Exercícios de Números Complexos com
Gabarito
1) (UNIFESP-2007) Quatro números complexos
representam, no plano complexo, vé...
a) Re(z)  0, Im(z)  0 e |z|  1.
b) Re(z)  0, Im(z)  0 e |z|  1.
c) Re(z)  0 e |z|  1.
d) Im(z)  0 e |z|  1.
e) R...
16) (Unifesp-2004) Considere, no plano complexo,
conforme a figura, o triângulo de vértices z1 = 2, z2 = 5 e z3
= 6 + 2i.
...
25) (Unirio-1998) Sejam z1 e z2 números complexos
representados pelos seus afixos na figura acima. Então, o
produto de z1 ...
b)
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c)
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d)
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e) 4
35) (FGV-2004) a) Determine, no plano de Argand-Gauss, o
lugar geométrico dos números compl...
c) 3
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41) (UEL-2002) Na figura abaixo, o ponto P representa um
número complexo z no plano de Argand-Gaus...
d) VVF
e) VFV
f) FVV
50) (FMTM-2005) Sendo p e q números reais tais que 2
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d) 2
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b) 2 + 2i
c) 1 + 2i
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[|z|(cos+ isen)]k
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2
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3
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1
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d) iz
2
1
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2
 ou z = -i.
e) iz
2
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2
1
 ou z = -i.
101) (...
p(x) = x6
- 1 é:
a) 2
33
b) 3
32
c) 2
23
d) 3
22
e) 4
33
107) (Fuvest-2001) No plano complexo, cada ponto
representa um nú...
Gabarito
1) Alternativa: B
2) Alternativa: D
3) Alternativa: E
4) Resposta: 3cm
5) -2i e -2
6) Alternativa: B
7) Alternati...
38) a) existem duas opções para (x - a)2
+ y2
= r2
: o ponto
de coordenadas (a; 0) se r = 0 ou a circunferência de centro
...
OBS: Note que S1 é uma circunferência de raio 2 centrada
na origem (complexos com módulo 2) e S2 são os eixos
coordenados ...
98) a) z1.z2 = (cos1+isen1) (cos2+isen2) = cos1.cos2 +
isen1.cos2 + isen2.cos1 -sen1.sen2 = cos(1+2) +
isen(...
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  1. 1. Exercícios de Números Complexos com Gabarito 1) (UNIFESP-2007) Quatro números complexos representam, no plano complexo, vértices de um paralelogramo. Três dos números são z1 = –3 –3i, z2 = 1 e z3 = –1 + ( 2 5 )i. O quarto número tem as partes real e imaginária positivas. Esse número é a) 2 + 3i. b) 3 + (11/2)i. c) 3 + 5i. d) 2 + (11/2)i. e) 4 + 5i. 2) (Mack-2008) Sendo i2 = -1, o número complexo 2 1 itgx , com x não nulo e - 2  < x < 2  , tem módulo igual a a) 2 1 cotgx b) 2 1 secx c) 2 1 gxcot d) 2 1 xsec e) 2 1 xsec 3) (UFC-2007) Ao dividir 1-i 3 por –1 + i, obtém-se um complexo de argumento igual a: a) /4 b) 5/12 c) 7/12 d) 3/4 e) 11/12 4) (VUNESP-2007) Considere os números complexos w = 4 + 2i e z = 3a + 4ai, onde a é um número real positivo e i indica a unidade imaginária. Se, em centímetros, a altura de um triângulo é |z| e a base é a parte real de z w, determine a de modo que a área do triângulo seja 90 cm2 . 5) (FUVEST-2006) Determine os números complexos z que satisfazem, simultaneamente, |z| = 2 e Im         i iz 1 = 2 1 Lembretes: i2 = -1; se w = a + bi, com a e b reais, então |w| = 22 ba  e Im (w) = b. 6) (UNIFESP-2006) Os números complexos z1, z2 = 2i e z3 =a 3 +ai, onde a é um número real positivo, representam no plano complexo vértices de um triângulo eqüilátero. Dado que |z2 - z1| = 2, o valor de a é: a) 2 b) 1 c) 3 d) 2 3 e) 2 1 7) (Mack-2006) Se z = x + yi (i2 = -1) é tal que |z + i | = |z + 2|, então os pontos de coordenadas (x; y), x e y reais, percorrem a) uma hipérbole. b) uma circunferência. c) uma elipse. d) uma reta. e) uma parábola. 