El documento presenta información sobre sumatorias. Explica que una sumatoria representa de forma abreviada la suma de los términos de una sucesión utilizando el símbolo Σ. También describe algunas propiedades clave de las sumatorias, como que la sumatoria de una constante es igual a esa constante multiplicada por el número de términos, y que se pueden sumar o restar sumatorias aplicando las operaciones de forma distribuitiva. Además, introduce la propiedad telescópica, que permite simplificar sumatorias cancelando la mayoría

1. El signo Σ corresponde a la letra
mayúscula sigma, del alfabeto griego.
Es equivalente a la letra S, de nuestro
alfabeto.
Colegio Gabriela Mistral
Departamento de Matemática
Susana Castro C.
Guía de Trabajo Nº 2
Funciones y Procesos Infinitos
Sumatorias:
1. Concepto de sumatoria:
A menudo resulta difícil trabajar con todos los elementos de una determinada sucesión, considerándolos como
sumandos.
Para facilitar este trabajo se ha convenido representar la adición de los términos en forma abreviada, mediante
el signo Σ, acompañado de la fórmula o término general que define a la sucesión y del rango de valores que
tomará la variable considerada en esa fórmula.
Se denomina sumatoria de una sucesión na , a la forma abreviada
de escribir sus términos expresados como sumandos:
Se denota:
∑
=
=++++
n
k
kn
aaaaa
1
321
.. .
Ejemplos:
1+2+3+...+ n= ∑=
n
k
k
1
1
2
+2
2
+3
2
+...+n
2
= ∑=
n
k
k
1
2
∑= +
=+++++
20
1 121
20
...
5
4
4
3
3
2
2
1
k k
k
2. Propiedades de las sumatorias:
Sumatoria de una constante:
Si c1=c2=c3=...=cn=c, constante, entonces: cnc
n
k
k ⋅=∑=1
1

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Susana Castro C.
Ejemplo:
2004504...4444
50
1
=⋅=++++=∑=k
50 veces
Sumatoria del producto de una constante por los términos de una sucesión:
Si c es una constante, entonces:
∑∑==
⋅=⋅
n
k
k
n
k
k acac
11
Ejemplo:
180603)26171052(3)1(3)1(3
5
1
2
5
1
2
=⋅=++++⋅=+⋅=+ ∑∑ == kk
kk
Sumatoria de una suma o resta de términos de dos o más sucesiones:
Si ka y kb son sucesiones, entonces se cumple que:
∑∑∑===
±=±
n
k
k
n
k
k
n
k
kk baba
111
)(
Ejemplo: ∑∑∑∑ ====
+⋅−=+−
6
1
6
1
6
1
2
6
1
2
23)23(
kkkk
kkkk
Propiedad Telescópica de las sucesiones:
El desarrollo de algunas sumatorias tiene la particularidad de que casi todos sus términos se anulan quedando
estas reducidas a sólo dos términos. Esta propiedad se denomina Propiedad telescópica de las sumatorias.
Observemos el siguiente caso:
)()(...)()()()( 11342312
1
1 nnnnx
n
k
k aaaaaaaaaaaa −+−++−+−+−=− +−
=
+∑
Luego:
2
La notación ∑=
n
k
ka
1
se lee:
“sumatoria de los términos de
la forma, a sub k, donde k
varía de 1 a n.”

3. Colegio Gabriela Mistral
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Susana Castro C.
11
1
1
)( aaaa nk
n
k
k
−=−+
=
+∑
Con el mismo razonamiento se tiene:
111
1
)( ++
=
−=−∑nk
n
k
k aaaa
La Propiedad Telescópica también es válida para la suma de los recíprocos:
1111
1111
aaaa nkk
n
k
−=





−
++=
∑
1111
1111
++=
−=





−∑
nkk
n
k aaaa
La propiedad Telescópica es de gran utilidad para hallar una expresión que permita calcular directamente el
valor de alguna sumatoria o para demostrar si una sumatoria es igual a una expresión o fórmula dada, como por
ejemplo:
Calculemos una fórmula para:
∑= +
n
k kk1 )1(
1
Si expresamos el numerador de la fracción como: (1+k-k), tenemos:
1
11
)1()1(
1
)1(
1
111 +
−=
+
−
+
+
=
+
−+
∑∑∑ === kkkk
k
kk
k
kk
kk n
k
n
k
n
k
3

