1. MinistèreDdeDl’EnseignementDSupérieurDetDdeDlaDRechercheDScientifique
H .H .H .H .H
DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDUniversitéDParisD|DDauphineDTunis
ProjetDMonteDCarlo
DMasterD0DMMD.MA
MéthodesDMonteDCarloDetDRéductionDdeDlaDvarianceD:
DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDCalculDduDVaR
RéaliséDpar:
DAliDSANAA
HoudaDBAHRI
SousDlaDdirectionDde:
MKHichemDRammeh
MKKhaledDBENNOUR
AnnéeDuniversitaireDD:DD4205O4205

2. Rapport présenté
pour le projet de Monte Carlo
à
Paris-Dauphine|Tunis
Méthodes Monte Carlo et Réduction de la variance :
Calcul du VaR
Ali Sanaâ
Houda Bahri
Encadrés par
Mr.Hichem Rammeh Mr.Khaled Bennour
Date et lieu de la soutenance : 5 février 2015 à Paris-Dauphine | Tunis
Composition du Jury :
– Mr.Hichem Rammeh, Maître-assistant, Spécialité : Mathématiques Appliquées,
Responsable du cours Méthodes Monte Carlo pour Master 1 MMD-MA
Paris-Dauphine | Tunis.
– Mr.Khaled Bennour, Maître-assistant, Spécialité : Méthodes Quantitatives,
Responsable du TP Méthodes Monte Carlo pour Master 1 MMD-MA
Paris-Dauphine | Tunis.

3. REMERCIEMENTS
On remercie Dieu qui nous a toujours donné la force de passer à travers toutes les
épreuves et les découragements et qui nous a aidé à mener à terme ce projet. On doit
aussi notre gratitude à toutes les personnes qui ont contribué de prés ou de loin à ce
travail pour le rendre possible.
Nous sommes profondément reconnaissants à Mr.Khaled BENNOUR et Mr.Hichem
Rammeh, les deux responsables des séances de TP et cours de méthodes de Monte Carlo
du Master1 MMD-MA à l’Université Paris | Dauphine Tunis , pour leurs idées fortes,
leurs discussions constructives et leurs conseils en or, et surtout l’aide inestimable de
Mr.BENNOUR sans qui, la réalisation de ce projet aurait était impossible. Leurs sou-
tiens inestimables et leurs connaissances scientifiques nous ont procuré beaucoup d’aide,
de volonté et de courage.
Enfin, nous tenons à souligner l’appui inestimable de nos amis et de nos familles qui
ont été toujours présents pour nous, prêts à nous aider, à nous soutenir et à nous porter
conseil.
Merci à vous tous !

4. RÉSUMÉ
Lors de l’introduction, Nous apporterons des précisions sur la notion de Value-at-Risk
" VaR " (histoire, définition, et utilisation). Par la suite, nous examinerons notre pro-
blème et nous proposerons des méthodes de simulation. Nous analyserons les différentes
méthodes de réduction de la variance :
– Variables antithétiques
– Variables de contrôle
– ´Échantillonnage stratifié
– Méthode de la fonction d’importance
Chaque partie, comportera une conclusion qui traitera les différents résultats obtenus
et discutera de l’efficacité de la méthode en question.
Mots-clés : Simulations, Réduction de la variance, Fonction de perte, Seuil, Actifs, Por-
tefeuille, Value-at-Risk (VaR), Estimateur

5. TABLE DES MATIÈRES
Table des figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
partie I Présentation du projet 7
1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1 Sujet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Value-at-Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Naissance de la Value-At-Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 A qui cette mesure est-elle destinée ? . . . . . . . . . . . . . . . . 9
partie II Réduction de variance 11
2. Estimateur de Monte Carlo Naïf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1 Objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Étape 1 : Simulation des browniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Étape 2 : Corrélation des browniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Étape 3 : Calcul du VaR du portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5 Application numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6. Table des matières 5
partie III Méthodes de réduction de la variance 18
3. Variable antithétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1 Présentation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4. Variable de contrôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1 Présentation générale de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 Objectif : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3 Algorithme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.4 Application numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5. Stratification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.1 Présentation générale du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.2 Application à notre problématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.3 Algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.4 Application numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6. Fonction d’importance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.1 Objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.2 Algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

7. TABLE DES FIGURES
1.1 Value-at-Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1 Tableau des valeurs : Méthode Monte Carlo naïve . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Simulations avec la méthode naïve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1 Tableau des valeurs : Méthode de Variable antithétique avec un échantillon
de taille N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Tableau des valeurs : Méthode de Monte Carlo naïf avec un échantillon de
taille 2N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Estimateur : Méthode antithétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.1 Tableau des valeurs : Méthode de Variable de contrôle . . . . . . . . . . . 27
5.1 Temps d’arrivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2 Tableau des valeurs : Méthode de Stratification . . . . . . . . . . . . . . 31

8. Première partie
PRÉSENTATION DU PROJET

9. Chapitre 1
INTRODUCTION
1.1 Sujet
Soient S1
, S2
, S3
trois actifs risqués, où Sk
t := Sk
0 exp (µk−
σ2
k
2
)t+σkWk
t et (W1
, W2
, W3
)
sont des mouvements browniens avec la corrélation :
M = Var








W1
1
W2
1
W3
1








=








1 0, 5 0, 5
0, 5 1 0, 5
0, 5 0, 5 1








.
On considère un portefeuille (ou une stratégie) d’investissement qui contient λk actif
risquée Sk
, où λk sont des constantes déterministes (pourraient être négatives). Alors, le
valeur du portefeuille à l’instant t est
Vt = λ1S1
t + λ2S2
t + λ3S3
t
La perte de la stratégie à l’instant T sera donnée par
LT := V0 − VT
L’objectif de ce projet est d’évaluer
P(LT ≥ H) = E[1LT ≥H]
qui consiste une étape essentielle pour calculer le VaR du portefeuille.

