Descrição do Modelo Black & Scholes, seus detalhes estatísticos e matemáticos e analogias com a física

1. MODELO BLACK &
SCHOLES
Alysson Ramos Artuso

2. Derivativos
 Os mercados de derivativos (termos,
futuros, opções) são de oscilações
enormes  grandes ganhos e
GRANDES perdas.
 Remédio de TARJA PRETA  estude
muito seus efeitos antes e use sempre
pequenas doses.

3. Introdução às Opções
 A apólice de seguro de um carro é muito
parecida com o raciocínio de uma opção.
 Você paga um prêmio para a seguradora.
Isso lhe dá o direito, no período de um ano,
de receber um carro novo caso o seu seja
roubado (essa é a condição).
 A seguradora tem uma obrigação com você
 lhe dar um carro novo caso o seu seja
roubado durante esse ano.

4. Introdução às Opções
 Vamos discutir apenas as opções de
compra.
 Ao comprar uma opção você paga um certo
valor (pequeno perto do principal) para ter o
direito de adquirir ações sob certas
condições.
 Quem te vendeu a opção tem a obrigação
de lhe entregar as ações quando
determinadas condições ocorrem.

5. Introdução às Opções
 Exemplo: você compra por R$ 1 uma opção
PETRK26 que te dá o direito de adquirir
ações da Petrobrás por R$ 26 no dia
17/11/08.
 Se no dia 17/11 a ação custar R$ 25, você
não exerce seu direito (seu carro não foi
roubado).
 Se no dia 17/11 a ação custar R$ 30, você
exerce seu direito. Compra a ação por R$
26 e vende por R$ 30. Resultado: ganha R$
4 - 1 (o que pagou pelo direito).

6. Introdução às Opções
 O outro lado: você vende por R$ 1 uma opção
PETRK26 que te lhe obriga a vender ações da
Petrobrás por R$ 26 no dia 17/11/08.
 Se no dia 17/11 a ação custar R$ 25, você não
precisará entregar nada (nenhum carro foi roubado
e a seguradora não precisa desembolsar dinheiro
nenhum – ganhou o R$ 1 de prêmio).
 Se no dia 17/11 a ação custar R$ 30, você terá que
entregar as ações por R$ 26. Compra a ação por
R$ 30 (supondo que você não as tenha “em
estoque”) e vende por R$ 26. Resultado: perde R$
4 - 1 (o que recebeu pela obrigação).

7. Introdução às Opções
 A questão é:
 Para quem compra (dono do carro):
Quanto pagar pelo seguro? Quanto
pagar pela opção?
 Para quem vende (seguradora): Quanto
cobrar por essa obrigação? Quanto vale
o prêmio da opção?
MODELOS DE PRECIFICAÇÃO!

8. Histórico
 1900 - Bachelier defende a tese “Théorie de la
Especulation”, em que modela preços como um
movimento browniano.
 1955 - Samuelson – Teoria moderna de
precificação: log dos preços descreve um MB.
 1963 - Mandelbrot propõe distribuições de Levy
(caudas grossas – lei de potências) para os
retornos.
 1970 - Fama – Hipótese do Mercado Eficiente
 1973 - Black, Scholes e Merton desenvolvem o
Modelo de Black-Scholes para opções.

9. Hipótese do Mercado Eficiente
 Em um mercado eficiente o preço atual reflete toda
informação disponível.
 O passado não contém qualquer informação que já
não esteja incorporada no preço atual.
 Preços variam com a chegada de novas
informações  flutuações imprevisíveis 
descrição probabilística.
 S(t+1) = S(t) + variação aleatória
 Variações futuras do preço são independentes das
variações anteriores.
Preços seguem um movimento browniano

10. Movimento Browniano
Aritimético
 É um versão de tempo contínuo do Random
Walk.
 Usado em Física para modelar o movimento
das moléculas.
 Representação Matemática:
dS = μdt + σε
dS ~ N (μdt; σ2
dt)
dt

11. Limitações do MBA
 O MBA é conhecido como modelo aditivo
porque a variável cresce de um valor
constante a cada intervalo de tempo.
 Problemas:
 O valor da variável pode ser negativa.
 Taxa de retorno diminui conforme o preço
aumenta.
 Desvio padrão é constante ao longo do tempo e
independe do preço do ativo.

