1 1 1 2 1 1 02 2 02

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