10. Chapitre 1. Introduction 9
1.2 Value-at-Risk
1.2.1 Naissance de la Value-At-Risk
Utilisée pour la première fois dans les années 1980 par la banque Bankers Trust sur
les marchés financiers américains, la notion de Value-At-Risk (ou VaR) a principalement
été démocratisée par la banque JP Morgan dans les années 1990 grâce à son système
de RiskMetrics. Jusqu’alors, les méthodes utilisées pour détecter et gérer les risques de
marché ne permettaient pas de comparer les mesures de risque entre les différentes activi-
tés de marché. L’accroissement de la volatilité des marchés financiers, le développement
des produits dérivés et surtout une série de faillites et de krachs boursiers ont poussé
les institutions financières à mettre en place un indicateur commun et synthétique des
risques financiers.
1.2.2 Définition
La Value-At-Risk représente la perte potentielle maximale d’un investisseur sur la
valeur d’un actif ou d’un portefeuille d’actifs financiers qui ne devrait être atteinte qu’avec
une probabilité donnée sur un horizon donné. Elle est, en d’autres termes, la pire perte
attendue sur un horizon de temps donné pour un certain niveau de confiance. La VaR
peut être considérée comme un quantile de la distribution de pertes et profits associée à
la détention d’un actif ou d’un portefeuille d’actifs sur une période donnée.
1.2.3 A qui cette mesure est-elle destinée ?
Utilisée principalement par les banques, cette mesure de risque est destinée avant
tout :
– Aux professionnels de marchés tels que les opérateurs de marché, gestionnaires de
fonds privés ou encore gestionnaires de fonds institutionnels.

11. Chapitre 1. Introduction 10
– Aux Risk Managers (responsables de la gestion des risques et du contrôle de la
gestion des risques). Aux comptables ou aux clients institutionnels.
Figure 1.1: Value-at-Risk
La partie qui suit, traitera les différentes méthodes pour estimer la probabilité que la
perte de notre stratégie 1
dépasse un certain seuil H. Nous développerons la démarche à
faire pour simuler un mouvement brownien multivarié dont les composantes sont corré-
lées, ainsi que les différentes techniques de réduction de variance afin d’obtenir le meilleur
estimateur possible.
1. Cette stratégie est parfaitement explicitée dans la page 14 ainsi que dans le sujet (dans l’annexe)
à la fin du rapport

12. Deuxième partie
RÉDUCTION DE VARIANCE

13. Chapitre 2
ESTIMATEUR DE MONTE CARLO NAÏF
2.1 Objectif
:
Estimer p = P(LT ≥ H) = E[1LT ≥H] = E[X] par ˆp = 1
n
n
i=1 1LT ≥H d’après la L.F.G.N 1
,
et où ˆp = N(p, σ2
/N) d’après le T.C.L 2
On note que X = 1LT ≥H. On aura besoin pour simuler X, d’écrire X en fonction de
W = (W1, W2, W3) où W → N(µ, M) avec µ = (µ1, µ2, µ3) Par suite, les étapes à suivre
sont alors les suivantes :
1. Simuler 3 variables browniens indépendants,
2. Créer un vecteur de 3 browniens corrélés (méthode de Cholesky),
3. Obtenir un estimateur Monte Carlo naïf
2.2 Étape 1 : Simulation des browniens
1. Simulation de 3 variables uniformes indépendantes u1, u2, u3,
2. Transformation des v.a. 3
uniformes en v.a. normales centrées de variance t :
1. Loi forte des grands nombres
2. Théorème Central limite
3. Variables aléatoires

14. Chapitre 2. Estimateur de Monte Carlo Naïf 13
(a) si x → φ[x < S] : probabilité de distribution d’une v.a. S normale centrée de
variance 1,
(b) =⇒ (Z1, Z2, Z3) = (φ−1
[u1], φ−1
[u2], φ−1
[u3]) sont 3 v.a. normales centrées de
variance 1 indépendantes,
(c) =⇒ (B1
t , B2
t , B3
t ) = (
√
t × Z1,
√
t × Z2,
√
t × Z3) sont 3 v.a. normales centrées
de variance t indépendantes.
(B1
t , B2
t , B3
t ) sont donc 3 browniens indépendants.
2.3 Étape 2 : Corrélation des browniens
Soient (B1
t , B2
t , B3
t ) 3 browniens indépendants obtenus de l’étape 1.
1. Calcul de la matrice L telle que M = L × LT
(LT
est la transposée de L et
M = Var








W1
1
W2
1
W3
1








) par l’algorithme de Cholesky.
2. W =








W1
1
W2
1
W3
1








= L








B1
1
B2
1
B3
1








est alors le vecteur de browniens corrélés dont nous
avons besoin.
2.4 Étape 3 : Calcul du VaR du portefeuille
Soient (W1
t , W2
t , W3
t ) 3 browniens avec la corrélation M = Var








W1
1
W2
1
W3
1








.
1. Calcul des trois actifs risqués S1
, S2
, S3
tels que
Sk
t = Sk
0 exp (µk −
σ2
k
2
)t + σkWk
t

