Logarítmos
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  • 1. LOGARITMOSÂngelo Moreira dos Reis
  • 2. QUAL É O TEMPO?Giovanna ganhou 1 000 reais de seu pai pra fazer sua festa de 15 anos. Ao receber o dinheiro, no entanto, resolveu abrir mão da festa. É que ela queria comprar um computador.Mas havia um problema: o computador que ela queria custava 1 500 reais. O jeito era aplicar o dinheiro que tinha, até conseguir o valor necessário.
  • 3. QUAL É O TEMPO?Giovanna foi ao banco e conseguiu uma taxa de5 % ao mês, capitalizados mensalmente.Chegando em casa, ficou curiosa. Em quantotempo os 1000 reais aplicados se transfor-mariam nos 1500 reais de que precisava? Ela havia acabado de aprender a calcular juroscompostos. Fez, então, as suas contas.
  • 4. VEJA OS CÁLCULOSCapital aplicado: C = 1 000Taxa: 5 % ao mês = 0,05 ao mêsMontante pretendido: M = 1 500,00M = C.(1 + i)t ⇒ 1 500 = 1 000 . (1,05)t 1,057 ≈ 1,407⇒ 1,05t = 1,5 1,058 ≈ 1,477 1,059 ≈ 1,551Giovanna concluiu, portanto, que seu objetivo seriaatingido no final do 9º mês de aplicação.
  • 5. QUAL É O EXPOENTE?Como poderia ser obtido, com uma aproximação razoável e sem utilizar o método das tentativas, o valor de t na equação 1,05t = 1,5?A teoria dos logaritmos é muito útil em problemas como esse, que envolve a determinação de um expoente.
  • 6. HISTÓRIAA invenção dos logaritmos ocorreu no início do século XVII e é creditada ao escocês John Napier e ao suiço Jobst Burgi.Inicialmente seu objetivo era simplificar os cálculos numéricos, principalmente em problemas ligados à Astronomia e à Navegação.
  • 7. HISTÓRIAA partir dessa fabulosa invenção, tornaram-se mais simples e mais ágeis cálculos de expressões como 2,382,5 . √12,4 3 5,13,8 O valor dessa expressão equivale ao valor de 102,5.log 2,38 + (1/3).log 12,4 – 3,8.log 5,1
  • 8. HISTÓRIAFoi o matemático inglês Henry Briggs (1561 – 1631) quem propôs, inicialmente, a utilização do sistema de logaritmos decimais. Afinal, o nosso sistema de numeração utiliza justamente a base 10.
  • 9. HISTÓRIAAtualmente, são inúmeras as aplicações tecnológicas dos logaritmos. Eles são úteis, por exemplo, na resolução de problemas que envolvem desintegração radiotiva, o crescimento de uma população de animais ou bactérias, etc.
  • 10. TRABALHANDO COMPOTÊNCIAS DE BASE 10
  • 11. A BASE 10Todo número positivo pode ser escrito como uma potência de base 10, ou como uma aproximação dessa potência. Veja os exemplos: 1 = 100 0,1 = 10–1 10 = 101 0,01 = 10–2 100 = 102 0,001 = 10–3 1 000 = 103 0,0001 = 10–4 10 000 = 104 0,00001 = 10–5
  • 12. A BASE 10Na maioria dos casos, torna-se difícil escrever um número como potência de base 10. Em valores aproximados apresentamos os exemplos: 2 = 100,301 3 = 100,477 7 = 100,845 11 = 101,041 13 = 101,114
  • 13. EXEMPLOSUsando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477, escreva os números 4, 5 e 6 como potência de base 10.  4 = 22 = (100,301)2 = 100,602  5 = 10 = 10 = 100,699 = 101 – 0,301 2 100,301  6 = 2.3 = 100,301 . 100,477 = 100,301 + 0,477 = 100,778
  • 14. EXEMPLOSUsando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477, escreva o número 60 como potência de base 10.  60 = 2.3.10 = 100,301 . 100,477 . 10 ⇒ 60 = 100,301 + 0,477 + 1 ⇒ 60 = 101,778
  • 15. EXEMPLOSUsando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477, resolva a equação exponencial 2x = 12. 2x = 12 ⇒ 2x = 22.3 ⇒ (100,301)x = (100,301)2 . 100,477 ⇒ 100,301.x = 100,602 . 100,477 ⇒ 100,301.x = 101,079 ⇒ 0,301.x = 1,079 1,079 ⇒ x= ⇒ x ≈ 3,585 0
  • 16. LOGARITMOCOMOEXPOENTE
  • 17. LOGARITMO COMO EXPOENTEO conceito de logaritmo está associado à operação potenciação: mais precisamente à determinação do expoente. Veja: 2x = 8 ⇒ x = 3 No caso, dizemos, que o logaritmo de 8, na base 2 , é igual ao expoente 3. Em símbolos, log2 8 = 3
  • 18. LOGARITMO COMO EXPOENTEObserve: calcular o log2 8 é descobrir o expoente ao qual se deve elevar a base 2, para obter, como resultado, a potência 8. Vale, portanto a equivalência: log2 8 = 3 ⇔ 23 = 8 Calcular um logaritmo é obter um expoente. Logaritmo é o mesmo que expoente.
