1. UNA VISIÓN DE LA DIDÁCTICA DE LAS
MATEMÁTICAS DESDE FRANCIA.
ALGUNOS CONCEPTOS Y MÉTODOS
Seminario de formación de profesores sobre la didáctica de
las matemáticas francesa
Paola Ximena Valero Dueñas
Cúcuta, mayo de 1997
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
APARTADO AÉREO 4976
BOGOTÁ - COLOMBIA
TELÉFONOS: 2 84 99 11 - 2 82 40 66 EXT. 2717
FAX: 284-1890
E-MAIL: PVALERO@ZEUS.UNIANDES.EDU.CO

2. unaempresadocente®
Introducción
La educación matemática es una disciplina científica que desde hace algunas décadas se
ha venido desarrollando en diversas partes del mundo. Es la disciplina que estudia los
fenómenos relacionados con el aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas, no sólo
en el contexto del la relación entre profesor-estudiante-conocimiento matemático en el
salón de clase, sino también en contextos institucionales de la organización escolar, e
incluso en contextos sociales más amplios como comunidades humanas. En esta
disciplina convergen numerosas ciencias entre las cuales se encuentran las matemáticas,
la pedagogía, la psicología, la antropología y muchas otras ciencias sociales que aportan
elementos para explicar los fenómenos propios de la educación matemática (Kilpatrick,
1991).
Esta disciplina ha adquirido características particulares en las diversas regiones del
mundo donde se ha desarrollado con más fuerza. Si miramos al mundo, podríamos
ubicar varios sitios centrales donde se realiza educación matemática con algunas
particularidades.
U.S.A.
Brasil
Australia
Países nórdicos
Reino Unido
Francia Israel
Figura Nº 1. Ubicación de los centros importantes de la educación matemática
Los Estados Unidos han desarrollado una cantidad importante de las teorías e
investigaciones sobresalientes de la disciplina. El enfoque de investigación
predominante es la investigación empírico analítica y experimental. En el Brasil se ha
desarrollado la teoría de la etnomatemática que, al mezclar la teoría pedagógica de
Paulo Freire y la visión socio-cultural de la antropología, se ha centrado en el estudio de
los conocimientos técnicos y matemáticas de las comunidades “no occidentales”. En
Australia se le ha dado gran énfasis a los problemas de la formación del profesorado y a
la aplicación de metodologías cualitativas de investigación, en especial, la
investigación-acción. En Israel se ha dado especial importancia al tema del pensamiento
numérico y, tal vez, es uno de los centros de oriente con mayor fuerza internacional en
la disciplina. En los Países Nórdicos (Suecia, Noruega, Finlandia
y Dinamarca) hay una preocupación común por el estudio de los fenómenos de la
educación matemática desde una perspectiva social amplia donde se toman elementos
de disciplinas como la ciencia política, la antropología y la sociolingüística, entre otras.
En el Reino Unido también hay una tendencia a considerar fenómenos sociales
vinculados con la educación matemática y a mirar muchas de las problemáticas desde la
perspectiva de la reforma educativa y el cambio social. En Francia, tal vez con mayor
fuerza que en las otras partes del mundo, se ha logrado construir una disciplina

3. autónoma con unas características conceptuales y metodológicas que la diferencian de
lo que se hace y cómo se hace en el resto del mundo.
Algunas características fundamentales de la didáctica de las matemática
Para comenzar, esta disciplina en Francia recibe el nombre de Didactique des
Mathématiques
–Didáctica de las Matemáticas. La especificidad de la denominación, por oposición a
otras como educación matemática o matemática educativa que incluyen el término
educación, reside en la especificidad que esta visión otorga a la puesta en juego del
conocimiento matemático en la relación de enseñanza entre el profesor y el estudiante.
La visión de los franceses se ha venido difundiendo por el mundo y en especial ha
tenido gran influencia en la comunidad de investigadores españoles y mexicanos. En
Colombia comienza a tener un cierto impacto ya que se comienzan a difundir en lengua
española algunos de los trabajos más relevantes de los investigadores principales de
Francia (ver Artigue, Douady, Moreno y Gómez, 1995; y próximamente Balacheff,
1997).
Si bien por lo general se escucha referirse a la didáctica de las matemáticas francesa
como a la “Escuela Francesa”, algunos de los investigadores mismos se oponen a que se
considere a las diversas producciones científicas y prácticas como un bloque unificado
de pensamiento.
Empero, sí se puede hablar de una serie de rasgos comunes que comparte la
comunidad tanto de investigadores que producen el conocimiento, como de profesores
que se sirven de él en su ejercicio docente. Estos rasgos comunes son:
La didáctica sistematiza las prácticas de la enseñanza de las matemáticas. Esta
disciplina está asociada con la reacción posterior al fracaso de las Matemáticas
Modernas en los años 60.
Por oposición a una visión de la enseñanza de las matemáticas como una actividad
centrada en la producción de innovaciones de enseñanza no necesariamente sustentadas
ni reflexivas.
La didáctica comienza el establecimiento de conceptos y metodologías tanto para
producir conocimiento acerca de los fenómenos como para dar un carácter metódico a la
acción del profesor en el aula.
Los fenómenos se conciben desde una perspectiva sistémica. Los fenómenos de
enseñanza-aprendizaje de las matemáticas se llevan a cabo dentro de un sistema
didáctico que básicamente se compone de los elementos profesor, estudiante y
conocimiento matemático, y de las relaciones entre estos. La teoría de juegos es otra de
las herramientas que acompaña a la visión sistémica.
La visión del aprendizaje se sustenta en la teoría epistemológica piagetiana. Existe un
consenso más o menos extendido entre los investigadores de la disciplina acerca de la
concepción sobre la naturaleza de los procesos de enseñanza y aprendizaje. Estos se ven
como una interacción entre un sujeto y un medio, que permite al sujeto realizar una serie
de acciones conducentes a la construcción de un conocimiento matemático puesto en