15. Chapitre 2. Estimateur de Monte Carlo Naïf 14
Étape 2 - (1)
Soient L =








a 0 0
b d 0
c e f








et M = (ρi,j)1≤i,j≤3 une matrice symétrique définie posi-
tive.
D’après l’équation M = L×LT
( Définie à l’Étape 2), on détermine les coefficients
a, b, c, d, e et f par identification.
a =
√
ρ1,1 ; b = ρ2,1
√
ρ1,1
; c = ρ3,1
√
ρ1,1
; d = ρ2,2 −
ρ2
2,1
ρ1,1
; e = ρ2,3−ρ1,2ρ1,3
√
ρ1,1ρ3,2−ρ2
1,2ρ1,1
f = ρ3,3 −
ρ2
1,3
ρ1,1
− (ρ2,3−ρ1,2ρ1,3)2
ρ1,1ρ1,3−ρ2
1,3ρ1,1
2. Calcul de VT : la valeur du portefeuille à l’instant T :
VT = λ1S1
T + λ2S2
T + λ3S3
T
avec λk est le nombre d’actifs risqués Sk
T dans le portefeuille à l’instant T et où les
actifs risqués ont pour formules :
S1
T = S1
0 exp µ1 −
σ2
1
2
T + σ1
√
T
√
ρ1,1Z1
S2
T = S2
0 exp µ2 −
σ2
2
2
T + σ2
√
T ρ2,1
√
ρ1,1
Z1 + ρ2,2 −
ρ2
2,1
ρ1,1
Z2
S3
T = S3
0 exp µ3 −
σ2
3
2
T + σ3
√
T ρ3,1
√
ρ1,1
Z1 + ρ2,3−ρ1,2ρ1,3
√
ρ1,1ρ3,2−ρ2
1,2ρ1,1
Z2 + ρ3,3 −
ρ2
1,3
ρ1,1
− (ρ2,3−ρ1,2ρ1,3)2
ρ1,1ρ1,3−ρ2
1,3ρ1,1
Z3
3. Calcul de la perte de la stratégie à l’instant T donnée par :
LT = V0 − VT
4. Pour un seuil H fixé, et pour i = 1 . . . N (où N représente la taille de l’échantillon)
on calcule 1LT ≥H et on obtient alors une estimation telle que :
ˆp = 1
N
N
i=1 1LT ≥H

16. Chapitre 2. Estimateur de Monte Carlo Naïf 15
Toutes les étapes précédentes sont répétées Nsim fois (où Nsim représente le nombre
de simulations).
l’estimateur finale sera alors la moyenne de toutes les simulations.
2.5 Application numérique
Dans notre cas, pour k = 1, 2, 3.
T = 0, 1 ; Sk
0 = 1 ; λk = −1 ; µk = 0, 1 ; σk = 0, 2
Pour chaque simulation j avec j = 1 . . . , Nsim on calcule une estimation de Monte
Carlo.
Pour obtenir une estimation nous allons générer un échantillon de taille N. Nous
allons simuler Z
(i)
1 , Z
(i)
2 , Z
(i)
3 des v.a. i.i.d 4
selon une loi normale centrée réduite
∀ i = 1, 2, 3. Nous calculerons :
S1,i
T = exp 8.10−3
+ 0, 2
√
0, 1Z
(i)
1
S2,i
T = exp 8.10−3
+
√
4.10−3(0, 5Z
(i)
1 +
√
3
2
Z
(i)
2
S3,i
T = exp 8.10−3
+
√
4.10−3(0, 5Z
(i)
1 + 1
2
√
3
Z
(i)
2 + 2
3
Z
(i)
3
ensuite on calcule :
V0 = −3S1
0 = −3 et V
(i)
T = −S1,i
T − S2,i
T − S3,i
T d’où :
L
(i)
T = V0 − V
(i)
T
On pose X(i)
= 1(L
(i)
T >H)
et enfin pour chaque simulation j on obtient une estima-
tion :
=⇒ ˆp(j)
= 1
N
N
i=1 1(L
(i)
T >H)
de variance : ˆσ2
(j)
= ˆp(j)
(1 − ˆp(j)
)
car
E(X(i)
) = ˆp et V (X(i)
) = ˆp(1 − ˆp)
4. Indépendantes et identiquement distribuées

17. Chapitre 2. Estimateur de Monte Carlo Naïf 16
L’estimateur final est alors définie par :
ˆp = 1
Nsim
Nsim
j=1 ˆp(j)
et ayant pour variance ˆσ2 = 1
Nsim
Nsim
j=1
ˆσ2
(j)
Nous calculons pour chaque estimateur un intervalle de confiance de niveau α (IC)
ainsi que l’erreur relative .
d’où IC =] ˆp − qα/2
ˆσ√
N
; ˆp + qα/2
ˆσ√
N
[ et l’erreur relative : 1
p
σ2
N
≈ 1
ˆp
ˆσ2
N
−→ + ∞ lorsque
p → +∞
Dans le tableau ci-dessous nous présentons les valeurs obtenues pour différents seuils H.
H N ˆp ˆσ2 Nsim IC
0 103
0.5672 0.2457 103
0.0276 [0.5365 ; 0.5979]
0.2 103
0.1398 0.1202 103
0.0784 [0.1183 ; 0.1613]
0.5 103
0.0024 0.0024 103
0.6435 [63*10−
5; 54 ∗ 10−
5]
0.75 103
1.7e-05 1.7e-05 103
7.669 [238*10−
6; 272 ∗ 10−
6]
1 103
0 0 103
NaN –
Figure 2.1: Tableau des valeurs : Méthode Monte Carlo naïve
2.6 Conclusion
Nous remarquons que pour les valeurs élevées de H les estimations sont presque nulles.
Pour H = 0.2, la valeur de lestimation se détériore pour passer de ≈ 0.56 à ≈ 0.13 . En
augmentant la valeur du seuil H, la variance diminue considérablement par contre on ne
peut pas affirmer que notre estimation est bonne car en plus du fait qu’elle soit faible,
la variance devient égale à l’estimation. Pour H = 0, la variance est égale à ≈ 0.25 ce
qui est considéré comme une valeur assez importante. Cela nous ramène à essayer des
nouvelles méthodes d’estimation autre que l’estimateur Monte Carlo naïf, qui pourront
nous procurer des bonnes estimations et au même temps une variance faible. Puisqu’on

