Ley de Coulomb y carga eléctrica

INDICE
Tema I: La Carga Y La Materia
Pág.
1.1.- Introducción 2
1.2.- Conductores y Aisladores 3
1.3.- Conservación y Cuantización de la Carga 3
1.4.- Ley de Coulomb 4
1.5.- Fuerzas en las que intervienen fuerzas multiples 6
1.6.- Fuerzas en las que intervienen distribuciones continúas de cargas 7
1.7.- Ejercicios propuestos 11
Tema II: Campo Eléctrico
2.2.- Campo Eléctrico 15
2.3.- Campo Eléctrico de una carga puntual 15
2.4.- Campo Eléctrico debido a cargas múltiples 16
2.5.- Dipolos eléctricos 18
2.6.- Líneas del campo eléctrico 19
2.7.- Campo eléctrico debido a una distribución continua de carga 20
2.8.- El movimiento de una partícula cargada en un campo eléctrico 23
Tema III: Ley de Gauss
3.2.- Flujo eléctrico 28
3.3.- Ley de Gauss 31
3.4.- Aplicación de la Ley de Gauss 33
3.5.- Conductores y Campos eléctricos 35
Tema IV: Potencial Eléctrico
4.2.- Potencial Eléctrico 43
4.3.- Potencial de potencial eléctrico 43
4.4.- Diferencia de potencial eléctrico 45
4.5.- Potencial eléctrico debido a distribuciones de cargas 46
4.6.- Energía potencial eléctrica 48

4.7.- Superficies equipotenciales 50
4.8.- Determinación de campos eléctricos a partir de potenciales eléctricos 50
4.9.- Potencial de un conductor cargado 51
Tema V: Capacitores y Dieléctricos
5.2.- Capacitancia 56
5.3.- Calculo de la Capacitancia 57
5.4.- Energía en capacitores 58
5.5.- Energía en capacitores 59
5.6.- Combinación de capacitores 60
5.7.- Dieléctricos 62
Tema VI: La Corriente y La Resistencia
6.2.- La corriente eléctrica y la densidad de corriente 67
6.3.- Resistencia, Resistividad y Conductividad 70
6.4.- Modelo de conducción eléctrica 71
6.5.- Energía y Potencia eléctrica 73
Tema VII: Circuitos de Corriente directa
7.2.- Fuerza electromotriz 78
7.3.- Resistores en serie y paralela 79
7.4.- Regla de Kirchoff 81
7.5.- Circuitos RC 82
7.6.- Instrumentos de medición 85
Tema VIII: Campos Magnéticos
8.2.- Campos magnéticos 90
8.3.- Fuerzas magnéticas sobre un conductor que lleva una corriente 92
8.4.- Momento de torsión sobre una espira de corriente en un campo
magnético uniforme 94
8.5.- Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético 95
2

8.6.- Selector de velocidades, espectrómetro de masa y ciclotrón 96
8.7.- Efecto may 99
Tema IX: Ley de Ampere
9.2.- Ley de Biot - Savart 104
9.3.- Ley de Ampere 105
9.4.- Fuerzas magnéticas entre dos conductores paralelos 106
9.5.- Campo magnético de un solenoide 107
9.6.- Flujo Magnético 108
9.7.- La corriente de desplazamiento de Maxwell 109
Tema X: Ley de Faraday
10.2.- Ley de Faraday y la Inductancia magnética 115
10.3.- Ley de Lenz 117
10.4.- fuerza electromotriz en movimiento 117
10.5.- Fuerza, energía y potencia en la fuerza electromotriz de movimiento 119
10.6.- Fuerza electromotriz y campos eléctricos 120
10.7.- Generadores y Motores 122
Tema XI: Inductancia
11.2.- Inductancia 130
11.3.- Circuitos RL 132
11.4.- Energía en Inductores 134
11.5.- Energía en campos magnéticos 135
11.6.- Inductancia mutua 137
11.7.- Osciladores en un circuito LC 138
11.8.- Circuitos RCL 141
Tema XII: Inductancia
12.2.- Transformadores 147
12.3.- Elementos individuales de circuitos de C.A. 149
3

12.4.- Circuitos de corriente alterna en serie con RCL 153
12.5.- Potencia en un circuito de C.A. 155
12.6.- Resonancia en un circuito en serie RLC 157
12.7.- Circuitos filtros 158
Anexos 160
Respuestas 166
Bibliografía 179
4

TEMA I
LA CARGA Y LA MATERIA
1.1 INTRODUCCIÓN:
Un átomo de cualquier elemento está formado por tres tipos de partículas
subatómicas: electrones, protones y neutrones. Los protones y neutrones contribuyen la
parte central del átomo, llamado núcleo atómico, en cuyo alrededor se encuentran los
electrones.
La masa de un protón es aproximadamente igual a la de un neutrón pero la del
electrón es 1.840 veces menor que la de un protón o un neutrón.
La carga del electrón 19
1, 6 10e coulomb− −
= × y su masa es
31
9,11 10 .Kg−
×
La carga del protón 19
1, 6 10e coulomb−
= × y su masa es 27
1,6 10 .Kg−
×
Ordinariamente el átomo de un elemento tiene igual número de protones que de
electrones.
Los protones ejercen una fuerza de atracción sobre los electrones; pero los protones
entre sí se repelen, ocurriendo este mismo fenómeno de repulsión entre los electrones.
Estos fenómenos de atracción y repulsión se explican atribuyéndole una propiedad llamada
electricidad o carga eléctrica a estas partículas; que por convención es positiva para los
protones y negativa para los electrones.
Podemos concluir que un cuerpo electrizado positivamente tiene déficit de
electrones y si esta electrizado negativamente tiene exceso de electrones y estado neutro
tiene igual número de protones que de electrones.
La electrización puede darse por Frotamiento o por Inducción.
- Electrización por frotamiento
-
Podemos transferir carga eléctrica frotando una varilla de vidrio con un paño, o
frotando una varilla de teflón con un trozo de piel. (ver figura 1.1)
5

La varilla de vidrio se carga eléctricamente positiva (protones) y el paño de seda se
carga eléctricamente negativo (electrones), lo que a ocurrido entre los dos es una
transferencia de cagas, la varilla de vidrio le cedió electrones a el paño de seda y esta a su
vez le cedió protones a la varilla de vidrio. Si frotamos la varilla de teflón con el trozo de
piel la transferencia de carga que ocurre entre ellos es que la varilla de teflón se carga
eléctricamente positivo (protones).
- Electrización por Inducción.
Utilizamos dos esferas metálicas neutras, sosteniendo cada una por un soporte
aislado, tocándose cada una (Figura 1-2.a). Si llevamos una varilla de teflón, con cargas
negativas, muy cerca de una de las esferas, los electrones en movimiento en la esfera se van
al lado opuesto de la otra esfera, dejando cargas opuestas en las dos esferas (Figura 1.2.b).
Mientras sigue cerca la varilla de teflón, separamos las dos esferas, dejándolas con cargas
opuestas (Figura 1.2.c). Aun cuando quitemos la varilla de teflón, las cargas inducidas por
ella permanecen en las dos esferas metálicas (figura 1.2.d). Decimos que las dos esferas se
han cargado por inducción.
6

1.2 CONDUCTORES Y AISLADORES
Los conductores son materiales en los que las cargas eléctricas se mueven con
bastante libertad, mientras que los aisladores son materiales que no transportan la carga con
facilidad. Los materiales como el vidrio, el caucho y la lucita son aisladores. Cuando este
tipo de material se carga por frotamiento, sólo el área que se frota se carga y no existe
tendencia a la que carga se mueve hacia otras regiones del material.
Los materiales como el cobre, aluminio y plata son buenos conductores. Cuando
este tipo de material se carga en alguna pequeña región, la carga se distribuye con facilidad
sobre la superficie del conductor.
Existe una tercera clase de materiales los semiconductores y sus propiedades
eléctricas se encuentran entre los correspondientes a los aisladores y conductores, un
ejemplo de estos son el silicio y el germanio.
1.3 CONSERVACIÓN Y CUANTIZACIÓN DE LA CARGA.
- Conservación de la carga.
La carga neta es igual antes y después de cualquier interacción. Un ejemplo de esto
lo observamos en las electrizaciones que indicamos en el punto anterior. El intercambio de
electrones y interactuando no hace que varíe la carga total del sistema. Nadie ha
presenciado caso alguno en la que aparezca una carga neta.
- Cuantización de la carga.
La carga se representa en múltiplos enteros de la carga del electrón y al hecho de
que nunca se han observado cargas menores que la del electrón.
En general, las cargas ni se crean, ni se destruyen, ni se transforman, sino que sólo
se desplazan y a lo sumo se fraccionan pero nunca más allá de un quantum de carga e−
, o
sea un electrón.
1.4 LEY DE COULOMB.
• Esta ley es única y exclusiva para dos cargas puntuales.
• La fuerza sobre cada partícula actúa siempre a lo largo de recta que las une.
• Las cargas son magnitudes algebraicas que pueden ser positivas o negativas.
• La fuerza puede ser de atracción si las cargas son de signos diferentes o de repulsión
si son de signos iguales.
• K es una constante de proporcionalidad, cuyo valor depende de las unidades en que
se expresen F, q y r.
7

2
9
2
0
1
9 10
4
Nw m
K
Cπ
= = ×
∈
• 0∈ constante de permisividad del espacio vacío.
2
12
0 2
8,85 10
C
Nw m
−
∈ = ×
La Ley de Coulomb establece:
“La fuerza de atracción o repulsión entre dos carpas puntuales es directamente
proporcional al producto de ellas e inversamente proporcional al cuadro de la distancia que
las separa”.
2
0
1 '
4
K
q q
rπ
=
∈
F
123
r
(1.1)
Donde:
F = Es la fuerza que ejerce q sobre q’.
k = Es el vector unitario de vector posición.
r = Es la magnitud del vector posición.
K = Constantemente de proporcionalidad.
q y q’= Son las cargas que interactúan.
La unidad de carga es el Coulomb. Decimos que cuando la fuerza entre dos cargas
determinadas separadas por 1 mts es igual al valor numérico de K en Newtons, esas cargas
son de 1C cada una.
Ejemplo:
Si un electrón se coloca en un punto (3,0,0) cm y un protón se coloca en el punto
(0,2,0) cm, halle: a) La fuerza con la cual el electrón actúa sobre el protón, b) El módulo de
la fuerza con la cual el protón actúa sobre el electrón.
DATOS:
19
2
2
1, 6 10
3 3 10
2 2 10
e p C
x cm m
y cm m
− + −
−
−
= = ×
= = ×
= = ×
8

( ) ( )
2 22 2 2 3
3 10 2 10 1,3 10ep m m m− − −
= × + × = ×r
a) Aplicando la Ley de Coulomb.
( )
2
2
0
25 26
1
,
4
, 1,47 10 9,74 10
q
e p
r
e p Nw
π
−
− − −
=
∈
= − × + ×
F r
F i j
b) , ,e p p e− −
= −F F entonces:
( ) ( )
2 225 26
, , 1,47 10 9,74 10e p p e Nw− − − −
= = × + ×F F
25
, 1,76 10p e Nw− −
= ×F
1.5 FUERZAS EN LAS QUE INTERVIENEN CARGAS MULTIPLES.
Se aplica el principio de Superposición: la fuerza sobre cualquier carga, originada
por un conjunto de carga individual.
1 2 3
2
1 104
t n
n n
i
t i i
i i i
F F F F F
qq
F F r
rπ= =
= + + + +
= =
∈
∑ ∑
KK
(1,2)
Pasos para resolver ejercicios de este tipo.
1.- Realizar un diagrama en un sistema de coordenadas indicando todas las fuerzas que
interactúan.
2.- No olvidar que la fuerza eléctrica que actúan sobre una carga es una cantidad
vectorial.
3.- Busque simetrías en la distribución de las cargas, que den lugar a la fuerza eléctrica.
Ejemplo:
Las cargas q, 2q, -4q y-2q ocupan las cuatro esquinas de un cuadro de 2L de lado,
centrado en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares. Calcular: a) ¿Cuál es la
fuerza neta sobre la carga q, debida a las otras cargas?, b) ¿Cuál es el modulo de dicha
fuerza? (ver Figura 1.4).
9

1) Indicamos un sistema de coordenadas sobre la carga que se va a estudiar el efecto.
( )
3 21 2 4 2
2, 4,2 3,2 1,22 2 2
0 1,2 3,2 4,2
2 2 2
2, 2 2 2
2
9 9
2, 2
2
9
2, 2
1
4
2 4 4
cos sin
4 8 8
1.3185 10 7.695 10
7.807 10
TOTAL
TOTAL
total
total
Q QQ Q Q Q
Nw
r r r
q q q
k Nw
L L L
q
Nw
L
q
Nw
L
π
θ θ
 
= + + 
∈   
 
= + − + − 
 
= × ×
= ×
F r r r
F i i j
F i - j
F
1.6 FUERZAS EN LAS QUE INTERVIENEN DISTRIBUCIONES CONTINUAS
DE CARGAS.
Es cuando las partículas se componen de grandes cantidades de electrones o
protones, por lo que dichas cargas están muy próximas unas de otras.
10

Puede ser buena aproximación manejar un gran conjunto de cargas puntuales como
una distribución continua de carga eléctrica.
Para evaluar la fuerza eléctrica se realizan los siguientes pasos: (Figura 1.6)
.- Se divide la distribución continua de carga en pequeños elementos de .q∆
.- Se aplica la ley de Coulomb para calcular la fuerza eléctrica sobre la carga de
prueba.
2
0
1 '
4
q q
rπ
∆
∆ =
∈
F r
.- Se evalúa la fuerza total sobre la carga de prueba, debido a la distribución continua
de cargas, sumando las contribuciones de todos los elementos de carga.
2
10
'
4
n
i
i
i i
qq
rπ =
∆
≅
∈
∑F r
Este valor de la fuerza es aproximado
.- Como la separación entre los elementos de la distribución de carga es pequeño
comparado con la distribución a ρ , entonces podemos decir que el límite de
0.iq∆ →
20
10
'
lim
4 i
n
i
i
q
i i
qq
rπ ∆ →
=
∆
=
∈
∑F r
2
0
'
4
q db
rπ
=
∈ ∫F r (1.3)
11

