2. Introducción
Matriz inversa:
Si es una matriz cuadrada, se llama matriz inversa de A
y se denota A-1 a una matriz del mismo orden que A
que verifica la siguiente igualdad:
1 1 (Siendo I la matriz identidad
A. A A .A I de igual orden que A)
Si una matriz posee inversa se dice que es invertible en
caso contrario se llama singular, debido a que no todas
las matrices cuadradas pueden tener inversa.
3. Ejemplo: Sea A=
2
1 1
1
, hallar si es posible A-1
Multiplico los elementos de
1 las filas de la primer matriz
A. A I por los elementos de las
columnas de la segunda y
sumo los productos:
2 1 a b 1 0
. Para la fila 1, columna 1:
1 1 c d 0 1 2.a+(-1).c=2.a-c
Para la fila 1, columna 2:
2.b+(-1).d=2.b-d
2a c 2b d 1 0 Para la fila 2, columna 1:
1.a+1.c=a+c
a c b d 0 1 Para la fila 2, columna 2:
1.b+a.d=b+d
Ahora a partir de esto puedo armar un sistema de ecuaciones que me permita hallar A-1
4. Ejemplo: Sea A=
2
1 1
1
, hallar si es posible A-1
A partir de esta igualdad podemos
2a c 2b d 1 0 deducir las siguientes ecuaciones:
2.a-c=1 2b-d=0
a c b d 0 1 a+c=0 b+d=1
2a c 1 2b d 0
Armar estos sistemas de ecuaciones…
a c 0 b d 1
2a c 1 2b d 0
b d 1 …Y resolverlos por alguno de los métodos vistos
a c 0 (suma, resta, igualación, sustitución, etc…)
3a 0c 1 3b 0d 1
3a 1 3b 1
a 1/ 3 b 1/ 3
En este caso fue resuelto por la suma de
c a d 1 b las ecuaciones del sistema y el posterior
d 1 1/ 3 despeje de las incógnitas….
c 1/ 3
d 2/3
5. Ejemplo: Sea A=
2
1 1
1
, hallar si es posible A-1
Ahora que se el valor de mis incógnitas las ubico en la matriz y verifico que sea la
matriz inversa de A
1
A. A I Para la fila 1, columna 1:
2.(1/3)+(-1).(-1/3)= 1
Para la fila 1, columna 2:
2 1 a b 2.(1/3)+(-1).(2/3)=0
. Para la fila 2, columna 1:
1 1 c d 1.a+1.c=a+c
Para la fila 2, columna 2:
1.b+a.d=b+d
1 1
2 1 3 3 1 0 El resultado coincide con
.
1 1 1 2 0 1 los valores de la identidad…
3 3
6. Ejemplo: Sea A=
2
1 1
1
, hallar si es posible A-1
… lo que significa que hemos encontrado la matriz inversa de A
1 1
1 3 3
A
1 2
3 3
7. El método recién explicado resulta sencillo con una
matriz de 2x2 pero al querer aplicarlo en matrices mas
grandes se hace mas complicado el despeje de las
incógnitas….
… es por ello que veremos el método Gauss Jordan.
8. Método Gauss Jordan.
1 0 1
Preparación de la matriz: A= 1 2 2
2 1 1
Para facilitar el entendimiento del método utilizaremos una grilla…
1. En la parte izquierda de la grilla ingresamos los elementos de nuestra
matriz en orden y respetando su ubicación original
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
2. Mientras que en la parte izquierda ingresamos los valores de la matriz identidad
9. Método Gauss Jordan.
Mecánica del procedimiento:
1. Se elige como pivote cualquier elemento no nulo de la
matriz dada, y se divide por él la fila correspondiente.
En este caso elijo el 1 para
ahorrar cuentas, ya que
debo dividir cada elemento
1 0 1 1 0 0
de la fila por el numero
que elijo.
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
Por lo tanto, debido a que
elegí el 1 se mantienen los
valores de la fila 1 0 1 1 0 0
10. Método Gauss Jordan.
Mecánica del procedimiento:
2. Los restantes elementos de la columna del pivote se
transforman en cero.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 0
0
0
11. Método Gauss Jordan.
Mecánica del procedimiento:
3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la
columna del pivote se determina por la regla del rectángulo
Seleccionamos el Que consiste en
elemento a
transformar
restarle a dicho
1 0 1 1 0 0 elemento el producto
Entre el pivote y el contra diagonal
elemento seleccionado 1 2 2 0 1 0
hay un rectángulo dividido por el pivote
2 1 1 0 0 1
imaginario
Entonces, para determinar
Siendo la diagonal la 1 0 1 1 0 0
línea que va del pivote este elemento debemos
al 2 la contra 0 2 hacer la sig. cuenta…
diagonal seria la que 2-(1.0)/1= 2
va del 0 al 1 0 Y lo ubicamos en la tabla…
12. Método Gauss Jordan.
Mecánica del procedimiento:
3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la
columna del pivote se determina por la regla del rectángulo
Ahora seleccionamos
otro elemento a
transformar
1 0 1 1 0 0
1 2 2 -2 - [1.(-1)]/1 =
Armamos el rectángulo 0 1 0
imaginario -2 - (-1) =
2 1 1 0 0 1 -2 + 1 = -1
Y determinamos los 1 0 1 1 0 0 Y así sucesivamente
elementos de la hasta completar la
contra diagonal para 0 2 -1 tabla…
hacer la
transformación 0
13. Método Gauss Jordan.
Mecánica del procedimiento:
3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la
columna del pivote se determina por la regla del rectángulo
0-( 1 . 1 )/1= -1
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 0
0 2 -1 -1
0
14. Método Gauss Jordan.
Mecánica del procedimiento:
3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la
columna del pivote se determina por la regla del rectángulo
1-( 1 . 0 )/1= 1
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 0
0 2 -1 -1 1
0
15. Método Gauss Jordan.
Mecánica del procedimiento:
3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la
columna del pivote se determina por la regla del rectángulo
0-( 1 . 0 )/1=0
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 0
0 2 -1 -1 1 0
0
16. Método Gauss Jordan.
Mecánica del procedimiento:
3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la
columna del pivote se determina por la regla del rectángulo
-1-( 2 . 0 )/1=-1
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 0
0 2 -1 -1 1 0
0 -1
17. Método Gauss Jordan.
Mecánica del procedimiento:
3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la
columna del pivote se determina por la regla del rectángulo
1-( 2 . -1 )/1=3
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 0
0 2 -1 -1 1 0
0 -1 3
18. Método Gauss Jordan.
Mecánica del procedimiento:
3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la
columna del pivote se determina por la regla del rectángulo
0-( 2 . 1 )/1=-2
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 0
0 2 -1 -1 1 0
0 -1 3 -2
19. Método Gauss Jordan.
Mecánica del procedimiento:
3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la
columna del pivote se determina por la regla del rectángulo
0-( 2 . 0 )/1=0
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 0
0 2 -1 -1 1 0
0 -1 3 -2 0
20. Método Gauss Jordan.
Mecánica del procedimiento:
3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la
columna del pivote se determina por la regla del rectángulo
1-( 2 . 0 )/1=1
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 0
0 2 -1 -1 1 0
0 -1 3 -2 0 1
21. Método Gauss Jordan.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
Se elige otro pivote que
no pertenezca ni a la 1 0 1 1 0 0
fila ni a la columna del
pivote anterior, y se 0 2 -1 -1 1 0
divide por él la fila
correspondiente. 0 -1 3 -2 0 1
Los restantes 0
elementos de la
columna del pivote se 0 1 -½ -½ ½ 0
transforman en cero.
0
22. Método Gauss Jordan.
Seleccionamos el 1 0 1 1 0 0 El transformado de todo
elemento a
1 2 2 elemento que no figure
transformar 0 1 0 en la fila ni en la
2 1 1 0 0 1 columna del pivote se
Entre el pivote y el determina por la regla
elemento seleccionado 1 0 1 1 0 0 del rectángulo
hay un rectángulo
imaginario
0 2 -1 -1 1 0
0 -1 3 -2 0 1 Entonces, para determinar
este elemento debemos
Siendo la diagonal la
línea que va del pivote
1 0 hacer la sig. cuenta…
1-(0.0)/1= 1
al 1 la contra diagonal
seria la que va del 0 al 0
0 1 -½ -½ ½ 0 Y lo ubicamos en la tabla…
0
23. Método Gauss Jordan.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0 Y ahora se repiten
los pasos hasta que
2 1 1 0 0 1 se completa la
1 0 1 tabla….
1 0 0
0 2 -1 -1 1 0
0 -1 3 -2 0 1 0-(0.-1)/2= 0
1 0
0 1 -½ -½ ½ 0
0 0
24. Método Gauss Jordan.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0 Y ahora se repiten
los pasos hasta que
2 1 1 0 0 1 se completa la
1 0 1 tabla….
1 0 0
0 2 -1 -1 1 0
0 -1 3 -2 0 1 3-(-1.-1)/2= 5/2
1 0
0 1 -½ -½ ½ 0
0 0 5/2
25. Método Gauss Jordan.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0 Y ahora se repiten
los pasos hasta que
2 1 1 0 0 1 se completa la
1 0 1 tabla….
