Complexos

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Complexos

  1. 1. Professor: Cassio Kiechaloski Mello Disciplina: Matemática Aluno:____________________________________________________ N°____ Turma:____________ Data:__________ NÚMEROS COMPLEXOS (C) Quando resolvemos a equação de 2º grau x² - 6x + 13 = 0 procedemos da seguinte forma: a acbb x 2 42 −±− = = 12 131466 2 × ××−± = 2 166 2 52366 −± = −± Para encontrar o valor de x, precisaríamos calcular a raiz quadrada de -16, o que é impossível no conjunto ℜ A solução encontrada foi construir um novo conjunto numérico onde fosse possível que o quadrado de um número fosse negativo. Muitos matemáticos estudaram tais problemas, mas este novo conjunto só passou a ser considerado legítimo quando GAUSS propôs uma interpretação geométrica destes números usando uma adaptação do plano cartesiano ( Plano de Argand Gauus). Ao contrário do que se imagina imediatamente, o estudo dos números complexos surgiu na resolução de equações de 3º grau. UNIDADE IMAGINÁRIA É representada pela letra i. Sabe-se que i² = -1 ou 12 −=i Exemplo: 2 146 2 )1(*166 2 166 −± = −± = −± . Então x1 = 3 – 2i e x2 = 3 + 2i Exercício: Resolver, em C: a) x² + 1 = 0 b) x² - 4x + 5 c) x² - 4x + 29 d) x² - 6x + 25
  2. 2. POTÊNCIAS DA UNIDADE IMAGINÁRIA ii i ii i −= −= = = 3 2 1 0 1 1 iiiii iii iiiii ii −=−×=×= −=−×=×= =×=×= =−×−=×= )1( 1)1(1 1 1)1()1( 257 246 45 224 As potências de i se repetem de quatro em quatro ( 1, i, -1, -i). Assim, para calcular in , basta calcular ir , onde r é o resto da divisão de n por 4. in = ir Exercícios: a) i9 b) i7 c) i28 d) i12 e) i14 f) i1357 g) 20 1025 i ii + FORMA ALGÉBRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO Todo número complexo pode ser escrito da forma Z = a + bi, onde a é a parte real e b a parte imaginária do número. Chamaremos de conjugado de Z o número Z = a – bi. OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS Dados Z = a + bi e W = c + di , por exemplo Z = 2 + 3i e W = 1 + 2i Adição: Z + W = (a + c ) + ( b + d )i Subtração: Z – W = (a – c) + (b – d )i Multiplicação: ZxW = (a + bi)*(c + di) = (ac – bd) + ( ad + cb)i Divisão: dic bia W Z + + = Para que este número não fique com uma unidade imaginária do denominador, deveremos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. 22 )( dc iadbcbdac dic dic dic bia dic bia W Z + −++ = − − × + + = + + =
  3. 3. Exercícios: 1) Calcule: a) ( 6 + 5i) + ( 2 – i) = b) (5 + 2i) ( -3+4i) = c) (2 + i)2 d) i i 21 84 + − e) i i + − 1 1 f) [(1 + i)² + (1 - i)²]205 2) Calcule os números complexos z1 e z2 para que se tenha:    =− =+ izz zz 32 3 21 21 3) Resolver o determinante de 3ª ordem:           − − ii ii 1 1 111 4) Calcular a soma da seqüência S = i + i2 + i3 + ... + i100 . 5) Calcular Z em iZZ 16125 +=+
  4. 4. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA Plano de Argand Gauss Eixo X – Eixo real Eixo Y – Eixo Imaginário Exemplo: Representar graficamente os complexos a) 2 + 2i b) 2 -3i c) 4i d) -5 e) -1 - 2i f) -3 + 3i MÓDULO E ARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXO O módulo de um número complexo é a distância entre o ponto aonde ele se localiza no plano argand Gauss ( afixo ) até a origem. |Z|² = a² + b² → 22 || baZ += O módulo será representado pela letra ρ O argumento do número complexo é o ângulo de inclinação em relação ao eixo x. || ρ θ b sen = || cos ρ θ a = Assim:        =⇒= =⇒= += θρ ρ θ θρ ρ θ senb b sen a a biaZ coscos )]()[cos(cos θθρθρθρ isenseniZ +=+=