8) (PUC-SP-2006) Sabe-se que o polinômio f = x4 + 3x3 - 3x2 - 11x - 6 admite a raiz -1 com multiplicidade 2 e que outra de suas raízes é igual ao módulo de um número complexo z cuja parte imaginária é igual a -1. A forma trigonométrica de z pode ser igual a a) 2.(cos 6 11 + i.sen 6 11 ) b) 2.(cos 6 5 + i.sen 6 5 ) c) 2.(cos 3 5 + i.sen 3 5 ) d) 2.(cos 3 4 + i.sen 3 4 ) e) 2.(cos 4 7 + i.sen 4 7 ) 9) (Vunesp-2006) A figura representa, no plano complexo, um semicírculo de centro na origem e raio 1. Indique por Re(z), Im(z) e |z| a parte real, a parte imaginária e o módulo de um número complexo z = x + yi, respectivamente, onde i indica a unidade imaginária. A única alternativa que contém as condições que descrevem totalmente o subconjunto do plano que representa a região sombreada, incluindo sua fronteira, é
  2. 2. a) Re(z)  0, Im(z)  0 e |z|  1. b) Re(z)  0, Im(z)  0 e |z|  1. c) Re(z)  0 e |z|  1. d) Im(z)  0 e |z|  1. e) Re(z)  0 e |z|  1. 10) (UFRJ-2005) Um jantar secreto é marcado para a hora em que as extremidades dos ponteiros do relógio forem representadas pelos números complexos z e w a seguir: z =                      2 isen 2 cos , w = z2 , sendo  um número real fixo, 0 < < 1 . Determine a hora do jantar. 11) (IBMEC-2005) Considere a equação x2 - 2cos()x + 1 = 0, com 0    . a) Determine os valores de  para os quais esta equação admite raízes reais. b) Resolvendo em C a equação dada, determine, em função de , suas raízes e represente-as no plano Argand-Gauss abaixo. 12) (UERJ-2005) João desenhou um mapa do quintal de sua casa, onde enterrou um cofre. Para isso, usou um sistema de coordenadas retangulares, colocando a origem O na base de uma mangueira, e os eixos OX e OY com sentidos oeste- leste e sul-norte, respectivamente. Cada ponto (x, y), nesse sistema, é a representação de um número complexo z = x + iy , x IR, y IR e i2 = 1. Para indicar a posição (x1, y1) e a distância d do cofre à origem, João escreveu a seguinte observação no canto do mapa: x1 + iy1 = (1+i)9 Calcule: a) as coordenadas (x1, y1); b) o valor de d. 13) (Vunesp-2005) Considere os números complexos z = 2 - i e w = -3 -i, sendo i a unidade imaginária. a) Determine z w e |w - z |. b) Represente z e w no plano complexo (Argand-Gauss) e determine b IR, b  0, de modo que os números complexos z, w e t = bi sejam vértices de um triângulo, no plano complexo, cuja área é 20. 14) (Vunesp-2005) Seja o número complexo z = 10 + 10i, no qual i = 1 A forma trigonométrica que representa este número é a) 10          2 isen 2 cos b) 10          4 isen 4 cos c) 10 10          6 isen 6 cos d) 10 2          2 isen 2 cos e) 10 2          4 isen 4 cos 15) (Mack-2004) As representações gráficas dos complexos 1 + i , (1 + i)2 , -1 e (1 - i)2 , com i2 = -1, são vértices de um polígono de área: a) 2 b) 1 c) 2 3 d) 3 e) 4