  • 19. DEFINIÇÃOSuponhamos dois reais positivos a e b (a ≠ 1). Se ax = b, dizemos que x é o logaritmo de b na base a (simbolicamente loga b = x). loga b = x ⇔ ax = b  a é a base;  b é o logaritmando ou antilogaritmo;  x é o logaritmo;
  • 20. EXEMPLOS log2 32 = 5, porque 25 = 32 log3 (1/81) = –4, porque 3–4 = 81 log10 0,001 = –3, porque 10–3 = 0,001 3 3 log5 √25 = 2/3, porque 5 2/3 = √252 De acordo com a definição, calcular um logaritmo é descobrir o expoente, ou seja, resolver uma equação exponencial.
  • 21. EXEMPLOS Calcular log4 8. log4 8 = x ⇒ 4x = 8 ⇒ (22)x = 23 ⇒ 22x = 23 ⇒ x=3
  • 22. EXEMPLOS Calcular log1/3 √9. 5 x 1 5 5 ⇒ = √9log1/3 √9 = x 3 ⇒ (3–1)x = 32/5 ⇒ 3–x = 32/5 ⇒ –x = 2/5 ⇒ x = –2/5
  • 23. CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DOLOGARITMODa definição, concluímos que o logaritmo só existe sob certas condições: b>0 loga b = x ⇔ a>0 a≠ 1
  • 24. CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA Analise quais seriam os significados de log2 (–4), log(–2) 8, log7 0, log1 6 e log0 2, caso fossem definidos. log2 (–4) = x ⇒ 2x = –4 impossível log–2 8 = x ⇒ (–2)x = 8 impossível log7 0 = x ⇒ 7x = 0 impossível log1 6 = x ⇒ 1x = 6 impossível log0 2 = x ⇒ 0x = 2 impossível
  • 25. OBSERVAÇÃOMuitas vezes, um logaritmo envolve variáveis. Nesse caso, devemos analisar o domínio dessas variáveis. Para isso, usamos as condições de existência do logaritmo.
  • 26. EXEMPLOS Resolver a equação logx (2x + 8) = 2.1o. Vamos analisar a condição de existência do logaritmo. 2x + 8 > 0 x > –4 x>0 x>0 ⇒ x>0 ⇒ x≠1 x≠1 x≠1 2o. Usando a definição de logaritmo. logx (2x + 8) = 2 ⇒ x2 = 2x + 8 ⇒ x2 – 2x – 8 = 0 ⇒ x = –2 ou x = 4. ⇒ S = {4}
  • 27. CONSEQÜÊNCIA S DA DEFINIÇÃO
  • 28. CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃOAdmitindo-se válidas as condições de existência dos logaritmos, temos os seguintes casos especiais, que são conseqüências da definição. loga 1 = 0 porque a0 = 1 loga a = 1 porque a1 = a loga ak = k porque ak = ak
  • 29. EXEMPLOS log3 3 = log10 10 = log3,7 3,7 = 1 log3 1 = log10 1 = log3,7 1 = 0 log3 39 = 9 log10 10–3 = –3
  • 30. CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃOSabemos que loga k é o expoente ao qual se deve elevar a base a para se obter k. Vale por isso, a seguinte igualdade: loga k a =k
  • 31. EXEMPLOS log5 3 5 =3 1 + log2 6 log2 6 2 = 2 .2 1 = 2.6 = 12 log3 5 log3 5 9 log3 5 2 = (32) = 3 = 52 = 25 1 – log15 3 151 15 15 = = =5 log15 3 3 1
  • 32. SISTEMA DELOGARITMOS
