Teoria ecualizacionadaptativalorenzodiaz

Ecualización adaptativa de un canal digital
Comunicaciones Digitales. PRL. Noviembre 20041
1. Introducción.
2. Filtrado de señales.
2.1 Introducción al filtrado digital.
2.2 Filtros adaptativos.
3. La solución óptima de Wiener.
3.1 Planteamiento del problema del filtro óptimo.
3.2 El filtro óptimo.
3.3 Ecualización de canal.
4. Algoritmos adaptativos.
4.1 Introducción.
4.2 El método de descenso de máxima pendiente.
4.3 Algoritmo least-mean-square (LMS).
1. Introducción.
El término filtro se utiliza comúnmente para describir un dispositivo que discrimina,
según algún atributo de los objetos que se aplican a su entrada, aquellos que pasan a su
través.
En el contexto del procesado de señal, el término filtrado indica el proceso lineal
pensado para alterar el contenido espectral de una señal de entrada de un modo previamente
especificado. La alteración de la secuencia de entrada es tanto en magnitud como en fase
para cada una de sus componentes frecuenciales, de modo que tanto el módulo como la fase
de la respuesta frecuencial del filtro debe cumplir una serie de especificaciones ajustándose
a un determinado patrón para realizar correctamente su función.
En este tema del curso centraremos nuestra atención en un subconjunto de filtros,
denominados adaptativos, cuyas características varían en el tiempo. De este modo, el
filtrado adaptativo es la solución para problemas de filtrado donde se desconoce la solución
exacta o las condiciones del problema son no estacionarias.
En particular, buscamos la solución al problema de ecualización de un canal de
comunicaciones digital. Estudiaremos la solución óptima de Wiener y los algoritmos
adaptativos más conocidos para solucionar el problema iterativamente.
2. Filtrado de señales.
2.1 Introducción al filtrado digital.
Llamaremos filtro digital a cualquier procesado numérico realizado en una señal de
entrada en tiempo discreto; dicho de otro modo, un filtro digital es la implementación en
hardware o software de una ecuación en diferencias finitas.

Las ventajas más importantes que aportan los filtros digitales frente a los analógicos
son la facilidad para modificar sus características, alta inmunidad al ruido, alta precisión
(limitada, lógicamente, por los errores de redondeo en la aritmética empleada) y bajo coste.
Por estas razones, los filtros digitales están reemplazando rápidamente a los filtros
analógicos. Además, existen potentes herramientas software que hacen que el proceso de
diseño de un filtro se limite a la determinación de su plantilla.
Podemos clasificar los filtros digitales en filtros FIR (de respuesta impulsional
finita) y filtros IIR (de respuesta impulsional infinita).
Un filtro FIR de orden L se describe por la siguiente ecuación en diferencias finitas:
( )inxwLnxwnxwnxwny
L
i
iL
−=+−⋅+⋅⋅⋅+−⋅+⋅= ∑
−
=
−
·)1()1()()(
1
0
110
[1]
lo que da lugar a la función de transferencia:
)1(
1
2
2
1
10
...)( −−
−
−−
⋅++⋅+⋅+= L
L
zwzwzwwzH [2]
La secuencia { } 1
0
−
=
L
kkw constituye los coeficientes del filtro. En este tipo de filtros no
hay recursividad, es decir, la salida depende sólo de la entrada y no de valores pasados de la
salida. Esto quiere decir que la respuesta de un filtro ante una entrada no es más que una
suma ponderada de valores pasados y presentes de la entrada.. Las características
principales de estos filtros se resumen en que son incondicionalmente estables y que son de
fase lineal, debido a que su función de transferencia sólo tiene ceros y un denominador
constante. Su respuesta impulsional será de duración finita ya que si la entrada se mantiene
a cero durante L periodos consecutivos, la salida será también cero.
La Figura 1 muestra una estructura de filtro transversal para llevar a cabo un filtrado
FIR como se refleja en la ecuación 1.
Empleando notación vectorial, el filtrado del vector de entrada )(nx con el filtro
w puede expresarse como:
wxxw TT
⋅=⋅= )()()( nnny [3]
donde el vector de entrada en el instante de tiempo n viene dado por:
[ ]T
x )1()1()()( +−−= Lnxnxnxn K [4]

y el vector de coeficientes es:
[ ]T
w 110 −= Lwww K [5]
Figura 1. Diagrama de bloques de una estructura transversal que implementa un filtro de
respuesta impulsional finita.
Pasando al segundo grupos de filtros digitales, los de respuesta impulsional infinita
(IIR), la ecuación en diferencias que describe un filtro IIR de orden N es:
)()1()(
)()2()1()(
10
21
Mnxbnxbnxb
Nnyanyanyany
M
N
−⋅+⋅⋅⋅+−⋅+⋅=
=−⋅+⋅⋅⋅+−⋅+−⋅+
[6]
obteniéndose como función de transferencia:
( ) N
N
M
M
zazaza
zbzbzbb
zH −−−
−−−
⋅++⋅+⋅+
⋅++⋅+⋅+
=
...1
...
2
2
1
1
2
2
1
10
[7]
∑
1−
z 1−
z 1−
z
∑∑∑
...
...
...
)(nx )1( −nx
)1( +− Lnx
)(ny
)2( −nx
1−LW2W1W0W