  3. 3. 16) (Unifesp-2004) Considere, no plano complexo, conforme a figura, o triângulo de vértices z1 = 2, z2 = 5 e z3 = 6 + 2i. A área do triângulo de vértices w1 = iz1, w2 = iz2 e w3 = 2iz3 é: a) 8 b) 6 c) 4 d) 3 e) 2 17) (Unicamp-1988) Identifique o lugar geométrico dos pontos z = x + iy do plano complexo tais que Re( z 1 ) = 4 1 . Determine a equação cartesiana e faça o gráfico desse lugar. 18) (Fuvest-1978) O número complexo z0 e seu inverso z 1 têm o mesmo módulo. Conclui-se que: a) z e z 1 são conjugados b) z + z 1 = i c) este módulo é 2 d) z e z 1 são reais e) z2 = 1 19) (Fuvest-1984) Os números complexos z e w têm 12 5 e 3  como argumentos, respectivamente. Ache u e v reais tais que zw = u + iv, sabendo que | zw | = 10. 20) (FGV-1991) Dentre todos os números complexos, z = atisfazem a inequação |z - 21) (Mack-2005) Dados os complexos z e w, tais que 2z + w = 2 e z + w = i 2i1 , i2 = -1, o módulo de w é igual a: a) 5 b) 2 2 c) 3 d) 6 e) 3 3 22) (ITA-2005) Seja z C com |z| = 1. Então, a expressão wa wz1   assume valor a) maior que 1, para todo w com |w| > 1. b) menor que 1, para todo w com |w| <1 c) maior que 1, para todo w com w z. d) igual a 1, independente de w com w z. e) crescente para |w| crescente, com |w| < |z|. 23) (FGV-2005) Admita que o centro do plano complexo Argand-Gauss coincida com o centro de um relógio de ponteiros, como indica a figura: Se o ponteiro dos minutos tem 2 unidades de comprimento, às 11h 55 sua ponta estará sobre o número complexo a) -1 + 3 i b) 1 + 3 i c) 1 - 3 i d) 3 - i e) 3 + i 24) (PUCCamp-1998) Sejam x e y os números reais que satisfazem a igualdade i(x 2i) + (1 yi) = (x + y)  i, onde i é a unidade imaginária. O módulo do número complexo z = (x + yi)2 é igual a: a) 25 b) 5 5 c) 5 d) 2 5 e) 5
  4. 4. 25) (Unirio-1998) Sejam z1 e z2 números complexos representados pelos seus afixos na figura acima. Então, o produto de z1 pelo conjugado de z2 é: a) 19 + 10i b) 11 + 17i c) 10 d) -19 + 17i e) -19 + 7i 26) (Vunesp-1995) Seja L o afixo do número complexo a = 8 +i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b, de módulo igual a 1, cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LOM é reto. 27) (UEL-1995) Seja z um número complexo de módulo 2 e argumento principal 120o . O conjugado de z é: a) 2 - 2i 3 b) 2 + 2i 3 c) -1 - i 3 d) -1 + i 3 e) 1 + i 3 28) (UEL-1995) Seja o número complexo z =  2 342 i1 2.i  . A imagem de z no plano complexo é um ponto do plano que pertence ao a) eixo imaginário. b) eixo real. c) 2o quadrante. d) 3o quadrante. e) 4o quadrante. 29) (Mack-1997) A solução da equação |z| + z - 18 + 6i = 0 é um complexo z de módulo: a) 6 b) 8 c) 18 d) 12 e) 10 30) (Mack-1996) Considere todos os complexos z tais que |z| = 1. O imaginário puro w, onde w = 1+2.z, pode ser: a) 3 i b) 2 i c) i d) -2i e) -3i 31) (FGV-1995) Seja o número complexo z=(x-2i)2 , no qual x é um número real. Se o argumento principal de z é 90°, então 1/z é igual a: a) - 8 i b) -8i c) 4i d) -1 + 4i e) 4 - i 32) (Fatec-1997) Na figura a seguir, o ponto P é o afixo do número complexo z = x + yi no plano de Argand-Gauss. É verdade que: a) o argumento principal de z é 6 5 b) a parte imaginária de z é i. c) o conjugado de z é 3 + i. d) a parte real de z é 1. e) o módulo de z é 4. 33) (Cesgranrio-1995) O lugar geométrico das imagens dos complexos z, tais que z2 é real, é: a) um par de retas paralelas. b) um par de retas concorrentes. c) uma reta. d) uma circunferência. e) uma parábola. 34) (ITA-2004) Considere todos os números z = x + iy que têm módulo 2 7 e estão na elipse x2 + 4y2 = 4. Então, o produto deles é igual a a) 9 25
