1. EXERCITANDO (Aula 2)
1. Dê exemplo de matrizes A e B quadradas de mesmo tamanho tais que det (A + B) = det A + det B.
2. Seja A uma matriz n × n. Mostre que det (−A) = (−1)
n
det A.
3. Seja A uma matriz n × n e x ∈ R. Demonstre que det (xA) = xn
det A.
4. Seja A uma matriz quadrada. Mostre que det (Am
) = (det A)m
para todo inteiro positivo m.
5. Se, numa matriz quadrada A, uma coluna é combinação linear das demais, mostre que det A = 0.
6. Calcule
a − b b − c c − a
m − n n − p p − m
x − y y − z z − x
usando somente as propriedades elementares.
7. Discuta, usando a regra de Cramer, o conjunto solução de cada sistema linear abaixo segundo os valores do parâmetro
a.
a)
ax + y − 1 = 0
2x + ay − 2 = 0
; b)



x + y + z = 0
x + 2y + az = 0
x + 4y + a2
z = 0
.
8. (Regra de Chió) Seja A =





1 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
...
an1 an2 · · · ann





. Mostre que o determinante de A é igual ao determinante
da seguinte matriz (n − 1) × (n − 1):





a22 − a12a21 a23 − a13a21 · · · a2n − a1na21
a32 − a12a31 a33 − a13a31 · · · a3n − a1na31
...
...
...
...
an2 − a12an1 an3 − a13an1 · · · ann − a1nan1





9. Sejam A e B matrizes n × n. Mostre que det (AB) = det (BA) .
10. Mostre que as matrizes abaixo são invertíveis e calcule suas inversas pela fórmula A−1
= 1
det A adjA.
a)
cos a sen a
− sen a cos a
; b)


−1 2 1
0 1 −3
4 0 2

; c)




1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
1 0 1 0



.
11. Seja A uma matriz anti-simétrica n × n. Mostre que se n é ímpar, então det A = 0.
12. Demonstre que
a + x b + x c + x
a + y b + y c + y
a2
b2
c2
= (b − a) (c − a) (c − b) (x − y) .
13. Calcule
a2
(a + 2)2
(a + 4)2
(a + 2)
2
(a + 4)
2
(a + 6)
2
(a + 4)
2
(a + 6)
2
(a + 8)
2
.
14. Seja A =


1 a1 a2
1
1 a2 a2
2
1 a3 a2
3

. Mostre que det A = (a2 − a1) (a3 − a1) (a3 − a2) .
15. Se A é uma matriz ortogonal (i.e., t
A = A−1
), mostre que det A = ±1.
16. Demonstre que duas matrizes semelhantes têm mesmo determinante.
17. Mostre que
cos 2a cos2
a sen2
a
cos 2b cos2
b sen2
b
cos 2c cos2
c sen2
c
= 0.
18. Sejam a, b e c números inteiros. Demonstre que o seguinte determinante é divisível por a + b + c:
(b + c)
2
b2
c2
a2
(a + c)
2
c2
a2
b2
(a + b)2
19. Mostre que
a − b − c 2a 2a
2b b − c − a 2b
2c 2c c − a − b
= (a + b + c)
3
.
20. Seja A uma matriz n×n. Mostre que A é invertível ⇔ existem matrizes elementares E1, ..., Er tais que A = Er · · · E1.
21. Sejam A e A matrizes m × n. Mostre que A é linha-equivalente a A ⇔ existe uma matriz invertível P, m × m, tal
que A = PA.
22. Quantas submatrizes 3 × 3 (distintas ou não) admite uma matriz 4 × 4? E quantas 2 × 2?
23. Sejam r ≤ m e s ≤ n inteiros positivos. Quantas submatrizes (distintas ou não) r × s admite uma matriz m × n?
1

2. 24. Calcule o posto das matrizes abaixo, primeiro, pela definição e, depois, usando o Teorema 16(?).
a)
2 1 5
6 3 15
; b)


1 2 1 0
−1 0 3 5
1 −2 1 1

; c)




0 2 0 2
1 1 0 3
3 −4 0 2
2 −3 0 1



.
25. Determine os valores de a para que a seguinte matriz tenha posto 3:


1 1 a 1
1 a 1 a
1 −1 1 3


26. Seja A uma matriz n × n. Mostre que A é invertível ⇔ p (A) = n.
27. Seja AX = B uma sistema linear de matriz completa C. Demonstre que p (A) ≤ p (C) e que o sistema tem solução
⇔ p (A) = p (C) .
28. Seja A = (aij) uma matriz n × n. Demonstre que se i = k, então
ai1 (−1)
k+1
D (ak1) + ai2 (−1)
k+2
D (ak2) + · · · + ain (−1)
k+n
D (akn) = 0
ou seja, o produto escalar da i-ésima linha de A pela k-ésima linha da matriz dos cofatores de A é zero se i = k.
29. Seja A uma matriz n × n. Demonstre que A (adjA) = (det A) I = (adjA) A. Conclua que A é invertível ⇔ adjA o
é. Em caso afirmativo, determine (adjA)−1
.
30. Seja A =







1 a1 a2
1 · · · an−1
1
1 a2 a2
2 · · · an−1
2
1 a3 a2
3 · · · an−1
3
...
...
...
...
...
1 an a2
n · · · an−1
n







, em que n > 1. Esta chama-se matriz de Vandermonde. Demonstre,
utilizando o princípio de indução, sobre n, que det A = i>j (ai − aj) .
31. Seja A uma matriz n × n, em que n ≥ 2 e os termos de cada linha estão em progressão geométrica de primeiro
termo não nulo. Mostre que det A = 0 ⇔ duas progressões têm mesma razão.
32. Seja A uma matriz n × n. Demonstre que se det A = 0, então uma coluna de A é combinação linear das demais.
33. Seja A uma matriz n × n. Demonstre que se det A = 0, então uma linha de A é combinação linear das demais.
34. Mostre que se o polinômio f (x) = a0 + a1x + · · · + anxn
tem n + 1 raízes distintas, então a0 = a1 = · · · = an = 0.
Conclua que todo polinômio de grau n admite no máximo n raízes.
RESPOSTAS
1) A =
1 0
0 0
e B =
0 0
0 1
; 6) zero;
7) a) O sistema tem única solução ⇔ a = ±
√
2 e é impossível para a = ±
√
2. b) O sistema admite única
solução ⇔ a = 1 e a = 2 e é possível indeterminado para a = 1 ou a = 2;
8) A idéia é zerar os elementos da primeira linha de A exceto o de posição (1, 1) que é igual a 1. Faça isto
substituindo a coluna Aj
por Aj
− a1jA1
para 2 ≤ j ≤ n;
10) a)
cos a − sen a
sen a cos a
; b)


− 1
15
2
15
7
30
2
5
1
5
1
10
2
15 − 4
15
1
30

; c)




1
2 −1
2 0 1
2
1
2
1
2 0 −1
2
−1
2
1
2 0 1
2
1
2 −1
2 1 −1
2



;
13) −29
; 22) São 16 matrizes 3 × 3 e 36 matrizes 2 × 2;
23) m
r · n
s ; 24) a) 1; b) 3; c) 2; 25) a = 1;
28) Substitua a k-ésima linha de A pela i-ésima linha. O determinante desta matriz é zero. Agora, expanda-o
segundo sua k-ésima linha;
29) Observe que o produto escalar da i-ésima linha de A pela i-ésima coluna de adjA é igual a det A,
expandido pela i-ésima linha. Note ainda que o produto escalar da i-ésima linha de A pela k-ésima
coluna de adjA, i = k, é igual a zero, pois é o produto escalar da i-ésima linha de A pela k-ésima
linha da matriz dos cofatores de A. A partir dessas observações conclua que A (adjA) = (det A) I.
Para concluir que (adjA) A = (det A) I, use o mesmo raciocínio. Em seguida, para concluir que A é
invertível se adjA o for, suponha, por absurdo, que det A = 0. Daí, A (adjA) = O. Sendo A = O,
uma vez que adjA = O, deduza a contradição;
30) Para mostrar que o resultado vale para matrizes de Vandermonde n × n admitindo que vale para matrizes
de Vandermonde (n − 1) × (n − 1), substitua An
por An
− a1An−1
, An−1
− a1An−2
, ..., A2
por
A2
− a1A1
;
31) Use o exercício anterior; 32) Considere o sistema linear homogêneo x1A1
+ x2A2
+ · · · + xnAn
= O e
use os teoremas 3 do texto complementar 1 desta aula, 3 e 2 do tópico 3 desta aula;
33) Trabalhe com t
A e use o exercício anterior;
34) Se b1, b2, ..., bn+1 são raízes distintas de f (x), considere o sistema


x1 + b1x2 + b2
1x3 + · · · + bn
1 xn+1 = 0
x1 + b2x2 + b2
2x3 + · · · + bn
2 xn+1 = 0
...
...
...
...
x1 + bn+1x2 + b2
n+1x3 + · · · + bn
n+1xn+1 = 0
. Observe que a matriz dos coeficientes é de
Vandermonde e que x1 = a0, x2 = a1, ..., xn+1 = an é solução do sistema.
2