Las características principales de estos filtros, al igual que las de los AR, son que su
respuesta ante una entrada impulsional es infinita y que producen distorsión de fase, es
decir, que ésta no varía linealmente con la frecuencia. La gran ventaja de estos filtros IIR es
que, para unas mismas especificaciones de diseño, el orden requerido es mucho menor que
el de un filtro FIR.
En general, cualquier filtro FIR o IIR se caracteriza por su función de transferencia,
la cual se traduce en dos secuencias, una del numerador y otra del denominador, definidas
como los coeficientes del filtro. En nuestro caso, dichos coeficientes no serán más que
vectores de números reales cuyos valores se obtendrán bien del diseño de filtros con
MATLAB o bien de la actualización de los mismos por un algoritmo adaptativo.
Uno de los parámetros característicos en el diseño de filtros digitales es la
frecuencia de muestreo, de manera que cualquier sistema que realice filtrado de señales
deberá muestrear las señales a filtrar con una tasa igual a la frecuencia de muestreo del
filtro diseñado.
2.2 Filtros adaptativos.
Como hemos adelantado en el punto anterior, existe la posibilidad de permitir que
los coeficientes de un filtro varíen en el tiempo con el objetivo de poder adaptarse a
situaciones distintas.
Los filtros digitales adaptativos, que podrán ser tanto filtros FIR como IIR, serán
aquellos cuyos coeficientes no permanezcan constantes sino que son actualizados
periódicamente por un algoritmo adaptativo.
En general, un filtro digital adaptativo consta de dos partes: un filtro digital -igual
que los vistos en el punto anterior, pero de coeficientes variables- que procesa las señales
deseadas, y un algoritmo adaptativo encargado de ajustar los coeficientes de dicho filtro.
De manera genérica, la Figura 2 ilustra un filtro adaptativo, donde d(n) es la
respuesta deseada, y(n) es la salida actual del filtro digital ante la señal de entrada x(n) y el
error e(n) es la diferencia entre d(n) e y(n). La función del algoritmo adaptativo es ajustar
los coeficientes del filtro digital para minimizar la señal de error e(n).
Figura 2. Diagrama de bloques de un filtro adaptativo.
e(n)
x(n) y(n) Filtro
Digital
Algoritmo
Adaptativo
∑
d(n)
+

De las operaciones implícitas en esta figura, y(n) es la respuesta del filtro digital
ante la entrada x(n). En el caso de filtro adaptativo FIR de orden L, la expresión de y(n) se
deduce de la ecuación 1 como:
( )lnxnwLnxnwnxnwnxnwny
L
l
lL −=+−⋅+⋅⋅⋅+−⋅+⋅= ∑
−
=
− ·)()1()()1()()()()(
1
0
110
[8]
quedando marcada la dependencia temporal de los coeficientes del filtro { } 1
0)( −
=
L
ll nw . El
resto de operaciones, incluidas en el bloque llamado “algoritmo adaptativo”, serán
estudiadas en el apartado 4 del tema.
Empleando notación vectorial, la señal de error resultante de la Figura 2 queda:
)()()()()()( nnndnyndne xwT
⋅−=−= [9]
En el análisis que sigue, asumiremos que las señales d(n) y x(n) son estacionarias,
de modo que sus principales parámetros estadísticos -valor medio, varianza,
autocorrelación y correlación cruzada- no dependen del tiempo. El ajuste de los
coeficientes de un filtro trata de optimizar algunos criterios previamente establecidos. Antes
de analizar en el punto 4 algunos de esos criterios, vamos a dedicar la siguiente sección al
cálculo exacto de la solución óptima a la que debería tender iterativamente los coeficientes
del filtro adaptativo según el problema planteado en la Figura 2.
3. La solución óptima de Wiener.
3.1 Planteamiento del problema del filtro óptimo.
En este apartado se describe un tipo de filtros digitales óptimos, conocidos
genéricamente como filtros de Wiener.
Considere el problema planteado en la Figura 3.
Figura 3. Esquema de partida del problema de filtrado óptimo.
e(n)
d(n)
W(z) Σ
_
x(n)
+
y(n)

La entrada del sistema es la secuencia x(n), el filtro W(z) queda caracterizado por su
respuesta impulsional y la salida del sistema es la señal en tiempo discreto y(n). La salida
del sistema se interpreta como una estimación de la señal deseada d(n). El error de
estimación e(n), se define como la diferencia entre la respuesta deseada d(n) y la salida del
filtro y(n). El objetivo es hacer ese error de estimación tan pequeño como sea posible.
Existen dos requerimientos para el filtro:
• El filtro debe ser lineal para hacer más sencillo el análisis matemático del problema.
• El filtro trabaja con señales en tiempo discreto, para poder ser implementado con
técnicas de filtrado digital.
Las características finales del filtro dependen de otras decisiones que hay que tomar:
• La respuesta impulsional del filtro, ¿será finita o infinita?
• ¿Qué criterio emplearemos para la optimización?
En lo referente a elegir un filtro FIR o un filtro IIR, atenderemos a criterios
prácticos para la elección. Debido a que los filtros de respuesta impulsional finita son
incondicionalmente estables, centraremos nuestra atención en esta opción de filtrado.
En cuanto a la técnica de optimización, consideraremos el diseño de un filtro según
un criterio de minimización de una función de coste elegida de la siguientes opciones:
1) El valor cuadrático medio de la estimación del error.
2) La media estadística del valor absoluto de la estimación del error.
3) La media estadística de potencias de tercer o mayor orden del error estimado.
La primera de las opciones ofrece una evidente ventaja sobre las otras dos: con su
empleo, aseguramos una dependencia de segundo orden entre la función de coste y los
coeficientes de la respuesta impulsional del filtro. Por ello, se garantiza la existencia de una
única solución óptima de los coeficientes del filtro que minimiza la función de coste.
Con estas premisas, vamos a plantear matemáticamente el cálculo del filtro óptimo
de Wiener.
3.2 El filtro óptimo.
Comencemos escribiendo la expresión del error de estimación e(n):
)()()()()(
1
0
nndlnxwndne
L
l
l xwT
⋅−=−⋅−= ∑
−
=
[10]
La función de coste a minimizar es, como hemos determinado anteriormente, el
valor cuadrático medio de la señal de error, esto es:

[ ] [ ] wRwwp TT
⋅⋅+⋅⋅−== 2)()( 22
ndEneEξ [11]
siendo p el vector de correlación cruzada entre la señal de entrada x(n) y la señal de
referencia d(n) y se define como:
[ ] [ ]T
xp )1()......1()0()()( LpppndnE −−=⋅= [12]
La matriz de autocorrelación R se define como:
[ ]












−−
−
−
=⋅=
)0(...)2()1(
)2(...)0()1(
)1(...)1()0(
)()(
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
rLrLr
Lrrr
Lrrr
nnE
MOMM
T
xxR [13]
donde el vector de entrada )(nx es:
[ ]T
x )1(.).........1()()( +−−= Lnxnxnxn [14]
El filtro óptimo minimiza el valor de la función de coste definida en la ecuación 11.
Para obtener las componentes del mismo, podemos derivar dicha ecuación, obteniendo de
esa forma el vector gradiente de la superficie del error:
pwR
w
⋅−⋅⋅=
∂
∂
=∇ 22
ξ
ξ [15]
e imponiendo la condición de mínimo:
022 =⋅−⋅⋅ pwR o
[16]
obtenemos finalmente la solución del filtro óptimo de Wiener o
w :

pRw -1o
⋅= [17]
Para obtener el valor mínimo de la función de coste, sustituimos el valor obtenido
para el filtro óptimo de la ecuación 17 en la ecuación 11:
[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ] oT-1T
-1T-1-1T
oTooT
wppRp
pRRpRpRp
wRwwp
⋅−=⋅⋅−=
=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=
=⋅⋅+⋅⋅−=
)()(
2)(
2)(
22
2
2
min
ndEndE
ndE
ndEξ
[18]
El error cuadrático medio de la señal de error puede expresarse en términos de la
matriz de autocorrelación R de la señal de entrada:
( ) ( )oTo
wwRww −⋅⋅−+= minξξ [19]
Si introducimos el vector v como la traslación del vector de coeficientes con
respecto a la solución óptima:
o
wwv −= [20]
la función de coste puede escribirse:
vRvT
⋅⋅+= minξξ [21]
Por otro lado, la matriz R es semidefinida positiva (todos sus valores propios son
reales no negativos) y puede expresarse en términos de sus valores y vectores propios como
sigue:
T
QΛQR ⋅⋅= [22]
donde Λ es la matriz diagonal que tiene en su diagonal principal los valores propios de R :













=
Lλ
λ
λ
00
0
00
00
2
1
L
OMM
M
L
Λ [23]
y Q tiene como columnas los vectores propios de la matriz de autocorrelación R . Como
los vectores propios son ortogonales entre si y están normalizados, la matriz Q se dice
ortonormal y cumple:
IQQT
=⋅ [24]
o lo que es lo mismo:
T
QQ =−1
[25]
Si definimos una versión rotada del vector de desajuste de coeficientes de la
siguiente forma:
vQvQv' -1T
⋅=⋅= [26]
entonces podemos reescribir la función de coste a minimizar como:
( ) ( )
( )
( ) ( )
''min
min
min
min
min
vΛv
vQΛvQ
vQΛQv
vRv
wwRww
T
TTT
TT
T
oTo
⋅⋅+=
=⋅⋅⋅⋅+=
=⋅⋅⋅⋅+=
=⋅⋅+=
=−⋅⋅−+=
ξ
ξ
ξ
ξ
ξξ
[27]
Si desacoplamos la notación matricial, podemos expresar la función de coste como
indica la ecuación 28:
2
1
min 'l
L
l
l v∑=
⋅+= λξξ [28]