4. juego. Esa interacción es motivada por un agente didáctico que crea una situación de
aprendizaje que es el espacio para la relación del sujeto y el medio.
La construcción conceptual sobre el sistema didáctico es común. Como lo señala
Artigue (1994a, p. 11), hoy en día hay tres aproximaciones conceptuales a los
fenómenos de la didáctica, aproximaciones no excluyentes, sino complementarias. Esas
son:
. La aproximación de G. Vergnaud que se basa en la dimensión cognitiva de los
procesos y que tiene por eje central el concepto de campos conceptuales.
.
La aproximación de Y. Chevallard que ofrece una visión desde el tipo de conocimiento
matemático y los saberes que están en juego en las relaciones de
aprendizaje de las matemáticas. El concepto clave de esta visión es latransposi-
ción didáctica, la transformación que sufre el conocimiento matemático “sabio”
de los matemáticos puros para adquirir una forma de conocimiento matemático
escolar, que es el que efectivamente usan profesores y alumnos en el contexto
de la escuela.
.
La aproximación de G. Brousseau que modela con detalle los elementos que
hacen parte del sistema didáctico, los fenómenos que se suceden en dicho sistema,
los factores internos y externos que lo alimentan y las respuestas del sistema
a tales factores externos. El conceptos central aquí es el de situación
didáctica, una conceptualización particular del sistema didáctico y su funcionamiento.
La ingeniería didáctica es la metodología compartida. La ingeniería didáctica es una
metodología que se utiliza como herramienta tanto del profesor para producir
realizaciones didácticas en clase, como del investigador para producir conocimiento
acerca del sistema didáctico. Por contraste con otras metodologías experimentales
externas, la ingeniería didáctica realiza una validación interna de sus resultados a través
del contraste de una serie de supuestos a priori y lo observado sobre ellos a posteriori.
El seminario Sería pretencioso imaginar que en tiempo limitado del seminario podría
abarcarse por completo, o incluso gran parte de lo que es la didáctica francesa de las
matemáticas. Y no sólo algo similar sería casi imposible por el hecho de la cantidad,
extensión y profundidad de las ideas básicas de esta disciplina, sino sobre todo por la
complejidad que toda esa conceptualización implica. Comprender los conceptos de esta
visión sobre la educación toma tiempo y requiere de un estudio juicioso y de una
práctica reflexiva que trate de iluminarse desde esa perspectiva. Esta comprensión
queda en mano de cada uno de los participantes del seminario.
El objetivo que, de manera más modesta, sí se puede pretender es el de realizar una
presentación de tres de los grupos de conceptos que en mi manera de ver tienen mayor
utilidad en la formación del profesor, dado el carácter práctico que eventualmente
pueden tener en el aula. Estas ideas son:
. La ingeniería didáctica como metodología para tratar de comprender la complejidad
de los fenómenos de aprendizaje de las matemáticas.
. Los conceptos mínimos básicos de la teoría de las situaciones didácticas con el
fin de introducirse en la racionalidad de la didáctica francesa. En especial interesa
abordar conceptos como el sistema didáctico, sujeto, medio, agente didáctico,

5. contrato didáctico, problema, situación didáctica, situación a-didáctica, devolución,
variable didáctica e institucionalización.
. Los conceptos asociados con la dialéctica herramienta-objeto y el juego de cuadros.
A través de la explotación a fondo y análisis detallado de una situación de enseñanza, se
pondrán en juego estos diversos conceptos con el fin de darles una base de significado
que contribuya a que los profesores participantes puedan seguir trabajando en el tema.
El papel de la didáctica en la formación de profesores
Reflexión preliminar
Primer trabajo en grupo
Una de los papeles más destacados de los investigadores franceses en didáctica de las
matemáticas es su contribución a la formación de profesores, tanto en los niveles
iniciales de las licenciaturas, como en la formación permanente de profesionales y en la
formación de postgrado.
Cuando uno se pregunta acerca del papel de la didáctica en la formación de profesores
surge principalmente un interrogante: ¿qué aporta la didáctica como disciplina científica
a un profesor, que no es un investigador y que no pretende producir conocimiento de ese
tipo, sino que más bien es un ejecutor?
Esta pregunta me surge de la idea –que a mi modo de ver es errada– acerca de la
utilidad para la cualificación y desarrollo profesional de que un profesor “aprenda” los
conceptos de la didáctica. Creo que es errada por varias razones: los conceptos no son
útiles por sí mismos sino en la medida en que se construyan dentro de la práctica;
construir esos conceptos y darles significado requiere de procesos muy largos de
trabajo, indagación y reflexión, y tal vez un seminario no es suficiente para lograr ese
proceso.
De aquí que me interese comenzar por tratar de ubicar de forma más realista la
problemática que gira en torno a involucrar a los profesores en la didáctica de las
matemáticas como disciplina científica. Por otro lado, una de las grandes
preocupaciones de diversos investigadores franceses también ha estado en tratar de
comprender esta problemática con miras a proponer estrategias de formación de
profesores mucho más coherentes y eficaces.
Para iniciar la reflexión al respecto, considere las siguientes preguntas:
A.-¿Qué es más importante: la formación matemática o la formación didáctica
del profesor de matemáticas?
B.-¿Cuál es el aporte de la didáctica al profesor de matemáticas?
C.-¿En qué consiste la profesionalización del profesor de matemáticas?
D.-¿Cómo se debería hacer la inmersión de los profesores en la didáctica?
E.-¿Cuáles pueden ser los obstáculos a una formación didáctica de los profesores de
matemáticas?