  5. 5. b) 16 49 c) 25 81 d) 7 25 e) 4 35) (FGV-2004) a) Determine, no plano de Argand-Gauss, o lugar geométrico dos números complexos z representados pela equação: 025  zwzz , sendo w = - 2 + 5i. b) De todos os números complexos z de módulo 3, determine aqueles que satisfazem a igualdade | z - 2i | = 3 . | i - 2| 36) (Cesgranrio-1994) A figura mostra, no plano complexo, o círculo de centro na origem e raio 1, e as imagens de cinco números complexos. O complexo 1/z é igual a: a) z b) w c) r d) s e) t 37) (Fatec-2003) Na figura abaixo tem-se o ponto P, afixo do número complexo z, no plano de Argand-Gauss. Se -z é o complexo conjugado de z, então a) z = - 2 + 2 3 i b) z = - 2 + 2 3 i c) z = - 2 + 3 i d) z = - 2 + 3 3 i e) z = - 2 + 3 3 i 38) (Vunesp-2003) Considere a variável complexa z dada por z = x + i y, onde i é o número imaginário 1 , e seja z o complexo conjugado de z. a) Dada a equação (z - a)( z - a) = r2 , onde r e a  R, calcule e responda a qual configuração geométrica ela corresponde. b) Escreva a equação do círculo x2 + y2 = R2 , R  R, em variáveis complexas. 39) (Fatec-2003) Na figura abaixo, os pontos A, B e C são as imagens dos números complexos z1 , z2 e z3, no plano de Argand-Gauss. Se Iz1I = Iz2I = Iz3I = 3 e  = 60o , então z1 + z2 + z3 é igual a a) i)33(  b) i33  c) i)33(  d) i33  e) 3i3  40) (Mack-1996) A representação gráfica dos complexos x+yi tais que 1  | x+yi |  2, onde x  y  0, define uma região de área: a)  b) 2 
  6. 6. c) 3 2  d) 2 e) 3 4  41) (UEL-2002) Na figura abaixo, o ponto P representa um número complexo z no plano de Argand-Gauss. Qual dos números abaixo é z, sabendo-se que OP= 13 ? a) - 9 + 4i b) 2 + 3i c) 2 - 3i d) 13 e) - 13 i 42) (Unicamp-1997) Um triângulo eqüilátero, inscrito em uma circunferência de centro na origem, tem como um de seus vértices o ponto do plano associado ao número complexo 3 + i. a) Que números complexos estão associados aos outros dois vértices do mesmo triângulo? Faça a figura desse triângulo. b) Qual a medida do lado desse triângulo? 43) (Unitau-1995) O módulo de z= 36 i 1 é: a) 3. b) 1. c) 2. d) 1/36. e) 36. 44) (UNIUBE-2001) Considere os números complexos z = x + iy, em que x, y e IR e i2 = -1, que têm módulo igual a 3 e cujas representações geométricas encontram-se sobre a parábola y = x2 -1, contida no plano complexo. Se w é a soma desses números complexos, então |w| é igual a a) 3 b) 3 c) 2 d) 6 45) (UFC-2002) Sabendo que cos  = 2 3 e que sen  = 2 1 , podemos afirmar corretamente que cos( + 2  ) + sen( + 2  ) é igual a: a) 0 b) 2 1 2 3  c) 2 1 2 3  d) 2 1 2 3  e) 2 1 2 3  46) (PUC-SP-2002) Geometricamente, o módulo de um número complexo z é dado pela distância da origem O do plano complexo ao ponto imagem de z. Assim, dado o complexo z = 3 + 2i, considere o triângulo ABO, cujos vértices A e B são os respectivos pontos imagem de z e z.i. É verdade que esse triângulo é a) eqüilátero. b) escaleno. c) retângulo e isósceles. d) retângulo e não isósceles. e) isósceles e não retângulo. 47) (Fuvest-1998) Dentre os números complexos z = a + bi, não-nulos, que têm argumento igual a 4  , aquele cuja representação geométrica está sobre a parábola y = x2 é: a) 1 + i b) 1 – i c) – 1 + i d) 2 + 2i e) – 2 + 2i 48) (Vunesp-2006) Se a, b, c são números inteiros positivos tais que c = (a + bi)2 - 14i, em que i2 = -1, o valor de c é a) 48. b) 36. c) 24. d) 14. e) 7. 49) (UFPB-2006) Sejam x e y elementos quaisquer do conjunto G = { nimg  | m , n  Z }, onde 1i . Considere as seguintes proposições e assinale com V a(s) verdadeira(s) e com F, a(s) falsa(s). ( ) Se y  0 , o quociente y x G. ( ) O produto x y  G. ( ) A soma yx   G. A seqüência correta é: a) VFF b) FVF c) FFV