En donde la integración es una operación vectorial.
Esta es la fuerza total ejercida por una distribución continua de cargas sobre una
carga de prueba q’.
Al llevar a cabo cálculos de este tipo resulta conveniente utilizar el concepto de
densidad de carga, definimos densidad de carga como la carga total de una distribución
continua (Q) por unidad de volumen, de área o lineal.
- Densidad volumétrica de carga.
Si una carga Q está distribuida uniformemente en todo un volumen V, la carga por
unidad de volumen, ( ) ,rhoρ se define por:
Q
V
ρ = en donde ρ tiene las unidades 3
C
m
(1.4).
- Densidad superficial de carga.
Si una carga Q está distribuida uniformemente sobre una superficie cuya área es A,
la densidad lineal de carga, ( ) ,sigmaσ se define por:
,
Q
A
σ = en donde σ tiene las unidades de 2
C
m
(1.5).
- Densidad lineal de carga.
Si una Q está distribuida uniformemente a lo largo de una línea de longitud L, la
densidad lineal de carga, ( ) ,landaλ se define por:
Q
L
λ = en donde λ tiene las unidades de
C
m
(1.56).
Si la carga está distribuida de manera no uniforme sobre un volumen, superficie o
línea, se tendría que expresar las densidades de carga como.
; ;
dQ dQ dQ
dV dA dL
ρ σ λ= = = (1.7)
Ejemplo:
Una varilla recta de longitud L tiene una carga positiva uniforme por unidad de
longitud λ y una carga total Q. Calcular la fuerza eléctrica que se ejerce sobre una carga de
prueba q’ ubicada en un punto P a lo largo del eje de la barra, a una distancia d de uno de
los extremos.
12

Solución:
1.- Dividimos la distribución continua de carga en pequeños q∆
2.- Aplicamos la Ley de Coulomb
2
0
1 '
4
q q
rπ
∆
∆ =
∈
F r
Como
q
L
λ
∆
=
∆
despejando q Lλ∆ = ∆ donde L x∆ = ∆
Sustituyendo en la ecuación en la ecuación
2
0
1 '
4
q x
x
λ
π
∆
∆ =
∈
F i
3.- Se evalúa la fuerza eléctrica total
( ) ( )
2
0
0
0 0
'
4
' 1
4
' 1 '
4 4
L d
d
L d
d
q dx
x
q
i
x
q L q Q
d L d d l d
π
π
π π
+
+
∆
= =
∈
∆ −
= =
∈
∆
= =
∈ + ∈ +
∫F i
F
F i i
Ejemplo:
13

Calcular la fuerza que ejerce un anillo cargado uniformemente con una carga total
Q, sobre una carga puntual q’, colocada en el eje.
El radio del anillo es R, y q’, está a una distancia L del centro del anillo. (ver Figura
1.8)
Solución:
.- Dividimos la solución continua de carga en pequeños .q∆
Si observamos los componentes de las fuerzas en el eje Z son de igual magnitud
pero de sentido contrario por lo que se anulan, esto va a ocurrir para todas las fuerzas
perpendiculares.
Entonces las fuerzas que van a ejercer sobre la carga de prueba son las que se
realizan sobre el eje y.
.- Aplicando la Ley de Coulomb.
14

( )
( )
2
0
2 2
0
2 2
0
1 '
4
'
cos
4
'
4
q q
y r
r
q q
y
R L
q qL
y
R L
π
θ
π
π
∆
∆ =
∈
∆
∆ = =
∈ +
∆
∆ =
∈ +
F
F
F
.- Se evalúa la fuerza eléctrica total.
( )
( )
3 22 2
0
3 22 2
0
'
4
'
4
q L
Fy dq
R L
q L
Fy
R L
π
π
=
∈ +
=
∈ +
∫
1.7 EJERCICIOS PROPUESTOS.
1) Dos pequeñas esferas están cargadas positivamente y la carga combinada es
5
5 10 .C−
× ¿Cómo esta distribuida la carga total entre las esferas, si la fuerza
repulsiva entre ellas es de 1Nw cuando las esferas están separadas 2mts?
2) Dos cargas de 9
1 10 C−
× están en el aire separadas 8 cm.
Hallase el valor y dirección de la fuerza ejercida por estas cargas sobre una
tercera de 11
5 10 C−
× distante 5cm de cada una de las dos primeras cargas.
3) Tres cargas puntuales están a lo largo del eje y. una carga
6
1 2 10q C−
= ×
están en y = 2m y una carga
6
2 3 10q C−
= − × está en y = 1m ¿En donde debe
colocarse una tercera carga positiva, 3,q de modo que la fuerza resultante
sobre ella sea cero?.
4) Se supone que un protón está formado de dos quarks “arriba” de carga +(2/3)
e y uno “abajo” de carga -(1/3)e. Suponga que los 15
10 .x m−
¿Cuáles son las
fuerzas electrostáticas entre cada par de los tres quarks?
15

5) En el punto ( )13
2 10 m−
− × se coloca una carga - e y en el punto ( )13
2 10 m−
×
otra carga +e. Halle la fuerza F que actúa sobre una carga +e situada en el
punto ( )13
0,10 10 .m−
×
6) Una carga de 6
3 10 C−
× se coloca a 12 cm de una segunda carga de
6
1,5 10 .C−
− × Calcúlese la magnitud, dirección y sentido de la fuerza que obra
sobre cada carga
7) Una cierta carga Q se divide en dos partes: q y Q-p. ¿Cuál es la relación de Q
a q para que las dos partes colocadas a una cierta distancia de separación,
tenga una repulsión Coulombiana máxima?
8) Cierta esfera metálica de volumen igual a 3
1cm posee una masa de 7,5gr y
contiene 22
8,2 10× electrones libres. a)¿Cuantos electrones han de quitarse de
cada una para que la fuerza electrostática de repulsión entre ellas equilibre
exactamente a la fuerza de atracción gravitatoria? Supóngase que la distancia
entre las esferas es lo bastante grande para que las cargas sobre cada una de
ellas pueda considerarse como puntuales b) Exprésese el número de electrones
eliminados como fracción del número de electrones eliminados como fracción
del número total de electrones libres.
9) Dos partículas puntuales se colocan a una distancia de 8,75cm entre si y se les
comunican carga igual. La primera partícula, de 31,3gr de masa, tiene
2
1,93m s de aceleración inicial hacia la segunda partícula. a) ¿Cuál es la
masa de la segunda partícula, si su aceleración inicial hacia la primera es
2
5,36m s ? Qué carga tiene cada partícula.
10) Cuatro cargas puntuales están situadas en los vértices de un cuadrado de lados
a, como se ve en la Figura 1.10. Determine la fuerza resultante sobre la carga
positiva q.
16

11) Una carga Q se coloca en cada uno de los vértices opuestos de un cuadrado.
Una carga q se coloca en cada uno de los otros vértices. Si la fuerza eléctrica
resultante sobre Q es cero ¿Cómo están relacionados q y Q?.
12) Se colocan tres cargas positivas iguales, de magnitud 6
1,2 10 C−
× en las
esquina de un triangulo equilátero de 6cm de lado. ¿Cuál es la fuerza eléctrica
neta sobre una carga de 6
2 10 C−
− × que se coloca en el punto medio de uno
de los lados?
13) Un cubo de aristas a tiene una carga q en cada vértice. a) Demostrar que
la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre cualquiera de estas cargas
es
2 2
00,0252F q a= ∈ b) ¿Cuál es la fuerza resultante de F sobre una carga
puntual Q colocada en el centro del Cubo?
14) Dos esferas similares de masa m cuelga de hilos de seda de longitud L y tiene
cargas semejantes q, como se muestra en la Figura 1.9. Suponer que θ es lo
suficientemente pequeño como para que la tanθ puede reemplazarse por el
senθ . Utilizando esta aproximación, a) demostrar que ( )
1 3
02x qL mgπ= ∈ en
donde x es la separación entre las esferas b) ¿Cuánto vale q sí L =120cm, m
=10gr y x5cm? C) Explique en detalles lo que sucedería si las bolas son
conductoras y se descargase una de ellas totalmente.
17

15) a) ¿Cuál es la magnitud de las cargas positivas iguales que deberían colocarse
sobre la tierra y sobre la luna para neutralizar su atracción gravitacional? b)
¿Se tiene que conocer las distancias de la tierra a la luna para resolver este
problema?
16) Una carga Q se distribuye uniformemente a lo largo de una varilla de longitud
2L, que va de y =-L, como se muestra en la figura (1.12). Se coloca una carga
q’ en el eje x, en x =D. Si la varilla tiene una densidad de carga 02 /D Lλ λ=
y una carga total Q. Calcular la fuerza eléctrica que se ejerce sobre q’.
17) Calcule la fuerza que ejerce una lámina plana infinita con densidad superficial
de carga σ , sobre una carga q.
18

18) Se tiene una lámina vertical infinita que tiene una carga de 4 2
10 / .C m−
Se
cuelga una pelota de corcho de 5gr de masa, mediante un hilo de 60cm de
longitud, a una distancia de 20cm de la lámina cargada. ¿Cuál es la
orientación del hilo?. a) ¿Sí la carga de la pelota de corcho es 9
5 10q C−
= × ?
b) ¿Sí es 9
2,4 10 C−
− × ?.
19) Una varilla larga y delgada, de longitud L, que contiene una distribución
uniforme de carga Q, se aleja de una carga puntual q. La parte más cercana de
la varilla está a una distancia d de la carga puntual. ¿Cuál es la fuerza
eléctrica que ejerce la varilla sobre la carga q?
20) Dos varillas, cada una con longitud 2L, se colocan paralelas entre sí a una
distancia R. Cada una tiene una carga total Q, Distribuida uniformemente en la
longitud de la varilla, pero no la evalúe. Sin desarrollar las integrales, ¿Puede
usted determinar la fuerza entre las varillas cuando R>>L?
19

TEMA II
CAMPO ELÉCTRICO
1.8 INTRODUCCIÓN:
Si colocamos una partícula de propiedades conocidas en un punto del espacio y
medimos las fuerzas que se ejercen sobre ella, podemos determinar las propiedades locales
del espacio en ese punto, es lo que se conoce como campo, se trata generalmente de
magnitudes vectoriales.
2.2 CAMPO ELÉCTRICO
Se define como la fuerza eléctrica F que actúa sobre una carga de prueba positiva q’
colocada en un punto, dividida entre la magnitud de la carga de prueba q’.
'
Nw
q C
=
F
E (2.1)
La dirección del vector Campo Eléctrico esta determinada por la Fuerza eléctrica
que actúa sobre la carga que prueba q’.
2.3 CAMPO ELÉCTRICO DE UNA CARGA PUNTUAL.
Si tenemos una carga q que actúa sobre un punto p que contiene una carga de prueba
q’, separadas por una distancia r. Recordemos la Ley de Coulomb
2
0
1 '
4
q q
rπ
=
∈
F r
Si sustituimos este valor en la ecuación de campo eléctrico obtenemos:
2
0
1
4
q
rπ
=
∈
E r (2.2)
Esta última ecuación obtenida es la que se utiliza para obtener el campo eléctrico
generado por una carga puntual.
Ejemplo:
Una carga de 6
3 10 C−
× está ubicada en ( ) ( ), 0 ,3 .x y cm cm= Determine el campo
eléctrico en un punto ( ) ( ), 4 ,9 .P x y cm cm=
20

( ) ( )
( )
2
0
2 22 2 2 2
2 2 2
2 2 2
9
1
4
4 6
16 36 52
52 10
9 10
q
E r
r
r x y cm
r cm cm
r m
Nw m
E
π
−
=
∈
= + = +
= + =
= ×
= ×
2
C
6
2
3 10 C−
×
2
52 10 m−
×
2
2
4 10 m−
×
2
72 10 m−
×
2
6 10 m
i
−
×
+ 2
72 10 m−
×
( )
( )
4
3 3
5,19 10 0, 055 0, 083
2,88 10 4,33 10
j
Nw
E i j
C
Nw
E i j
C
=
= × +
= × + ×
2.4 CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A CARGAS MULTIPLES
Cuando se tiene cargas múltiples aplicamos el principio de superposición para
determinar el campo eléctrico neto o resultante. Este principio establece que la fuerza
eléctrica neta sobre un cuerpo es la suma vectorial de las fuerzas debida a las cargas
puntuales individuales. O sea que el campo eléctrico neto es la suma vectorial de los
campos de las cargas individuales presentes.
21

1 2 3
2
1 10
1
4
T n
n n
i
T T
i i i
E E E E E
q
E E ri
rπ= =
= + + + +
= =
∈
∑ ∑
KKK
(2.3)
Ejemplo:
Tres cargas están en los vértices de un triangulo equilátero, como en la figura (2.2)
Calcule la intensidad del campo eléctrico en la posición de la carga 6
8 10 ,C−
× el modulo
del campo eléctrico y su dirección
Solución:
a)
22

( ) ( )
( )
( )
1 2
2 2
0 1 0 2
2 6 6
9
2 22 2 2
2
9 5 2 5 2
2
4
2 6
92
2 2 2
0 2
1 1 1 2
4 4
5 10 3 10
9 10 60
50 10 50 10
9 10 2 10 / 1, 04 10 /
8, 65 10
1 3 10
cos 9 10
4 50 1
x
y
Ex E E
g q
Ex i sen i
r r
Nwm C C
Ex sen i
C m m
Nwm
Ex C m C m i
C
Nw
Ex i
C
q Nwm C
Ey E j
r C
θ
π π
θ
π
− −
− −
− −
−
= +
= −
∈ ∈
 
× × = × −
 × × 
= × × − ×
= ×
×
= = − = ×
∈ ×( )
( )
( )
( )
22
4
4 4
cos 60
0
5, 4 10
8, 65 10 5, 4 10T
j
m
Nw
Ey j
C
Nw
E i j
C
−
−
= × −
= × − ×
b) El modulo del campo eléctrico
( ) ( )
2 22 4
9 9
4
8,65 10 5,4 10 /
7.48 10 2,92 10 /
10,19 10 /
T
T
T
E Nw C
E Nw C
E Nw C
= × + ×
= × + ×
= ×
c) La dirección es:
4
4
5,4 10
0,62 0,62
8,65 10
31,96 32
Ey
tg tg arctg
Ex
θ θ θ
θ
×
= = ⇒ = ⇒ =
×
= ≅ o
23
θxE
yE
tE
X
Y
Figura
2.4