6. Con algunos de sus compañeros discuta una de estas preguntas. Para dar su respuesta
use como referencia su experiencia de formación y la bibliografía que estudió, en
especial el artículo
“Lugar de la didáctica de las matemáticas en la formación de profesores” de M. Artigue.
Esta respuesta servirá de base para una discusión plenaria posterior.
Asuntos centrales de la problemática
La formación de profesores de matemáticas ha seguido muchos de los debates sugeridos
por las preguntas anteriores1. Vale la pena considerar algunos de ellos.
1. Las siguientes ideas se basan en la presentación de Butlen (1992).
Matemáticas vs. didáctica de las matemáticas
A lo largo de la historia reciente, ha habido diferentes etapas en lo que se privilegia en
la formación de los profesores de matemáticas. Se han dado en Francia en los institutos
de formación inicial de profesores las siguientes:
. Formación centrada en las matemáticas con un leve acompañamiento de técnicas
pedagógicas generales.
. Formación “pedagogista” que si bien sigue enfatizando las matemáticas, presenta
modelos de enseñanza a forma de ejemplos a seguir. Se presentan realizaciones
perfectas que deben tratar de imitarse y se postulan “axiomas” que
debe saber el militante pedagogista.
. Formación metamatemática donde se hace una reflexión acerca de las matemáticas
como medio para fortalecer el conocimiento matemático de los profesores,
pero sobre todo para modificar sus concepciones acerca de ellas.
. Formación didáctica que integra en la práctica docente del profesor las nociones
que ha producido la didáctica como disciplina científica.
Lo que es interesante mirar en cada una de estas etapas son las visiones, más o menos
explícitas de los formadores, acerca de lo que es ser profesor de matemáticas y de lo que
implica formar uno. Los últimos desarrollos muestran que comienza a haber una
consideración de la enseñanza de las matemáticas como una profesión con una
comunidad profesional que la sustenta como práctica social.
Profesionalización de los profesores
¿Qué es lo propio del profesor de matemáticas como representante de una comunidad
profesional? ¿Qué conocimientos y comportamientos lo caracterizan? La posición de
que el profesor es la persona que se ocupa de la labor de enseñar matemáticas a unos
estudiantes en entornos escolares determinados (primaria, secundaria, ciclo básico
universitario
2) se diferencia de aquella que ve al profesor como un matemático. Si bien el profesor
debe conocer las matemáticas, en su ejercicio profesional el no hace las matemáticas
“eruditas” de los matemáticos sino que construye las matemáticas transpuestas del
entorno escolar.
Además no interactúa con problemas matemáticos puros, sino que interactúa con
estudiantes en proceso de aprendizaje. Este hecho hace que los objetos de la profesión
del profesor sean distintos a los objetos de la profesión del matemático.

7. Tal vez el predominio de visiones centradas en las matemáticas para la formación de
profesores influye de manera fuerte en que no sea fácil ubicar en qué consiste la
profesionalización propia del profesor de matemáticas.
El papel de la didáctica en la interacción formador-formados
La didáctica como disciplina científica está presente en la interacción entre la persona o
personas a cargo de la formación y las personas en proceso de formación, de distintas
maneras:
. Es el telón de fondo de la formación general ya que permite una racionalización
de las prácticas de enseñanza generales y las particulariza con relación a
las matemáticas. Provee una relación con la psicología, la epistemología y las
teorías de la comunicación. Ofrece explicaciones generales parciales.
. Para el formador es la referencia epistemológica que permite presentar las
estrategias y herramientas didácticas a las personas en formación.
2. Aquí no me refiero al profesor de estudiantes de matemáticas puras, sino de los otros
estudiantes para quienes las matemáticas son una herramienta en su formación dentro de
otra disciplina).
. Para la persona en formación provee las herramientas para comprender mejor
la complejidad de la clase y, por lo tanto, racionalizar sus decisiones y acciones
en el aula.
. Y para la relación misma de formación suministra una justificación para la formación
y unos objetivos. Además provee los contenidos de la formación.
Esta influencia de la didáctica se podría ilustrar así:
Contexto
Base epistemológica, psicológica y comunicativa general a la enseñanza de las
matemáticas
Formador
Sustento epis-temológico
Formado
Formación
Justificación, objetivos
y contenidos
Racionali-zación de su práctica
Figura Nº 2. Influencia de la didáctica en la formación de profesores
Alternativas de inmersión en la didáctica
Existen también diversas posiciones sobre los contenidos de la didáctica en la formación
del profesor:

8. . La didáctica existe como un objeto al que hay que referirse para hablar de los
fenómenos de la didáctica misma.
. La didáctica proporciona herramientas que hay que presentar, y luego se les
encontrará utilidad.
. La didáctica proporciona herramientas que hay que presentar, pero hay que tratarlas
cuando sea necesario y estudiarlas de forma sistemática.
. La didáctica existe en el campo de la investigación. Sólo vale la pena utilizarla si
hay la seguridad de que va a aportar algo concreto o bien al formador o a la
persona en formación.
¿Cuál es la posición más adecuada para tomar?
Como conclusión parcial
Con todo lo anterior es claro que establecer un contacto entre un profesor en formación
y un profesor formador no es un asunto de transmisión de conocimiento teórico sobre la
didáctica. Es necesario poder ubicar el papel que puede jugar el conocimiento didáctico
en la práctica docente del profesor de matemáticas.
Por toda esta serie de razones, a continuación trataremos de integrar de una manera
crítica en este seminario, una pequeña porción de la dimensión conceptual,
metodológica y práctica de la didáctica de las matemáticas francesas.
Métodos, conceptos y prácticas
Evaluación a priori
Usted tuvo un material bibliográfico que debió preparar para la participación en este
seminario. De las lecturas “Ingeniería didáctica” de M. Artigue, “La ingeniería didáctica
y la evolución de su relación con el conocimiento” de R. Douady ó “Utilidad e interés
de la didáctica para un profesor –parte 1 y 2–” de G. Brousseau, seleccione un concepto
que usted crea haber comprendido y explíquelo en máximo una página.
Preliminares Como se había mencionado anteriormente, en este seminario se abordarán
algunos conceptos centrales de la didáctica de las matemáticas y se tratarán de poner en
juego a través del análisis y construcción de una ingeniería didáctica. Por conveniencia
para la mayoría de los asistentes se tratará un tema de enseñanza de los últimos grados
de secundaria.
El propósito de la ingeniería didáctica
La realización didáctica
La ingeniería didáctica guarda dos propósitos esenciales:
. brindar una herramienta de trabajo a los profesores para la elaboración de realizaciones
didácticas sustentadas y reflexivas –en oposición a una práctica
docente que innova de manera compulsiva–;
.