  7. 7. d) VVF e) VFV f) FVV 50) (FMTM-2005) Sendo p e q números reais tais que 2  < p+q <  , e i a unidade imaginária, se os números complexos z1 = sen (p +q) + [log (p-q)]i e z2 = 2 1 são iguais, então q é igual a a) 6 35  b) 12 69  c) 6 65  d) 12 65  e) 15 65  51) (Fuvest-1983) - 52) (UFSCar-2005) Sejam i a unidade imaginária e an o n- ésimo termo de uma progressão geométrica com a2 = 2a1. Se a1 é um número ímpar, então 10321 aaaa i...iii  é igual a a) 9i ou - 9i. b) - 9 + i ou - 9 - i. c) 9 + i ou 9 - i. d) 8 + i ou 8 - i. e) 7 + i ou 7 - i. 53) (Cesgranrio-1998) Dados os números complexos z1= 1+i, z2 = 1-i e z3 = 4 2 3 1 z z pode-se afirmar que a parte real de z3 vale: a) 2 1 b) 4 1 c) - 4 1 d) - 2 1 e) -1 54) (UEL-1996) Seja o número complexo z = x + yi, no qual x, y  R. Se z.(1 - i) = (1 + i)2 , então: a) x = y b) x - y = 2 c) x.y = 1 d) x + y = 0 e) y = 2x 55) (Mack-1996) O complexo z = (a + bi)4 é um número real estritamente negativo. Então pode ocorrer: a) a + b = 0. b) a + 2b = 0. c) 2a + b = 0. d) a + 4b = 0. e) 4a + b = 0. 56) (ITA-1996) O valor da potência 93 i1 2          é: a) 2 i1 b) 2 i1 c) 2 i1 d) 2 93 .i e) 2 93 + i 57) (Uneb-1998) Se i é a unidade imaginária, então i25 + i39 - i108 + i.i50 é igual a: a) -1 - i b) -1 + i c) 1 - i d) 1 + i e) 0 58) (FEI-1997) Se a = 1 + 2i, b = 2 - i e 0 c b b a  então o número complexo c é: a) 2i b) 1 - 2i c) 2 - i d) 1 + 2i e) 3i 59) (Fatec-1995) O conjugado do número complexo z=(1 - i-1 )-1 é igual a: a) 1 + i b) 1 - i c) 2 1 (1 - i)
  8. 8. d) 2 1 (1 + i) e) i 60) (UFC-1997) Se i representa o número complexo cujo quadrado é igual a 1, determine o valor numérico da soma 1 + i + i2 + i3 + ... + i27 . 61) (UEL-1994) A forma algébrica do número complexo z = i2 3i1   é: a) 2 1  3i b) 3 5 + ( 3 7i ) c)  5 1 + ( 5 7i ) d)  5 1 + 7i e) 5 3 + ( 5 4i ) 62) (FEI-1996) Se z 2i = 1 + i, então o número complexo z é: a) 1  2i b) 1 + i c) 1  i d) 1 + i e) 1 + 2i 63) (FEI-1994) Escrevendo o número complexo z = i1 1 i1 1    na forma algébrica obtemos: a) 1 i b) i 1 c) 1 + i d) i e) 1 64) (Vunesp-2004) Considere os números complexos w = 2i e z = (1 + i). Determine: a) z2 e (w2  z + w), onde z indica o conjugado de z. b) |z| e |w|. Mostre que a seqüência (1, |z|, |w|, |zw|, |w2 |) é uma progressão geométrica, determinando todos os seus termos e a sua razão. 65) (Fuvest-2004) Considere a equação z2 = z + (- 1) z , onde α é um número real e z indica o conjugado do número complexo z. a) Determinar os valores de  para os quais a equação tem quatro raízes distintas. b) Representar, no plano complexo, as raízes dessa equação quando  = 0. 66) (Fatec-2002) Sabe-se que os números z1 = log(x - y) + (y + 10)i e z2 = y - xi, nos quais x e y são números reais, são complexos conjugados. É verdade que a) z1 + z2 = 1 b) z1 - z2 = i c) z1.z2 = 122 d) |z1 + z2| = 2 e) |z1 - z2| = 11 67) (Vunesp-2001) Considere os números complexos z1 = (2 + i) e z2 = (x + 2i), onde i é a unidade imaginária e x é um número real. Determine: a) o número complexo z1.z2 em função de x; b) os valores de x tais que Re (z1.z2)  Im (z1.z2), onde Re denota a parte real e Im denota a parte imaginária do número complexo. 68) (Fuvest-2003) Nos itens abaixo, z denota um número complexo e i a unidade imaginária (i2 = -1). Suponha z  i. a) Para quais valores de z tem-se 2 iz1 iz    ? b) Determine o conjunto de todos os valores de z para os quais iz1 iz   é um número real. 69) (Vunesp-2003) Se z = (2 + i).(1 + i).i, então z , o conjugado de z, será dado por a) - 3 - i. b) 1 - 3i. c) 3 - i. d) - 3 + i. e) 3 + i. 70) (AFA-1999) Os valores reais de x, para os quais a parte real do número complexo z = x i x i   2 é negativa, pertencem ao conjunto (intervalo) a)   .