18. Chapitre 2. Estimateur de Monte Carlo Naïf 17
doit respecter le taux d’erreur fixé à 5% (Dans notre cas) et que le fait d’augmenter la
taille de l’échantillon implique un temps de calcul important, la solution qui se présente
est de diminuer la variance par utilisation des méthodes de réduction de la variance. Dans
la partie qui suit, nous mettons en lumière un ensemble de technique que nous avons
étudié. Quelque soit la méthode, nous suivrons la même démarche définie précédemment
pour générer le mouvement brownien corrélé. Á chaque fois, nous allons quantifier la
réduction de la variance par rapport à l’estimation Monte Carlo naïve et nous allons
déterminer la meilleur méthode d’estimation.
Figure 2.2: Simulations avec la méthode naïve

19. Troisième partie
MÉTHODES DE RÉDUCTION DE LA VARIANCE

20. Chapitre 3
VARIABLE ANTITHÉTIQUE
3.1 Présentation du problème
L’idée du contrôle antithétique est très simple. Nous la présentons dans le cadre du mo-
dèle de Black-Scholes multidimensionnel. Elle est basée sur la propriété de symétrie du
mouvement brownien W
loi
= −W =⇒ ST
loi
= S−
T où :
S−
T =








S
(−)1
T
S
(−)2
T
S
(−)3
T








=








S1
0 exp µ1 −
σ2
1
2
T − σ1W1
T
S2
0 exp µ2 −
σ2
2
2
T − σ2W2
T
S3
0 exp µ3 −
σ2
3
2
T − σ3W3
T








En notant alors que V
−(i)
T = −S
(−)1
T − S
(−)2
T − S
(−)3
T
et en posant L
−(i)
T = V0 − V
−(i)
T on a alors que X
(i)
− = 1L
−(i)
T >H
est de même loi que X(i)
. Soit g(−WT ) = 1L
−(i)
T >H
Ce qui implique que
E[(g(WT )+g(−WT ))
2
] = E[g(WT )]
Si V ar[(g(WT )+g(−WT ))
2
] < V ar[g(WT )]
2
, ce qui revient à dire que Cov(g(WT ), g(−WT )) < 0,
on peut obtenir une meilleure précision en simulant deux fois moins d’accroissements
du brownien. En effet, si N est le nombre de simulations par la méthode sans contrôle
antithétique, alors sous la condition précédente :
V ar[
(g(WT )+g(−WT ))
2
]
N/2
< V ar[g(WT )]
N

21. Chapitre 3. Variable antithétique 20
ce qui signifie que l’estimateur obtenu en simulant (g(WT )+g(−WT ))
2
avec N/2 trajectoires
est plus précis que celui qui consiste à simuler g(WT ) avec N trajectoires. D’après le cours
on a montré qu’il y a un gain de variance dès que WT −→ g(WT ) est monotone.
On applique cette méthode afin d’obtenir un nouvel estimateur de variance plus petite
que l’estimateur naïf.
3.2 Algorithme
Hypothèse : Soient deux browniens WT et −WT ayants la même espérance.
Méthode : On répète Nsim fois les étapes suivantes :
(a) Pour i = 1 . . . , N on génère Wi
T où : Wi
T → N(0R3,I3)
(b) On pose g(−Wi
T ) = 1L
−(i)
T >H
où −Wi
T est lantithétique de Wi
T
On définit Yi = g(Wi
T ) ; Yi = g(−Wi
T ) et Zi = Yi+Yi
2
(c) On définit l’estimateur antithétique ˆpAN = ZN = 1
N
N
i=1 Zi et la variance est
définit par ˆσ2
N = N
i=1(Zi − ˆpAN )2
(d) On définit l’intervalle de confiance par :
IC =] ˆpAN − qα/2
σ2
N√
N
; ˆpAN + qα/2
ˆσ2
N√
N
[
– ˆpAN = ZN = 1
N
N
i=1 Zi (Estimateur antithétique)
– ˆpMC = Y2N = 1
2N
2N
i=1 Yi (Estimateur Monte Carlo naïf)
Important : Il est important d’utiliser le même nombre de simulations pour
pouvoir comparer les méthodes.
Comparaison des variances :

