2. Se presentan aquí seis ejercicios de repaso de
las propiedades de los logaritmos propias de 1º
de Bachillerato. La intención de estos ejercicios
es mostrar el uso de las propiedades de los
logaritmos para resolver ecuaciones
logarítmicas sencillas.
Además, se quiere motivar el trabajo en el uso
de expresiones simbólicas,muy necesario en
temarios posteriores.
En la imagen de la portada, estatua del
matemático y astrónomo John Napier, figura
clave en el desarrollo de los logaritmos.
3. Para sacarle provecho a esta presentación, se ofrecen
las siguiente sugerencias:
● La presentación consta de tres partes; enunciado, una
tabla con las propiedades básicas de los logaritmos y
las soluciones de estos. Se recomienda intentar hacer
los ejercicios sin mirar las soluciones haciendo
uso de la tabla.
● En el apartado de soluciones se ofrece una de las
soluciones posibles de cada apartado, indicándose en
el párrafo de entrada. Sería conveniente, si el
ejercicio lo permite, intentar resolverlo de forma
distinta a la aquí expuesta.
● Si se presentan dudas con alguna solución se puede
recurrir otra vez a la tabla. De todas formas, están
desarrolladas al máximo
4. Ejercicio- Si log x=a y es un logaritmo decimal
cual será el valor de las siguientes
expresiones. Justifica bien tus respuestas
basándote en las propiedades de los
logaritmos.
1
a-) log ( 2 )
x
b-) log ( √ x )
3
200
c-) log ( 4 )
2x
d-) log (1000⋅x 1/5 )
3 4 2 7
e-) log ( √ x ⋅√ x )
f-) log (10⋅√ x )8
5. Nociones básicas de logaritmo.
(Fíjate bien en esta tabla)
Propiedad de los logaritmos Expresión simbólica
(igualdad) El logaritmo de la base es loga a=1
siempre igual a 1.
(logaritmo de 1) El logaritmo de 1 en loga 1=0
cualquier base es 0.
(logaritmo de un cociente) El logaritmo de
un cociente es siempre igual a la resta de loga(x/y)=loga(x)-loga(y)
los logaritmos de su numerador y su divisor.
(logaritmo de un producto) El logaritmo de
un producto es igual a la suma del loga(x·y)=loga(x)+loga(y)
logaritmo de sus miembros.
(logaritmo de una potencia) El logaritmo de
una potencia es igual al producto del
exponente por el logaritmo de la base . Este loga(xp)=p·loga(x)
enunciado engloba el caso de las raíces
como exponente fraccionario.
6. Ejercicio.a (solución)- Uso de los logaritmos como
potencia o cociente. Fíjate bien en las dos
opciones para resolver este ejercicio.
1 2
a. log( 2 ) = log (1)−log( x )
x
= log(1)−2⋅log( x)
= 0−2⋅a = −2⋅a
(solución alternativa )
1 −2
log( 2 ) = log ( x )
x
= −2⋅log ( x) = −2⋅a
7. Ejercicio.b (solución)- En este caso, haremos uso
de la propiedad del logaritmo de una potencia
(ultima fila de la tabla anterior), convirtiendo
previamente la raíz en su correspondiente forma
exponencial.
3
b. log( √ x ) = log( x )
3 2
3 3
= ⋅log( x) = ⋅a
2 2
8. Ejercicio.c (solución)- Lo interesante de este
ejercicio está en la simplificación previa a la
aplicación de las propiedades de los logaritmos.
El resto es muy sencillo.
200 2⋅100
c. log ( 4
) = log( 4
)
2⋅x 2⋅x
4
= log(100)−log ( x )
= 2−4⋅log ( x) = 2−4⋅a
9. Ejercicio.d (solución)- En este caso, haremos uso
de la propiedad del logaritmo de un producto y del
logaritmo de una potencia.
1 1
5 5
d. log(1000⋅x ) = log(1000) + log( x )
1 1
= 3 + ⋅log( x) = 3 + ⋅a
5 5
(15 + a)
=
5
10. Ejercicio.e (solución)- Otro caso de logaritmo de
un producto, pero se ha tratado como una
potencia usando las propiedades de los radicales.
Sería interesante buscar otra forma de resolverlo.
3 4 2 6 8 6 6
e. log( √ x ⋅√ x ) = log ( √ x ⋅√ x ) = log( √ x )
7 21 29
29
6 29 29
= log( x ) = ⋅log( x) = ⋅a
6 6
11. Ejercicio.f (solución)- También un caso de
logaritmo de un producto. Como el anterior se ha
resuelto de una forma, pero no es la única. Busca
tú la otra.
f. log(10⋅√ x ) = log(10⋅x )
8 4
4
= log(10) + log( x ) = 1 + 4⋅log ( x)
= 1 + 4⋅a