4. Colegio Gabriela Mistral
Departamento de Matemática
Susana Castro C.
Aplicando la propiedad telescópica:
11
11
1
1
1
1
11
1 +
=
+
−+
=
+
−=
+
−∑= n
n
n
n
nkk
n
k
Por lo tanto:
4
1)1(
1
1 +
=
+
∑= n
n
kk
n
k

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Guía de Ejercicios:
4° Medio : Funciones y Procesos Infinitos
Calcula las siguientes sumatorias:
1) =
+
∑=
7
1 2
)1(
k
kk
2) ∑=
=−
8
1
)23(
k
k
3) =
+
∑=
6
1
2
)1(k k
k
4) =
+
−
∑=
10
1 1
1
k k
k
5)
( ) =
+
−
∑=
4
1 12
1
k
k
k
6)
( ) =
+−
∑=
8
1
2
4
)1(1
k
k
k
k
Expresa como sumatoria, las siguientes sumas:
i) 1
2
+ 2
3
+ 3
4
+ … + 50
51
ii) 1 ∙ 1 +2 ∙ 3 +3 ∙ 5 + … + 10 ∙ 19
iii) 2 + 5 + 8 + 11 + … + 44
5

6. Colegio Gabriela Mistral
Departamento de Matemática
Susana Castro C.
iv) 1 + 4 + 7 + … + 43
v) 2 + 5 + 10 + 17 + … + 401
vi) 5 + 8 + 13 + 20 + … + 904
Aplica las propiedades de las sumatorias y calcula:
i) =∑=
25
4 22
4
k
ii) =
+
∑=
10
1
3
5
)1(7
k
k
iii) ∑=
=−+
20
11
2
)2)(2(
k
kk
iv) ∑=
=+
13
1
3
)7(
k
k
6

7. Colegio Gabriela Mistral
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Susana Castro C.
Guía de ejercicios N°2
4° Medio : Funciones y Procesos Infinitos
Usa la fórmula correspondiente y calcula cada una de las siguientes sumatorias:
1) ∑=
=
40
1k
k
2) =−∑=
30
1
)12(
k
k
3) ∑=
=
63
1
2
k
k
4) =∑=
80
1
2
)2(
k
k
5) ∑=
=+
70
1
2
)(
k
kk
6) =−∑=
15
1
2
)25(
k
k
Usa las fórmulas conocidas y encuentra a su vez otra fórmula para cada una de las siguientes sumatorias.
i) =∑=
n
k
k
1
2
ii) =−∑=
n
k
k
1
)23(
7

8. Colegio Gabriela Mistral
Departamento de Matemática
Susana Castro C.
iii) =+∑=
n
k
k
1
)42(
iv) =−∑=
n
k
k
1
2
)1(
v) =+∑=
n
k
kk
1
2
)46(
vi) =+∑=
n
k
k
1
2
)1(
8

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Susana Castro C.
Guía de Trabajo Nº 3
Funciones y Procesos Infinitos
Sumatorias:
Sumatoria de una Sucesión:
A veces es posible encontrar una fórmula o expresión general para la sumatoria de los términos de una
sucesión, lo que simplifica notablemente el cálculo de dicha sumatoria.
1) Sumatoria de los n primeros números naturales:
Sea An = 1, 2, 3, 4, 5, … , n-1, n
nnk
n
k
+−+++++=∑=
)1(...4321
1
, o bien
123....)2()1(
1
++++−+−+=∑=
nnnk
n
k
Sumando término a término, tenemos:
)1(...)1()1()1(2
1
++++++++=∑=
nnnnk
n
k
n veces
2
)1(
,)1(2
11
+
=+= ∑∑ ==
nn
kuegolnnk
n
k
n
k
2) Sumatoria de los n primeros números impares:
Sea An= 1, 3, 5, 7, … , (2n-1)
1+3+5+ … + (2n-1)= ∑=
−
n
k
k
1
)12(
Aplicando propiedades de la sumatoria, tenemos:
2
1
)12( nk
n
k
=−∑=
9

10. Colegio Gabriela Mistral
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