22. Chapitre 3. Variable antithétique 21
V ar(ˆpMC) = V ar( 1
2N
2N
i=1 Yi) = V ar(Y )
2
V ar(ˆpAN ) = V ar(ˆpMC) + Cov(Y, ˜Y )
2N
Ainsi
V ar(ˆpAN ) < V ar(ˆpMC) ⇔ Cov(Y,˜Y ) < 0
Application numérique
Dans le tableau ci-dessous nous présentons les valeurs obtenues pour des seuils H diffé-
rents.
H N ˆp ˆσ2 Nsim IC
0 103
0.5667 0.029 103
0.0095 [0.556 ; 0.577]
0.2 103
0.14 0.0504 103
0.0507 [0.126 ; 0.154]
0.5 103
2.4*10−
4 1.2*10−
4 103
0.451 [3*10−
4; 4.6 ∗ 10 − 4]
0.75 103
1.8e-05 8e-06 103
5.27 [-1.68*10-4 ; 2*10−
4]
1 103
0 0 103
NaN –
Figure 3.1: Tableau des valeurs : Méthode de Variable antithétique avec un échantillon
de taille N
H N ˆp ˆσ2 Nsim IC
0 103
0.569 0.245 103
0.0276 [0.535 ; 0.597]
0.2 103
0.14 0.12 103
0.0784 [0.119 ; 0.161]
0.5 103
2.35*10-4 2.5*10−
4 103
0.451 [2.8*10−
4; 4.6 ∗ 10 − 4]
0.75 103
1.45e-05 1.45e-05 103
8.3 [-2.2*10-4 ; 2.5*10−
4]
1 103
0 0 103
NaN –
Figure 3.2: Tableau des valeurs : Méthode de Monte Carlo naïf avec un échantillon de
taille 2N

23. Chapitre 3. Variable antithétique 22
Figure 3.3: Estimateur : Méthode antithétique
3.3 Conclusion
Afin de pouvoir comparer les deux estimateurs ( Antithétique et Monte Carlo naïf ) on
a utilisé un échantillon de taille N pour le premier et un échantillon de taille 2N pour
l’estimateur naïf. Tout d’abord on remarque que les deux méthodes donnent des valeurs
assez similaires pour l’estimation de notre valeurs p. Par contre on remarque une nette
diminution de la variance par rapport à l’estimateur naïf. Déjà pour le cas H=0 on a
une estimation ≈ 0.56 par les deux méthodes alors que le variance de l’estimateur naïf
(0.245) est nettement supérieure à celle de l’estimateur antithétique (0.029). Par contre,
le problème lié à une valeur élevée du seuil H n’est pas résolu et la qualité d’estimation
par la méthode de variable antithétique est de plus en plus médiocre avec l’augmentation
de la valeur du seuil H. Par exemple, pour H = 1 la valeur de l’estimation est nulle. Ce
qui nous pousse à essayer une autre méthode de réduction de la variance et la suivante
et celle de la variable de contrôle.

24. Chapitre 4
VARIABLE DE CONTRÔLE
4.1 Présentation générale de la méthode
4.2 Objectif :
calculer p = E [Y ] = E [f (X)] Cette technique consiste à ajouter une variable Z ayant
les caractéristiques suivantes :
– facilement simulable ;
– E [Z] connue ou facilement calculable (variance « petite »).
Deux calculs possibles de p :
– par méthode de Monte Carlo standard,
– en posant Wc = Y + c (Z − E [Z]) et en calculant E [Wc] par Monte Carlo
(c : paramètre constant fixé).
Question : Pour que le nouvel estimateur soit meilleur, il faut que sa variance
soit plus petite que celle de l’estimateur naïf. Alors la question qui se pose est :
A-t-on : V ar [Wc] < V ar [Y ] ?

25. Chapitre 4. Variable de contrôle 24
Calcul de la variance :
V ar [Wc] = V ar [Y ] + c2
× V ar [Z] + 2c × Cov (Y, Z) .
Choix optimal de c :
D’après le cours on a pu constaté que la valeur optimale est c∗
= −Cov(Y,Z)
V ar(Z)
or
V ar [Wc∗ ] = V ar [Y ] − Cov(Y,Z)2
V ar(Z)
par la suite on a que
V ar [Wc∗ ] < V ar [Y ] ⇔ Cov(Y, Z) < 0. Z est appelée variable de contrôle de Y .
Méthode :
ˆθN,c∗ = 1
N
N
i=1 (Yi + c∗
(Zi − E [Z])) ≈ θ
Problème :
Comment calculer E [Z] ainsi que Cov(Y, Z) ?
4.3 Algorithme :
Étape 1 :
– Simuler p v.a. (Yn)1≤n≤p et p v.a.(Zn)1≤n≤p.
– Poser :
ˆE [Z] = 1
p
p
i=1 Zi ; ˆE [Y ] = 1
p
p
i=1 Yi
V ar [Z] = 1
p
p
j=1 Zj − ˆE [Z]
2
Cov (Y, Z) = 1
p
p
j=1 Yj − ˆE [Y ] Zj − ˆE [Z]
– Calculer ˆc∗ = −Cov(Y,Z)
V ar(Z)

