Monomios, Polinomios, Operaciones

2. Los polinomios son una parte importante del
Álgebra. Están presentes en todos los contextos
científicos y tecnológicos: desde los
ordenadores y la informática hasta la carrera
espacial.
La fórmula que
expresa el
movimiento de un
cuerpo en caída
libre viene dada
por el siguiente
polinomio:
P(t) = 1 gt
2
2
t: tiempo
g: gravedad
La fórmula para calcular el
volumen de un cubo en
función de la longitud (l)
de su lado viene dada por:
V (l) = l3

3. MMoonnoommiiooss
Un monomio es una expresión algebraica en la que
la únicas operaciones que afectan a las letras son la
multiplicación y la potencia de exponente natural.
Son monomios: NO son monomios:
2x2
-12x3 yz2
4abc15
2x-2
2
3
- 7yz2x

4. PPaarrtteess ddee uunn mmoonnoommiioo
Los coeficientes son los números que aparecen multiplicando.
La parte literal la forman las letras y sus exponentes.
El grado del monomio es la suma de los exponentes de las letras.
1 1 1
Gr. = 2 Gr. = 3+ 1+ 2 = 6 Gr. = 1+ 1+ 15 = 17

5. TTiippooss ddee mmoonnoommiiooss
Monomios sseemmeejjaanntteess:
tienen la misma parte literal.
Monomios ooppuueessttooss:
son semejantes y sus coeficientes
son números opuestos.
- 25a2b3 a2b3
5xy - 1
xy
7
25a2b3 25a2b3
-
3 2 - 1 x y
7
3 2
7
1 x y
a2b3 xy -
NO semejantes NO opuestos
3a2b3c a2b3 - 25a3b2 25a2b3

6. OOppeerraacciioonneess ccoonn mmoonnoommiiooss
La ssuummaa ((oo rreessttaa)) de monomios semejantes se realiza
sumando (o restando) los coeficientes y dejando la misma parte
literal.
5 xy2
+3 -5 +7
( ) 10
=
5xy2 +3x2 y2 No son semejantes,
luego no se pueden
sumar.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
xy2 xy2 xy2
xy2 xy2
=

7. OOppeerraacciioonneess ccoonn mmoonnoommiiooss
Para mmuullttiipplliiccaarr por un lado, multiplicamos sus
coeficientes y, por otro, sus partes literales.
=15x4 y2
Ejemplo 3: -3y2 ×7 y =
Ejemplo 4:
7y ( ) = - 21y3
55xxyy22 ××33xx33 = ( )

8. OOppeerraacciioonneess ccoonn mmoonnoommiiooss
Para ddiivviiddiirr por un lado, dividimos sus
coeficientes y, por otro, sus partes literales
(si se puede).
Ejemplo 5:
Ejemplo 6:
- 21y7 : 7 7y2 y2 =
( ) ( : ) = -3y5
= 25 a
25a3b 4b 3
25a3b2 : =
4

9. PPoolliinnoommiiooss
Un ppoolliinnoommiioo es una expresión algebraica formada por
la suma o resta de dos o más monomios no semejantes.
Término
independiente
Grado: 2 + 5 = 7
Coeficiente
principal
3xy3 - 7x2 y5 + 3xyz - 21
Términos
Cada uno de los monomios se llama ttéérrmmiinnoo, y
si no tiene parte literal se llama ttéérrmmiinnoo
iinnddeeppeennddiieennttee.
Se llama coeficiente principal al coeficiente del
monomio de mayor grado.
El mayor de los grados de todos sus términos se
denomina ggrraaddoo del polinomio.

10. PPoolliinnoommiiooss
El vvaalloorr nnuumméérriiccoo de un polinomio P(x), para un
valor x=a, lo expresamos como P(a) y se obtiene
sustituyendo la variable x por el valor a en el
polinomio y operando.
P(x) = 7x4 -3x3 +4x -10
Ejemplo:
P(2) = 7 ×24 -3×23 +4×2 -10 =
= 7 ×16 -3×8+8-10 =112 -24 +8-10 =86
P(-1) = 7×(-1)4 -3×(-1)3 +4×(-1) -10 =
= 7×1-3×(-1) -4 -10 = 7 +3-4 -10 = -4

11. PPoolliinnoommiiooss
El ppoolliinnoommiioo ooppuueessttoo de un polinomio P(x), que
designamos como -P(x), se obtiene cambiando el
signo de todos los términos de P(x).
P(x) = 7x4 -3x3 +4x -10
- P(x) = -7x4 +3x3 -4x +10
Ejemplo:
Polinomio opuesto:

12. OOppeerraacciioonneess ccoonn ppoolliinnoommiiooss
Para ssuummaarr polinomios sumamos sus monomios
semejantes, dejando indicada la suma de los
monomios no semejantes.
Ejemplo:P(x) = 2x5 x4 7x2 +1
Q(x) = 3x4 2x3 2x2 + 7x -8
P(x) +Q(x)
- + - - +
2x5 + 2x4 - 2x3 + 5x2 + 7x - 7

13. OOppeerraacciioonneess ccoonn ppoolliinnoommiiooss
Para rreessttaarr polinomios sumamos al primero el
opuesto del segundo.
Ejemplo: P(x) = 2x5 x4 7x2 +1
Q(x) = 3x4 - 2x3 - 2x2 + 7x -8
P(x) -Q(x)
- + -+ + - + +
2x5 - 4x4 + 2x3 + 9x2 - 7x + 9

14. OOppeerraacciioonneess ccoonn ppoolliinnoommiiooss
Para mmuullttiipplliiccaarr uunn mmoonnoommiioo ppoorr uunn ppoolliinnoommiioo
multiplicamos el monomio por cada uno de los
términos del polinomio.
Ejemplo:
P(x) = 2x5 - x4 + 7x2 +1
por 2x3
2x3 × P(x)
´
4x8 - 2x7 +14x5 + 2x3