9. ofrecer una metodología de investigación para la producción de conocimiento
acerca del sistema didáctico a través de la formulación, aplicación y evaluación
del efecto de realizaciones didácticas en el sistema didáctico.
Por los motivos discutidos en al sección anterior interesa considerar con mayor detalle
el primer propósito.
Como herramienta para el profesor, la ingeniería didáctica ofrece la posibilidad de
diseñar, aplicar y evaluar realizaciones didácticas. Este proceso metódico sin duda se
diferencia de la práctica desprevenida del profesor porque exige:
. desarrollar una consciencia de la complejidad de la enseñanza, del aprendizaje
y del conocimiento matemático que se pone en juego en la clase;
. tratar de generar una comprensión profunda de las características del comportamiento
del profesor, de los estudiantes y de la tarea matemática que genera
la interacción entre los dos;
. tratar de tener un control que permita posteriormente evaluar los procesos de
aprendizaje, con herramientas más profundas que el típico “sí entendí” de los
estudiantes.
En este sentido, la ingeniería didáctica ofrece la oportunidad de intervenir en un sistema
didáctico a través de una realización didáctica –una secuencia de enseñanza planificada
y diseñada por el profesor con base en una reflexión anterior.
III
I
Análisis preliminares
II
Análisis a priori y concepción
Realización didáctica
Sistema didáctico
PP EE
CMCM
II
Análisis a posteriori y evaluación
Experimención
Figura Nº 3. El proceso de la ingeniería didáctica
Un ejemplo de realización didáctica
Con el propósito de comenzar a trabajar la secuencia de la ingeniería didáctica y los
conceptos propios del sistema didáctico, consideremos el siguiente problema que un
profeso rpropuso a sus estudiantes. Busque un compañero para resolver el problema.
Desigualdad lineal
A continuación se presenta un proceso de solución de la desigualdad 5 (3–2x)³ 10 :
A.-5 (3–2x)³ 10
æ 1öæ 1ö

10. B.--
---× 5 (3–2x)³ 10 × -
---
è 5øè 5ø
C.-3–2x ³ 2
D.-3–2x (–3)³ 2 (–3)
E.-–2x ³ –1
æ 1öæ 1ö
F.-è –-
---×(–2x) £è –-
---×(–1)
øø
22
1
G.-x £ –-
---
2
Con base en este proceso:
. Represente gráficamente las situaciones de los pasos A, C, E y G.
.A partir de lo hecho en el punto anterior, explique el enunciado: “la propiedad
de orden en la adición y la propiedad de orden en la multiplicación mantienen
la desigualdad”.
. Explique el concepto de desigualdad y de desigualdades equivalentes.
Los pasos de la ingeniería didáctica en detalle
A continuación vamos a tratar de reconstruir el proceso de la ingeniería didáctica que
subyace a este problema. El trabajo consiste en, con base en la experiencia de haber
resuelto el problema, discutir los diversos aspectos que el profesor tuvo que considerar
para diseñar esta pequeña realización didáctica.
Una base anterior
Como ya se mencionó, algo que es común en los realizadores de ingenierías es la base
epistemológica de la que parten y en la que sustentan todo su trabajo. La visión
constructivista del aprendizaje, y lo que ella implica en la enseñanza, predomina. Como
bases se podría hablar de la visión de las matemáticas (¿qué son?), del aprendizaje
(¿cómo se aprende?) y de la enseñanza (¿cómo se enseña?). A manera de ejemplo sobre
esta serie de sustentos ver Douady (1995, pp. 63-65).

11. Análisis preliminares
Artigue (1995b, pp. 38-42) sugiere una serie de puntos que podrían considerarse dentro
de un análisis preliminar. Básicamente resalta la consideración de:
. el saber matemático en juego,
. las características de la cognición de los estudiantes con respecto a ese saber
matemático,
. las características de la enseñanza en relación con la influencia que la manera
usual de hacerla tiene en la comprensión del estudiante de ese tema.
Para dar cuenta de ello, se podrían formular las siguientes preguntas:
. ¿Cuál es el objetivo de la realización?
. ¿Cuáles son las características de los conocimientos, desde el punto de vista
matemático, de los objetos involucrados en la realización?
. En qué consiste el problema que se observa comúnmente en el desempeño de
los estudiantes frente al tema matemático de la realización? ¿Cuáles son los errores que
se observan en los estudiantes?
. ¿Cuáles son las razones, asociadas con la manera de enseñanza tradicional, de
que se cometan esos errores?
Elementos conceptuales 1
La transposición didáctica
La comunidad de los matemáticos, como producto de su actividad, ha constituido un
cuerpo de saberes que se caracteriza por sus formulaciones, en esencia axiomáticas. Sin
embargo, la presentación de esos saberes en el salón de clase deja a un lado gran parte
de su proceso de construcción y de sus características. El conocimiento matemático de
la clase no es el mismo que el saber de los matemáticos. El segundo es el resultado de
una transformación que se sucede sobre el primero, y que se llama transposición
didáctica. Según Brousseau (1986, pp. 36), esta se refiere a la operación que
“para volverlas más fáciles, aisla algunas nociones y sus propiedades del tejido de
actividades donde se han originado, tomado significado, encontrado motivación y tenido
un uso”.
Elementos conceptuales 1
El trabajo del matemático, del estudiante y del profesor frente a la transposición
didáctica
El matemático. El matemático produce conocimientos que depura, descontextualiza,
despersonaliza y destemporaliza lo más posible. Una vez en ese estado, comunica los
resultados de su investigación. Quien recibe la comunicación debe comprender dichos
resultados de manera que él mismo pueda reconstruir el camino de creación y pueda
comprenderlos para utilizarlos. Esos receptores entonces, transforman los resultados, los
reformulan, aplican y generalizan
según sus necesidades. Y muchas veces los destruyen por encontrarlos inútiles o
insuficientes, o porque los
incorporan a otros más amplios o porque simplemente los olvidan. Así que dentro del
grupo científico de matemáticos mismos se inicia la transposición.
El estudiante. La actividad del estudiante es comparable con la del matemático en tanto
saber matemáticas implica conocer las definiciones, teoremas y reglas para aplicarlos en