2.5 DIPOLO ELÉCTRICOS
Un dipolo eléctrico consta de dos cargas igual magnitud pero con signo contrario,
separadas por una distancia L. (Figura 2.5)
Ejemplo:
Si se tienen dos cargas iguales pero de signos contrarios, separadas por una
distancia 2ª, en un configuración llamada dipolo eléctrico. ¿Cuál es el campo eléctrico E
debido a estas dos cargas, en un punto P que se encuentra a una distancia x sobre la
perpendicular al punto medio que une a las dos cargas? Suponga que x>>a. (Figura 2.6)
Solución:
Como los campos generados en el eje de las x son iguales pero de sentidos
contrarios el campo resultante en esa coordenada es cero
( ) ( )
1 2
1 2 2 2
0 1 2
1
22 2 2 2 2
0 1 0
1
4
1 2
2 cos
4 4
x x
q q
Ey E E sen sen j
r r
q q a
Ey j j
r a x a x
θ θ
π
θ
π π
 
= + = + − 
∈  
 
= − = − = 
∈ ∈ +  +
g
24
P
1xE2xE
+q
a
a
-q 2E 2yE 1yE
1E
Figura 2.7
θθ

( )
3 22 2
0
2
4
aq
Ey j
a xπ
= −
∈ +
como x>>a
( )
3 2 32
0
2 21
4
a aq q
Ey j k
xxπ
= =
∈
2.6 LINEAS DEL CAMPO ELÉCTRICO
El campo eléctrico debido a una distribución de carga se pueden visualizar en
términos de las líneas de campo eléctrico. Las líneas del campo eléctrico son continuas en
el espacio y son una alternativa más adecuada a la representación visual.
Para una carga puntual positiva, las líneas son radiales hacia adentro, como lo indica
la figura. (Figura 2.8)
Para una carga puntual negativa, las líneas son radiales hacia adentro, como lo
indica la figura. (Figura 2.9)
Las líneas de campo eléctrico se trazan de tal modo que la tangente a la línea del
campo, en cada punto, especifique la dirección del campo eléctrico en ese punto.
La densidad espacial de las líneas del campo eléctrico en determinado punto, es
proporcional a la intensidad del campo eléctrico en ese punto.
Propiedades de las líneas de campo eléctrico
1.- En una región pequeña, las líneas del campo eléctrico son casi paralelas entre sí.
En esta región podemos tomar un área pequeña que esté orientada perpendicular
a las líneas casi paralelas del campo. La densidad de las líneas, es el número de
líneas que cruzan esa área pequeña, dividió entre el valor del área.
2.- Las líneas pueden indicarse o terminar sólo en cargas y nunca en el espacio
vacío. Si no se crean nuevas líneas de fuerza al retirarnos de una carga, será
igual a N (número de líneas) dividido entre el área de la superficie perpendicular
a las líneas. Esa superficie es una esfera de radio R y la densidad de las líneas es
2
/ 4 .N Rπ La densidad de las líneas es proporcional a la intensidad del campo
eléctrico.
3.- Las líneas se originan en las cargas positivas y se prolongan hacia las cargas
negativas. Las eléctricas son las fuentes de los campos eléctricos, que apuntan
alejándose de las cargas negativas.
4.- Nunca se cruzan dos líneas de campo eléctrico.
25

2.7 CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE
CARGA.
Con mucha frecuencia las cargas que interactuar entre sí están muy próximas, a este
tipo de situaciones se le considera un sistema de carga continuo, es decir, que el sistema de
cargas con espacios muy reducidos entre sí equivalen a una carga total Q que está
continuamente distribuida en todo un volumen, superficie o línea.
Para evaluar en una distribución continua de carga en el Campo Eléctrico se realizan
los siguientes pasos. (Figura 2.10)
Se divide la distribución de carga en pequeños elementos .q∆
Se aplica la Ley de Coulomb para calcular el campo eléctrico debido a estos elementos en
el punto P.
2
0
1
4
q
E r
rπ
∆
∆ =
∈
Se evalúa el campo eléctrico total sobre el punto P, debido a la distribución de carga,
sumando las contribuciones de todos los elementos de cargas.
2
10
1
4
n
i i
qi
E ri
rπ =
∆
=
∈
∑
Este valor de la fuerza es aproximado.
Como la separación entre los elementos de la distribución de carga es pequeña comparado
con la distancia a P, entonces podemos decir que el limite de 0qi∆ →
20
10
1
lim
4
n
q
i i
qi
E ri
rπ ∆ →
=
∆
=
∈
∑
2
0
1
4
dq
E r
rπ
=
∈ ∫ (2.4)
Esta integración es una operación es vertical.
El resultado obtenido de esta integración es el campo eléctrico total ejercido por una
distribución continua de carga sobre un punto P.
Debemos recordar lo establecido en el tema anterior en el punto 1.7 con respecto a
la densidad de carga.
26

 Densidad Volumétrica de carga ( )2.5
Q
V
ρ =
 Densidad Superficial de carga ( )2.6
Q
A
σ =
 Densidad Lineal de carga ( )2.7
Q
L
λ =
Ejemplo:
Una barra de longitud L tiene una carga positiva uniforme por unidad de longitud λ
y una carga total Q. ¿Calcular el campo eléctrico en el punto P que esta a una distancia d de
un uno de los extremos de la barra?
Solución:
1.- Dividimos la distribución continua de carga en pequeña .q∆
2.- Aplicamos la Ley de Coulomb
2
0
1
4
q
E r
rπ
∆
∆ =
∈
Como
q
L
λ
∆
=
∆
despejando q Lλ∆ = ∆ donde L x∆ = ∆
Sustituyendo en la ecuación:
2
0
1
4
x
E r
r
λ
π
∆
∆ =
∈
3.- Se evalúa el campo eléctrico total.
27
L d
P
xE
X∆

2
0
0 0
4
1 1 1 1
4 4
d L
d
d L
d
dx
E i
x
E i
r d d L
λ
π
λ
π π
+
+
=
∈
−   
= = −   
∈ ∈ +   
∫
∫
( )
( )
0
0
4
4
d L d
E i
d L d
L
E i
d L d
λ
π
λ λ
π
 − + +
= =  ∈ + 
=
∈ +
Ejemplo:
Una lamina plana infinita, la carga positiva está distribuida de manera uniforme
sobre todo el plano xy, con una densidad superficial de carga, .σ Calcular la intensidad del
campo eléctrico en un punto P que esta en el eje Z a una distancia Z = a. (Figura 2.12)
Dividimos la distribución en pequeños diferenciales de .q∆
Aplicamos la Ley de Coulomb.
2
0
1
4
q
E r
rπ
∆
∆ =
∈
El área de una porción de franja de longitud L es L dx y la carga sobre la franja es
dq Ldyσ= por lo que la carga dλ por unidad de longitud es
dq Ldy
d dy
L L
σ
λ σ= = =
En virtud de que la franja crea en el punto P un campo eléctrico ,E∆ que esta en l plano
y,z
0
2
4
dy
E r
r
σ
π
∆ =
∈
Este campo tiene componentes en y y z, pero como las componentes en y por simetría
son iguales pero de sentido contrario la suma dará cero al considerar la lamina entera.
28

0
2
4
dy
Ez r
r
σ
π
∆ =
∈
Evaluado el campo eléctrico total
0
cos
2
dy
E
r
σ
θ
π
∞
−∞
=
∈ ∫
Como 2
cos cos
a a
dy d yrθ
θ θ
= = sustituyendo
cos
a
dy
r
θ =
2
cos θ
a
2
cos θ
cosd dθ θ θ=g
Cambiando los límites de integración 2 2aπ π−
(
2 2
2 2
2
E d K K
E
π π
π π
σ θ σ θ
σ
π
− −
= = =
=
∫ ∫
0
π
∈ 02
K E K
σ
π
⇒ =
∈
2.8 EL MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA CARGADA EN UN CAMPO
ELÉCTRICO.
Si tenemos una partícula de carga q y la colocamos en un campo eléctrico E, entonces la
furaza eléctrica es F = E . q Si esta es la única fuerza ejercida sobre la carga, entonces
aplicamos de 2da Ley de Newton.
F = m . a ; F = E . q
Igualando tenemos
ma = E . q despejando la aceleración
.E q
a
m
= (2.8)
Si el campo eléctrico es uniforme la aceleración es constante. Si la carga es positiva, la
aceleración será en la dirección del campo eléctrico; si es negativa, la aceleración será en
dirección opuesta a la del campo electrónico.
Este movimiento cuando se realiza entre dos placas metálicas planas con cargas
opuestas, pueden aplicarse las ecuaciones de la Cinemática Bidimensional. (Figura 2.13)
29

Ejemplo:
Una carga puntual positiva q de masa m se libera desde el reposo en un campo
eléctrico uniforme E, dirigido a lo largo del eje x, describiremos su movimiento.
( )
2
2
0
2
2
2 2
2
2 2
1
2
at Eq Eq
x Vot t V V at t
m m
qE
V Vo ax x
M
Ek mV Eqx
= + = ⇒ = + =
= + =
= =
1) Una carga de 6
12 10 C−
− × está en el punto x =0m y una segunda carga 9
0,5 10 ,C−
× en
el punto x =0,1m. ¿Cuál s la magnitud y la dirección del campo eléctrico a) en
x =1m y b) x =0,11m?
2) Una carga eléctrica de 6
2,8 10 C−
− × está ubicada en el origen. Determine el campo
eléctrico a) sobre el eje x =2m y b) sobre el eje y en y =-3.
3) Un pequeño objeto, que tiene una carga de 9
5 10 ,C−
− × experimenta una fuerza hacia
debajo de 9
20 10 Nw−
× cuando se coloca en cierto punto de un campo eléctrico a)
¿Cuál es el campo en dicho punto? b) Cuáles serian la magnitud y sentido de la fuerza
que actuaría sobre un electrón colocado en tal punto?
4) Calcular la magnitud y la dirección del campo eléctrico en el punto P, de la siguiente
figura. (Figura 2.15)
5) ¿Cuál es el vector de un campo eléctrico en el cual la fuerza sobre un electrón es igual
a su peso?
30
0 0θ = E
q X
θ
Figura 2.14

6) Tres cargas iguales q están en los vértices de un triangulo equilátero de lado a, como
se muestra en la figura (2,.16) a)¿En qué punto (que no sea ∞ )?el campo eléctrico es
cero? b) ¿Cuál es la magnitud y la dirección del campo eléctrico en el punto P?
7) Una pequeña esfera, de masa 0,1gr, lleva una carga de 10
3 10 C−
× y esta sujeta en el
extremo del hilo está atado a un gran conductor vertical plano, que tiene una densidad
de carga de 6 2
25 10 / .C m−
× Hállese el ángulo que forma el hilo con la vertical.
8) Una varilla delgada no conducta de longitud L, tiene una carga total q distribuida de
modo uniforme en toda su longitud. Demostrar que el valor de E en un punto P sobre
la perpendicular al punto medio de la varilla es
2 2
0
1
2 4
q
E
y L yπ
=
∈ +
9) Una barra de 10cm de largo está cargada uniformemente y tiene una carga total de
6
5 10 .C−
− × Determine la magnitud y dirección del campo eléctrico a lo largo del eje
de la barra, en el punto a 30cm de su centro.
10) Un disco cargado uniformemente de 8cm de radio tiene una densidad de carga de
4 2
6 10 / .C m−
× Calcule el campo eléctrico sobre el eje del disco a) 2cm, b) 20cm.
11) Dos placas grandes, planas y verticales son paralelas entre sí y están separadas por
una distancia d. Ambas tienen una distancia uniforme de carga, ,σ positiva. ¿Cuál es
el campo eléctrico? a) en el espacio que las rodea y b) entre ellas?
12) Se tienen una varilla delgada, con carga uniforme, de 50cm de longitud y se dobla en
semicírculo. La carga total sobre la varilla es 6
2 10 .C−
× ¿Cuáles son la magnitud y
dirección de campo eléctrico en el centro del semicírculo?
13) Un disco delgado circular de radio a está cargado uniformemente, y su carga por
unidad de área es 6
2 10 .C−
× Encontrar el campo eléctrico en el eje del disco a una
distancia r del disco.
14) El campo eléctrico en el espacio comprendido entre dos laminas planas y paralelas,
cargadas iguales y de signos opuestos, cada una de ellas de 2
100cm de superficie, es
4
1 10 / .N C× ¿Cuál es la carga de cada lámina? Deprecie los efectos de los bordes.
15) Se lanza un electrón de un campo eléctrico uniforme de 3
5 10 / ,N C× dirigido
verticalmente hacia arriba. La velocidad inicial del electrón es de 7
1 10 /m s× y forma
un ángulo de 30º por encima de la horizontal. a) ¿Calcúlese la altura máxima inicial?
b) ¿Qué distancia horizontal recorrerá el electrón antes de recobrar su altura inicial?
31

16) Un protón se acelera a partir del reposo, en un campo eléctrico uniforme de
2
5 10 / .N C× En cierto instante posterior, su velocidad es de 6
2,5 10 / .m s× a)
¿Determine la aceleración del protón en alcanzar esta velocidad? b) ¿Cuánto tarda el
protón en alcanzar esta velocidad? c) ¿Qué distancia recorre en este tiempo? d) ¿Cuál
es su energía cinética en ese instante?
17) Se proyecta un electrón formando un ángulo de 37º con la horizontalidad, con una
velocidad inicial de 5
4,5 10 / ,m s× en una región de un campo eléctrico 200 .E j N C=
Calcule: a) el tiempo que tarda el electrón en regresara su altura inicial. b) la altura
máxima alcanzada por el electrón y c) su desplazamiento horizontal al alcanzar su
altura máxima.
18) a) ¿Cuál es la aceleración de un electrón en un campo eléctrico uniforme de
6
1 10 .N C× ? b) ¿Cuánto tiempo transcurre, si parte del reposo, para que su rapidez
sea de un décimo de la velocidad de luz?
19) En el espacio comprendido entre dos láminas planas y paralelas, cargadas con cargas
iguales y opuestas, existe un campo eléctrico uniforme. Un electrón abandonado llega
a la superficie de la lámina opuesta, situada a 2cm de distancia de la primera, al cabo
de 8
1,5 10 .seg−
× Hállese: a) El campo eléctrico. b) La velocidad del electrón cuando
llega a la segunda lámina.
20) Un electrón entra a la región de un campo eléctrico uniforme, velocidad inicial
6
3 10 /m s× y un campo eléctrico 200 N/C. la anchura de las placas es L = 0,1 m. a)
¿Determinar la aceleración del electrón mientras se encuentra en el campo eléctrico?.
b) Calcular el tiempo que tarda el electrón en recorrer la región del campo eléctrico.
c) ¿Cuál es el desplazamiento vertical y del electrón mientras está en campo eléctrico?.
d) ¿Cuál es la velocidad del electrón al salir del campo eléctrico?
32

