1. MECÁNICA
RELACIÓN 6: Tensores de Inercia.
1.- Determine el tensor de inercia del paralelepípedo de la
figura, en la base vectorial mostrada, que está centrada en G.
⎛1 ⎞
⎜12 M(b +c )
2 2
0 0 ⎟
⎜ ⎟
Solución: I0 = ⎜ 0
1
M(a +c )
2 2
0 ⎟
⎜ 12 ⎟
⎜ ⎟
⎜ 1 2 2⎟
⎜ 0 0 (a +b )⎟
⎝ 12 ⎠
2.- Determine el tensor de inercia de la placa plana de la
figura, en la base vectorial mostrada. Suponga despreciable el
espesor de la placa.
⎛ 1 2 1 ⎞
⎜ 18 mb 36
mab 0 ⎟
⎜ ⎟
Solución: I G = ⎜ mb 2 ⎟
1 1
ma 2 0
⎜ 36 18 ⎟
⎜ ⎟
⎜ 0 1 2 ⎟
⎜ 0 m( a + b ) ⎟
2
⎝ 18 ⎠
3.- Determine el tensor de inercia de la varilla de la figura en
las bases vectoriales xyz y XYZ. Suponga que la varilla es
esbelta.
⎛ ⎞
⎜0 0 0 ⎟
⎜ ⎟
Solución: I 0 = ⎜ 0 1 mL2 0 ⎟
⎜ 3 ⎟
⎜ 1 2⎟
⎜0 0 mL ⎟
⎝ 3 ⎠
⎛ ⎞
⎜0 0 0 ⎟
⎜ ⎟
IG = ⎜ 0 1 mL2 0 ⎟
⎜ 12 ⎟
⎜ 1 ⎟
⎜0 0 mL2 ⎟
⎝ 12 ⎠

2. 4.- Determine el tensor de inercia del anillo y de la placa
circular mostrados. Suponga que el espesor es despreciable
en ambos casos.
⎛ mR 2 ⎞
⎜ 0 0 ⎟
⎜ 2 ⎟
⎜ mR 2 ⎟
Solución: I 0anillo =⎜ 0 0 ⎟
⎜ 2 ⎟
⎜ 0 0 mR 2 ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ mR 2 ⎞
⎜ 0 0 ⎟
⎜ 4 ⎟
⎜ mR 2 ⎟
I 0 placa =⎜ 0 0 ⎟
⎜ 4 ⎟
⎜ mR 2 ⎟
⎜ 0 0
2 ⎟
⎝ ⎠
5.- Determine el tensor de inercia del sistema mostrado en la
figura, suponga que los únicos elementos que tienen masa
son las bolas.
⎛ b 2 −ab 0 ⎞
⎜ ⎟
Solución: I 0 = 2m ⎜ − ab a 2 0 ⎟
⎜ 0 0 a 2 + b2 ⎟
⎝ ⎠
6.- Determine el tensor de inercia de la esfera mostrada
respecto a la base vectorial XYZ. Demuestre que el tensor es
invariante al expresarlo en cualquier otra base vectorial xyz.
Solución:

3. 7.- El tensor de inercia del cilindro sólido de la figura en la
base vectorial XYZ centrada en G es:
⎛1 ⎞
⎜ 12 M (3r + h )
2 2
0 0 ⎟
⎜ ⎟
IG = ⎜ 0
1
M (3r + h )
2 2
0 ⎟
⎜ 12 ⎟
⎜ ⎟
⎜ 1
⎜ 0 0 Mr 2 ⎟
⎟
⎝ 12 ⎠
Se pide:
1.- Determinar el tensor de inercia en la base xyz en
un ángulo β alrededor de Y.
2.- Determine las direcciones y momentos de inercia
principales (en la base xyz).
Particularizar para M=100kg, h=3m, d=1.3m, β = 30º
Solución:
8.- La barra de la figura pesa 0,1N/mm. Determine:
1.- Tensor de inercia en la base XYZ.
2.- Momento de inercia respecto del eje MN, definido
por el vector unitario: u = 0.3i + 0.45 j + 0.84k .
3.- Direcciones principales de inercia.
4.- Momentos principales de inercia.
Las dimensiones están dadas en mm.
Solución:
⎛ ⎞
⎜0 0 0 ⎟
⎜ ⎟
mL2
1.- I 0 = ⎜ 0 0 ⎟
⎜ 3 ⎟
⎜ 2 ⎟
⎜0 mL ⎟
⎜ 0 ⎟
⎝ 3 ⎠