12. la solución de problemas. Esto requiere que el estudiante actúe, formule, pruebe,
construya modelos, lenguajes, teorías y que las intercambie con otros que hacen parte de
su cultura.
El profesor. El profesor, entonces, debe proponer a los estudiantes situaciones en las que
los conocimientos aparezcan como una forma de solucionar problemas. Por esto, el
trabajo del profesor es contrario al del matemático. El profesor debe recontextualizar y
repersonalizar los conocimientos para que ellos puedan tener sentido para el estudiante.
Así que el profesor debe simular una micro-sociedad científica para que los
conocimientos tengan un espacio de surgimiento.
Pero como interesa que los estudiantes se acerquen al saber matemático, entonces ellos
deben redescontextualizar y redespersonalizar el conocimiento que han podido adquirir.
Situación a-didáctica, didáctica y contrato didáctico
La enseñanza y el aprendizaje se realizan por medio de la interacción entre profesor y
estudiante; y el conocimiento se presenta en el juego de proposición de un problema y
de formulación de una solución al mismo. Una situación didáctica es aquella interaccion
que se da entre el profesor y el estudiante por motivo de la actividad de la resolución
de un problema. Y una situación a-didáctica es aquella situación donde no hay la
intencionalidad directa de enseñar, sino de donde el estudiante se enfrenta a un
problema para que se generen procesos cognitivos.
El contrato didáctico es la regla del juego y la estrategia de la situación didáctica. Es el
medio que posee el profesor para poner en escena esa situación. El conocimiento se
expresa en la ejecución de dichas reglas y estrategias. El contrato didáctico, que difiere
del contrato pedagógico general acerca del funcionamiento de la clase, establece cómo
es el funcionamiento del conocimiento matemático en la clase. Establece lo que el
estudiante debe saber y poder hacer en la resolución de un problema. El contrato es algo
que existe de hecho y que se va construyendo en la interacción del salón de clase. Como
hecho propio de la interacción, su modificación no depende de la voluntad expresa del
profesor para cambiarlo o modificarlo.
El contrato didáctico es una herramienta conceptual para investigar la relación en las
situaciones didácticas, pero no es como tal un objeto fácilmente observable ni
distinguible.
Formula problemas
Produce soluciones
Enseñanza
Aprendizaje
P
PP
E
EE
Situación didáctica
PROBLEMAAbordaje
Situación a-didáctica
Análisis a priori
Básicamente en la etapa del análisis a priori suceden cuatro cosas:
. se determinan las variables macro-didácticas y micro-didácticas,
. se determinan las selecciones para la formulación de la realización en cuanto al

13. contenido,
. se formula la realización en sí,
. se hace una previsión de la manera como el estudiante abordaría la realización.
Para llegar a tener esta visión nos podríamos preguntar cosas similares a las que
propone Artigue (1995b, p. 46).
Elementos conceptuales 2
El contrato didáctico y la devolución
El hecho de que el estudiante acepte y juegue bajo las reglas de juego y estrategias
introducidas por el profesor a través de los problemas que propone al estudiante
depende, de manera directa, de que el profesor acepte la responsabilidad
sobre los resultados y asegure los medios indispensables para que el estudiante realice
una adquisición efectiva de los conocimientos. Y esto a su vez implica que el estudiante
acepte la responsabilidad del problema que tiene para resolver. En esta relación,
entonces, se produce la devolución. La devolución denomina a la serie de acciones que
el profesor realiza para traspasar al alumno la responsabilidad de aprender, es decir, de
asumir las reglas del juego, tomar decisiones, hacer anticipaciones y verificar sus
conclusiones. Hay entonces tres momentos de devolución:
Devolución de la regla de juego. El profesor se debe asegurar que el enunciado del
problema pueda ser entendido por los estudiantes, es decir, que los conocimientos del
alumno sean suficientes para interpretar las condiciones e informaciones de la situación.
La situación debe apoyarse en modelos que tengan significado para el estudiante.
Devolución del problema. El profesor debe plantear un verdadero problema, es decir,
una situación que el alumno no pueda resolver sólo con los conocimientos que posee.
De lo contrario habría propuesto un ejercicio de aplicación o de consolidación de
conocimientos.
Devolución de la decisión. El profesor debe asegurarse de que el alumno pueda elegir
entre diversas posibilidades y ser capaz de considerar que existe una relación causa-
efecto entre las decisiones que toma y los resultados que obtiene. El estudiante debe
hacerse responsable de las decisiones que toma.
El sistema didáctico
Las relaciones de las que se ha hablado se dan en el sistema didáctico. Este básicamente
se compone de:
un agente didáctico (humano –profesor– o artificial –un computador)
s un sujeto (el estudiante en su dimensión cognitiva)
s un medio (el espacio a través del cual se ponen en marcha los procesos cognitivos del
sujeto)
AD
ADAD
Prof
devolución de una situación a-didáctica institucionalización en situación didáctica
acción
S
SS
M
MM
retro-acción
tiempo didáctico
objeto de enseñanza
saberes de referencia