TEMA III
LEY DE GAUSS
1.9 INTRODUCCIÓN
Esta ley facilita en muchos casos el cálculo de los campos eléctricos, cuando hay
simetría en la distribución de la carga. Su utilidad esta en la habilidad que se tenga para
encontrar una superficie gaussiana adecuada en la cual se conozca el comportamiento del
campo eléctrico.
En el tema anterior vimos como a través de la Ley de Coulomb se calculaba el
campo eléctrico partiendo de la distribución de cargas. Esta Ley de Coulomb puede
expresarse a través de la Ley de Gauss. Donde los cálculos no son tan laboriosos.
3.2 FLUJO ELÉCTRICO
Es una propiedad de todos los campos vectoriales. Flujo electrónico es una medida
de número de líneas del campo eléctrico que atraviesan cierta superficie. El número neto de
líneas que pasan a través de tal superficie es proporcional a la carga neta que está en el
interior de ella.
Tomemos una plano de área A, orientando perpendicularmente al flujo Figura 3.1.
Recordando que el número de líneas por unidad de área es proporcional a la magnitud del
campo eléctrico, entonces el número de líneas que atraviesan la superficie de área A es
proporcional al producto de EA, o sea es flujo eléctrico ∅
EA∅ = (3.1)
Las unidades del flujo eléctrico con Nw. M2/C
Si tomamos ese mismo plano de área A y lo inclinamos en ese mismo campo
eléctrico formando un ángulo θ con la vertical Figura 3.2. El número de líneas que pasan a
través de ella debe ser menor. Como el número de líneas que atraviesan la superficie A, es
igual al que atraviesan las superficie A’, entonces el flujo deseado es:
'EA∅ =
Como la relación entre las dos áreas es cosA A θ=
cosEA θ∅ = (3.2)
Con esto podemos concluir:
El flujo máximo cuando la superficie es perpendicular al campo eléctrico.
El flujo es cero cuando la superficie es paralela al campo.
33

Claro que esta definición es para un pequeño diferencial de área. Consideremos
ahora una superficie general dividida en un gran número de elementos de área A∆ (Fig.
3.3) Si tomamos un pequeño elemento de área como lo indicamos en el dibujo y calculamos
el flujo eléctrico a través de él.
cos .i Ei Ai Ei Aiθ∆ ∅ = ∆ = ∆123
Producto escalar de dos vectores
Si usamos todas las contribuciones de los elementos de área obtenemos el flujo total
que pasa por la superficie.
1
.
n
i
Ei Ai
=
∅≈ ∆∑
Si el área de cada uno de los elementos se hace tender a cero, entonces el número de
elemento tiende al infinito y la suma se sustituye por una integral.
0
1 sup
lim . .
n
A
i erficie
Ei i E dA
∆ →
=
∅ ≡ ∆ =∑ ∫
Por lo general se trata de evaluar el flujo que pasa por una superficie cerrada, por lo
que la ecuación se puede escribir como
.c E dA∅ = ∫ (3.3)
Podemos decir que si una superficie cerrada tienen más límites salientes que
entrantes, el flujo es positivo y si entran más líneas que las que salen, el flujo es negativo.
Ejemplo:
Se aplica un campo eléctrico de 4
5 10 / ,Nw C× a lo largo del eje x de anchura y 0,8
m de largo, si a) éste es paralelo al plano y z, b) es paralelo al plano y c) contiene al eje y, y
su normal, forma un ángulo de 53º con el eje x.
Solución:
a)
Figura 3.4
34
y
x
E
Área A
d

El flujo es: . cosE dA EdA θ∅ = =∫ ∫
El ángulo entre E y A es cero grado. Cos 0 = 1
.E dA E A∅ = =∫
El área es b . h
2
4 3 .
. . 5 10 / .0.8 .0, 2 8 10
Nw m
E b h Nw C m m
C
∅ = = × = ×
b)
Figura 3.5
El flujo es: . . cosE dA E dA θ∅ = =∫ ∫
El ángulo entre E y A es de 90º, cos 90=0 por lo que el flujo es cero 0∅ =
c)
Figura 3.6
El flujo . . cosE dA E dA θ∅ = =∫ ∫
el ángulo entre E y A es de 53º, cos 53º = 0,60
35
y
x
E
Áre
a
d
A
z
E
z
x
yθ
dA

cos . cos53ºE dA E Aθ∅ = =∫
2
4 3 .
5 10 / .0,8 .0, 2 .0,60 4,81 10
Nw m
Nw C m m
C
∅ = × = ×
3.3 LEY DE GAUSS
Para usar la Ley de Gauss necesitamos determinar el flujo eléctrico a través de una
superficie cerrada. Esas superficies, que por lo general serán imaginarias, pueden que tenga
simetría. A estas superficies las llamamos superficies gaussianas.
La Ley de Gauss expresa el flujo en términos de la carga encerrada. Si no hay carga
dentro de una superficie cerrada, el flujo eléctrico a través de la superficie es cero.
Consideramos una carga puntual positiva Figura 3.7, escogeremos una esfera como
superficie gaussiana, de radio R, ubicando la carga en el centro de la esfera. Sabemos que el
campo eléctrico por ley de coulomb es:
2
0
1
4
q
E r
rπ
=
∈
Como podemos observar las líneas del campo eléctrico son reales en toda la
superficie y hacia fuera, por lo que son perpendiculares a la superficie en cada punto. O sea
que el campo eléctrico en cada punto que tomemos es paralelo al pequeño ,A∆ entonces:
. .E A E A∆ = ∆∫
Por lo que: 2
0
1
.
4
q
d E dA dA
rπ
∅ = =
∈
Integrando obtenemos:
2
0
1
.
4
q
E dA dA
rπ
∅ = = =
∈∫
2
0
1
4
q
rπ
∅ =
∈ 2
0
1
4
q
dA A
Rπ
=
∈
Como el área de una esfera es 2
4 RΠ sustituyendo
2
2
0 0
1
4
4
q q
R
R
π
π
∅ = ⇒ ∅ =
∈ ∈
(3.4)
Este resultado nos indica que el flujo eléctrico que emana de una carga puntual es
independiente del radio de la esfera gaussiana.
0
.
q
E dA∅ = =
∈∫
36

Podemos decir que el flujo neto a través de cualquier superficie cerrada es
independiente de la forma de esa superficie. De hacho, el flujo neto a través de cualquier
superficie cerrada que rodee a una carga puntual q es /q o∈
Pasos para utilizar la Ley de Gauss en la solución de un Problema:
Hacer un esquema de la distribución de carga, que ayudará a ubicar la simetría adecuada.
Identificar la simetría espacial de la distribución de carga y de campo eléctrico que
produce.
Escoger la superficie gaussiana que sea adecuada a simetría identificada.
Aplicar la ecuación de flujo eléctrico para una superficie gaussiana.
Ejemplo:
El flujo eléctrico neto que pasa por una superficie cerrada dada es 2 2
4 10 / .Nwm c− ×
¿Qué carga está contenida dentro de la superficie, si ésta es a) una esfera de 3cm de lado b)
un cubo de lado 3cm y c) un cilindro circular recto de 3cm de altura y 1cm de radio.
No necesitamos llevar a cabo la integración, según la ley de Gauss, el flujo eléctrico
total es tan solo / ,q o∅ = ∈ sin importar la forma de la superficie, por lo que la carga
encerrada es igual en los tres casos indicados en el problema
2
. 0 4 10
0
q
q Nwm∅ = ⇒ = ∅ ∈ = − ×
∈
2
2 2
/ .8,85 10
C
C
Nwm
−
× 2
9
3,54 10 C−
∅ = − ×
3.4 APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS.
Presentamos algunos ejemplos de cómo utilizar la Ley de Gauss.
Debemos recordar que la Ley de Gauss sólo es útil cuando existe un alto grado de
simetría en la distribución de carga y siempre debe elegirse la superficie gaussiana de modo
que tenga la misma simetría que la correspondiente a la distribución de carga.
Ejemplos:
1.- Determine el campo eléctrico debido a una varilla infinitamente larga, recta, y cargada
con densidad lineal de carga positiva λ , constante, como se observa en la Figura 3.8.
Solución:
Por simetría, la dirección del campo eléctrico es radia en el plano x, y, como se
observa en la Figura 3.9.
37

La superficie gaussiana que tiene simetría con la varilla es un cilindro, el cual lo
indicamos centrado en la varilla, con un radio r y una altura h, como se observa en la Figura
3.10.
Calculamos el flujo a través del cilindro, indicando las direcciones de las áreas, dA
para las diversa superficies del cilindro.
1 2 3
1 2 3
. . .E dA E dA E dA∅ = + +∫ ∫ ∫
El campo eléctrico es paralelo a esa superficie por
lo que E es perpendicular a 1;cos90 0dA =o
el campo eléctrico es perpendicular a la superficie por
lo que E es paralelo a 2 ;cos 0º 1dA =
el campo eléctrico es paralelo a la superficie, por lo
que E es perpendicular a 3;cos90 0dA =o
entonces el flujo es : E∅ = 2 2.dA E A=
el área lateral de un cilindro recto de altura h es 2 rhπ
.2E rhπ∅ =
Aplicando la Ley Gauss:
0
.
q
∅ =
∈
Igualando las ecuaciones obtenemos:
0 0
.2
2
q q
E rh E
rh
π
π
= ⇒ =
∈ ∈
como la densidad de carga ;
q
q L
L
λ λ= = donde L=h
Sustituyendo
0 02 2
h
E E
rh r
λ λ
π π
= ⇒ =
∈ ∈
2.- Determine el campo eléctrico fuera y dentro de un cascarón esférico de radio R que
tiene una carga total Q positiva distribuida uniformemente sobre una superficie externa.
38
0∅ =
1 1 1
1
. cos ;E dA θ∅ = ∫
2 2 2
2
. cos ;E dA θ∅ = ∫
2 2
2
.E dA∅ = ∫
3 3 3. cos ;E dA θ∅ = ∫
3 0∅ =

a) CAMPO ELÉCTRICO FUERA Figura 3.11
Solución: Por simetría el campo eléctrico es radial hacia fuera y r > R, aplicando la
ecuación de flujo.
. cos , 0 cos 1E dA E dA θ θ θ∅ = = = ⇒ =∫ ∫
. ;E dA E A∅ = =∫ el área de la esfera gaussiana es 2
4 rπ
2
4 ;E rπ∅ = aplicando la Ley de Gauss
0
q
∅ =
∈
2
04
q
E
rπ
=
∈
b) CAMPO ELÉCTRICO DENTRO Figura 3.12
Solución: Dentro del cascarón el radio de este es mayor al de la superficie gaussiana R > r,
para este caso la superficie gaussiana no encierra carga alguna, por lo que el campo
eléctrico dentro del cascarón esférico es cero (Q = 0).
2
0
0
4
q
E E
rπ
= ⇒ =
∈
3.- Calcule el campo eléctrico fuera de una lámina infinita no conductora, con la densidad
uniforme de carga, .σ Figura 3.13
Para resolver este ejercicio debemos ubicar la superficie gaussiana simétrica, en este caso
podemos utilizar un cilindro igual que el primer ejemplo. Figura 3.14
1 2 3
1 2 3
EdA EdA EdA∅ = + +∫ ∫ ∫
el campo eléctrico es perpendicular a la superficie, por
lo que E es paralelo a dA; cos 0º = 1
el campo eléctrico es paralelo a la superficie, por lo
que E es perpendicular a dA, cos 90º = 0
el campo eléctrico es perpendicular a la superficie, por
lo que E es paralelo a dA, cos 0º = 1
paralelo a dA, cos 0º = 1
39
1 1
1
;EdA∅ =∫
1 1E dA∅ = ∫
2 2
2
;EdA∅ =∫
2 0∅ =
3 3
3
;EdA∅ = ∫
3 3
3
E dA∅ = ∫

entonces el flujo es:
1 2 2 2 .E dA E dA E dA E A∅ = + = =∫ ∫ ∫
recordando que
Q
Q A
A
σ σ= ⇒ = sustituyendo en la ley de gauss.
0 0
Q Aσ
∅ = =
∈ ∈
igualando las dos ecuaciones:
0 0
2
A
EA E
σ σ
= ⇒ =
∈ ∈
3.5 CONDUCTORES Y CAMPO ELÉCTRICOS.
Los conductores tienen gran número de electrones libres. Cualquier campo eléctrico
que se desarrolle dentro de un conductor, por efecto de un campo eléctrico externo, hará
que los electrones se muevan y en menos de un microsegundo, se reacomodan en una
configuración que anula el campo eléctrico dentro del conductor. Los conductores no tienen
campo eléctrico estático interno.
El movimiento de cargas en respuesta a campos eléctricos aplicados se llama
inducción.
Como podemos observar Figura 3.14 el campo inicial, no tiene su forma original al
que se genera a través de las cargas inducidas.
Veamos que sucede cuando a un conductor se le colocan cargas en ellos o cerca de
ellos o cuando se colocan en campos eléctricos externos con la Ley de Gauss.
a) Cuando colocan cargas en los conductores (exceso de carga).
Vemos que dentro de la superficie Gaussiana Figura 3.15 no hay campo, no hay
flujo y no hay carga neta, todo el exceso de carga está en la superficie externa de un
conductor se mueve al exterior E = 0. Figura 3.16.
Cuando la burbuja esta cargada +Q, esta inducirá una carga -Q en la superficie del
metal, lo cual mantiene al campo eléctrico dentro del metal en cero E = 0. Figura 3.17.
40

b) Campos eléctricos cerca de conductores.
1) El campo eléctrico inmediatamente fuera de un conductor, debe ser perpendicular a la
superficie del conductor.
2) Empleando la Ley de Gauss, podemos calcular el valor de ese campo eléctrico
perpendicular cerca de la superficie, en términos de la densidad de carga en ella.
Ejemplo:
Conductor con una superficie gaussiana pequeña perpendicular a la superficie del
conductor o cuya tapa es paralela a la superficie. Figura 3.18.
La densidad ( )sigmaσ de carga superficial puede variar en el conductor, por lo que
tomamos una superficie gaussiana muy pero muy pequeña donde tanto la densidad de carga
( )σ superficial y E se puede considerar constante en ella.
0
; .
Q
E dA EA∅ = ∅ = =
∈
Como sabemos la carga total de q encerrada en la superficie gaussiana es Aσ de
modo que: igualando las ecuaciones
0
.
Q
E A=
∈
y sustituyendo el valor de la carga total
0
.
A
E A
σ
= ⇒
∈
nos queda
0
E
σ
=
∈
el campo eléctrico inmediatamente fuera de la superficie es
proporciaonal a la densidad local de carga.
En resumen:
1) El campo eléctrico dentro de un conductor es cero.
2) El campo eléctrico inmediatamente fuera de un conductor es perpendicular a la
superficie de éste, y tiene el valor ,oσ ∈ siendo σ la densidad superficial de carga
local.
41