3.3 Ecualización de canal.
Un escenario de empleo del filtrado óptimo de Wiener es la ecualización de un
canal de comunicaciones. La Figura 4 describe el sistema: la fuente de información
proporciona la señal de entrada al canal x(n), la salida del mismo -señal y(n)- se ve alterada
por la adición de un ruido aleatorio. La nueva señal ruidosa recibe el nombre yv(n).
Finalmente, el ecualizador es el último bloque cuyo objetivo es regenerar la señal de
entrada al sistema x(n) a partir de la salida del canal mezclada con ruido. Obviando el
problema adicional del ruido aditivo, la función de transferencia del ecualizador tiene que
ser la inversa de la del canal para que su salida z(n) sea lo más parecida a la secuencia
original x(n). Desde el punto de vista del filtrado óptimo de Wiener, podemos plantear el
diseño de un ecualizador que a partir de la señal yv(n) obtenga la mejor aproximación de la
señal desada d(n) que no será otra cosa que una versión retrasada de la secuencia original
x(n).
Figura 4. Esquema de ecualización de un canal.
4. Algoritmos adaptativos.
4.1 Introducción
Recordemos la expresión general del valor cuadrático medio de la señal de error
(MSE) de un filtro FIR:
[ ] [ ] wRwwp TT
⋅⋅+⋅⋅−== 2)()( 22
ndEneEξ [29]
Esta función de coste es una función cuadrática de las componentes del vector de
coeficientes, de modo que para cada valor del vector de coeficientes existe su
correspondiente valor de la función de coste ξ. Por tanto, los valores del MSE junto con los
L coeficientes forman un espacio L+1 dimensional denominado superficie MSE.
)(nhx(n) e(n)+
d(n)
Fuente de
información )(nw
Σ Σ
_
Generador
de ruido
aditivo
y(n) yv(n) +
z(n)
EcualizadorCanal

Consideremos el caso de un filtro digital de dos coeficientes (L=2): 0w y 1w . El
valor de la función de coste ξ y los coeficientes forman el espacio tridimensional que se
muestra en la Figura 5.
Figura 5. Superficie de error para un filtro FIR adaptativo de dos coeficientes.
Un algoritmo iterativo busca la solución óptima, en términos de mínimo MSE,
avanzando hacia el punto [ ]optimooptimo
o ww 1,=o
w sobre la superficie. La búsqueda del punto
óptimo se ve facilitada por el hecho que en una función cuadrática no existen mínimos
locales, existiendo sólo una solución óptima. La intersección del paraboloide con planos
paralelos al plano de los coeficientes da como resultado elipses concéntricas, lugares
geométricos de los puntos con MSE constante, conocidas como contornos de error.
Realizando una interpretación geométrica -para lo cual es conveniente limitar a
dos el número de coeficientes del filtro-, la ecuación 20 de traslación de los coeficientes
realiza el cambio de coordenadas de los coeficientes w en un nuevo conjunto de
coordenadas dada por los vectores v con el origen en el centro de las elipses concéntricas.
Con la rotación definida en la ecuación 26 se pasa a emplear una nueva base dada por los
vectores v' que definen los ejes principales de la elipse.
La expresión general de la actualización de los coeficientes de un algoritmo
adaptativo vendrá dada por la siguiente ecuación:
[ ])()()()1( nxInGnn ⋅+=+ ww [30]
ξ
minξ
optimo
w0
optimo
w
1
1
w
0
w

donde )(nG es un término de ganancia e [ ])(nxI es un término de innovación dependiente
-entre otros elementos- de la señal de entrada x(n). Cada algoritmo particularizará las
funciones de ganancia e innovación ofreciendo una serie de ventajas e inconvenientes que
habrá que poder medir para elegir en cada caso la opción más adecuada.
Para medir las prestaciones de un algoritmo adaptativo recurriremos a parámetros de
dos tipos: los de tipo teórico y los dependientes de la implementación real de la solución en
una arquitectura hardware concreta.
Dentro de los parámetros teóricos que definirán la bondad de la estrategia tenemos:
1) Velocidad de convergencia.
Resulta evidente que una cualidad deseable de un algoritmo adaptativo es que
converja a la solución óptima en el menor número de iteraciones posible. Para medir la tasa
de convergencia y la constante de tiempo asociada, será de utilidad la denominada curva de
aprendizaje del algoritmo adaptativo. Esta curva de aprendizaje no es otra cosa que la
representación gráfica del valor cuadrático medio del error (MSE) frente al tiempo n. Por
otro lado, entenderemos por constante de tiempo el tiempo necesario para que un
determinado parámetro -el error cuadrático medio en este caso- decaiga hasta un factor
%371 ≈e de su valor inicial.
Figura 6. Curva de aprendizaje del algoritmo adaptativo.
2) Desajuste.
Empecemos definiendo el llamado exceso de error cuadrático medio o exceso MSE
como la diferencia entre el valor esperado de la función de coste menos su valor mínimo,
esto es:
n
)(nξ
)(∞ξ
minξ

[ ] min)( ξξξ −= nEexceso [31]
El desajuste M es el cociente entre el exceso MSE y el valor mínimo del error:
[ ]
min
min
min
)(
ξ
ξξ
ξ
ξ −
==
nE
M exceso
[32]
Suele existir un compromiso entre la velocidad de convergencia del MSE (dada por
su constante de tiempo) y el desajuste del error. El producto de ambos parámetros
-constante de tiempo y desajuste- es fijo para un algoritmo adaptativo:
cteM =×τ [33]
de modo que ganar en rapidez de convergencia tiene que ser a costa de admitir un mayor
error residual o, por el contrario, para minimizar ese error residual tenemos que buscar una
convergencia más lenta controlada por un factor µ menor.
Las variantes propuestas sobre la base del algoritmo adaptativo básico deben
buscar la minimización del producto M×τ
3) Robustez.
Se trata de evaluar la capacidad de operar con datos estadísticamente mal
condicionados. A la vista de la solución óptima de Wiener se hace evidente que si la matriz
R de autocorrelación de la señal de entrada x(n) es singular o esta próxima a serlo, la
posibilidad de que no se alcance la solución es mayor. Más adelante demostraremos como
esta falta de adecuación en los datos también repercute en una ralentización de la
convergencia.
En cuanto a los factores dependientes de la implementación únicamente
enumeramos algunos de los aspectos que habrá que tener en cuenta.
4) Carga computacional.
El coste o carga computacional de un algoritmo habrá que medirlo en términos del
número de operaciones (sumas y, especialmente productos) que hay que realizar en una
iteración.
5) Eficiencia de la arquitectura.
También interesa considerar la cantidad de memoria que el algoritmo precisa, el
número de accesos a dichas posiciones de memoria y el número de punteros que requiere la
implementación de la solución. Yendo un poco más lejos, habrá que evaluar las
prestaciones del hardware para implementar operaciones en paralelo mediante
segmentación, la posibilidad de empleo de varios procesadores simultáneamente y del
modo de direccionamiento circular, muy adecuado para la implementación de filtrados.