12. Movimento Browniano
Geométrico
 Modelo Multiplicativo
 Combinação de duas parcelas:
 Crescimento proporcional com taxa μ
 Crescimento aleatório proporcional com
distribuição normal e desvio padrão σ.
 Representação Matemática:
dS = μSdt + σSε
dS/S ~ N (μdt; σ2
dt)
dt

13. Retorno
 Ao invés de se modelar o preço, se modela
o retorno (escala, estacionariedade,
ergodicidade)
 Retorno bruto:
rt = ΔPt/Pt-1 =Pt/Pt-1 -1  1+ rt = Pt/Pt-1
 Retornos positivos e negativos não
possuem o mesmo significado.
 Assimetria dos retornos: negativo tem limite
em 100%.

14. Retorno
 Retorno logarítmico (log-retorno ou
retorno composto continuamente):
 Rt = ln (Pt/Pt-1) = ln (1 + rt)
 Expansão de Taylor:
 Para rt pequeno: Rt = ln (1+rt) = rt
 Retornos compostos:
1 + rt(k)= (1+rt)(1+rt-1)...(1+rt-k+1)
Rt(k) = Rt + Rt-1 +...+ Rt-k+1

15. Retorno Logarítmico
 Rt(k) = Rt + Rt-1 +...+ Rt-k+1
 Para k grande a soma pode ser
aproximada por uma v.a. de
distribuição gaussiana  Teorema
Central do Limite
 Generalização do TCL (sem restrições
de segundo momento)  distribuições
de Levy

16. Distribuição do Retorno
 Retornos R(t) = ln [S(t) / S(t-1)] seguem um
movimento browniano.
 Distribuição normal para os retornos
logarítmicos.
 Exemplo: retornos nos últimos 5 dias:
1%; -0,5%; 2%; -1,5%; -0,5%
μ = 0,10%
σ2
= 0,019%
σ = 1,39%

17. Distribuição do Retorno
 Projetando o retorno para daqui a um dia
 N (0,1%;1,39%2
)
 Projetando o retorno para daqui a dois dias:
μ = 2 x 0,10% = 0,20%
σ2
= 2 x 0,019% = 0,039
σ = x 1,39% = 1,96%
 N (0,2%;1,96%2
)
 R(1) ~ N(μ,σ2
)
 R(t) ~ N(tμ,tσ2
)
2

18. Distribuição do Preço
 Se o retorno segue uma distribuição
normal...
 Preço S(t) segue uma distribuição log-
normal.

19. Modelo Black-Scholes
 Usando esse modelo para o
comportamento dos preços das ações,
Fisher Black e Myron Scholes
desenvolveram um modelo de precificação
para as opções.
 O modelo B&S pode ser deduzido a partir
de três abordagens diferentes:
 Carteira Equivalente
 Risco Neutro
 Árvore Binomial

20. Carteira Equivalente
 Qualquer investidor que no lugar de adquirir
a opção aplique este valor no ativo
subjacente e num ativo sem risco teria o
mesmo fluxo de caixa do caso em que
compra a opção, ou seja, é possível obter o
mesmo retorno (e as mesmas variações) na
opção ou na carteira equivalente.
 Sendo investimentos iguais, devem ter
preços iguais.

21. Risco Neutro
 É possível, através da venda de uma
opção e da compra de unidades do
ativo, adquirir uma carteira de risco
neutro (delta hedge).
 Abordagem de Robert Merton 
Modelo de Black-Scholes-Merton

22. Abordagem Binomial
S.u4
S.u3
S.u2
S.u2
S.u S.u
S S S
S.d S.d
S.d2
S.d2
S.d3
S.d4

23. Premissas do B&S
 H1) A taxa de juros livre de risco é constante ao longo do tempo e é
possível emprestar recursos à essa taxa;
 H2) O preço do ativo-objeto segue um caminho aleatório e contínuo
ao longo do tempo, com distribuição log-normal;
 H3) A volatilidade do ativo-objeto é constante ao longo do tempo;
 H4) Não há custos de transação;
 H5) É possível ficar livremente comprado ou vendido em qualquer
quantidade fracionária de opção ou ação;
 H6) Não há oportunidade de arbitragem sem risco;
 H7) É permitida a venda a descoberto de todo o tipo de ativo, ou
seja, não é necessário possuir o ativo-objeto previamente para poder
vendê-lo;
 H8) O ativo-objeto não distribui dividendos;
 H9) Opções só podem ser exercidas no seu vencimento (européias).