15. OOppeerraacciioonneess ccoonn ppoolliinnoommiiooss
El pprroodduuccttoo ddee ddooss ppoolliinnoommiioo se halla multiplicando
cada uno de los términos de uno de los polinomios
por el otro, y sumando después los polinomios
semejantes.
Ejemplo: ( ) 2 5 1
( ) 3 4
P x = x3 - x + Q x = x2 -
P(x) ×Q(x)
3x2 ´
2x3 5x -8x3 + 20x - 4
6x5 -15x3 + 3x2
6x5 - 23x3 + 3x2 + 20x - 4
+

16. OOppeerraacciioonneess ccoonn ppoolliinnoommiiooss
Para ddiivviiddiirr uunn ppoolliinnoommiioo eennttrree uunn mmoonnoommiioo,
dividimos cada término del polinomio entre el
monomio. Ejemplos:
P(x) = 6x5 - 9x4 + 27x2
( ) ( ) ( )
2 5 2 4 2 2 2
P x x x x x x x x
= - + =
( ) : 3 6 : 3 9 : 3 27 : 3
3 2
x x
= - +
2 3 9
Q(x) = 7x3 y - 5xy
xy
3
Q x x x y
5
( ) : 2 7 7
2
( ) x y
x
x
2
2
2
5
2
= - +
-
-
-
- =

17. OOppeerraacciioonneess ccoonn ppoolliinnoommiiooss
Para ddiivviiddiirr uunn ppoolliinnoommiioo eennttrree uunn ppoolliinnoommiioo,
seguiremos los siguientes pasos:
P(x) = -2x3 + x4 - 20 -11x2 + 30x
Q(x) = 3x + x2 - 2
1º) Ordenamos los términos del dividendo y del divisor
y los dispondremos como una división normal.
x4 - 2x3 -11x2 + 30x - 20 x2 + 3x - 2

18. OOppeerraacciioonneess ccoonn ppoolliinnoommiiooss
2º) Se divide el primer término del dividendo con el
primer término del divisor, así se obtiene el primer
término del cociente.
x4 - 2x3 -11x2 + 30x - 20 x2
+ 3x - 2
x2
x x
+ -
3 2
2
2
x
´
4 3 2
x + 3 x -
2
x
- x4 -3x3 + 2x2
3º) Se multiplica el primer término del cociente por
cada término del divisor y el producto pasa restando al
dividendo.

19. OOppeerraacciioonneess ccoonn ppoolliinnoommiiooss
4º) Se suman algebraicamente.
x4 - 2x3 -11x2 + 30x - 20 x2 + 3x - 2
x2 - x4 -3x3 + 2x2
-5x3 - 9x2 + 30x - 20
- 5x
5x3 +15x2 -10x + -
3 2
x
2
x x
5
´ -
3 2
x x x
- - +
5 15 10
5º) Se divide el primer término del nuevo residuo, entre
el primer término del divisor, así obtenemos el segundo
término del divisor. Este segundo término se multiplica
por el divisor y se pasa restando al dividendo.

20. OOppeerraacciioonneess ccoonn ppoolliinnoommiiooss
6º) Se repite el procedimiento hasta que el grado del
polinomio resto sea menor que el grado del polinomio
divisor.
x4 - 2x3 -11x2 + 30x - 20 x2 + 3x - 2
x2 - x4 -3x3 + 2x2
-5x3 -9x2 + 30x - 20
- 5x
5x3 +15x2 -10x
6x2 + 20x - 20
+ 6
- 6x2 -18x +12
2x - 8

21. OOppeerraacciioonneess ccoonn ppoolliinnoommiiooss
Polinomio dividendo
D(x) =
Polinomio divisor
x4 - 2x3 -11x2 + 30x - 20 x2 + 3x - 2
Polinomio cociente
Polinomio resto
2x - 8
d(x) =
c(x) =
r(x) =
x2 - 5x + 6

22. IIddeennttiiddaaddeess nnoottaabblleess
Las siguientes operaciones con binomios son
simples multiplicaciones.
Es recomendable aprenderlas de memoria por su
constante utilidad.
Uno de los errores mas frecuentes es considerar
que la expresión (a+b)2 es igual a a2+b2. Pero es FALSO.

23. IIddeennttiiddaaddeess nnoottaabblleess
CCuuaaddrraaddoo ddee uunnaa ssuummaa:: el cuadrado de una suma
es igual a:
• el cuadrado del primero,
• más el doble del primero por el segundo,
• más el cuadrado del segundo.
(a+b)2
a + b
a + b
ab + b2
a2 + ab
a2 + 2ab + b2
a2
ab
ab
b2
a
b
a b
a + b
a + b

24. IIddeennttiiddaaddeess nnoottaabblleess
CCuuaaddrraaddoo ddee uunnaa ddiiffeerreenncciiaa:: el cuadrado de una
diferencia es igual a:
• el cuadrado del primero,
• menos el doble del primero por el segundo,
• más el cuadrado del segundo.
(a-b)2
a2
a - b
a - b
- ab + b2
ab
a2 - ab
a2 - 2ab + b2 ab
b2

25. IIddeennttiiddaaddeess nnoottaabblleess
SSuummaa ppoorr ddiiffeerreenncciiaa:: una suma por una diferencia
es igual a:
• el cuadrado del primero,
• menos el cuadrado del segundo.
a + b
a - b
- ab - b2
a2 + ab
a2 - b2

26. IIddeennttiiddaaddeess nnoottaabblleess