6) Propiedades numéricas.
La sensibilidad del hardware a los errores aritméticos es otro parámetro a
considerar. La precisión de los conversores analógico/digitales y el empleo de una
aritmética de doble precisión evitará problemas difíciles de analizar desde el punto de vista
teórico pero que pueden poner en peligro el éxito de la implementación del algoritmo.
4.2 El método de descenso de máxima pendiente.
Hemos visto que la superficie MSE es una función cuadrática de los coeficientes del
filtro y que, por lo tanto, ajustar los coeficientes para minimizar el error implica descender
a lo largo de la superficie, hasta alcanzar el punto más bajo. Con esta idea fueron
desarrollados algoritmos descendentes basados en el cálculo del gradiente en un punto de la
superficie.
El desarrollo matemático del algoritmo se facilita observando la Figura 5.
Supongamos un valor inicial de los coeficientes del filtro, )0(w , que corresponden a un
único valor de ).0(ξ El conjunto de estos valores determinan un punto inicial en la
superficie MSE. Calculando el gradiente en ese punto, obtenemos el grado de variación de
la superficie con respecto a sus coordenadas. Tomando la dirección negativa del gradiente,
nos vamos desplazando por sucesivos puntos de la superficie, hasta alcanzar el punto donde
el error cuadrático medio se minimiza. Además, siguiendo la dirección contraria al
gradiente, avanzamos hacia el mínimo de la manera más rápida posible. Este concepto
puede ser implementado por el siguiente algoritmo:
( ))(
2
)()1( nnn ξ
µ
∇−⋅+=+ ww [34]
donde )(nξ∇ es el gradiente de la superficie MSE dado por las derivadas direccionales
lwn ∂∂ /)(ξ , y µ es el factor de convergencia (o tamaño del paso) que controla el
compromiso entre la estabilidad del algoritmo y la rapidez en alcanzar el punto deseado.
Partiendo de la ecuación 11, derivamos el gradiente de la función de coste como se
expresa en la ecuación 13.
Por tanto el algoritmo de descenso de máxima pendiente queda:
[ ])()()1( nnn wRpww ⋅−⋅+=+ µ [35]
Cuando )(nw ha convergido hasta o
w , es decir, cuando se alcanza el mínimo
punto de la superficie MSE, el gradiente se anula, .0)( =∇ nξ
Continuando con el desarrollo del algoritmo, reescribimos la ecuación 35:
[ ] pwRIw ⋅+⋅⋅−=+ µµ )()1( nn [36]

Sustituyendo en la ecuación 36 el valor del filtro óptimo de Wiener (ecuación 17)
tenemos:
[ ] o
wRwRIw ⋅⋅+⋅⋅−=+ µµ )()1( nn [37]
Realizando una traslación del vector de coeficientes y rotando el nuevo vector
empleando la matriz Q de vectores propios de la matriz de autocorrelación R , como se
expresa en las ecuaciones 20 y 26, respectivamente, obtenemos:
[ ]
[ ] )(
)()1( 1-1-
n
nn
v'ΛI
v'QRQQIQv'
⋅⋅−=
=⋅⋅⋅⋅−⋅⋅=+
µ
µ [38]
iterando la ecuación 38 desde el primer valor de n tenemos:
[ ] )0()( v'ΛIv' ⋅⋅−= n
n µ [39]
El vector de coeficientes converge si se cumple:
[ ] 0 →⋅− ∞→nn
ΛI µ [40]
La convergencia debe darse para las L componentes de la diagonal de la matriz:
[ ]
[ ]
[ ]
0
1
...
......1
.........1
2
1
 →














⋅−
⋅−
⋅−
∞→n
n
L
n
n
λµ
λµ
λµ
MMM
OMM
M
[41]
Por lo tanto, la condición exigida al factor de convergencia para garantizar la
estabilidad del algoritmo adaptativo se impone sobre el mayor de los valores propios para
asegurar la convergencia de todos los modos,
lλλ
µ
22
0
max
<<< [42]