3) Un conductor en equilibrio eléctrico, ----- uno que contenga burbujas no conductoras,
sólo puede tener carga n su superficie exterior, siempre que las burbujas no contengan
carga neta.
Ejemplo:
Dos cascarones concéntricos, conductores perfectos (Figura 3.19), tienen radios R y
2R, respectivamente. Se coloca una carga q en la esfera interna, y de -2q en la externa.
¿Cuáles son los campos eléctricos en todo el espacio, debido a los dos cascarones?
Solución
a) Cuando el radio de la superficie Gaussiana es menor que el radio R r < R. Como la
superficie GAussiana no encierra carga alguna, el campo eléctrico dentro del
cascarón de radio R es cero E = 0.
b) Cuando el radio de la superficie gaussiana es mayor que el cascarón de radio R y
menor que el de 2R R < < 2R, (Fig.3.20), para este caso la carga que esta encerrada
por la superficie gaussiana es la del menor cascarón (q) aplicando la ecuación del
flujo eléctrico para calcular el campo eléctrico.
. . cos ,E dA E dA θ∅ = = como el campo eléctrico E es paralelo a
, 0 , cos 0 1e
dA θ−
= =o o
. ,E dA E A∅ = =∫ el área de una esfera gaussiana es 2
4 rπ
2
.4E rπ∅ =
La ley de Gauss es
0
,
q
∅ =
∈
igualando
2
0
.4
q
E rπ∅ = =
∈
despejando
2
04
q
E
rπ
=
∈
c) Cuando el radio de la superficie gaussiana es mayor que el del cascarón mayor (2R),
2R < r (Fig. 3.21). La carga cerrada por la superficie gaussiana es la carga total
interna qiut = q -2. q qiut = -q, con esta carga calculamos el campo eléctrico a través
del flujo eléctrico.
42

el campo eléctrico E es paralelo a
, 0 ; cos 0 1dA θ = =o o
el área de una esfera gaussiana es 2
4 rπ
2
.4E rπ∅ =
la ley de gauss es
0
;
q
∅ =
∈
Igualando las ecuaciones:
2
0
.4 ;
q
E rπ
−
=
∈
despejando 2
04
q
E
rπ
−
=
∈
3.6 EJERCICIOS PROPUESTOS
1) Una placa infinitamente grande, delgada y no conductora, tiene una densidad uniforme
de carga, σ a) ¿Cuál es el flujo eléctrico de un circulo de radio R paralelo a la placa?
b)¿Cuál es el flujo por ese circulo si el plano del circulo tiene una inclinación de 30º
con respecto a su orientación original?.
2) El campo eléctrico en determinada región del espacio tiene la dirección de z y su
magnitud es E = 4XZ, en la cual X y Z se miden a partir de cierto origen. Calcule el
flujo eléctrico de ese campo a través de un cuadrado perpendicular al eje Z; las
esquinas del cuadro están (X, Y, Z)= (1,1,3); (1,2,3); (2,2,3) y (2,1,3). Todos los
campos se miden en Nw/C y todas las distancias en m.
3) Un campo eléctrico de dirección constante es perpendicular al plano de un circulo de
radio R. la magnitud máxima del campo en ese plano se tiene en el círculo. Suponga
que la magnitud del campo eléctrico en el plano decrece desde un valor axial, en la
forma 1/r. Determine el flujo eléctrico a través del plano del círculo.
4) Una carga q se coloca justo arriba del centro de un círculo horizontal de radio r, y
sobre la carga se coloca un hemisferio de ese radio (Fig. 3.22). Calcule el flujo
eléctrico a través de la superficie cerrada que consiste del hemisferio y el círculo
plano.
5) Una carga de 6
120 10 C−
× está en el centro de un cubo con los lados 25cm a)
Determine el flujo total a través de cada cara del cubo b) ¿Halle el flujo a través de la
superficie completa del cubo?
6) Una carga puntual, q, está en el centro de un tetraedro de lado L (Fig. 3.23). ¿Cuál es
el valor promedio del campo eléctrico sobre una cara del tetraedro?
43
. . cos ,E dA E dA θ∅ = =∫ ∫
. ,E dA E A∅ = =∫

7) La intensidad del campo eléctrico terrestre cerca de su superficie es 130 /Nw C≅ y
apunta hacia abajo ¿Cuál es la carga de la tierra, suponiendo que este campo sea
causado por tal carga?
8) Un globo de 30cm de radio tiene una carga de 8
3 10 C−
× distribuida uniformemente
sobre su superficie . ¿Cuál es el campo eléctrico a una distancia de 49cm del centro del
globo?. Suponga que el globo se encoge a un radio de 10cm, pero no pierde carga.
¿Cuál es el campo eléctrico a una distancia de 40cm del centro?
9) Una lámina plana grande cargada tiene una carga por unidad de área de
6
7,5 10 / 2.C m−
× Halle la intensidad del campo eléctrico precisamente arriba de la
superficie de la lámina medio desde su punto medio.
10) Un cascarón esférico grueso, no conductor, con carga total Q distribuida
uniformemente tiene radio interior R, y radio exterior 2.R Calcule el campo eléctrico
resultante, en todo lugar del espacio.
11) A lo largo de un cilindro infinito de radio r se distribuye uniformemente una carga a)
Demostrar que E, para distancias r medidas desde el eje del cilindro(r < R), está dado
por / 2 0E rρ= ∈ en donde ρ es la densidad de carga b) ¿Cuál serían el resultado
esperado para (r>R)?.
12) Se tiene un cubo de lado a ubicado en el origen, ver Figura (3.24), suponga que un
campo eléctrico está presente, y está descrito por 2 ,bx i cxzk+ siendo b y c cantidades
constante. Calcule el flujo a través de cada lado del cubo, y use el resultado para
calcular la carga dentro del cubo.
13) Dos láminas no conductoras infinitas con carga son paralelas entre sí, como se ve en la
figura (3.25). La lámina de la izquierda tiene una densidad de carga uniforme σ y la
lámina de la derecha tiene una densidad de carga uniforme .σ− Calcule el valor del
campo eléctrico en los puntos a) a la izquierda de las dos láminas b) entre ellas y c) a
la derecha de ellas.
14) Una superficie cerrada cuyas dimensiones son a=b=0,4m y c=0,6m está ubicada como
se indica en la figura (3.26). El campo eléctrico en toda la región no es uniforme y está
dado por ( )2
3 2 .E x i= + Calcule el flujo eléctrico neto que sale de la superficie
cerrada. ¿Cuál es la carga neta encerrada por la superficie?
15) Un conductor tiene una superficie orientada en el plano yz, que es la frontera de una
región en la cual hay campo eléctrico orientado hacia la dirección +x. La intensidad
de este campo decrece linealmente a medida que aumenta x de x =0m a x =3m. Al
principio de la región, en x =0, la intensidad de campo ha bajado a cero. describa la
distribución, en dirección x, de la carga que produce ese campo.
44

16) Dos grandes placas metálicas de área 2
1m están colocadas frente a frente (Fig. 3.27).
Están separadas 5cm y tienen cargas iguales y opuestas en sus superficies interiores. Si
E entre las placas es de 55 /Nw C ¿Cuál es la carga en las placas?
17) Un cascarón esférico conductor de radio 8cm lleva una carga neta de 6
2 10 ,C−
×
uniformemente distribuida sobre su superficie. Obtenga el campo eléctrico en los
puntos a) fuera del cascarón b) dentro del mismo.
18) Una pequeña esfera cuya m es 3
1 10 gr−
× tiene una carga q de 8
2 10 .C−
× Cuelga de un
hilo de seda que forma un ángulo de 30º con una gran lámina conductora cargada
como muestra en la figura (3.28). Calcule la densidad de carga superficial σ de la
lámina.
19) Una partida ,α que se dirige a la superficie de un núcleo de oro se encuentra a una
distancia igual a un radio nuclear ( )15
6,9 10 m−
× de esa superficie. ¿Cuáles son las
fuerzas sobre esa partícula α y su aceleración en ese punto? ( )27
6,7 10 .m Kgα
−
= ×
20) Un alambre recto largo está rodeado por un cilindro metálico hueco cuyo eje coincide
con el del alambre. El alambre sólido tiene una carga por unidad de longitud de ,λ+ y
el cilindro hueco tiene una carga neta por unidad de longitud de 2 .λ+ Con base en
esta información, aplique la ley de Gauss para hallar a) la carga por unidad de
longitud sobre las superficies interior y exterior del cilindro hueco y b) el campo
eléctrico afuera del cilindro hueco, a una distancia r del eje.
45

TEMA IV
POTENCIAL ELÉCTRICO
1.10 INTRODUCCIÓN
El potencial eléctrico ofrece una manera más sencilla de describir los fenómenos
electrostáticos que la que presenta el campo eléctrico. Esta es la principal razón por la cual
este concepto ha alcanzado una mayor aplicación.
Como la fuerza electrostática dada por la ley de coulomb es conservativa, es posible
describir convenientemente los fenómenos electrostáticos en términos de una energía
potencial eléctrica. Esto es lo que nos permite definir una magnitud escalar llamada
Potencial Eléctrico.
En los circuitos eléctricos de voltaje, o tensión, medida entre dos puntos
cualesquiera es simplemente la diferencia de potencial eléctrico entre esos dos puntos.
1.11 POTENCIAL ELÉCTRICO:
El potencial eléctrico es una función escalar que representa el trabajo por unidad de
carga, realizado por un agente externo para cambiar la posición de una carga eléctrica
determinada dentro de una región donde existe una campo eléctrico.
El potencial eléctrico solo es una propiedad de larga o la distribución de carga que
los produce (q) y no de la carga de prueba (q’).
1.12 POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA CARGA PUNTUAL:
Tomemos dos cargas puntuales q y q’, separadas por una distancia r. Entonces el
potencial eléctrico es.
( ) ( )
.
' 'r
W F R q
V r
q q
= = =
' .E R
q
( ) 2
0
'
1
.
4r
qr
V E r
r r
= =
∈
(4.1) Calculo del potencial eléctrico de una carga
puntual q a una distancia r de la carga.
La unidad de potencial eléctrico es el Joule entre coulomb (J/C), a esta unidad se le
dio el nombre de voltio.
46
( )
0
1
4r
q
V
r r
=
∈

1 1 /V J C=
Como el potencial eléctrico tiene las dimensiones de campo eléctrico multiplicado
por la longitud, entonces.
1 / 1 /N C V m=
Para el cálculo del Potencial Eléctrico de dos o más cargas puntuales aplicamos el
principio de Súper posición. El potencial total en un punto P, debido a varias caras
puntuales, es la suma de los potenciales debidos a las cargas individuales.
1 2t nV V V V= + + +KKKK
1 10
1
4
n n
t
i i
qi
V Vi
riπ= =
= =
∈
∑ ∑ (4.2)
Observamos que es una suma algebraica.
Ejemplo:
Se colocan dos cargas en el eje
6
1: 4 10X q C−
= × en 2cm y
6
2 2 10q C−
= − ×
en 4cm. Determine los puntos en el eje de las X donde el potencial es cero.
Solución:
a) El punto izquierdo al lado de la carga q1
2
1 2
2 2 10
0t
m m
V V V
−
= ×
= + =
47
q1 2cm q2
2cm 4cm
X
p x
y
Figura 4.1

1 2
1 2
0 1 0 2
0
1 1
4 4
1
4
V V
q q
r rπ π
π
= − ⇒
=
∈ ∈
∈
6
0
4 10 1
4
C
X π
−
×
= −
∈ ( )
6
2
6 6 6
2
2 10
2 10
4 10 2 10 4 10
2 10
C
X X m
C C C
X X m
−
−
− − −
−
− ×
+
× × ×
= ⇒
+ × 2
2 10 C−
× ( )
( )
2
2
2
2 2
2
2 10
2 2 2 10
2 10
2 4 10 2 4 10 0
4 10
X
X X m
X
X X m X
X X m
X X m X X X m X
X X m
−
−
−
− −
−
=
+
= ⇒ + =
+
+ = ⇒ + − =
= −
b) El punto derecho al lado de la carga 2q
1 2
1
V V= −
04π ∈
1
1
1q
r
= −
04π ∈
2
2
6 6
1 2
2
1 2
6 2 2
6
2 2
2
4 10 2 10
2 10
4 10 2 10 2 10
2
2 10
2 2 10 2 2 10
2 10
q
r
q q x C C
r r X X m X
x C X X m X X m
x C X X
X X X m X X X m
X X m
− −
−
− − −
−
− −
−
− ×
= − ⇒ = ⇒
+
+ +
= ⇒ =
= + ⇒ − = ⇒
=
48
q1
2cm
p
X
x
y
Figura 4.2