24. Preço “justo”
 Opção de Compra (call):
 Na data de vencimento:
C(S,T) = max (S-K, 0)
K é o strike
 Preço Justo a t dias do vencimento:
C(S, t) = e-rt
E[C(S,t)]

25. Fórmula de B&S
 O valor V=V(t,S) de uma opção satisfaz a
equação diferencial (em [0,T] x R+
):
 Semelhança com a equação de difusão de
calor:
0
2
1
2
2
22
=−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
rV
S
V
rS
S
V
S
t
V
σ
0)(2
2
=+
∂
∂
+
∂
∂
xf
r
u
t
u
η

26. Condições de Contorno
 Condição de Contorno (para calls):
 C(T,S) = (S-K)+
: Preço da opção é não-negativo
 C(t, 0) = 0: Se o ativo valer 0, a call vale 0
 limS  ∞ C(t,S)/S = 1: Se S for um valor muito grande o valor
da call coincide com o valor do ativo.
 Abordagem da Carteira Equivalente: O valor da
carteira no tempo T é igual ao retorno da opção.
 Solução através de transformadas de Fourier.

27. Fórmula B&S
 Solução:
 S: o preço do ativo-objeto; K: strike da opção; r:
taxa livre de risco; t: tempo para o exercício; σ:
volatilidade
tdd
tr
K
S
t
d
dNKedSNStC rt
σ
σ
σ
−=












++=
−= −
12
2
1
21
2
ln
1
)()(),(

28. Volatilidade
 A chamada volatilidade é o desvio padrão
anualizado. Desvio padrão para um
período de t dias é dado por .
 Normalmente, o intervalo t é t = 252 dias
e a volatilidade é dada por (com
valor em %).
σt
σ252

29. Volatilidade
 A volatilidade a ser colocada no modelo é a
volatilidade no período de existência da
opção (futura), mas como sabê-la?
 O mais comum é utilizar a volatilidade
histórica de curto ou longo prazo (desvio
padrão dos últimos 21 ou 252 pregões).
 Usando esse valor, normalmente o preço
teórico e o preço atual da opção são
diferentes.

30. Volatilidade Implícita
 Qual deveria ser a volatilidade para que o modelo
fornecesse o valor atual?  volatilidade implícita.
 Joga no modelo as quatro variáveis conhecidas e o
preço atual  retorna a volatilidade implícita (VI).
 A VI reflete qual a expectativa do mercado em
relação à movimentação futura do ativo.
 Espera uma oscilação maior que no passado? VI >
VH.
 Espera uma oscilação menor que no passado? VI <
VH.
 A volatilidade implícita costuma ser diferente para
cada uma das opções.

31. Smile da Volatilidade
Smile da Volatilidade
68,00%
69,00%
70,00%
71,00%
72,00%
73,00%
74,00%
75,00%
76,00%
18,0 20,0 22,0 24,0 26,0 28,0 30,0 32,0 34,0
Preço de Exercício
Volatilidade
Implícita

32. Gregas
 Derivadas parciais do preço de uma
opção.
 Explicam como as opções se
movimentam.
 Muito utilizadas para a montagem de
estratégias com opções.
 São cinco: delta, gamma, theta, vega
e rho

33. Delta
 Taxa de variação do preço da opção em
relação ao preço do ativo objeto.
 “Velocidade”, indica a movimentação do
prêmio da opção quando o ativo objeto se
movimenta.
)( 1dN
S
C
=
∂
∂