26. Chapitre 4. Variable de contrôle 25
Étape 2 :
Pour N grand
– Simuler N v.a. (Yn)1≤n≤N et N v.a.(Zn)1≤n≤N .
– Poser :
ˆθ =
1
N
N
i=1
Yi + ˆc∗ Zi − ˆE [Z] ≈ θ
4.4 Application numérique
Comme vue précédemment, on a :
S1
T = S1
0 exp µ1 −
σ2
1
2
T + σ1
√
T
√
ρ1,1Z1
S2
T = S2
0 exp µ2 −
σ2
2
2
T + σ2
√
T ρ2,1
√
ρ1,1
Z1 + ρ2,2 −
ρ2
2,1
ρ1,1
Z2
S3
T = S3
0 exp µ3 −
σ2
3
2
T + σ3
√
T ρ3,1
√
ρ1,1
Z1 + ρ2,3−ρ1,2ρ1,3
√
ρ1,1ρ3,2−ρ2
1,2ρ1,1
Z2 + ρ3,3 −
ρ2
1,3
ρ1,1
− (ρ2,3−ρ1,2ρ1,3)2
ρ1,1ρ1,3−ρ2
1,3ρ1,1
Z3
avec Zk ℵ(0, 1) ; k = 1, 2, 3.
D’autre part on a :
L = V0 − VT = (−S1
0 − S1
0 − S1
0) + (S1
T + S1
T + S1
T ) d’où
E[L] = −(S1
0 + S1
0 + S1
0) + (E[S1
T ] + E[S2
T ] + E[S3
T ])
En remplaçant les coefficients avec leurs valeurs on aura :
S1
T = exp 8.10−3
+
√
4.10−3Z1
S2
T = exp 8.10−3
+
√
4.10−3(0, 5Z1 +
√
3
2
Z2
S3
T = exp 8.10−3
+
√
4.10−3(0, 5Z1 + 1
2
√
3
Z2 + 2
3
Z3
d’où :
Y 1
= log(S1
T ) ℵ(8.10−3
, 4.10−3
)
Y 2
= log(S2
T ) ℵ(8.10−3
, 4.10−3
(0, 52
+ 3
4
)
Y 3
= log(S3
T ) ℵ(8.10−3
, 4.10−3
(0, 52
+ 1
12
+ 2
3
)

27. Chapitre 4. Variable de contrôle 26
Remarque
En théorie des probabilités et statistique, une variable aléatoire X est dite suivre une
loi log-normale de paramètres µ et σ2
si la variable Y = ln(X) suit une loi normale
d’espérance µ et de variance σ2
.
Cette loi est parfois également appelée loi de Galton. Elle est habituellement notée
log −ℵ(µ, σ2
) dans le cas d’une seule variable ou log −ℵ(µ, Σ) dans un contexte mul-
tidimensionnel.
L’espérance est
E[X] = exp µ +
σ2
2
et la variance est
V ar[X] = exp σ2
− 1 exp 2µ + σ2
Un vecteur aléatoire X est dit suivre une loi log-normale multidimensionnelle de para-
mètres µ ∈ RN
et Σ ∈ MN (R) si le vecteur Y = ln(X) (composante par composante) suit
une loi normale multidimensionnelle dont le vecteur des espérances est µ et la matrice
de covariance est Σ. Cette loi est habituellement notée log −N(µ, Σ).
Les espérances et covariances sont données par les relations (valables également dans le
cas dégénéré) :
E [[X]i] = exp µi +
1
2
Σii

28. Chapitre 4. Variable de contrôle 27
D’après la remarque précédente on a que :
E [S1
T ] = exp {10−2
} E [S2
T ] = exp {12.10−3
}
E [S3
T ] = exp {12.10−3
} E [S1
0] = E [S2
0] = E [S3
0] = S1
0 = 1
E [L] = −3 + exp {10−2
} + 2 exp {12.10−3
}
H N ˆp ˆσ2 Nsim IC
0 103
0.566 0.243 103
0.0271 [0.537 ; 0.595]
0.2 103
0.14 0.11 103
0.078 [0.12 ; 0.158]
0.5 103
2.35*10-4 2.3*10−
4 103
0.422 [2.75*10−
4; 4.43 ∗ 10 − 4]
1 103
0 0 103
NaN –
Figure 4.1: Tableau des valeurs : Méthode de Variable de contrôle
4.5 Conclusion
On remarque que pour notre cas la méthode de variable de contrôle semble être inefficace.
La réduction de variance par rapport à la méthode Monte Carlo naïve est très faible.
Cela peut être fortement lié au choix de la variable de contrôle. D’autre part le problème
lié au grande valeur du seuil persiste toujours ce qui nous amène à l’étape suivante qui
est la méthode de stratification.

29. Chapitre 5
STRATIFICATION
5.1 Présentation générale du problème
Objectif :
évaluer p = E[Y ] avec Y v.a.
Méthode
On procède à une stratification en fonction d’une variable aléatoire X où
P(Xi ∈ ∪iAi) = 1.
Soit N la taille de l’échantillon. On procède alors aux étapes suivantes :
– Choisir les Ai avec pi = P(X ∈ Ai)
– On pose ni = Npi (Considéré comme entier)
– Pour i = 1, . . . , K, simuler Yij, j = 1, . . . , ni i.i.d suivant la loi de Y |X ∈ Ai
On a alors
p ≈ ˆp = K
i=1 pi( 1
ni
ni
j=1 Yij)
Notation :
θi = E[Yij] = E[Y |X ∈ Ai], σ2
i = V ar[Yij] = V ar[Y |X ∈ Ai]
Montrons que cet estimateur est sans biais et calculons sa variance.