4.4 DIFERENCIA DE POTENCIAL ELÉCTRICO.
Es el trabajo por unidad de carga que se debe efectuar para mover una carga de
prueba desde el punto a hasta el punto sin cambiar su energía cinte. También la podemos
definir como el cambio en energía potencial dividido entre la carga de prueba q’.
. '.
' ' '
B B
AB
AB
A A
W F ds q ds
V V
q q q
•
∆ = = = − = −∫ ∫
B
AB
A
V ds= − •∫
El signo negativo aparece debido a que el trabajo es realizado por un agente externo
cuya aplicada F es igual a - q E.
También podemos hacer referencia q que la diferencia de potencial es un trabajo
que se produce de potencial es un trabajo que se produce a través de la variación de la
energía potencial por lo que.
AB ABW EU= −∆ (4.4)
Ejemplo:
Entre dos láminas paralelas situadas en el aire se establece una diferencia de
Potencial 3
2 10 ,× si el aire se hace conductor cuando la intensidad del campo eléctrico
excede de 6
3 10 / .N C× ¿Cuál es la separación mínima de las láminas?
Solución:
( )
B B
AB
A A
V Edx E dx E X= − = − = − −∫ ∫
.ABV E X= ⇒ despejando a X
2.000ABV N
X
E
= =
. /m C
6
3 10 /N C×
4
6,67 10 m= ×
4.5 POTENCIAL ELÉCTRICO DEBIDO A DISTRIBUCIONES DE CARGAS
Como el potencial eléctrico es una magnitud escalar, la integral que resolveremos es
escalar también, la distribución continua de cargas las subdividimos en pequeños .q∆
0
1
4
dq
dV
rπ
=
∈
49

para calcular el potencial eléctrico total, integramos:
0
1
4
dq
V dV
rπ
= =
∈∫ ∫ (4.5)
Ejemplo:
Dos placas metálicas paralelas tienen 2
125cm de área, cada una, están separadas por
L =0,8cm. Tienen una diferencia de potencia de potencial de 0,5 V. Determine el valor
numérico del campo eléctrico. ¿Cuáles so la densidad de carga y la carga total de cada
placa?
Solución:
a)
3
0,5
62,50 /
2 8 10
L
O
V E dx V E dx V EL
V V
E V m
m−
∆ = − ⇒ ∆ = − ⇒ ∆ =
∆
= = =
×
∫ ∫
b) El campo eléctrico entre dos placas paralelas es 0σ ∈
0
0
.E E
σ
σ= ⇒ = ∈
∈
esta es la densidad de carga.
12 102
2
62,5 / .8,85 10 5,53 10 / 2
C
V m c m
Nwm
σ − −
= × = ×
c) La densidad de carga superficial es:
10
.
5,53 10
Q
Q A
A
C
Q
m
σ σ
−
= ⇒ =
= × 2
2
. 1,25 10 m−
×( )2 12
6,91 10 C−
= ×
Ejemplo:
Determine el potencial eléctrico de un disco de delgado, plano y uniformemente
cargado, de radio R y carga total Q, en un punto P en su eje
Solución:
dq
dq dA
dA
σ σ= ⇒ =
50

( )
( )
2 2 2 2
0 0
2 2
2 2
0 00 0
2 2
0
2 2
2
0
2
1 2 1
4 2
2 2
2
2
R R
dq rdr
rdr rdr
dV
r x r x
rdr
V r x
r x
V R x x
Q
V R x x
R
σ π
σ π σ
π
σ σ
σ
π
=
= =
∈ ∈+ +

= + =
∈ ∈+ 
= + −
∈
= + −
∈
∫ ∫
4.6 ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA
La energía mecánica es igual a la suma de la Energía cinética mas la Energía
Potencial.
Em EK Eu= +
Y que cambio de la energía mecánica en cero.
0
0
Em Em EmA
Em Ek Eu
= − =
= + =
V
V V V
O sea que la variación de la energía cinética es igual al cambio o variación de la
energía potencial pero con igual signo opuesta.
0Ek Eu
Ek Eu
+ =
= −
V V
V V
El teorema de la energía cinética establece que:
W Ek=V
por lo que podemos decir que:
W Ek= −V
Eu W= −V
51

.
B
A
Eu F ds= − ∫V (4.6)
Para fuerzas conservativas el valor de F es independiente de la trayectoria de
integración entre los puntos a y b.
. .F ds F dr=
2
0
2
0 0
0 0
1 '
4
1 1 1
' '
4 4
1 ' 1 '
4 4
b b
a a
b
a
qq
Eu Fdr dr
r
dr
Eu q q q q
r r
q q q q
Eu
rb ra
π
π π
π π
= − = −
∈
− 
= − =  
∈ ∈  
   
= −   
∈ ∈   
∫ ∫
∫
V
V
V
1442443 1442443
Eu EuB EuA= −V
a.- Energía Potencial en un sistema de cargas:
Si en el sistema existen mas de dos partículas cargadas, puede obtenerse la energía
potencial total, calculando Eu para cada par de cargas y sumando algebraicamente los
términos:
1 3 2 31 2
0 1.2 1.3 2.3
1
4
q q q qq q
Eut
r r rπ
 
= + + 
∈ 
(4.8)
Ejemplo:
Una carga de 4
2 10 C−
× está fija en el origen de un sistema de coordenadas. En
una pesa con 11gr de masa se coloca una carga de 6
2 10 C−
× la pasa se acerca, desde muy
lejos, hasta un punto a 45cm del origen. ¿Cuál es la energía potencial eléctrica del sistema?
Solución:
52

2 4 6
91 2
2 2
0 1.2
1 . 2 10 .2 10
9 10
4 45 10
8
q q Nw m C C
Eu
r C
Eu Joule
π
− −
−
× ×
= = ×
∈ ×
=
b.- Electrón Volt:
Con frecuencia calculamos la energía multiplicando el voltaje por la carga. Esta
unidad de energía se llama electrón volt y consiste en multiplicar un electrón por un voltio.
( )( )9 19
1 1,6 10 1 1,6 10ev C V Joule− −
= × = ×
4.7 SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES
Son regiones en las que el potencial eléctrico de una distribución de carga tiene
valores constantes. Por lo que podemos, decir, que cuando desplazamos una carga de
prueba q’ que a lo largo de una superficie equipotencial, no se realiza trabajo alguno. Las
superficies equipotenciales son siempre perpendiculares a las líneas de fuerza y por
consiguiente, al campo eléctrico.
4.8 DETERMINACIÓN DE CAMPO ELÉCTRICO A PARTIR DE
POTENCIALES ELÉCTRICOS
Recordando que la diferencia de potenciales es:
.dv E ds=
Descomponemos a ds en coordenadas cartesianas:
ds dxi dyj dzK= + +
El producto escalar es:
.dv E ds Exdxi Eydyj Ezdzk= = − − −
Si despejamos el campo eléctrico, tenemos que este es igual al valor negativo de la
derivada del potencial con respecto a alguna coordenada.
dv v v v
E i j k
ds x y z
− ∂ − ∂ −∂
= − = − −
∂ ∂ ∂
O sea que el vector campo eléctrico se expresa en términos de las derivadas del potencial
eléctrico.
53

Ejemplo:
Una distribución de potencial en el espacio está descrita por la función:
2 3 2
2 ,V Axy B yz Cx z= − + donde A, B y C son constantes. Determine el campo eléctrico:
Solución:
( )2
2
V
Ex Ay CxZ i
x
∂
= = +
∂
( )3
2 2
V
Ey Axy Bz j
y
∂
= = −
∂
( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 3 2 2
6
2 2 2 6
V
Ez Byz Cx k
x
E Ay Cxz i Ay Bz j Byz Cx k
∂
= = − +
∂
= − + − − − − +
4.9 POTENCIAL DE UN CONDUCTOR CARGADO
Consideremos dos puntos y B sobre la superficie de un conductor cargado. E
siempre es perpendicular al desplazamiento ds por lo que E.ds=0:, Observemos la figura
4.4.
. 0
B
A A AB
A
V V V E ds− = = − =∫
La superficie de cualquier conductor cargado en equilibrio es una superficie
equipotencial. Además, ya que el campo eléctrico es cero dentro del conductor, se concluye
que el potencial es constante en todo punto del interior del conductor es igual a su valor en
la superficie.
ANEXO 1: Tabla (4.1)
Ejemplo:
Un disco delgado de 23cm de radio tiene una carga total de 7
1,5 10 ,C−
× repartida
uniformemente en su superficie. ¿Cuál es el trabajo mínimo que se requiere para traer una
carga 8
2 10q C−
= × en reposo, desde el infinito a una distancia de 78cm del disco, a lo
largo de su eje?
Solución:
.
W
V W V q
Q
= ⇒ = revisando la tabla anterior
54

( )2 2
2
0
.
2
Q
W R x x q
Rπ
= + −
∈
el potencial en un disco cargado
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
7
212 2 2
2 22 2 2 8
7
1,5 10
2 3,14 8,85 10 / 23 10
23 10 78 10 78 10 .2 10
1,5 10
C
W
C Nwm m
m m m C
C
W
−
− −
− − − −
−
×
=
× ×
× + × − × ×
×
= 12
2,94 10 C−
×
2 ( ) 8
. 0,033 .2 10
/
m C
Nw
−
×
17
12
5
9,9 10
2,94 10
3,37 10
Nwm
W Joule
−
−
−
×
=
×
= ×
1) Se trae del infinito una carga de 6
3 10 ,C−
× y se fija en el origen de un sistema de
coordenadas a) ¿Cuando trabajo se efectúa? b) Del infinito se trae una segunda carga
de 6
5 10 ,C−
× y se coloca a 10cm de distancia de la primera. ¿Cuándo trabajo efectúa
el campo eléctrico de la primera carga cuando se trae la segunda carga? c) ¿Cuando
trabajo efectúa el agente externo para traer la segunda carga, si esta se mueve con la
energía cinética invariable?
2) ¿A través de que diferencia de potencial se necesita acelerar un electrón para alcanzar
una velocidad del 60% de la velocidad de la luz a partir del reposo?( )8
3 10 / .C m s= ×
3) Dos cargas puntuales
9 9
1 240 10 30 10q Cyq C− −
= × = − × a una distancia de
10cm. El punto A se encuentra en el punto medio del segmento que los une, y el B dista
8cm de 1q y 6cm de 2.q Hallase: a) el potencial en el punto A; b) el potencial en el
punto B; c) el trabajo necesario para transportar una carga de 9
25 10 C−
× desde el
punto B al punto A?
4) El potencial a cierta distancia de una carga puntual es 600V, y el campo eléctrico es
de 200 N/C a) ¿Cuál es la distancia a la carga puntual? b) ¿y el valor de la carga?
5) Un campo eléctrico uniforme de magnitud 400 V/M esta dirigido en la dirección y
negativa, ver la figura 4.5; las coordenadas del punto A son (-0,4, 0.6) m y las del
punto B son (0.5, 0.7)m. Calcule la diferencia de potencial eléctrico entre A y B,
utilizando la trayectoria A C B.
6) Un protón pasa del punto A al punto B bajo la influencia única del campo eléctrico,
perdiendo velocidad al hacerlo, desde
4
3 10 /AV m s= × hasta
3
3 10 /BV m s= × ¿Cuál es
la diferencia de potencial entre los dos puntos?
55

7) A una distancia r de una carga puntual 1q el potencial eléctrico es V =600V y la
magnitud del campo eléctrico es E =200N/C. Determine el valor de q y r.
8) Determinada distribución de cargas estáticas en el espacio produce un potencial
eléctrico de la forma ( ) 2
2 3, , , ,V x y x a a xz a z= + + siendo constantes los coeficientes a;.
Determine el campo eléctrico E en el origen y el punto (x,y,z)=(0m,0m,1m) .
9) Calcule el potencial eléctrico en el punto P, sobre el eje de la corona mostrada en la
figura 4.6, la cual tiene una densidad de carga uniforme σ y radios interior y exterior
iguales a A y B, respectivamente.
10) Demostrar que el potencial eléctrico en un punto sobre el eje de un anillo de radio a,
esta dado por:
2
0
1
4
q
V
x aπ
=
∈ +
11) Un largo cilindro metálico, de radio ,ar esta sostenido por un pie aislante sobre el eje
de otro largo cilindro metálico hueco de radio interior .br La carga positiva por
unidad de longitud en el cilindro interior es ,λ y sobre el cilindro exterior existe una
densidad de carga lineal negativa igual negativa. a) Demuestre que la diferencia de
potencial entre los cilindro es 2 / .b ak Lnr rλ b) pruébese que el campo eléctrico en
cualquier punto situado entre los cilindros es ( )/ / .1/ .ab b aV Ln r r r
12) El potencial, Vr, de una distribución de carga esféricamente simétrica, esta expresa
por ( ) ( )
2
0/ 4 5 4 /Vr Q r Rπ  = ∈ −
  para r<R, y por 0/ 4 ,Vr Q rπ= ∈ para r>R. a)
Determine el campo eléctrico. b) ¿Dónde esta la carga, y como se distribuye?
13) El potencial eléctrico en una cierta región es 2
7V zx y= + − ¿Determine el ángulo
entre la dirección eléctrico, E, y la dirección del eje x positivo, en el punto P, el cual
tiene las coordenadas (en metros) (2,1,2)?.
14) Dos conductores esféricos de radios 1 2r yr están conectados por medio de un alambre
conductor, como se indica en la figura 4.9. Si 1 0,3r m= y 2 0,15r m= y el campo
eléctrico en la superficie de la esfera mas pequeña es de 500 Nw/C, calcule la
magnitud de la carga en exceso en la esfera grande.
15) Deduzca una ecuación para el potencial eléctrico en todos los puntos, debido a una
varilla de longitud L y densidad lineal uniforme de carga, ,λ empleando la ecuación
01 4 .V d q rπ= ∈ ∫ La varilla esta orientada en el eje z, con su centro en el origen.
56

Demuestre que a distancias muchos mayores que L a la varilla, el potencial se reduce
al de una carga puntual / ,Q Lλ= en el origen.
16) Un cilindro infinitamente largo, de radio R, se llena con una densidad volumétrica
uniforme de carga .ρ Calcule el potencial dentro y fuera del cilindro.
17) Considere una disposición de ocho cargas negativas iguales ubicadas de modo que
queden definidos los vértices de un cubo con arista de longitud L =0,15m.Si cada una
de las ocho cargas mide 6
6 10 ,q C−
= − × determine el potencial en el centro del cubo.
18) Dos esféricas conductoras idénticas de radio r =0,15m están separadas por una
distancia a =10m ¿Cuál es la carga de cada esfera si el potencial de una es 1500 V y el
de la otra es -1500 V?.
19) Una lamina cuadrada cuyos lados tienen una longitud L, contiene una densidad
superficial de carga informe σ y esta situada en el plano x y, como en la figura 4.8.
Establezca la expresión integral necesaria para calcular el potencial eléctrico en un
punto p, sobre una recta perpendicular a un eje que pase por el centro de la lámina.
Suponga que el punto P esta a una distancia d de la lámina.
20) Por frotamiento, se puede producir una carga de 8
10 .C−
¿Cuál seria el aumento en el
potencial que tal carga produciría en una esfera conductora aislada de 10cm de
radio?.
57