1 0 0
0 2 -1 -1 1 0
0 -1 3 -2 0 1 -2-(-1.-1)/2= -5/2
1 0
0 1 -½ -½ ½ 0
0 0 5/2 -5/2
26. Método Gauss Jordan.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0 Y ahora se repiten
los pasos hasta que
2 1 1 0 0 1 se completa la
1 0 1 tabla….
1 0 0
0 2 -1 -1 1 0
0 -1 3 -2 0 1 0-(-1.1)/2= 1/2
1 0
0 1 -½ -½ ½ 0
0 0 5/2 -5/2 ½
27. Método Gauss Jordan.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0 Y ahora se repiten
los pasos hasta que
2 1 1 0 0 1 se completa la
1 0 1 tabla….
1 0 0
0 2 -1 -1 1 0
0 -1 3 -2 0 1 1-(-1.0)/2= 1
1 0
0 1 -½ -½ ½ 0
0 0 5/2 -5/2 ½ 1
28. Método Gauss Jordan.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0 Y ahora se repiten
los pasos hasta que
2 1 1 0 0 1 se completa la
1 0 1 tabla….
1 0 0
0 2 -1 -1 1 0
0 -1 3 -2 0 1 0-(0.0)/2= 0
1 0 0
0 1 -½ -½ ½ 0
0 0 5/2 -5/2 ½ 1
29. Método Gauss Jordan.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0 Y ahora se repiten
los pasos hasta que
2 1 1 0 0 1 se completa la
1 0 1 tabla….
1 0 0
0 2 -1 -1 1 0
0 -1 3 -2 0 1 0-(1.0)/2= 0
1 0 0 0
0 1 -½ -½ ½ 0
0 0 5/2 -5/2 ½ 1
30. Método Gauss Jordan.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0 Y ahora se repiten
los pasos hasta que
2 1 1 0 0 1 se completa la
1 0 1 tabla….
1 0 0
0 2 -1 -1 1 0
0 -1 3 -2 0 1 1-(-1.0)/2= 1
1 0 1 0 0
0 1 -½ -½ ½ 0
0 0 5/2 -5/2 ½ 1
31. Método Gauss Jordan.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0 Y ahora se repiten
los pasos hasta que
2 1 1 0 0 1 se completa la
1 0 1 tabla….
1 0 0
0 2 -1 -1 1 0
0 -1 3 -2 0 1 -1-(-1.0)/2= -1
1 0 -1 1 0 0
0 1 -½ -½ ½ 0
0 0 5/2 -5/2 ½ 1
32. Método Gauss Jordan.
Una vez completa,
1 0 1 1 0 0 repito los pasos
hasta obtener una
1 2 2 0 1 0 matriz identidad
2 1 1 0 0 1 en la columna A y
la inversa de A en
1 0 1 1 0 0 la columna I…
0 2 -1 -1 1 0 Como puede verse
aquí aun hace falta
0 -1 3 -2 0 1 otro cuadrante
para cumplir con la
1 0 -1 1 0 0 condición…
0 1 -½ -½ ½ 0
0 0 5/2 -5/2 ½ 1
33. Método Gauss Jordan.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0 Una vez completa,
2 1 1 0 0 1 repito los pasos
hasta obtener una
1 0 1 1 0 0 matriz identidad
Elijo mi tercer Y aplico la
en la columna A y
pivote… 0 2 -1 -1 1 0 regla del
la inversa de A en
0 -1 3 0 1 cuadrado al
la columna I…
Divido los resto de los
Como puede verse
elementos de 1 0 -1 1 0 0 elementos…
aquí aun hace falta
su fila por el otro cuadrante
pivote…
0 1 -½ -½ ½ 0
para cumplir con la
Reemplazo por 0
0 0 5/2 -5/2 ½ 1 condición…
los elementos de 1 0
la columna… 1-(-1.0)/5/2= 1
0
0 0 1 -1 1/5 2/5
34. Método Gauss Jordan.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 0
Elijo mi tercer Y aplico la
pivote… 0 2 -1 -1 1 0 regla del
0 -1 3 0 1 cuadrado al
Divido los resto de los
elementos de 1 0 -1 1 0 0 elementos…
su fila por el
pivote…
0 1 -½ -½ ½ 0
Reemplazo por 0
0 0 5/2 -5/2 ½ 1
los elementos de 0
la columna…
1 0
0-(-1.0)/5/2= 0
0
0 0 1 -1 1/5 2/5
35. Método Gauss Jordan.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 0
Elijo mi tercer Y aplico la
pivote… 0 2 -1 -1 1 0 regla del