14. estructura social de la clase
saberes iniciales de los estudiantes
Elementos conceptuales 2
... continuación...
Entre estos tres se suceden una serie de relaciones. En primer lugar, el agente didáctico
hace una devolución al sujeto para colocarlo en una situación a-didáctica. La intención
de esta relación es producir un desequilibrio en el subsistema sujeto-medio, de tal forma
que el sujeto pueda re-equilibrarlo. El sujeto interactúa con su medio a través de la
realización de acciones cognitivas. El resultado de la acción del sujeto y de la retro-
acción del medio es el conocimiento, una vez se ha desequilibrado y vuelto a equilibrar
el sistema. La interacción entre sujeto y medio tiene una serie de restricciones que
impone la estructura social de la clase, los saberes iniciales de los estudiantes, el tiempo
de desarrollo didáctico, el objeto de enseñanza mismo y los saberes de referencia. En
tercer lugar, el subsistema sujeto-medio produce una respuesta frente a la situación a-
didáctica a la que se enfrentó. Esa respuesta es retomada por el profesor quien, en una
situación didáctica cuya intención es reafirmar al sujeto si los conocimientos que
produjo en su interacción con el medio son aceptables, institucionaliza los
conocimientos en juego dentro del sistema (Brousseau, 1986; Balacheff, 1995).
Variables didácticas
Una variable didáctica es un parámetro que impone una restricción al conocimiento
matemático puesto en juego dentro de un problema. A este parámetro se le da un valor
determinado en el problema con base en la estimación que el profesor hace de las
consecuencias eventuales de éste en el proceso de aprendizaje del estudiante. Podría
haber variables didácticas de diversos tipos (Douady et Robert, 1991):
s El lugar de un problema dentro del proceso de aprendizaje: hay que tener en cuenta,
con relación al contrato didáctico, el lugar dentro de la secuencia de enseñanza-
aprendizaje donde se presenta un ejercicio o un problema. Se trata entonces de saber
escoger lo apropiado en el momento apropiado
s El carácter abierto o cerrado de un problema: entre más se cierre un problema, más los
estudiantes corren el riesgo de “hacer cualquier cosa”. Pero si se abre el problema, su
actividad puede ser más propicia a un aprendizaje porque se da la posibilidad de
explorar y actuar.
s La selección de los parámetros matemáticos: en un conocimiento matemático existen
parámetros que el profesor debe manejar ya que la variación en esos puede implicar
actividades cognitivas diferentes para los estudiantes.
Ejemplo . A continuación se presenta una realización que pretende introducir la noción
de la escritura multiplicativa de un número entero natural para dar sentido a dicha
escritura y reforzar la noción de número natural. La actividad consiste en generar una
situación comunicativa entre los alumnos. Se divide la clase en cuatro grupos de 4
personas, dos de los cuales actuarán como emisores de un mensaje y dos como
receptores. El grupo emisor posee una rejilla rectangular, dibujada en un papel, cuyas
dimensiones pueden ser 7 y 12 ó 9 y 14. El grupo receptor posee una serie de
rejillas, entre las cuales se encuentra la que tiene el grupo emisor. El enunciado de la
actividad es el siguiente:
El grupo emisor debe enviar un mensaje al grupo receptor que le permita encontrar de la
manera más rápida y fácil posible la rejilla correspondiente. Este mensaje debe ser corto
y debe designar el número de celdas de la rejilla.
Las variables de la situación son las siguientes:

15. Variables numéricas. es necesario prever una rejilla que haga intervenir números
grandes (a>6 y b³ 11) para que los estudiantes se encuentren en una situación en que:
s las técnicas primitivas de conteo (uno a uno o por paquetes) sea difícil, s la escritura a
x b se haga cómoda por ser más rápida y económica para describir espacialmente el
número de elementos de la colección,
s la percepción global para encontrar el número de celdas sea difícil.
Experimentación
En la etapa de experimentación de la ingeniería didáctica se pone a prueba con los
estudiantes la realización didáctica diseñada por el profesor-ingeniero. Esta
experimentación consiste no sólo en que el profesor ejecute en su clase la secuencias,
sino en que también logre realizar algún tipo de observación acerca de lo que sucede
con los estudiantes cuando se enfrentan al problema. Con la experimentación interesa
recoger, en la medida de lo posible, información que sirva posteriormente para evaluar
la pertinencia y utilidad de la realización en relación con el aprendizaje de los
estudiantes. Por esto, el profesor debería tratar de pensar en cómo podría recolectar un
mínimo de información. La manera que se privilegia para esto es la observación del
funcionamiento del sistema didáctico.
Esto se refiere a poder observar:
. La actuación del profesor: cómo estableció y manejó el contrato didáctico,
cómo realizó la devolución del problema, cómo hizo la institucionalización.
. La actuación del estudiante: cómo se involucró en el juego didáctico, cómo
reaccionó frente a las variables didácticas, cómo manejó la dialéctica herramienta-
objeto y el juego de cuadros.
. El funcionamiento del problema mismo: cómo su formulación permitió (o no)
la devolución, en realidad sí era un problema o no.
El profesor podría observar estos asuntos a través de video-grabaciones, audio-
grabaciones, observación directa del trabajo de los estudiantes, observación de un
colega externo a la clase, entrevistas con los estudiantes, etc.
Análisis a posteriori y evaluación
Con base en la información obtenida en la etapa anterior, el profesor puede contrastar lo
que sucedió en la aplicación de la realización didáctica con las previsiones que había
realizado en el análisis a priori. Por medio de este contraste puede determinar:
. si la comprensión que tenía del funcionamiento del sistema didáctico era adecuada
y ajustada a la realidad,
. si la realización que diseñó efectivamente permitió que el estudiante se involucrara
en un juego de producción de conocimiento,
. si el conocimiento alcanzado por sus estudiantes es apropiado o si necesita seguir
generando más realizaciones para generar muchos más desequilibrios y re-
equilibraciones en las estructuras cognitivas de los estudiantes de tal manera que
alcancen un conocimiento adecuado. La utilidad más práctica de esta etapa para el
profesor radica en la posibilidad de evaluar críticamente su trabajo y poder reformularlo
para que se adecúe a las necesidades de aprendizaje de los estudiantes.