siendo maxλ el mayor valor propio de la matriz de autocorrelación R .
Para estimar la velocidad de convergencia de cada modo consideraremos el tiempo
que debe transcurrir para una caída de 1 Np:
( )
e
l
l
1
1 =⋅−
τ
λµ [43]
despejando lτ tenemos:
( )l
l
λµ
τ
⋅−
−
=
1ln
1
[44]
Si la convergencia es lenta y el paso de adaptación suficientemente pequeño, se
puede emplear una aproximación empleando el desarrollo en serie de Taylor, obteniendo:
l
l
λµ
τ
⋅
≈
1
[45]
El modo más lento será el de menor energía, es decir:
max,
min
11
l
l
l
τ
λµλµ
τ =
⋅
≤
⋅
≈ [46]
de modo que max,lτ define la convergencia de los coeficientes.
Analicemos ahora la convergencia de la función de coste )(nξ . Según la ecuación
28, )(nξ puede escribirse en términos de lλ y de '.lv Iterando desde el primer valor de los
coeficientes de acuerdo con la ecuación 39 tenemos:
( ) ( )01)(
2
2
1
min l
nL
l
ll
n νλµλξξ ′⋅−⋅+= ∑=
[47]
Si el algoritmo de máxima pendiente converge -con max20 λµ << - entonces, sin
importar cuales sean las condiciones iniciales, tenemos:

min
)( ξξ  → ∞→n
n [48]
esto implica que en el límite se anule el segundo término de la ecuación 47.
La constante de tiempo de la curva de aprendizaje puede calcularse de un modo
similar al cálculo realizado para la convergencia de los coeficientes:
( )
e
MSEl
l
1
1
,2 ,
=⋅−
⋅τ
λµ [49]
despejando MSEl,τ tenemos:
( )l
MSEl
λµ
τ
⋅−⋅
−
=
1ln2
1
, [50]
Si el paso de adaptación es suficientemente pequeño, se puede emplear una
aproximación obteniendo:
max,
min
,
2
1
2
1
MSE
l
MSEl
τ
λµλµ
τ =
⋅⋅
≤
⋅⋅
≈ [51]
quedando calculada la constante de tiempo del MSE.
Como el factor de convergencia esta acotado, max2 λµ < , se tiene:
min
max
min
max,
42
1
λ
λ
λµ
τ
⋅
>
⋅⋅
=MSE
[52]
de modo que la dispersión de valores propios minmax
λλ define la velocidad de la
convergencia del algoritmo.
A partir de la ecuación 51 podemos promediar para obtener la constante de tiempo
media:

[ ] Pxtr
L
L
L
L
l MSEl
L
l
l
MSE
⋅⋅
=
⋅⋅
=
==
⋅⋅
=
⋅⋅
=
∑∑
==
µµ
τ
λ
µ
λµ
τ
2
1
2
1
2
1
2
1
1 ,1
R
[53]
A la vista de la ecuación anterior, la constante de tiempo promedio es la media
armónica de las constantes de tiempo de cada modo.
En cuanto al desajuste del algoritmo de máxima pendiente, es nulo ya que los
coeficientes convergen a la solución de Wiener, esto es:
0
min
==
ξ
ξexceso
MSE
M [54]
A modo de resumen, el método de descenso de máxima pendiente precisa del
conocimiento de la matriz R de autocorrelación de la señal de entrada y del vector p de
correlación cruzada entre la entrada y la señal deseada. La dificultad de implementar el
método es doble: por un lado realizar en cada iteración el cálculo de R y p es
computacionalmente costoso; por otro lado, aún disponiendo de la capacidad de llevar a
cabo los cálculos puede no ser posible calcular los momentos estadísticos al tener sólo una
realización de los procesos. Además, la condición de estacionariedad de las señales x(n) y
d(n) sólo suele ser válida en la práctica para algunos tipos de señales y en determinados
intervalos de tiempo. Estas dificultades pueden solucionarse empleando una estimación del
vector gradiente en lugar del gradiente real; este principio es la base del algoritmo
adaptativo LMS que se presentará a continuación.
La ventaja de no precisar el cálculo de la inversa de la matriz de autocorrelación es
mayor cuando los datos están más condicionados, con R próxima a singular y una
dispersión de autovalores elevada. Sin embargo, al tratarse de un método cuya velocidad de
convergencia es sensible a esta dispersión minmax λλ , se tiene la paradoja de que la situación
más ventajosa es por otro lado la más lenta. Consecuentemente es un método poco usado en
implementaciones prácticas.
4.3 Algoritmo least-mean-suare (LMS).
El algoritmo LMS es posiblemente el algoritmo adaptativo más conocido y
empleado en implementaciones reales. Dada su simplicidad y buenas prestaciones sirve
normalmente de referencia para comparar nuevas estrategias basadas en algoritmos
adaptativos.
Propuesto por primera vez por Widrow, el algoritmo LMS puede considerarse como
una simplificación del método de descenso de máxima pendiente. La diferencia consiste en

emplear una expresión alternativa de la función de coste, no utilizando el valor cuadrático
medio (MSE) de la señal de error, sino su potencia instantánea, esto es:
)()(ˆ 2
nen =ξ [55]
Por lo tanto, la estimación del gradiente empleada en el algoritmo LMS es
sencillamente el gradiente de la potencia instantánea, es decir:
[ ] )()(2)(ˆ nenen ⋅∇⋅=∇ξ [56]
considerando la ecuación 10 para definir el error, al derivar con respecto a los coeficientes
del filtro se tiene:
)()( nne x−=∇ [57]
de tal forma que la estimación del gradiente resulta:
)()(2)(ˆ nenn ⋅⋅−=∇ xξ [58]
Con esta estimación del vector gradiente se obtiene finalmente la expresión de
actualización de los coeficientes del filtro adaptativo según el algoritmo LMS:
)()()()1( nennn ⋅⋅+=+ xww µ [59]
De la ecuación anterior se deduce la sencillez de este algoritmo al no necesitar el
cálculo de valores estadísticos o derivadas con respecto a los coeficientes.
Las prestaciones del algoritmo LMS han sido analizadas por muchos autores por ser
el algoritmo adaptativo más importante y que sirve de referencia para las comparaciones
con nuevas propuestas.
La convergencia en media de los pesos del filtro en el algoritmo LMS puede
determinarse tomando el valor esperado a ambos lados de la ecuación 59:
[ ] [ ] [ ])()()()1( nenEnEnE ⋅⋅+=+ xww µ [60]