  • 33. SISTEMA DE LOGARITMOSSistema de logaritmos é o conjunto de todos os logaritmos numa determinada base. Entre os infinitos sistema de logaritmos, destacam-se dois:O sistema de logaritmos decimais utiliza a base 10. No cálculo de logaritmos decimais, convenciona-se não escrever a base, ou seja, log x é o mesmo que log10 x. log x → logaritmo decimal de x (base 10)
  • 34. EXEMPLOS log 1000 = log10 1000 = 3 log 0,01 = log10 10–2 = –2 log 1 = log10 1 = 0 log 100 = log10 100 = 2
  • 35. SISTEMA DE LOGARITMOSO sistema de logaritmos naturais ou neperianos, utiliza, como base, o número irracional e.Esse número foi introduzido por Euler, em meados do século XVIII. Seu valor aproximado é e= 2,71828.O logaritmo natural de um número x pode ser indicado por Ln x. Ln x → logaritmo natural de x (base e)
  • 36. EXEMPLOS Ln e = loge e = 1 Ln 10 = loge 10 ≈ 2,3 Ln e3 = loge e3 = 3
  • 37. OBSERVAÇÃOChama-se co-logaritmo de a na base b (em símbolos, cologb a) o oposto do logaritmo de a na base b. cologb a = – logb a  colog2 8 = – log2 8 = –3  colog3 (1/9) = – log3 (1/9) = 2
  • 38. LOGARITMOS DECIMAIS
  • 39. LOGARITMOS DECIMAISO primeiro a utilizar os logaritmos decimais foi o matemático inglês Henry Briggs (1561-1631).Foi ele quem construiu a primeira tábua de logaritmos decimais.
  • 40. TÁBUA DE LOGARITMOS DECIMAIS log 13 = 1,114n log n n log n n log n n log n ou1 0 11 1,041 21 31 1,322 1,114 1,491 10 = 132 0,301 12 1,079 22 1,342 32 1,5053 0,477 13 1,114 23 1,362 33 1,5194 0,602 14 1,146 24 1,380 34 1,5315 0,699 15 1,176 25 1,398 35 1,5446 0,778 16 1,204 26 1,415 36 1,5567 0,845 17 1,230 27 1,431 37 1,5688 0,903 18 1,255 28 1,447 ... ... log 35 = 1,5449 0,954 19 1,279 29 1,462 99 1,996 ou10 1 20 1,301 30 1,477 100 2 101,544 = 35
  • 41. EXEMPLOS Calcule os logaritmos decimais a) log 10 b) log 10 000 c) log 1013 d) log 10–30 e) log 0,000001
  • 42. EXEMPLOS Consultando a tábua de logaritmos calcule a) log 60 + log 31 – log 5 b) 100,903 + 101,505 – 1000,69 c) os valores de x e y tais que 10x = 26 e 1000y = 15
  • 43. EXEMPLOS Em valores aproximados, a tábua de logaritmos mostra que log 13 = 1,114 ou 101,114 = 13. A partir desses valores, sem uso de calculadora, obtenha os números seguintes. a) 102,114; 104,114; 100,114 e 1001,557. b) log 130; log 13000; log 1,3 e log 1300 c) os valores de x e y tais que 10x = 0,13 e 13y = 103,342.
  • 44. MUDANÇA DE BASE
  • 45. MUDANÇA DE BASEObserve uma calculadora científica. Ela permite o cálculo apenas dos logaritmos decimais (tecla log) e dos logaritmos naturais (tecla Ln).Como obter então, numa calculadora, logaritmos em outras bases?Será possível achar, por exemplo, os valores de log3 5 e log7 23?