16. Elementos conceptuales 3
Dialéctica herramienta-objeto y juego de cuadros
Estos conceptos han sido desarrollados por Douady (1986). Surgieron de la observación
de la labor de creación de saberes que hace del matemático y de la aplicación de las
características de dicha labor a lo que sucede con el conocimiento en los procesos de
enseñanza y aprendizaje.
La dialéctica herramienta-objeto hace referencia al movimiento continuo que existe en
los objetos matemáticos dentro de los procesos de producción del conocimiento. El
matemático se enfrenta a problemas, se hace preguntas, hace conjeturas sobre él y
formula soluciones. En esta serie de acciones el investigador involucra sus
conocimientos matemáticos, muchos de los cuales están institucionalizados y son
compartidos y reconocidos por la comunidad de matemáticos.
El matemático, entonces moviliza objetos en la solución del problema. A algunos de
ellos les confiere el estatus de herramienta cuando se les utiliza con un propósito
específico en la solución de un problema y cuando dependen de la aplicación personal
que les da el matemático en la resolución de su problema. Todo el proceso, que puede
durar años, también implica que se trate de abordar el problema desde diferentes puntos
de vista y a que se tienda a establecer relaciones con problemas diferentes ubicados en
dominios diferentes. Así que los matemáticos tienden un tejido de relaciones entre
diferentes conceptos de un mismo cuadro o entre conceptos de cuadros distintos. Ese
cambio de cuadros conduce a nuevas formulaciones de los conocimientos anteriores. De
esta manera los matemáticos crean nociones y métodos que responden a sus necesidades
del momento.
Ejemplo: los números complejos. Estos números nacieron dentro del contexto de la
resolución de ecuaciones polinómicas de tercer grado, en una época en que sólo se
conocían los números negativos y positivos. El problema que se presentó fue el
siguiente: ¿cómo explicar que, para resolver una ecuación con coeficientes reales que
tengan tres raices reales, uno tenga que calcular raices cuadradas de números negativos?
¿Qué significado dar a estas raices que no pueden ser números ya que el cuadrado de un
número positivo o negativo es positivo? Durante un tiempo, los algoritmos de cálculo
sobre estas raices cuya legitimidad dependía de la validez de los resultados permitieron
manejar tales ecuaciones. esto sucedió en el siglo XVI. Tocó esperar hasta finales del
siglo XVIII e incluso hasta inicios del XIX con los trabajos de Gauss y, más tarde, de
Cauchy para que los números complejos se construyeran matemáticamente y
adquirieran un estatus de objeto (Douady, 1987).
En este ejemplo es claro que para la construcción de un nuevo objeto, se partió de
objetos anteriores que se movilizaron en el contexto de un problema y actuaron ahí
como herramientas. Posteriormente se realizó un proceso de formulación y
descontextualización de la herramienta con respecto al problema hasta que se alcanzó
un nivel de formulación adecuada para la comunidad de matemáticos. El resultado
entonces el la creación de un nuevo objeto. Para la comunidad de matemáticos, en esto
consiste la dialéctica objeto-herramienta-objeto.
Entonces un objeto es un concepto cultural que tiene su lugar en el edificio de los
saberes matemáticos, en un momento dado, y cuya existencia es reconocida por la
comunidad de matemáticos. Tiene una definición matemática y es independiente de sus
usos. Una herramienta es un objeto que se pone en uso dentro del contexto de un
problema, depende de las formulaciones de quien la utilice y del momento en que se
utilice. Una herramienta puede ser implícita si corresponde a un concepto en curso de
elaboración que se manifiesta por medio de afirmaciones no justificadas o de

17. acciones basadas en convicciones más que en conocimientos precisos. Este es el caso de
el estado de los números complejos en el siglo XVI. Pero una herramienta también
puede ser explícita si corresponde a la puesta en uso intencional de un objeto en la
resolución de un problema.
Este concepto de dialéctica es importante en la didáctica de las matemáticas porque
permite:
s caracterizar el uso de que las nociones y métodos matemáticos hacen los estudiantes;
s diseñar problemas en los que el estudiante parta de objetos que ya ha construido, para
construir nuevos objetos a través de utilizar los anteriores como herramientas;
s determinar el estado del conocimiento matemático de un estudiantes para hacerlo
evolucionar.
Elementos conceptuales 3
...continuación...
Por otro lado, la labor del matemático también implica abordar la solución de problemas
desde diversos puntos de vista. Esto permite que se pueda transportar un problema de
una rama de las matemáticas a otra, con el fin de comprender mejor en qué consiste el
problema y darle una solución. Así, por ejemplo, las raices cuadradas de números
negativos que no podían tener significado en el cuadro numérico, tuvieron el derecho a
existir cuando se les transfirió al cuadro geométrico – con el plano de Argand y de
Gauss.
Un cuadro se refiere al conjunto de:
s objetos de una de las ramas de las matemáticas,relaciones entre esos objetos,
s formulaciones diversas de los objetos y relaciones
s imágenes mentales asociadas con los objetos y representaciones
El juego de cuadros es el medio para obtener formulaciones diferentes de un problema
que, sin ser completamente equivalentes, permiten un nuevo acceso a las dificultades
encontradas en la puesta en obra de las herramientas y técnicas que requería la primera
formulación. La utilidad de este juego consiste en poder dar pasos que organicen planes
de resolución y demostración. Las traducciones de un cuadro a otro conducen a
resultados desconocidos, técnicas nuevas, creación de objetos matemáticos nuevos, en
resumen, al enriquecimiento del cuadro de origen y de los cuadros auxiliares
de trabajo.
Las imágenes mentales tienen un papel en este juego ya que un cuadro y el juego entre
varios está muy asociado a la persona que los utiliza. De ahí que se puedan discriminar
cuatro dimensiones de un cuadro:
s La dimensión temporal: hay una dinámica al interior de las matemáticas mismas que
hace que con el tiempo los conceptos y sus relaciones vayan cambiando.
s La dimensión matemática: hace que un cuadro esté constituido por los objetos de un
mismo dominio de las matemáticas, pero con distintos grados de complejidad,relaciones
y formulaciones, en los que interviene códigos simbólicos variados.
s La dimensión socio-cultural: considera la intervención del contexto socio-cultural
donde se comunican entre personas los cuadros y su utilización. Así que un cuadro
depende de cómo sea la concepción que de él van armando las personas miembros de un
grupo, como por ejemplo de una clase.
s La dimensión individual: involucra las particularidades que las experiencias vividas
por una persona puedan aportar a su visión de un cuadro.