30. Chapitre 5. Stratification 29
E[ˆp] = K
i=1 pi( 1
ni
ni
j=1 E[Yij]) = N
i=1 piθi = p (sans biais)
de variance
V ar(ˆp) = K
i=1 p2
i V ar( 1
ni
ni
j=1 E[Yij]) = N
i=1 p2
i
σ2
i
ni
5.2 Application à notre problématique
But : Estimer p = E[g(U1, U2, U3)] où Ui → U[0, 1] ∀i = 1, 2, 3
Méthode : On va stratifier avec Y = 3
i=1 Ui
On pose T = −log( 3
i=1 Ui) = 3
i=1(−log(Ui))
Remarque : −log(Ui) → Exp(Λ = 1) ⇒ T → Gamma(3, 1)
On pose T= temps d’arrivé du 3éme
client.
−log(U1) = Temps d’arrivé du 1er client.
−log(U2) = Temps qui sépare l’arrivé du 1er
client et du 2ème
client.
−log(U3) = Temps qui sépare l’arrivé du 2ème
client et du 3ème
client.
Figure 5.1: Temps d’arrivée
On pose G = fonction de répartition d’une v.a de loi Gamma(3,1). On a alors T =
G−1
(U[0, 1]) . On partitionne l’intervalle [0, 1] en n intervalles :
[0, 1] = n
k=1[(0+k−1)
n
, 1+k−1
n
] = n
k=1 Ak.
Rappelons que Ak = [(0+k−1)
n
, 1+k−1
n
]. Pour tirer un nombre x appartenant à Ak, on tire
V → U[0, 1] et on pose x = (k−1+V )
n
. Notre formule sera donc :

31. Chapitre 5. Stratification 30
p = E[g(U1, U2, U3)] = 1
n
n
k=1 E[g(U1, U2, U3)|G−1( k−1
n
)≤T≤G−1( k
n
)]
On doit estimer : p=E[g(U1, U2, U3)|G−1( k−1
n
)≤T≤G−1( k
n
)]
5.3 Algorithme
But :
Estimer p où :
p = E[g(U1, U2, U3)]
p = n
k=1 E[g(U1, U2, U3)|G−1( k−1
n
)≤T≤G−1( k
n
)] P(G−1
(k−1
n
) ≤ T ≤ G−1
(k
n
))
p = 1/n n
k=1 E[g(U1, U2, U3)|G−1( k−1
n
)≤T≤G−1( k
n
)]
pour chaque simulation j = 1, . . . , Nsim on répète les étapes suivantes :
pour k = 1, . . . , N (où N est la taille de notre échantillon)
(a) On simule V k
→ U[0, 1] et on pose Tk
= G−1
(V k+k−1
N
)
(b) On simule V k
(1) et V k
(2) → U[0, 1] et on ordonne V k
(1) et V k
(2)
(c) On calcule Uk
1 , Uk
2 et Uk
3 telles que :
i. Uk
1 = exp[−Tk
(V k
(1) − V k
(0))] avec V k
(0) = 0
ii. Uk
2 = exp[−Tk
(V k
(2) − V k
(1))]
iii. Uk
3 = exp[−Tk
(V k
(3) − V k
(2))] avec V k
(3) = 1
(d) Soit φ−1
: le quantile d’une loi normale centrée réduite. On calcule :
i. Z1 = φ−1
(Uk
1 )
ii. Z2 = φ−1
(Uk
2 )
iii. Z3 = φ−1
(Uk
3 )
(e) On calcul les prix des actifs tels que :
i. S1,i
T = exp 8.10−3
+ 0, 2
√
0, 1Z
(i)
1

32. Chapitre 5. Stratification 31
ii. S2,i
T = exp 8.10−3
+
√
4.10−3(0, 5Z
(i)
1 +
√
3
2
Z
(i)
2
iii. S3,i
T = exp 8.10−3
+
√
4.10−3(0, 5Z
(i)
1 + 1
2
√
3
Z
(i)
2 + 2
3
Z
(i)
3
(f) On calcule la perte relative à notre stratégie :
Lk
T = V0 − V k
T où V0 = −3Sk
0 = −3 et V k
T = − 3
k=1 Sk
T
(g) On pose g(Uk
1 , Uk
2 , Uk
3 ) = 1Lk
T >H
(h) On note un estimateur relatif à la jème
simulation ˆp
(j)
Strat = 1
N
N
k=1 g(Uk
1 , Uk
2 , Uk
3 )
(i) D’autre part ˆσ
2(j)
Strat = 1
N
N
k=1(g(Uk
1 , Uk
2 , Uk
3 ) − ˆp
(j)
Strat)2
A la fin des Nsim simulations on obtient notre estimateur et que sa variance associée :
ˆpStrat = 1
Nsim
Nsim
j=1 ˆp
(j)
Strat
ˆσ2
Strat = 1
Nsim
Nsim
j=1 ˆσ
2(j)
Strat
Après différentes simulations on obtient le tableau suivant pour différentes valeurs du
seuil H :
5.4 Application numérique
H N ˆp ˆσ2 Nsim IC
0 103
0.568 2.45*10−
5 103
8.75*10−
5 [0.565 ; 0.567]
0.2 103
0.1397*10−
4 1.2*10−
4 103
2.48*10-3 [0.1391 ; 0.1404]
0.5 103
2.33*10-3 2.32e-06 103
0.0207 [2.231*10−
3; 2.42 ∗ 10 − 3]
0.75 103
1.4e-05 1.4e-08 103
0.267 [-6.667e-06 ; 2.133e-05]
1 103
0 0 103
NaN –
Figure 5.2: Tableau des valeurs : Méthode de Stratification

33. Chapitre 5. Stratification 32
5.5 Conclusion
On remarque que la méthode de Stratification est meilleure que toute les autres méthodes
puisqu’elle réduit considérablement la variance de l’estimateur. Comme exemple, on peut
considérer le seuil H = 0, pour la méthode de Monte Carlo naïve la variance vaut alors que
pour la méthode de stratification elle vaut . Par contre, comme les méthodes précédentes,
pour des valeurs élevées du seuil H, l’estimateur prend des valeurs nulles et devient donc
inefficace.Afin de remédier à ce problème, on essaye la méthode suivante : La méthode
de fonction d’importance, une méthode adaptée à ce genre de problème.