  • 46. MUDANÇA DE BASENa tábua de logaritmos decimais, encontramos que log10 23 = 1,362 e log10 7 = 0,845. A partir deles, determine o valor log7 23. log10 23 = 1,362 ⇒ 101,362 = 23 log10 7 = 0,845 ⇒ 100,845 = 7 log10 23 log7 23 = log10 7 log7 23 = x ⇒ 7x = 23 ⇒ (100,845)x = 101,362 ⇒ 100,845.x = 101,362 1,362 ⇒ 0,845.x = 1,362 ⇒ x= = 1,612 0,845
  • 47. FÓRMULA DE MUDANÇA DE BASEDe modo geral, podemos calcular logba, utilizando uma outra base k arbitrária. Para isso, dividimos o logaritmo de a pelo logaritmo de b, na base k escolhida. logk a Logb a = logk b
  • 48. EXEMPLOS Pela tecla Ln (logaritmo natural) de uma calculadora, obtemos Ln 6 = 1,792 e Ln 2 = 0,693. A partir desses valores, calcular log2 6. loge 6 Ln 6 1,792log2 6 = = = = 2,586 loge 2 Ln 2 0,693
  • 49. EXEMPLOS Resolver a equação 5x = 20, dados os logaritmos decimais log 5 = 0,699 e log 20 = 1,301.5x = 20 ⇒ x = log5 20 log10 20 log 20 1,301log5 20 = = = = 1,861 log10 5 log 5 0,699
  • 50. EXEMPLOS Se logk x = 2, calcular logx (1/k). logk (1/k) –1logx (1/k) = = logk x 2
  • 51. EXEMPLOS Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, calcular log2 3.1o. Vamos a fórmula de mudança de base. log 3 0,48 log2 3 = = = 1,6 log 2 0,30 Observe que, log2 3 = 1,6 ⇔ 21,6 = 3.
  • 52. EXEMPLOS Escrevendo os logaritmos numa mesma base, obtenha o valor mais simples do produto log2 7 . Log7 13 . Log13 2 1o. Vamos a fórmula de mudança de base. 1 1 1 log 7 . log 13 . log 2 = 1 log 2 log 7 log 13 1 1 1
  • 53. CONSEQÜÊNCIA – MUDANÇA DE BASE  Compare os valores dos log5 25 e log25 5. log5 25 = 2 e log25 5 = 1/2  Compare, também, os valores log2 8 e log8 2. log2 8 = 3 e log8 2 = 1/3  Que conclusão se pode tirar dessas comparações? logb a = 1/loga b  Se logx y = 3/5, calcule logy x. logy x = 5/3
  • 54. GENERALIZANDO Como conseqüência da fórmula de mudança de base, temos: loga a logb a = loga b 1 logb a = loga b
  • 55. PROPRIEDADE S DOSLOGARITMOS
  • 56. PROPRIEDADES DOS LOGARITMOSO logaritmo tem uma particularidade importante. Ele transforma operações mais complicadas em operações mais simples.Com as propriedades dos logaritmos podemos transformar: multiplicações em adições; divisões em subtrações; potenciações em multiplicações; radiciações em divisões.
  • 57. LOGARITMO DO PRODUTOVamos calcular o valor do log 21, a partir dos valores de log 3 = 0,477 e log 7 = 0,845.log 3 = 0,477 ⇒ 100,477 = 3log 7 = 0,845 ⇒ 100,845 = 7 log 21 =⇒ 10x = 21 log 3 + log 7 log 21 = x log (3.7) = ⇒ 10x = 3.7 ⇒ 10x = 100,477.100,845 ⇒ 10x = 100,477 + 0,845 ⇒ x = 0,477 + 0,845 ⇒ x = 1,322
  • 58. LOGARITMO DO PRODUTODe modo geral, o logaritmo do produto de dois números, numa certa base, é a soma dos logaritmos desses números, na mesma base. Loga (x.y) = loga x + loga y Para o produto de três ou mais fatores, a propriedade continua válida.
  • 59. EXEMPLOSA par tir de log 2 = 0,301 e log 13 = 1,114, calcular log 26 e log 2000. log 26 = log (2.13) = log 2 + log 13 log 26 = 0,301 + 1,114 = 1,415 log 2000 = log (2.1000) = log 2 + log 1000 log 2000 = 0,301 + 3 = 3,301
  • 60. EXEMPLOSSendo x e y reais positivos, decompor log3 (9xy) numa soma de logaritmos.log3 (9xy) = log3 9 + log3 x + log3 ylog3 (9xy) = 2 + log3 x + log3 y