18. Reflexiones finales
Evaluación a
Una vez realizada esta breve inmersión por la didáctica francesa de las matemáticas,
podemos tratar de hacer una evaluación a posteriori del conocimiento didáctico que se
ha puesto en juego en el seminario. Para esto, retome el concepto sobre el cual usted
elaboró un discurso al inicio del seminario. Y nuevamente escriba lo que usted ahora
comprende sobre ese concepto. Recuerde: no utilice más de una página.
Valoración de la evaluación
Ahora, reúnase con un compañero y realice el siguiente trabajo. Cada pareja debe
comparar las evaluaciones que cada uno de los dos integrantes realizó. Es decir, en
pareja evaluarán la primera página y la segunda que escribieron. Lean cuidadosamente
el primer papel de uno de los participantes y el segundo, y traten de establecer:
. ¿Hubo mayor en la precisión del concepto presentado?
. ¿Hubo mayor claridad en la construcción de la explicación sobre el concepto?
. Describan brevemente en qué consistió la mejoría en los dos puntos anteriores.
Sigan el mismo proceso para los dos papeles del otro compañero.
Una esperanza
Más que esperar una comprensión al dedillo de las diferentes nociones del seminario, sí
esperaría que después del trabajo que se ha realizado queden claros al menos los
siguientes puntos:
. La didáctica tiene un papel en la formación profesional del profesor de matemáticas.
Es importante no como un conocimiento más que se posee, sino como
una herramienta que permite comprender la complejidad de los objetos de la profesión.
. Por esta razón, la didáctica de las matemáticas se constituye en una herramienta
para el ejercicio de una práctica consciente, reflexiva y dispuesta a la
transformación en pro del aprendizaje de las matemáticas.
. La visión y los conceptos construidos por los investigadores franceses no son
fáciles de comprender. Su comprensión requiere de un estudio teórico y de una
esfuerzo por llevar dicha teoría a la práctica. “Aprender” la didáctica es tan
difícil como puede ser aprender matemáticas para un estudiante.
. La didáctica de las matemáticas desde la perspectiva francesa, en oposición a
otras formas de ver los fenómenos de la educación matemática resaltan el
papel de las matemáticas y las tienen como eje central. Por esto, no hace una
invitación a mejorar los conocimientos pedagógicos generales del profesor,
sino que establece casi el deber de que el profesor profundice en su conocimiento
matemático en conexión estrecha con la problemática de la construcción
de los conocimientos en la escuela.
Referencias bibliográficas y literatura recomendada
Artigue, M. (1995a). El lugar de la didáctica en la formación de profesores. En P.
Gómez

19. (Ed.) (1995). Ingeniería didáctica en educación matemática. Un esquema para la
investigación y la innovación en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas.
México: una empresa
docente - GEI, pp. 7-24.
Artigue, M. (1995b). Ingeniería didáctica. En P. Gómez (Ed.) (1995). Ingeniería
didáctica en educación matemática. Un esquema para la investigación y la innovación
en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. México: una empresa docente -
GEI, pp. 33-60.
Balacheff, N. (1995). Conception, propriété du système sujet/milieu. Grenoble:
Laboratoire
Leibniz (diserttación no publicada).
Brousseau, G. (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques. En
Recherches en didactique des mathématiques, 7(2), pp. 33-115.
Brousseau, G. (1989a). Utilidad e interés de la didáctica para un profesor. Parte 1. En
Revista SUMA, 4, pp. 5-12.
Brousseau, G. (1990). Utilidad e interés de la didáctica para un profesor. Parte 2. En
Revista SUMA, 5, pp. 5-12.
Butlen, D. (1992). Quelle didactique des mathématiques en formation des maîtres:
quelques questions posées par des expériences d’enseignement en formation initiales et
continue d’instituteurs, de professeurs de collèges et des lycées. Paris: IREM -
Université Paris VII.
Douady, R. (1986). Jeux des cadres et dialectique outil-objet. En Recherches en
didactique des mathématiques, 7(2), pp. 5-31.
Douady, R. (1988). Des apports de la didactique des mathématiques à l’enseignement.
En Repères, 6.
Douady, R. (1995). La ingeniería didáctica y la evolución de su relación con el
conocimiento. En P. Gómez (Ed.) (1995). Ingeniería didáctica en educación
matemática. Un esquema para la investigación y la innovación en la enseñanza y el
aprendizaje de las matemáticas.
México: una empresa docente - GEI, pp. 61-96.
Douady, R. et Robert, A. (1991). Exemples de differents strategies de formation. Paris:
IREM -
Université Paris VII.
Gómez, P. (Ed.) (1995). Ingeniería didáctica en educación matemática. Un esquema
para la investigación y la innovación en la enseñanza y el aprendizaje de las
matemáticas. México: una empresa docente - GEI.
Kilpatrick, J. (1992). A history of research in mathematics education. En Grows, D.
(Ed.).

20. Handbook of research on mathematics education teaching and learning. New York:
Macmillan, pp. 3-38.