TEMA V
CAPACITORES Y DIELECTRICOS
1.13 INTRODUCCIÓN
Como ya sabemos todo conductor tiene un potencial eléctrico constante en todos sus
puntos y dentro de el, por ser superficies equipotenciales. Si tenemos un sistema formado
por conductores cargados los cuales están cerca entre si, el potencial de cada conductor no
solo va a estar determinado por su carga, si no que también va estar influenciado por el
valor y signo, el tamaño, la forma y posición de los otros conductores que intervienen en el
sistema.
La diferencia de potencial entre dos conductores cargados puede acelerar una carga
de prueba o varias, por lo que podemos decir que el sistema almacena energía. Un capacitor
en un sistema que almacena energía. La relación entre la cantidad de carga que almacena un
capacitor, y la diferencia de potencia de sus conductores, va a depender de la geometría del
capacitor.
1.14 CAPACITANCIA
Si tenemos dos conductores separados por el espacio vacío o por un material
conductor, supongamos que los conductores tienen cargas iguales pero de signos opuestos,
de manera que la carga neta es cero. Esta combinación es lo que conocemos como
capacitador. La razón de la magnitud de la diferencia de potencia de potencial entre ellos es
lo que conocemos como Capacitancia (C).
Q
C
V
= (5.1)
La capacitancia siempre es una cantidad positiva, la capacitancia tiene las unidades
de coulombs por volt.
Coulomb
C Faradio
Volt
= =
Esta unidad del Fardio es muy grande, por lo que las más comunes son el
microfaradio 6
1 10MF F−
= y el picofaradio 12
1 10 ,pf F−
= la capacitancia de un
dispositivo depende de la disposición geométrica de los conductores.
Algunas aplicaciones:
58

Para eliminar la chispa que se produce cuando se interrumpe rápidamente un circuito que
posee autoinducción.
Para sintonizar circuitos de radio.
Para igualar la corriente rectificada proporcionada por el generador e energía.
1.15 CALCULO DE LA CAPACITANCIA
Capacitor esférico
La Capacitancia de un conductor esférico de radio R y carga Q, el segundo
conductor es una esfera conductora hueca concéntrica de radio infinito.
;
Q
C
V
= como el potencial de la esfera es KQ/R,
y el de la esfera de radio infinito es 0.
04
/
Q R
C R
KQ R K
π= = = ∈
Capacitor de placas paralelas.
Como se observa en la Figura 5.1, dos placas paralelas de igual área separadas por
una distancia d, con cargas +Q y -Q. Si las placas están muy próximas entre si, se pueden
despreciar los efectos externos y suponer que E es uniforme entre ellas y cero entre los
demás puntos.
El campo eléctrico entre las placas es 0σ ∈ y la carga por unidad de área en
cualquiera de las dos placas es .Q Aσ =
0
Q
E
A
=
∈
la diferencia de potencial entre las placas es de E.d.
0
.
QD
V E d
A
= =
∈
la capacitancia es C =Q/V sustituyendo
0
0
AQ
C
Qd A d
∈
= =
∈
59

Con este resultado obtenemos que la capacitancia de un capacitor de placas
paralelas es proporcional al área de las placas e inversamente proporcional a la distancia
que la separa.
Capacitor cilíndrico
Un conductor cilindrico, como se observa en la Figura 5.2, de radio a y carga +Q es
concéntrico con un cascaron cilíndrico mas grande de radio b y carga -Q: determinar la
capacitancia de este capacitor cilíndrico si su longitud es L.. Un ejemplo de este es un cable
coaxial.
Ejemplo: (un cable coaxial)
Solución:
B B
AB
A A
V Eds Erdr= − = −∫ ∫
La carga por unidad de longitud Q Lλ =
Q Lλ= y el campo eléctrico es 2 /K rλ
( )2 2 ln
B
AB
A
dr
V k k b a
r
λ λ= − = −∫
La capacitancia es:
Q
C
V
= = sustituyendo de potencial es positiva dado que el cilindro interior tiene mayor
potencial.
1.16 ENERGÍA EN CAPACITORES
Un capacitor es capaz de efectuar un trabajo. Podemos determinar la energía
contenida en un capacitor cargado determinado cuando trabajo necesita para cargarlo
inicialmente.
Para cargar un capacitor tomamos un pequeño diferencial de carga adquirida de uno
de los conductores y lo pasamos al otro conductor, al continuar moviendo la carga adicional
dq, las cargas existentes en los conductores se opondrán a la transferencia de más cargas,
por lo que tenemos que efectuar un trabajo para mover cada carga adicional.
q
dw Vdq dq
C
= =
2
1
2
Q Q
O O
q Q
W dw dq qdq
C C C
= = = =∫ ∫ (5.2)
60

Este es un resultado general para todos los capacitares, ese trabajo queda
almacenado en el capacitor como energía potencial. Esta es la energía que puede mover una
carga de prueba colocada entre los conductores.
2
2 2 2
; (5.3)
2
(5.4)
2 2
(5.5)
2
Q
Eu como Q Cv
C
C V CV
Eu Eu
C
QV
Eu
= =
= ⇒ =
=
Ejemplo:
¿Cuántas energía se almacena en una esfera metálica de 12cm de radio cuando s
coloca en ella una carga de 5
4 10 C−
× ?
Solución
0
52
0
0
;
2 4
4 104
2 8
QV Q
Eu el potencial es
r
Q
Q
Cr Q
Eu
r
π
π
π
=
∈
× −∈
= =
∈
( )
2
12
8 8,85 10 Cπ −
×( )
12
2 12 10 m−
×
2
Nwm
9
11
1,6 10
59,93
2,67 10
Eu Nw Eu Joule
−
−
 
 
 
×
= ⇒ =
×
1.17 ENERGÍA EN CAMPOS ELÉCTRICOS
En los capacitares las líneas del campo eléctrico van del conductor positivo al
negativo. Este campo eléctrico es el que acelera a la carga de prueba, colocada entre las
placas del capacitor.
Pongamos un ejemplo con un capacitor de placas paralelas.
61

Capacitancia 0 A
C
d
∈
=
Campo eléctrico
0
E
σ
=
∈
Diferencia de potencial V = E.d
( ) ( ) ( )
22
20 0
2 2 2
A ECV
Eu Ed Eu Ad volumen
d
∈ ∈
= = ⇒ =
La densidad de energía (u) es el coeficiente de volumen en la ecuación anterior.
( )
( )
2
0
2
EEu Eu
U Ad
volumen Ad
∈
= = =
2
0
2
E
u
∈
= esta es la densidad local de energía en el espacio vacío, a un
cundo el campo eléctrico sea variable.
1.18 ENERGÍA EN CAMPOS ELÉCTRICOS
Los capacitares se pueden asociar de varias maneras, en serie y en paralelo. A
continuación veremos como puede calcularse la capacitancia equivalente de estas
combinaciones.
Asociación en paralelo:
La siguiente Figura 5.3, describe una asociación de capacitares en paralelo tienen el
mismo potencial entre sus conductores.
1 1 2 2Q C V y Q C V= =
La carga total en ambos capacitares es:
( )
( )
1 2
1 2 1 2
5.6Qt Q Q
Qt C V C V C C V
= +
= + = +
Despejando V obtenemos la capacitancia equivalente
1 2
Qt
C C
V
+ =
62

Capacitancia equivalente es: 1 2Cep C C= +
Por lo que podemos decir que la capacitancia equivalente de un grupo de capacitares
en paralelo es la suma de cada una de las capacitancia de dichos capacitares.
( )1 2 5.7eq nC C C C= + + +KKKK
1
n
eq i
i
C C
=
= ∑
Concluimos que la capacitancia equivalente es una asociación en paralelo es mayor
que cualquiera de las capacitancias individuales.
Asociación en serie:
La siguiente Figura 5.4, describe una asociación de capacitares en serie. Los
capacitores conectados en serie tienen la misma carga. Observamos al conectar la batería y
esta mantiene un potencial fijo y se transfieren carga negativa a la placa derecha y carga
positiva la placa izquierda (d) la parte pespunteada de la figura se carga por inducción, la
carga positiva en la placa a induce una carga negativa en la placa b y la placa d induce una
carga positiva en la placa c.
1 2Q Q Q= =
El potencial en cada capacitor es:
1 1 2 2V Q C y V Q C= =
Por lo que:
( )
1 2 1 2
1 2 .
(5.8)
1 1
T
T equi
V V V Q C Q C
V Q C C Q C
= + = +
= + =
Por lo que la capacitancia equivalente es:
. 1 21 1 1equiC C C= +
Cuando tenemos n capacitares conectados en serie:
. 1 2
1
1 1 1 1 1 (5.9)
n
equi n i
i
C C C C C
=
= + + + = ∑KKK
63

La capacitancia equivalente es una asociación en serie en menor que cualquiera de
las capacitancias individuales.
Ejemplo:
Calcule la capacitancia equivalente a los siguientes capacitores de circuito, Figura
5.5.
6
1
6
2
6
3
6
4
6
5
5 10
10 10
6 10
2 10
8 10
C F
C F
C F
C F
C F
−
−
−
−
−
= ×
= ×
= ×
= ×
= ×
Figura 5.5
Solución:
6 6
1.2 1 2
6
1.2
3.4 3 4
6 6
3.4
. 1.2 3.4 5
5 10 10 10
1,5 10
6 10 2 10
1 1 1 1equi
C C C F F
C F
C C C
C F F
C C C C
− −
−
− −
=
= + = × + ×
= ×
= +
= × + ×
+ +
( )
5 6 6
.
4 5 5 5
.
6
5
1 1 1 1
1,5 10 8 10 8 10
1
6,67 10 1, 25 10 1, 25 10 3,17 10
1
3,16 10
3,17 10
equ
equ
equ equ
C F F F
V F
C
C C F
− − −
−
= + + =
× × ×
= = × + × + × = ×
= ⇒ = ×
×
5.7 DIELÉCTRICOS
Un dieléctrico es material no conductor, como el papel, plástico y el vidrio. Si
introducimos un dieléctrico entre las placas de un capacitor, la capacitancia generalmente
aumenta, observe la Figura 5.8.
64

Si tenemos un capacitor de placas paralelas de la carga 0Q y capacitancia 0 ,C
cuando no existe dieléctrico, la diferencia de potencial será 0 0 0/ .V Q C= Si le colocamos
un dieléctrico entre las placas Figura 5.9, el potencial disminuye en un factor K (constante
dieléctrica).
0
(5.10)
V
V
K
=
Esta constante dieléctrica va a depender del tipo de material del dieléctrico, observe
la Tabla 5.1 ANEXO 2.
Y la capacitancia aumenta en el factor K.
( )0 5.11C C K=
Cuando un capacitor de placas paralelas esta lleno con un dieléctrico la capacitancia
se puede expresar como:
( )
0 0 0
0
;
5.12
C KC donde C E A d
E A
C K
d
= =
=
Ejemplos:
Un acumulador de automóvil, de 1 z V, puede almacenar 6
4 10 J× de energía.
Calcule el área de un capacitor de placas paralelas que pueda almacenar la misma energía,
si la separación entre las placas es 1mm y entre ellas hay un dieléctrico con K =3.
Solución:
65

( )
( )
( ) ( )
2
6 6
3
22
0
3 3 2
12 2
1112
0
2
2 4 102 8 10
55,56 10
14412
. 55,56 10 .1 10 55,56
2,1 10
2,66 103 8,85 10 /
CV
Eu despejando C
JEu J
C F
V VV
K A
C despejando A
D
C d F m m
A A m
K F m
−
−−
=
× ×
= = = = ×
∈
=
× ×
= = = = = ×
∈ ××
5.8 EJERCICIOS PROPUESTOS
1) Dos conductores aislados entre si se cargan al transferir electrones de uno al otro.
Después de haber transferido 12
2,5 10× electrones, la deferencia de potencial entre los
conductores resulta ser 16 V. ¿Cuál es la capacitancia del sistema?
2) Dos esferas conductoras concéntricas tienen 5cm y 23cm de radio, respectivamente, y
una carga igual, pero opuesta, de 7
6,3 10 .C−
× ¿Cuál es la diferencia de potencial
entre ellas?
3) Un capacitor de placas paralelas tiene placas cuadradas de 40cm por lado, separadas
5mm. El capacitor se carga a 230v y se desconecta de la fuente de carga ¿Cuál es la
densidad de carga en las placas? ¿Cuál es la carga total en cada placa?.
4) ¿Cuál debe ser la capacitancia necesaria para almacenar una energía 10Kw.h a una
diferencia de potencial de 1000V?
5) Demuestre que la energía asociada con una esfera conductora de R y carga Q,
rodeada por un vacío, se expresa como 2
/ 2 .Eu KQ R=
6) Un cable coaxial con conductor interno de 3mm de diámetro y blindaje exterior de
8mm de diámetro, tiene un potencial de 1KV entre los conductores. a) ¿Cuál es la
capacitancia de 10m de cable? b) ¿Cuánta energía se almacena en un tramo de 10m
del cable? c) ¿Cuánta energía se almacena en un tramo de 1km?
7) Las placas de un capacitor de placas paralelas tiene 2
600cm de área y están a 0,2cm
de distancia. La diferencia de potencial entre ellas es 800v. a) ¿Cuál es el campo entre
las placas? b) ¿Cuál es la carga en cada placa? c) ¿Cuál es la fuerza que ejerce el
campo sobre una de las placas? d) Suponga que se tira de las placas para separarlas,
66

de modo que la distancia entre ellas aumenta 10%. ¿Cuál es el cambio de la energía
almacenada?.
8) La batería de la figura 5.10 suministra 12v. a) Encontrar la carga en cada uno de los
capacitadotes cuando se cierra el interruptor 1S y b) cuando se cierra el interruptor
2S . Considérese que
6 6 6 6
1 2 3 41 10 , 2 10 , 3 10 4 10 .C C F C F y C F− − − −
= × = × = × = ×
9) Considere la combinación de capacitares de la figura 5.11 a) ¿Cuál es la capacitancia
equivalente entre los puntos a y b? b) ¿Determine la carga en cada capacitor si
36aV V= ?
6 6 6 6
1 2 3 44 10 , 2 10 , 24 10 , 8 10 .C F C F C F C F− − − −
= × = × = × = ×
10) En la figura 5.12, cada capacitor
6
1 3 10C F−
= × y cada capacitor
6
2 2 10C F−
= × a)
Calcúlese la capacitancia equivalente del circuito b) Hállese la carga de cada uno de
los capacitares cuando 900abV V= y c) Calcúlese Vcd cuando 900abV V= .
11) El capacitor 1C tiene una capacitancia de 6
2 10 C−
× y el 2C tiene 6
3 10 F−
× de
capacitancia. Una carga 6
10 10q C−
= × se coloca en 1,C mientras que 2C se lleva a
una diferencia de potencial entre sus placas de 50V. ¿Cuál es la energía total
almacenada en los dos capacitores?.
12) Encontrar en la siguiente Figura 5.13, a) la carga, b) la diferencia de potencial y c) la
energía almacenada en cada capacitor.
6 6 6
1 2 310 10 , 5 10 , 4 10 , 100 .C F C F C F V V− − −
= × = × = × =
13) Un capacitor consiste en dos cascarones esféricos concentricos, de radio 1 2,r y r
respectivamente. Calcule la capacitancia si el espacio entre los cascarones se llena
con un dieléctrico cuya constante es k si el primer capacitor tiene aire entre sus
cascarones, y tiene carga Q, y s el espacio se llena a continuación con el dialéctico,
¿Cuál es el cambio de energía?.
14) Se va a construir un capacitor de placas paralelas utilizando papel como dieléctrico. Si
se desea obtener un voltaje máximo de 4
6 10 V× antes de la destrucción. ¿Qué espesor
del dieléctrico se necesita?.
15) Dos placas paralelas de 3
100cm de área se cargan con una misma, carga de signos
opuestos, de 7
8,9 10 .C−
× El campo eléctrico en el material dieléctrico que llena el
espacio entre las placas es de 6
1,4 10 / .V m× a) Encontrar la constante dieléctrica del
material. b) Determinar la magnitud de la carga inducida en cada una de las
superficies del dieléctrico.
67