34. Gamma
 Taxa de variação do delta em relação
ao preço do ativo objeto.
 “Aceleração”, indica como o delta
(“velocidade”) se altera quando o ativo
objeto se movimenta.
tS
d
S
C
σ
ϕ )( 1
2
2
=
∂
∂

35. Theta
 Taxa de variação do prêmio da opção
relativo ao tempo até o vencimento.
 O sinal negativo indica que a opção
perde valor pela passagem do tempo.
)(
2
)(
2
1
dNrKe
t
dS
t
C rt−
−−=
∂
∂
−
σϕ

36. Vega
 Taxa de variação do prêmio da opção em
relação a uma mudança na volatilidade.
tdS
C
)( 1ϕ
σ
=
∂
∂

37. Rho
 Taxa de variação do valor da opção em
relação à taxa de juros.
 Para o mercado brasileiro, na maioria das
vezes é insignificante, pois as opções são
mensais e a mudança na taxa de juros
não costuma ser altamente significativa.
)( 2dNKte
r
C rt−
=
∂
∂

38. Exemplo
 PETR4: R$23,20

39. Exemplo de operação
 Borboleta (operação alvo):
 C 1000 PETRK22 por R$ 2,65
 V 2000 PETRK24 por R$ 1,68
 C 1000 PETRK26 por R$ 1,08
 Custo de R$ 370,00

40. Exemplo de Operação
 PETR4: R$23,20
 Delta: 7,6
 Gamma: -5,3
 Theta: 6,3
 Vega: -2,2
 Rho: 0,0

41. Novos Desenvolvimentos
 Relaxamento ou modificações das
premissas do modelo:
 Inclusão da distribuição de dividendos;
 Modelagem estocástica da taxa de juros;
 Modelo com saltos sobrepostos ao MBG;
 Soluções para opções americanas ao
invés de somente européias;

42. Novos Desenvolvimentos
 Matriz de volatilidades implícitas;
 Modelagem da volatilidade (EWMA, GARCH,
Volatilidade Estocástica);
 Uso de outras distribuições de probabilidade
para o preço ao invés da log-normal;
 Uso de outras premissas para o movimento dos
preços (efeitos de memória);
 Modelagem através do caos determinístico ao
invés de aleatoriedade para os preços;

43. LTCM
 Em 1994, John Meriwether, recrutou alguns dos mais
brilhantes matemáticos em finanças para gerir um fundo
o Long Term Capital Management, incluindo Scholes e
Merton.
 Durante 3 anos conseguiram retornos extraordinários de
40% ao ano, altamente alavancados.
 Na crise russa de 1998 o LTCM teve que zerar parte de
suas operações com grande prejuízo, diminuindo seu
capital de US$ 2,3 bi para US$ 600 mi em três
semanas.
 O FED, em conjunto com bancos de investimento,
arrecadou US$ 3,5 bi para tapar o rombo.

44. Referências
 DAMODARAN, Aswath. Avaliação de
Investimentos. Rio de Janeiro:
Qualitymark, 1997.
 HISSA, Mauricio. Investindo em Opções.
Rio de Janeiro: Elsevier, 2007.
 HULL, John C. Fundamentos dos
Mercados Futuros e de Opções. São
Paulo: BM&F, 2005.
 MORETTIN, Pedro A.; TOLOI, Clélia M. C.
Análise de Séries Temporais. São Paulo:
Edgard Blücher, 2006.

45. Referências
 BONOTTO, Everaldo M. A equação de Black-Scholes com
ação impulsiva. Tese de Doutorado; USP, 2008.
 CARVALHO FILHO, José A. Modelo exponencial para
distribuição dos retornos do Ibovespa. Dissertação de
Mestrado; UFPE, 2004
 CURY, M. A. Controle ótimo estocástico a tempo discreto
e espaço de estado contínuo aplicado a derivativos. Tese
de Doutorado; USP, 2005.
 ODA, Luís F. A teoria da ciência no modelo Black-Scholes
de apreçamento de opções. Dissertação de Mestrado; USP,
2007.
 RAMOS, Antônio M. T. Modelo exponencial para opções:
aplicações ao índice Bovespa. Dissertação de Mestrado;
UFPE, 2007.