34. Chapitre 6
FONCTION D’IMPORTANCE
C’est de loin la méthode la plus efficace. C’est une technique utilisée beaucoup pour
calculer
p = P(L ≥ H) = E(1L≥H)
surtout quand l’occurrence de X ≥ H est très petite.
Exemples :
– Catastrophes climatiques, ferroviaires, aériennes, etc.
– Faillites de grosses entreprises, d’états, etc.
– Cracks boursiers importants
6.1 Objectif
:
Mesurer les risques de portefeuille, opérationnels, etc. (obligation légale pour les banques
ou les assurances). En effet, on va procéder à un changement de mesure de manière à ce
que la proportion des valeurs simulées vérifiant L ≥ H devient proche de 0.5 au lieu de
zéro.
p = P(L ≥ H) = E[1L≥H] = E[g(z1, z2, z3)] où Zi ∼ N(0, 1) ∀i = 1, 2, 3.

35. Chapitre 6. Fonction d’importance 34
p = R3
g(x1, x2, x3) 3
i=1 f(xi)dx1dx2dx3 p = R3
g(x1, x2, x3)
3
i=1
f(xi)
3
i=1
f(xi,ηi)
3
i=1 k(xi, η)dx1dx2dx3
où : f(,) = densité d’une variable de loi N(0, 1)
où : k(xi, ηi) = densité d’un v.a de loi N(ηi, 1)
p = Eη[g(X)f(X,0)
k(X,η)
] où :
f(X, 0) = densité du vecteur gaussien de loi N(0R3 , I3)
k(X, η) = densité du vecteur gaussien de loi N(η, I3) avec X = (X1, X2, X3) et où :
(E(Xi) = ηi ; V ar(Xi) = 1 et η = (η1, η2, η3) ∀i = 1, 2, 3
p est estimé par : ˆp = 1
N
N
i=1 g(Xi)f(Xi,0)
k(Xi,η)
où X → N(η, I3)
Examinons la variance de l’estimateur ˆp.
V ar(ˆp) = 1
N
V arη[g(X)f(X,0)
k(X,η)
].
On veut minimiser la variance :
V arη[g(X)f(X,0)
k(X,η)
]
= R3
(g2
(x)f2(x,0)
f2(x,η)
)k(x, η)dx − p2
= R3
(g2
(x)f(x,0)
k(x,η)
)f(x, 0)dx − p2
= E0[g2
(X)f(X,0)
k(X,η)
] − p2
Il suffit donc de minimiser l’espérance E0 (par rapport au gaussien N(0R3 , I3)), soit
calculer :
minηE0[g2
(X)f(X,0)
k(X,η)
]
6.2 Algorithme
(a) On génère X1, . . . , XN → N(0R3 , I3)
(b) On calcule ˆpη = 1
N
N
i=1 g2
(Xi)f(Xi,0)
k(Xi,η)
.
On veut minimiser ˆpη. Soit ˆη le minimum.

36. Chapitre 6. Fonction d’importance 35
(c) On génère X1, . . . , XN → N(ˆη, I3)
(d) ˆp = 1
N
N
i=1 g(Xi)f(Xi,0)
k(Xi,η)
6.3 Conclusion
D’après les différentes recherches littéraires effectuées, il s’est avéré que la méthode d’im-
portance et la méthode la plus intéressante pour notre cas. La difficulté majeure dans la
mise en uvre de cette méthode est de trouver le changement de loi (i.e. la densité instru-
mentale) adéquate. Plusieurs méthodes telle que glasserman ou glarkin nous permettent
de résoudre notre problème.
On peut par exemple utiliser la formule de Cameron-Martin. On considère la famille de
lois P = {densités gaussiennes Nd(θ, Id), θ ∈ Rd
}, de sorte que
gθ(x) = 1
√
2π
d exp(−1
2
x − θ 2
)
Pour simplifier les notations, on écrit Eθ pour Egθ
et E pour E0.
D’après la (Formule de Cameron-Martin) on montre que pour tout θ ∈ Rd
E[φ(Z)] = E[φ(Z + θ)exp(−0.5θ θ − θ Z)] .
Par suite on pourra alors déduire une méthode de Monte Carlo par échantillonnage
d’importance pour calculer E[φ(Z)] : on calculera cet estimateur à partir d’un générateur
de nombre N(0, 1) et on lui associe un intervalle de confiance.
D’autre part on a φ = 1LT >H on a alors : E[φ2
(Z)|Z|exp(|Z||θ|)] < +∞.
De plus pour tout θ et la variance est égale à :
σ2
(θ) = E[φ2
(Z)exp( − θ Z + 0.5θ θ)] − (E[φ(Z)])2
Enfin pour déterminer θ on minimise σ2
(θ) et on montre que ce minimum (θ∗
) implique
l’égalité suivante : E[(θ∗
− Z)exp(−θ∗
Z)φ2
(Z)] = 0

37. BIBLIOGRAPHIE
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