Sustituyendo el valor de la señal de error y empleando la barra horizontal superior
para indicar valor esperado, tenemos:
( )[ ])()()()()()1( nnndnEnn xwxww T
⋅−⋅⋅+=+ µ [61]
A partir de las definiciones de p y R obtenemos:
[ ] [ ] pwRIwRpww ⋅+⋅⋅−=⋅−+=+ µµµ )()()()1( nnnn [62]
Si recordamos la definición del vector )(nv como la diferencia entre el vector de
coeficientes del filtro adaptativo y la solución óptima:
o
wwv −= )()( nn [63]
Considerando la ecuación 63, podemos reescribir la ecuación 62 como:
[ ] )()1( nn vRIv ⋅⋅−=+ µ [64]
Rotando los coeficientes mediante el producto con la matriz Q de vectores propios.
)()( nn vQv' T
⋅= [65]
se obtiene:
[ ] )()1( nn v'ΛIv' ⋅⋅−=+ µ [66]
Las componentes de este vector son:
[ ] )('1)1(' nvnv lll ⋅⋅−=+ λµ Ll ,...,1= [67]
donde cada término )(' nv l puede expresarse a partir del valor inicial como:

[ ] )0(1)(' l
n
ll vnv ′⋅−= λµ [68]
Dado el valor del MSE como:
)()()()(
1
2
minmin nvnnn
L
l
ll∑
=
′⋅+=⋅⋅+= λξξξ v'Λv'T
[69]
Si la adaptación es lenta )(nlν ′ ≈ )(nlν ′ y teniendo en cuenta la ecuación 68
obtenemos la solución explícita del MSE:
( ) ( )01)(
2
2
1
min l
nL
l
ll
n νλµλξξ ′⋅−⋅+≈ ∑=
[70]
Conforme aumenta el valor del factor de convergencia, )(nlν ′ difiere
significativamente de )(nlν ′ produciéndose un desajuste que veremos un poco más tarde.
La convergencia en media del algoritmo LMS desde un valor inicial de los
coeficientes )0(w hasta su valor óptimo o
w , es equivalente a:
0)(  →′ ∞→n
l nv Ll ,...,1= [71]
Esto requiere, por la ecuación 70, que:
11 <⋅− lλµ [72]
o equivalentemente:
lλ
µ
2
0 << [73]
Así, el algoritmo LMS converge en media desde )0(w hasta o
w , si y sólo si:

max
2
0
λ
µ << [74]
Siendo maxλ el mayor valor propio de la matriz de autocorrelación R . La velocidad
de convergencia del modo dominente se obtiene cuando:
max
1
λ
µ = [75]
Sin embargo, el criterio de estabilidad dado por la ecuación 73 no es aplicable en la
práctica debido a la dificultad de calcular el valor maxλ cuando el tamaño del filtro L es
grande. En las aplicaciones prácticas, se realiza una estimación de este valor de la siguiente
forma:
[ ] ∑
=
=⋅=
L
l
lxxrLtr
1
)0( λR [76]
donde [ ]Rtr denota la traza de la matriz R . Tomando el valor propio mayor se cumple que:
( ) xxx
L
l
l
PLrL ⋅=⋅=≤ ∑=
0
1
max
λλ [77]
donde [ ])()0( 2
nxErP xxx =≡ denota la potencia de la señal x(n). Por lo tanto el valor de µ
queda acotado del siguiente modo:
xPL ⋅
<<
2
0 µ [78]
Por lo tanto, la convergencia en media del algoritmo LMS, requerirá un valor de µ
que cumpla la ecuación anterior. Éste es inversamente proporcional a L, por lo que para
filtros de orden alto se deberá utilizar un valor de µ pequeño. El factor de convergencia
también es inversamente proporcional a la potencia de la señal de entrada x(n). Por lo tanto
las señales más débiles podrán utilizar un valor de µ más alto que las señales de más
potencia. Una solución interesante es normalizar el valor del factor de convergencia con