  9. 9. b)  0 . c)  11, . d)   2 2, . 71) (FAZU-2001) O quociente i2 i8   é igual a: a) 3 + 2i b) 2 + 2i c) 1 + 2i d) 2 + i e) 2 + 3i 72) (Vunesp-1999) Considere o número complexo z = i, onde i é a unidade imaginária. O valor de z4 + z3 + z2 + z + 1/z é: a) -1. b) 0. c) 1. d) i. e) -i. 73) (Unicamp-1999) Dado um número complexo z = x + iy, o seu conjugado é o número complexo z = x - iy. a) Resolva as equações: z. z = 4 e z 2 = z2 . b) Ache os pontos de intersecção dos lugares geométricos que representam as soluções dessas equações. 74) (Unicamp-1998) Se z = x+iy é um número complexo, o número real x é chamado parte real de z e é indicado por Re(z), ou seja, Re(x+iy) = x. a) Mostre que o conjunto dos pontos que satisfazem à equação Re( 2z 2iz   ) = 2 1 , ao qual se acrescenta o ponto (2,0), é uma circunferência. b) Ache a equação da reta que passa pelo ponto (-2, 0) e é tangente àquela circunferência. 75) (UNIUBE-2001) Sejam a e b dois números naturais tais que 3  a  20 e 21  b  40. Se i é a unidade imaginária dos complexos, ou seja, i2 = -1 , então, o número de pares ordenados distintos (a, b) tais que i(ia + ib ) = 2 é igual a a) 25. b) 84. c) 21. d) 42. 76) (UFSCar-2001) Sejam x, y  N e z = x + yi um número complexo. a) Calcule o produto (x + yi).(1 + i). b) Determine x e y, para que se tenha (x + yi).(1 + i) = 2. 77) (IBMEC-2001) Sendo n ∈ IN, quais valores f(n) = in + i- n assume, sendo i a unidade imaginária? a) 0 ou 1 b) 0 ou i c) 0 ou 2i d) 0,2 ou –2 e) 0,1 ou –1 78) (Mack-2002) Se os pontos que representam os complexos z = a + bi e w = c + di, com a.b.c.d ≠ 0, pertencem a uma mesma reta que passa pela origem, então w z é sempre igual a: a) c a b) 1-2c a c) a.(c - 1) d) 2a c e) 2ac 79) (Fuvest-2000) a) Determine todas as soluções, no campo complexo, da equação z = iz2 , onde i é a unidade imaginária, isto é, i2 = - 1 e z é o conjugado de z. b) Represente essas soluções no plano complexo, usando o sistema de coordenadas desenhado abaixo. 80) (Vunesp-2002) Seja z = x + yi um número complexo, com x e y números reais e i a unidade imaginária.
  10. 10. a) Determine, em função de x e y, a parte real e a parte imaginária de 2z – i + z , com z indicando o conjugado de z. b) Determine z que seja solução da equação 2z – i + z = 0. 81) (FGV-2002) No conjunto dos números complexos: a) Resolva a equação z4 = 1 b) Obtenha o número z, tal que z . (1 + i) = 3 – i, onde i é a unidade imaginária. 82) (Fuvest-1997) Sendo i a unidade imaginária (i2 = 1) pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais (a+i)4 é um número real? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) infinitos 83) (Fuvest-1995) a) Determine os números complexos z tais que z+ z =4 e z. z =13, onde z é o conjugado de z. b) Resolva a equação x4 5x3 +13x2 -19x+10=0, sabendo que o número complexo z=1+2i é uma das suas raízes. 84) (Fuvest-1995) Sabendo que  é um número real e que a parte imaginária do número complexo 2i i2   é zero, então  é: a) -4. b) -2. c) 1. d) 2. e) 4. 85) (VUNESP-2009) O número complexo z = a + bi é vértice de um triângulo eqüilátero, como mostra a figura. Sabendo que a área desse triângulo é igual a 36 3 , determine z2 . 