16) Los capacitares
6 6
1 26 10 2 10C F y C F− −
= × = × se cargan como una combinación
en paralelo a través de una batería de 250V los capacitares se desconectan de la
batería y entre si y, a continuación, se conectan placa positiva con positiva y negativa
con negativa. Calcule la carga resultante en cada capacitor.
17) Se suministra a dos laminas paralelas de 2
100cm de área, cargas iguales y opuestas de
7
10 .C−
El espacio entre las laminas esta ocupado por un dieléctrico y el campo
eléctrico dentro es 5
3,3 10 /V m× a) ¿Cuál es la constante eléctrica? b) ¿Cuál es la
densidad de carga inducida sobre cada una de sus caras?.
18) Un capacitor consta de 12 placas conectadas alternadamente a la terminal positiva y a
la negativa las placas son 8 x 15cm y están a 0,30mm de distancia ¿Cuál es la
capacitancia?. Suponga que la zona entre las placas se rellena con material de
constante dieléctrica 2,5. ¿Cuál es la capacitancia?
19) Un capacitor de placas paralelas tiene una capacitancia de 6
4 10 F−
× las placas se
cargan a 600V a) ¿Cuál es la energía almacenada en el capacitor? b) ¿Cuánto trabajo
se necesita para introducir un dieléctrico cuya constante es K =2 entre las placas?
Suponga que el capacitor se desconecta de la fuente de voltaje antes de introducir el
dieléctrico.
20) Tres capacitares, de fuerza de 6 6 6
1 10 , 2 10 4 10 ,F F y F− − −
× × × respectivamente, se
pueden conectar de diversas formas entre dos puntos. ¿Qué arreglo produce la
capacitancia equivalente menor y cual es la mayor?.
68

TEMA VI
LA CORRIENTE Y LA RESISTENCIA
1.19 INTRODUCCIÓN
Hemos estudiado cargas eléctricas que están en reposo, ahora estudiaremos el
comportamiento de estas mismas cargas pero en movimiento. Como ya sabemos las cargas
eléctricas se mueven bajo el efecto de los campos eléctricos, este movimiento que se genera
es lo que llamaremos corriente eléctrica. Esta corriente eléctrica nos describe la rapidez de
flujo de cargas a través de alguna región del espacio. Para detallar el flujo de las corrientes
eléctricas, definiremos que es resistencia, resistividad y conductividad.
Muchos de los aparatos domésticos funcionan con corrientes eléctricas.
1.20 LA CORRIENTE ELÉCTRICA Y LA DENSIDAD DE CORRIENTE.
Definiremos a la corriente eléctrica como la carga total que pasa a través de un área
A de sección transversal, por unidad de tiempo. Consideremos la carga que pasa a través de
un alambre. Figura 6.1.
Tomemos una sección de área A, no necesitamos especificar la forma ni la
orientación de área, si Q∆ es la carga neta que pasa a través de esta área en un intervalo de
tiempo ,t∆ la corriente J la expresamos como:
(6.1)
Q
I
t
∆
=
∆
si la corriente eléctrica varia en función del tiempo, entonces cuando el limite de t∆
cuando tiene cero, podemos definir a la corriente eléctrica en un instante determinado:
(6.2)
dQ
I
dt
=
como podemos observar la unidad de corriente eléctrica es el Coulomb entre el tiempo, a
esta unidad se le dio el nombre de Ampere (A).
1 1
C
A
s
=
esta unidad de Ampere (A) es muy grande, por lo que se usan otras unidades como
miliamperes (mA), microAmperes ( )Aµ y el nanoAmperes ( ).Aη
69

3
6
9
1 10
1 10
1 10
mA A
A A
A A
µ
η
−
−
−
=
=
=
Se ha convenido en elegir la dirección de la corriente eléctrica como si fuera en la
dirección del flujo de la carga positiva la corriente eléctrica es una cantidad escalar, pero
tiene signo asociado.
La densidad de corriente eléctrica (J) es la rapidez de flujo de carga por unidad de
superficie, que pasa por un área infinitesimal, la densidad de corriente es un vector.
Observe la Figura 6.2.
( ). 6.3dI J dA=
como observamos esto es un producto escalar por lo que:
( ). cos 6.4dI J dA θ=
donde θ es el ángulo que forman la densidad de corriente eléctrica J y el elemento de área
dA. Cuando la densidad de corriente eléctrica J y el elemento de área dA son paralelos, o
sea 0,θ = la corriente diferencial dI es máxima y cuando la densidad de corriente eléctrica
J y el elemento de área dA son perpendiculares, o sea 90,θ = la corriente diferencial dI es
cero.
Para calcular la corriente total que pasa por el área A integramos la ecuación
anterior.
( ). 6.5
S
I J dA= ∫
Densidad de corriente eléctrica de un grupo de cargas en movimiento, ver Figura 6.3, para
calcular esta densidad tenemos que tomar en cuenta la densidad numérica (nq) que es el
número de portadores de carga móviles por unidad de volumen, la velocidad (V) con
que se muevan todas las partículas, la cantidad de carga que pasa por un área dada (A).
Por lo que la carga Q∆ en este elemento es:
( )qQ n A x q∆ = ∆
donde x∆ es la longitud del conductor.
X
V
t
∆
=
∆
70

despejando x V t∆ = ∆
( ).qQ n AV t q∆ = ∆
Utilizando la ecuación de la corriente eléctrica.
.qn AVQ
I
t
∆∆
= =
∆
( )t q
∆ t
. .qI n AV q=
Utilizando la ecuación de densidad de corriente eléctrica
. .qn AV qI
J
A A
= =
( ). . 6.6qJ n V q=
Donde la dirección de la densidad de J queda indicada por la velocidad.
Ejemplo:
1.- Calcule la corriente cuando 14
2 10× electrones pasan por una sección transversal dada
de un conductor, cada segundo.
Solución:
( )( )14 19
5
2 10 1,6 10
3, 2 10 /
1
CQ
I C seg
t seg
−
−
× ×∆
= = = ×
∆
32I Aµ=
2.- La cantidad de carga q (en C) que pasa a través de una superficie cuya área es de 2
1cm
varia con el tiempo según la expresión 2
3 2 2,q t t= − + en donde t esta en segundo. a)
¿Cuál es la corriente eléctrica instantánea a través de las superficies, en el instante t
=0,5 seg.? b) ¿Cuál es el valor de la densidad de corriente eléctrica?.
Solución:
71

( )
( )
2
3
4 2
2 4 2
3 2 2
6 2 .
6 0,5 2 1 1 10
1 1
1 10 /
1 1 10
dq d
I t t
dt dE
I t sustituyendo el valor de t
I I A mA
I A A
J A m
A cm m
−
−
= = − +
= −
= − ⇒ • = • = • ×
• •
= = = = ×
×
3.- Los portadores de carga en un semiconductor tienen densidad numérica
24 3
2,3 10 / .qn portadores m= × Cada portador tiene una carga cuya magnitud es la de
la carga de un electrón. Si la densidad de corriente es 4 2
1,2 10 /A m× ¿Cuál es la
velocidad de los portadores?.
Solución:
( )( )
4 2 4
524 3 19
.
1, 2 10 / 1, 2 10 /
. 3, 68 10 /2,3 10 / 1, 6 10q
V nq qV despejando
J A m C S
V
n Q C mpor m C−
=
× ×
= = =
×× ×
3
32,61 10 /V m s−
= ×
6.3 RESISTENCIA, RESISTIVIDAD Y CONDUCTIVIDAD.
RESISTENCIA (r): es I a diferencia de potencial entre dos puntos y la corriente eléctrica
que pasa por el.
( )/ 6.7R V I=
Como la unidad de la diferencia de potencia de potencial es el voltio y la de la corriente
eléctrica es el Amper.
/R Voltio Amper=
La ley de Ohm establece que la resistencia para muchos materiales es constante dentro de
un amplio margen de diferencias de potencia.
RESISTIVIDAD ( ρ ): es una cantidad asociada con la resistencia, que es característica del
material.
72

/R A Lρ = las unidades de la resistividad es ( ).m ohm metroΩ − esta ecuación se
formula normalmente.
/ (6.8)R L Aρ=
CONDUCTIVIDAD (σ ): es la densidad de corriente por unidad de intensidad del campo
eléctrico, es el inverso de la resistividad.
( )
1
6.9
J
E
σ
ρ
= = las unidades de la conductividad es ( )1 mΩ
La resistividad de los materiales tienen dependencia de la temperatura.
( ) ( )0 01 6.10T Tρ ρ α= + −  
ρ = es la resistividad a cierta temperatura T
0ρ = es la resistividad a cierta temperatura 0T
0T = por lo común es 20 ºC
α = coeficiente de temperatura de la resistividad.
Como la resistencia de un conductor es proporcional a la resistividad, la variación de la
resistencia con temperatura es:
( )0 01R R T Tα= + −  
ANEXO 3: Tabla 6.1
Ejemplos:
1.- Un conductor subterráneo de aluminio tiene 91,4m de longitud y área de 0,30cm2
a)
¿Cuál es su resistencia? b) ¿Cuál es el radio de un alambre de cobre de la misma
longitud y resistencia?
Solución:
ρ del aluminio 8
2,82 10 .m−
× Ω
ρ del cobre 8
1, 72 10 .m−
× Ω
73

8
) 2,82 10 .
L
a R m
A
ρ −
= = × Ω
91, 4 m
5
3 10 m−
×
2
3
2
8
85,9 10
)
1, 72 10
R
LL L
b R r
A r R
r
ρρ ρ
π π
−
−
= = × Ω
= = ⇒ = =
= × Ω
( ) 3
91, 4
.
3,14 85,9 10
m
m −
× Ω( )
3
2, 41 10r m−
= = ×
2.- Si un alambre de plata tiene una resistencia de 10 20ºa CΩ ¿Qué resistencia
tendrá a 40º C? (desprecie todo cambio en la longitud o en el área de la sección
transversal debido al cambio en la temperatura).
3 1
3,8 10 º Cσ − −
= ×
( ) ( )3
0 01 10 1 3,8 10 º 40º 20ºR R T T C C Cα −
 = + − = Ω + × −    
10, 76R = Ω
6.4 MODELO DE CONDUCCIÓN ELÉCTRICA
Recordando la segunda ley de Newton
F
a
m
= (la fuerza eléctrica es F =q E)
qE
a
m
=
Esta aceleración es corta entre los Choques.
1 0 0
qEt
V V aT V
m
= + = +
Si asumimos que la velocidad inicial es cero y el tiempo promedio de las colisiones es .ℑ
( )6.11d
qE
V
M
= ℑ
Esta es la velocidad se deriva.
74

Recordando la densidad de corriente eléctrica tenemos que:
( )
2
. . . .
6.12
dq q
q
qE
J n V q n q
m
n q E
J
m
ℑ
= =
ℑ
=
La conductividad seria:
( )
2
6.13
qn q
m
σ
ℑ
=
Y la resistividad:
( )2
6.14
q
m
n q
ρ =
ℑ
El tiempo promedio ( ℑ ) entre las colisiones esta relacionado con distancia L y la velocidad
térmica promedio .ν .
( )6.15
L
ν
ℑ =
Ejemplos:
1.- Calcular la trayectoria libre media entre choques de los electrones en el cobre, a una
temperatura correspondiente a una velocidad térmica media de 6
1, 3 10 / .m s×
Solución:
Nq del cobre es 28 3
8,48 10 m−
×
ρ del cobre 8
1,7 10 m−
× Ω
19
1,6 10e C− −
= ×
31
9,11 10em Kg−
= ×
75

( )( )( )
31
2 28 3 19 8
14
14
9,11 10
8, 48 10 1, 6 10 1, 7 10
2, 47 10
2, 47 10
e
q
m Kg
n q m C m
Seg
L
L Seg
ρ
ν
ν
−
− − −
−
−
×
ℑ = = =
× × × Ω
ℑ = ×
ℑ = ⇒ = ℑ = × 6
.1,3 10 /m Seg×
8
3, 21 10 3, 21m ó−
ℑ = × Α
6.5 ENERGÍA Y POTENCIA ELÉCTRICA
Parte de la energía eléctrica que se consume en un circuito eléctrico se dispara al
sistema en forma de calor. Para calcular esta energía perdida por unidad de tiempo cuando
una corriente pasa por un material, tomemos una carga pequeña dq que se mueve a través
de una diferencia de potencial V.
;
dw
P
dt
= potencia eléctrica es la rapidez con que realiza un trabajo.
udw dE=
;uE
P
Dt
= la energía potencial es la diferencia de potencial por carga.
;
dq
P V
dt
= la corriente eléctrica es dq/dE
( )6.16P VI=
Esta es la potencia perdida en una resistencia.
Ejemplo:
Se mantiene una corriente eléctrica de 8 A en un resistor de 150Ω durante 1 h. Calcule la
energía empleada en el resistor.
Solución:
. . ;uE P T P V I V IR= = = =
76

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