  5. 5. Exemplo: Determinar o módulo, argumento, escrever na forma trigonométrica e fazer a representação no gráfico de Gauss do número complexo iZ 322 +−= Exercícios: 1) Calcule o módulo, argumento e escreva na forma trigonométrica os números complexos abaixo: a) Z = 1 + i b) 2 3 2 1 iZ −= c) iZ 232 −= 2) (UFRGS) A soma dos módulos das raízes de x² + 2x + 3 = 0 é: (A) 3 (B) 2 3 (C) 3 (D) 6 (E) 8 3) (PUCRS) A forma trigonométrica do número complexo - 3 +i é: (A) cos 30º + i sen 30º (B) 2 ( cos 30º - i sen 30º) (C) 2 ( cos 120º + i sen 120º) (D) 2 ( cos 30º + i sen 30º) (E) 2 ( cos 150º + i sen 150º) 4) Qual é o argumento dos complexos abaixo? a) Z = - 1+ i b) Z = 3 + i c) Z = 2 2 2 2 − d) Z = i 4 3 −
  6. 6. 5) Escreva na forma algébrica os seguintes números complexos: a) 31 iZ += b) 2 3 2 1 iZ −= c) Z = -2i d) 2525 iZ +−= e) Z = 4 f) Z = 1 + i 6) Qual a forma algébrica de cada m dos seguintes números complexos? a) Z = 3 ( cos 120º + i sen 120º) b) Z = cos 180º + i sen 180º c) Z = 4 ( cos 30º + i sen 30º) d) Z = 2 ( cos 300º + i sen 300º) e) Z = 10 ( cos 90º + i sen 90º) f) Z = 3 1 ( cos 210º + i sen 210º) OPERAÇÕES NA FORMA TRIGONOMÉTRICA Multiplicação )]()[cos( 21212121 θθθθρρ +++=× isenZZ Divisão )]()[cos( 2121 2 1 2 1 θθθθ ρ ρ −+−= isen Z Z Potenciação )]()[cos( θθρ nisennZ nn += Radiciação             + +      + = n k isen n k Z nn πθπθ ρ 22 cos K = {0, 1 , 2, ...,n-1}
  7. 7. Exemplos: a) Z = 8( cos 75º + i sen 75º ) e W = 2 ( cos 15º + i sen 15º ) Calcular ZxW e W Z b) Sabendo que       += 33 cos2 ππ isenZ , calcule Z6 c) Determine as raízes cúbicas de Z = i Exercícios: 1) No plano de Gauss, o afixo do número complexo Z = ( 1 + i )4 é um ponto do: a) eixo real b) eixo imaginário c) 1º Quadrante d) 3º quadrante e) 4º quadrante 2) (UFRGS 1998) Em um sistema de coordenadas polares       6 ,3 π P e Q ( 12,0) são 2 vértices adjacentes de um quadrado. O valor numérico da área deste quadrado é: a) 81 b) 135 c) 153 d) 153 - 36 2 e) 153 - 36 3 3) Determine as raízes cúbicas de 8 e represente seus afixos no plano. 4) (FURG – RS ) Para que (5 – 2i)*(k + 3i) seja um número real, o valor de K deverá ser: a) 15 2 b) - 15 2 c) 2 15 d) - 2 15 e) 0
  8. 8. 5) (PUCRS) Se as imagens geométricas dos números complexos 0, Z e Z no plano de Argand Gauss são os vértices de um triângulo eqüilátero, então a medida do segmento que une as imagens de Z e Z é: (a) 2 Z b) 2 Z c) Z d) 2 Re(z) e) Im (z) 6) (Cefet- PR) Considere o número complexo i33+ , representado por um ponto no plano de Argand-Gauss. Se multiplicarmos este número por uma unidade imaginária i, o segmento de reta que une este ponto à origem do sistema sofrerá uma rotação de: (A) 30º no sentido anti-horário (B) 150º no sentido horário (C) 120º no sentido horário (D) 60º no sentido horário (E) 90º no sentido anti-horário 7) (Unit- MG) No conjunto dos números complexos, os três números cujo cubo vale 1 são: (A) 1, -1, i (B) 1, 1+ i, 1-i (C) 1, i, i 2 3 2 1 + (D) 1, i 2 3 2 1 +− , i 2 3 2 1 −− 8) (UFRGS) Dados os números complexos abaixo: iZ 271 += iZ 2212 += iZ 33 = A alternativa correta é: (A) Z1 e Z2 têm o mesmo conjugado. (B) a parte real de Z1 é menor que a parte real de Z2 (C) a soma de Z1 com Z3 é um número real (D) a parte imaginária de Z3 é zero (E) Z1, Z2 e Z3 têm módulos iguais
  9. 9. 9) (UFRGS) Na figura, o número complexo Z é (A) i 2 2 2 2 + (B) i 2 2 2 2 −− (C) 22 i−− (D) 22 i+ (E) 22 i− 10) (UFRGS) Considere as afirmações seguintes: I – O produto de dois números complexos conjugados é um número real. II – O módulo de um número complexo é um número real não negativo. III – O argumento de qualquer número complexo da forma bi ( b≠0) vale 2 π Quais estão corretas? (A) Apenas II. (B) Apenas II e III. (C) Apenas I e II. (D) Apenas I e III. (E) I, II e III.

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