86) (FUVEST-2008) A figura na página de respostas representa o número  = 2 31 i no plano complexo, sendo i = 1- a unidade imaginária. Nessas condições, a) determine as partes real e imaginária de  1 e de  3 . b) represente  1 e de  3 na figura ao lado. c) determine as raízes complexas da equação z3 - 1 = 0 87) (VUNESP-2008) Considere o número complexo z = cos 6  + isen 6  . O valor de z3 + z6 + z12 é: a) –i. b) 2 1 + 2 3 i c) i –2. d) i. e) 2i. 88) (Vunesp-2006) Seja z = 1 + i um número complexo. a) Escreva z e z3 na forma trigonométrica. b) Determine o polinômio de coeficientes reais, de menor grau, que tem z e |z|2 como raízes e coeficiente dominante igual a 1. 89) (Cesgranrio-1982) O menor inteiro n > 0, de modo que n i 2 1 2 3          seja real positivo, é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 8 e) 12 90) (Unicamp-2005) Um número complexo z = x + iy, z  0  pode ser escrito na forma trigonométrica: z = |z|(cos+ isen), onde |z| = 22 yx  , cos = x/|z| e sen = y/|z|. Essa forma de representar os números complexos não-nulos é muito conveniente, especialmente para o cálculo de potências inteiras de números complexos, em virtude da fórmula de De Moivre:
  11. 11. [|z|(cos+ isen)]k = |z|k (cosk+ isenk) que é válida para todo kZ . Use essas informações para: a) Calcular  12 i3  b) Sendo z = 2 2 + i 2 2 , calcular o valor de 1 + z + z2 + z3 + … + z15 . 91) (Mack-1996) Na figura a seguir, P e Q são, respectivamente, os afixos de dois complexos z1 e z2. Se a distância OQ é 22 , então é correto afirmar que: a) z2 = 3z1. b) z2 = 2z1. c) z2 = z1 3 . d) z2 = z1 2 . e) z2 = 3z1 3 . 92) (ITA-1995) Seja z um número complexo satisfazendo Re(z) > 0 e (z + i)2 +|z' + i|2 = 6, onde z' é o conjugado de z. Se n é o menor natural para o qual zn é um imaginário puro, então n é igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 93) (FEI-1995) O módulo do número complexo (1 + i)-3 é: a) 2 b) 1 c) -3 d) 4 2 e) 0 94) (UFC-1999) Considere o número complexo z = (1+i).( 3 i). Assinale a opção na qual consta o menor inteiro positivo n, tal que zn seja um número real positivo. a) 6. b) 12. c) 18. d) 24. e) 30. 95) (UFMG-2003) Sejam n um número inteiro positivo e z um número complexo tal que |z| = 1 e 1 + z2n  0. CALCULE a parte imaginária de 2n n z1 z  . 96) (AFA-1999) A representação trigonométrica do conjugado do número complexo z = (1 + 3 i)5 , sendo i a unidade imaginária e k  Z, é a) 32cos(/3 + 2k) - 32i.sen(/3 + 2k). b) 32cos(5/4 + 10k) - 32i.sen(5/4 + 10k). c) 32cos(5/6 + 10k) - 32i.sen(5/6 + 10k). d) 32cos(5/3 + 10k) - 32i.sen(5/3 + 10k). 97) (UECE-2002) O valor de a , no intervalo        2 ,0 , para o qual o número complexo x = cosa + i .sena é tal que i 2 3 2 1x2  , satisfaz: a) 3  < a < 2  b) 6  < a < 3  c) 6  < a < 4  d) 10  < a < 5  98) (Fuvest-1994) a) Se z1=cos1+isen1 e z2=cos2+isen2, mostre que o produto z1z2 é igual a cos (1+2)+isen(1+2). b) Mostre que o número complexo z=cos48°+isen48° é raiz da equação z10 +z5 +1=0. 99) (Fuvest-1996) Dado o número complexo z = 3 +i qual é o menor valor do inteiro n  1 para o qual zn é um número real? a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 100) (VUNESP-2010) As soluções da equação z3 = i, onde z é um número complexo e i2 = -1, são: a) iz 2 1 2 2  ou z = -i.