  • 61. EXEMPLOSTransformar num único logaritmo e calcular o valor da expressão log 4 + log 5 + log 50. log 4 + log 5 + log 50 = log (4.5.50) log 4 + log 5 + log 50 = log 1000 = 3
  • 62. LOGARITMO DO QUOCIENTEVamos calcular o valor do log (3/2), a partir dos valores de log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477.log 2 = 0,301 ⇒ 100,301 = 2log 3 = 0,477 ⇒ 100,477 = 3 log (3/2) = x ⇒ (3/2) = log 10x = 3/2 log 3 – log 2 3 100,477 ⇒ 10 = x = = 100,477 – 0,301 2 100,301 ⇒ x = 0,477 – 0,301 ⇒ x = 0,176
  • 63. LOGARITMO DO QUOCIENTEDe modo geral, o logaritmo do quociente de dois números, numa certa base, é a diferença dos logaritmos desses números, na mesma base. Loga x = loga x – loga y y
  • 64. EXEMPLOSA partir de log 2 = 0,301 obter log 5. 10log 5 = log = log 10 – log 2 = 1 – 0,301 2⇒ log 5 = 0,699
  • 65. EXEMPLOSSe x e y são reais positivos, decompor em parcelas log2 (x/4y). x log2 = log2 x – log2 4y 4y = log2 x – (log2 4 + log2 y) = log2 x – (2 + log2 y) = log2 x – 2 – log2 y = log2 x – log2 y – 2
  • 66. EXEMPLOSCompor (transformar num único logaritmo) a expressão E = log m – log 3 + 2 – log n.1º. Vamos transformar a parcela 2 na forma de logaritmodecimal. log 100 = 2.E = log m – log 3 + log 100 – log nE = (log m + log 100) – (log 3 + log n)E = (log 100m) – (log 3n) 100mE = log 3n
  • 67. LOGARITMO DA POTÊNCIAVamos calcular o valor do log 34, a partir do valor de log 3 = 0,477. log 3 = 0,477 ⇒ 100,477 = 3 log 34 = x ⇒ 10x = 34 ⇒ 10x = (100,477)4 ⇒ x = 4 . 0,477 ⇒ x = 1,908 log 34 = 4 . log 3
  • 68. LOGARITMO DA POTÊNCIAGeneralizando, o logaritmo de uma potência, é igual ao produto do expoente da potência pelo logaritmo da base. Loga xk = k . loga x
  • 69. EXEMPLOSA partir do log 3 = 0,477, calcular log 0,009. 9log 0,009 = log = log 9 – log 100 100 = log 32 – 2 = 2 . log 3 – 2 = 2 . 0,477 – 2 = 0,954 – 2 = – 1,046
  • 70. EXEMPLOS 13√3Calcular log 4 , a partir dos valores log 2 = 0,301, log 3 = 0,477 e log 13 = 1,114. 13√3 log = log 13 + log √3 – log 4 4 = log 13 + log 31/2 – log 22 = log 13 + 1 . log 3 – 2 . log 2 2 = 1,144 + 0,5.0,477 – 2.0,301 = 1,144 + 0,2385 – 0,601 = 0,7505
  • 71. EXEMPLOSCompor e simplificar a expressão 1 E = 2.log3 12 – 3 log3 8 – 21º. Vamos transformar a parcela 2 na forma de logaritmode base 3. (log3 9 = 2). 1E = 2.log3 12 – log3 8 + log3 9 3E = log3 122 – log3 81/3 + log3 9E = log3 144 – log3 2 + log3 9 = log3 144 – log3 (2.9) 144E = log3 144 – log3 18 ⇒ E = log3 = log3 8 18
  • 72. UTILIZANDO AS PROPRIEDADES DOSLOGARITMOS COMPLETE A TABELA DELOGARITMOS DECIMAIS.n log n n log n n log n n log n1 0 11 D 21 B+C 31 J2 A 12 2A + B 22 A+D 32 5A3 B 13 E 23 H 33 B+D4 2A 14 A+C 24 3A + B 34 A+F5 1–A 15 1+B–A 25 2(1 – A) 35 1–A + C6 A+B 16 4A 26 A+E 36 2(A+B)7 C 17 F 27 3B 37 K8 3A 18 A + 2B 28 2A + C 38 A+G9 2B 19 G 29 I 39 B+E10 1 20 1+A 30 1+B 40 1 + 2A
  • 73. EXEMPLOS(FGV-RJ) A tabela abaixo fornece os valores doslogaritmos naturais (base e) dos números inteiros de 1a 10. Ela pode ser usada para resolver a equaçãoexponencial 3x = 24, encontrando-se,aproximadamente, x Ln x x Ln x a) 2,1. 1 0,00 6 1,79 b) 2,3. 2 0,69 7 1,95 c) 2,5. d) 2,7 3 1,10 8 2,08 e) 2,9 4 1,39 9 2,20 5 1,61 10 2,30
  • 74. EXEMPLOSSe log 2 = a e log 3 = b, escreva o log2 72 em função de a e b. log 72 log 23.32log2 72 = = log 2 log 2 log 23 + log 32 3.log 2 + 2.log 3 = = log 2 log 2 3a + 2b = a