respecto a la potencia de la señal de entrada. El algoritmo que emplea esta estrategia es el
llamado algoritmo LMS normalizado (NLMS) que estudiaremos en la siguiente sección.
Hay que recordar que el análisis anterior sólo asegura la convergencia en media de
los coeficientes del filtro. Sin embargo, asegurar la convergencia en media no garantiza la
estabilidad en varianza. Para que los coeficientes también converjan en varianza hay que
exigir una condición más restrictiva para el factor de convergencia µ:
max3
2
0
λ
µ
⋅
<< [79]
que se traduce en términos de la potencia de la señal de entrada en la condición dada por la
ecuación 80:
xPL ⋅⋅
<<
3
2
0 µ [80]
Quedan dos aspectos importantes que analizar del algoritmo LMS como son la
constante de tiempo del proceso adaptativo y el desajuste del error.
Aunque algunos autores prefieren definir la constante de tiempo del error cuadrático
medio como el tiempo que tarda en caer en un factor ,1 2
e argumentando una mayor
consistencia dimensional en la definición, nosotros vamos a elegir el criterio de referencias
clásicas de filtrado adapativo que estiman la constante de tiempo como el necesario para la
caída de 1 Np. La ecuación 70 demostraba la posibilidad de expresar el MSE en términos
de las componentes del vector de coeficientes rotados )(nv' :
El tiempo necesario para que cada componente de )(nξ varíe desde )0(ξ hasta
e)0(ξ viene dado por:
( )
e
MSEl
l
1
1
,2 ,
=⋅−
⋅τ
λµ [81]
despejando MSEl,τ tenemos:
( )l
MSEl
λµ
τ
⋅−⋅
−
=
1ln2
1
,
[82]

Si podemos asumir que el factor de convergencia µ es suficientemente pequeño y
que por lo tanto 1<<⋅ lλµ , podremos realizar una aproximación del siguiente modo:
l
MSEl
λµ
τ
⋅⋅
≈
2
1
,
[83]
La ecuación 83 muestra que cada modo tiene su propia constante de tiempo,
determinada por el factor de convergencia global µ y el valor propio lλ asociado a dicho
modo. Por lo tanto, la convergencia global viene limitada por el modo más lento y
consecuentemente, la constante de tiempo del error cuadrático medio vendrá acotada por:
max,
min
,
2
1
2
1
MSE
l
MSEl
τ
λµλµ
τ =
⋅⋅
≤
⋅⋅
≈ [84]
quedando calculada la constante de tiempo del MSE.
A partir de la cota del factor de convergencia max2 λµ < , se tiene:
min
max
min
max,
42
1
λ
λ
λµ
τ
⋅
>
⋅⋅
=MSE
[85]
de modo que también en el algoritmo LMS la dispersión de valores propios minmax
λλ
define la velocidad de la convergencia del algoritmo. Esto es: a la vista de la ecuación 84 se
deduce que cuanto más pequeño sea el menor valor propio min
λ de la matriz de
autocorrelación más lenta será la convergencia. Desafortunadamente, si el mayor valor
propio maxλ es muy grande, por la ecuación 79 la elección del factor de convergencia µ
estará muy limitada de modo que sólo un valor de µ servirá para todos los modos.
Resumiendo, si min
λ es muy pequeño y maxλ muy grande, la constante de tiempo global del
error cuadrático medio (MSE) se incrementa haciendo más lenta la convergencia.
Sin embargo, hay que hacer notar que la cota anterior es una limitación muy
conservadora para la constante de tiempo global, ya que a la vista de la ecuación 70 sólo
aquellos valores propios para los cuales la proyección del vector propio )0('lv sobre )0(v
es importante ejercerá influencia en la convergencia global. Como muchas de estas
proyecciones pueden ser despreciables, la convergencia total puede venir condicionada por
unos pocos modos de forma que, a menudo, el error cuadrático medio converge más
rápidamente que lo que indica a ecuación 85.

Ya hemos comentado con anterioridad la dificultad que implica el cálculo de los
valores propios de la matriz R . Sin embargo, existe un importante resultado para acotar la
dispersión de valores propios a partir del rango dinámico del espectro de la señal de entrada
x(n):
[ ]
[ ])(min
)(max
1
min
max
ω
ω
λ
λ
X
X
≤≤ [86]
A la vista de este resultado se justifica el empleo de diferentes técnicas de
“blanquedo” de señales para conseguir un espectro más plano de la señal de entrada y
mejorar por lo tanto la convergencia del algoritmo adaptativo.
En cuanto al desajuste del algoritmo LMS, se puede realizar un cálculo del mismo
basado en descomponer la estimación del gradiente en dos componentes: el gradiente real y
un ruido de gradiente. Calculando la covarianza de este ruido cuando los coeficientes han
convergido tenemos:
∑
∑
=
=
⋅−
⋅
−
⋅−
⋅
= L
l l
l
L
l l
l
M
1
1
2
1
2
λµ
λµ
λµ
λµ
[87]
Si se cumple que 1<<⋅ lλµ tenemos:
[ ]
[ ]R
R
tr
tr
M
⋅
⋅
≈
µ
µ
-2
[88]
Si se cumple además que [ ] 1<<⋅ Rtrµ entonces:
[ ]
[ ]
[ ] PxLtr
tr
tr
M ⋅⋅=⋅≈
⋅
⋅
≈
22-2
µµ
µ
µ
R
R
R
[89]
En resumen, el LMS es un algoritmo que no requiere a priori un conocimiento de la
estadística de las señales, requiere pocas operaciones por muestra, ofrece un buen
compromiso entre prestaciones y simplicidad, es sensible a la dispersión de valores propios
de la matriz de autocorrelación y es robusto ante problemas de ruido, errores de
cuantificación y empleo de aritmética finita.

Teoria ecualizacionadaptativalorenzodiaz

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (9)

Destaque

Destaque (20)

Semelhante a Teoria ecualizacionadaptativalorenzodiaz

Semelhante a Teoria ecualizacionadaptativalorenzodiaz (20)

Último

Último (20)

Teoria ecualizacionadaptativalorenzodiaz