0 -1 3 0 1 cuadrado al
Divido los resto de los
elementos de 1 0 -1 1 0 0 elementos…
su fila por el
pivote…
0 1 -½ -½ ½ 0
Reemplazo por 0
0 0 5/2 -5/2 ½ 1
los elementos de 0
la columna…
1 0
1-(-1/2.0)/5/2= 1
1 0
0 0 1 -1 1/5 2/5
36. Método Gauss Jordan.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 0
Elijo mi tercer Y aplico la
pivote… 0 2 -1 -1 1 0 regla del
0 -1 3 0 1 cuadrado al
Divido los resto de los
elementos de 1 0 -1 1 0 0 elementos…
su fila por el
pivote…
0 1 -½ -½ ½ 0
Reemplazo por 0
0 0 5/2 -5/2 ½ 1
los elementos de 0
la columna…
1 0
1-(-1/2.0)/5/2= 1
0 1 0
0 0 1 -1 1/5 2/5
37. Método Gauss Jordan.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 0
Elijo mi tercer Y aplico la
pivote… 0 2 -1 -1 1 0 regla del
0 -1 3 0 1 cuadrado al
Divido los resto de los
elementos de 1 0 -1 1 0 0 elementos…
su fila por el
pivote…
0 1 -½ -½ ½ 0
Reemplazo por 0
0 0 5/2 -5/2 ½ 1
-1/2-(-1/2.-5/2)/5/2= -1
los elementos de 0
la columna…
1 0
0 1 0 -1
0 0 1 -1 1/5 2/5
38. Método Gauss Jordan.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 0
Elijo mi tercer Y aplico la
pivote… 0 2 -1 -1 1 0 regla del
0 -1 3 0 1 cuadrado al
Divido los resto de los
elementos de 1 0 -1 1 0 0 elementos…
su fila por el
pivote…
0 1 -½ -½ ½ 0
Reemplazo por 0
0 0 5/2 -5/2 ½ 1
1/2-(-1/2.1/2)/5/2= 3/5
los elementos de 0
la columna…
1 0
0 1 0 -1 3/5
0 0 1 -1 1/5 2/5
39. Método Gauss Jordan.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 0
Elijo mi tercer Y aplico la
pivote… 0 2 -1 -1 1 0 regla del
0 -1 3 0 1 cuadrado al
Divido los resto de los
elementos de 1 0 -1 1 0 0 elementos…
su fila por el
pivote…
0 1 -½ -½ ½ 0
Reemplazo por 0
0 0 5/2 -5/2 ½ 1
0-(-1/2.1)/5/2= 1/5
los elementos de 0
la columna…
1 0
0 1 0 -1 3/5 1/5
0 0 1 -1 1/5 2/5
40. Método Gauss Jordan.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 0
Elijo mi tercer Y aplico la
pivote… 0 2 -1 -1 1 0 regla del
0 -1 3 0 1 cuadrado al
Divido los resto de los
elementos de 1 0 -1 1 0 0 elementos…
su fila por el
pivote…
0 1 -½ -½ ½ 0
Reemplazo por 0
0 0 5/2 -5/2 ½ 1
1-(-1.-5/2)/5/2= 0
los elementos de 0
la columna…
1 0 0
0 1 0 -1 3/5 1/5
0 0 1 -1 1/5 2/5
41. Método Gauss Jordan.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 0
Elijo mi tercer Y aplico la
pivote… 0 2 -1 -1 1 0 regla del
0 -1 3 0 1 cuadrado al
Divido los resto de los
elementos de 1 0 -1 1 0 0 elementos…
su fila por el
pivote…
0 1 -½ -½ ½ 0
Reemplazo por 0
0 0 5/2 -5/2 ½ 1
0-(1/2.-1)/5/2= 1/5
los elementos de 0
la columna…
1 0 0 1/5
0 1 0 -1 3/5 1/5
0 0 1 -1 1/5 2/5
42. Método Gauss Jordan.
1 0 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
2 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 0
Elijo mi tercer Y aplico la
pivote… 0 2 -1 -1 1 0 regla del
0 -1 3 0 1 cuadrado al
Divido los resto de los
elementos de 1 0 -1 1 0 0 elementos…
su fila por el
pivote…
0 1 -½ -½ ½ 0
Reemplazo por 0
0 0 5/2 -5/2 ½ 1
0-(-1.1)/5/2= 2/5
los elementos de 0
la columna…
1 0 0 1/5 2/5
0 1 0 -1 3/5 1/5
0 0 1 -1 1/5 2/5