  12. 12. b) iz 2 1 2 3  ou z = -i. c) iz 2 1 2 3  ou z = -i. d) iz 2 1 2 2  ou z = -i. e) iz 2 3 2 1  ou z = -i. 101) (Vunesp-1990) O diagrama que melhor representa as raízes cúbicas de -i é: a) b) c) d) e) 102) (Mack-1998) Se 3 + 4i é raiz cúbica de um complexo z, então o produto das outras raízes cúbicas de z é: a) 24 + 7i b) -24 - 7i c) - 7 - 24i d) - 7 + 24i e) 7 - 24i 103) (ITA-1998) Considere, no plano complexo, um polígono regular cujos vértices são as soluções da equação z6 = 1. A área deste polígono, em unidades de área, é igual a: a) 3 b) 5 c)  d) 2 33 e) 2 104) (UFPE-1996) As soluções complexas da equação z6 = 1 são vértices de um polígono regular no plano complexo. Calcule o perímetro deste polígono. 105) (Mack-1997) As representações gráficas dos complexos z tais que z3 = 8 são os vértices de um triângulo: a) inscrito numa circunferência de raio 1. b) que tem somente dois lados iguais. c) eqüilátero de lado 2. d) eqüilátero de altura 2 3 . e) de área 3 3 . 106) (UFC-2003) A área do polígono cujos vértices são as representações geométricas das raízes do polinômio
  13. 13. p(x) = x6 - 1 é: a) 2 33 b) 3 32 c) 2 23 d) 3 22 e) 4 33 107) (Fuvest-2001) No plano complexo, cada ponto representa um número complexo. Nesse plano, considere o hexágono regular, com centro na origem, tendo i, a unidade imaginária, como um de seus vértices. a) Determine os vértices do hexágono. b) Determine os coeficientes de um polinômio de grau 6, cujas raízes sejam os vértices do hexágono. 108) (ITA-2002) Seja a equação em C z4 – z2 + 1 = 0. Qual dentre as alternativas abaixo é igual à soma de duas das raízes dessa equação? a) 2 3 b) – 2 3 c) 2 3 d) – i e) 2 i 109) (Unicamp-1998) a) Qual é o valor de  na equação z3 – 5z2 + 8z –  = 0 de modo que z = 3 seja uma raiz dessa equação? b) Para esse valor de  , ache as três raízes z1, z2, z3 dessa equação. c) Ache o volume do sólido obtido quando a região triangular cujos vértices são os pontos z1, z2, z3 gira em torno da reta de equação x = 1.
  14. 14. Gabarito 1) Alternativa: B 2) Alternativa: D 3) Alternativa: E 4) Resposta: 3cm 5) -2i e -2 6) Alternativa: B 7) Alternativa: D 8) Alternativa: A 9) Alternativa: E 10) 21h. Resolução: z = i , w = ( i )2 = -2 . Como  < 1, então 2 <  de forma que o módulo de w é menor que o módulo de z, ou seja, w representa a extremidade do ponteiro das horas e z representa a extremidade do ponteiro dos minutos. Sendo jantar, entendemos que o horário é 21h (a mesma posição dos ponteiros também representaria 9h, que não condiz com jantar) 11) a) 0 ou . b) cos  i.sen 12) a) (1+i)9 = 16+16i = (16, 16) b) d = 16 2 13) a) z w = -7 + i e |w - z| = 5 b) b = 7. 14) Alternativa: E 15) Alternativa: E 16) Alternativa: B 17) (x-2)2 + y2 = 0 18) Alternativa: A 19) u = -5 2 e v = 5 2 20) 12 + 16i 21) Alternativa: B 22) Alternativa: D 23) Alternativa: A 24) Alternativa: C 25) Alternativa: B 26) b = 3 1 - i 3 8 27) Alternativa: C 28) Alternativa: A 29) Alternativa: E 30) Alternativa: A 31) Alternativa: A 32) Alternativa: A OBS: b) é falsa pois a parte imaginária de z é 1 e não i. 33) Alternativa: B 34) Alternativa: B 35) a) O lugar geométrico pedido é uma circunferência de centro (–2; 5) e raio 2. b) Os números são ii 2 1 2 35 ; 2 1 2 35  36) Alternativa: E 37) Alternativa: D
  15. 15. 38) a) existem duas opções para (x - a)2 + y2 = r2 : o ponto de coordenadas (a; 0) se r = 0 ou a circunferência de centro (a; 0) e raio |r|, se r  0. b) x2 + y2 = R2  |z| = R2  z. z = R2 , onde z = x + iy. 39) Alternativa: A 40) Alternativa: C (a área pedida é metade de uma coroa circular de raios 1 e 2....) 41) Alternativa: C 42) a) - 3 +i e -2i b) 2 3 43) Alternativa: B 44) Alternativa: C 45) Alternativa: C 46) Alternativa: C 47) Alternativa: A 48) Alternativa: A 49) Alternativa: F 50) Alternativa: D 51) Se / = i então  = i. Substituindo, temos que  -  = i -  = (i-1) = i. Então  = i/(i-1) = (1-i)/2 e  = i = (1+i)/2 e  +  = 1. 52) Alternativa: E 53) Alternativa: A 54) Alternativa: D 55) Alternativa: A 56) Alternativa: C 57) Alternativa: C 58) Alternativa: D 59) Alternativa: D 60) Soma = 0 61) Alternativa: C 62) Alternativa: D 63) Alternativa: E 64) a) 2i e -4 + 6i b) |z| = 2 ,|w| = 2 e a seqüência é (1, 2 , 2, 2 2 , 4), que é uma progressão geométrica de razão 2 . 65) a)  4 3  e  2 1  b) 66) Alternativa: C 67) a) (2x - 2) + (x + 4)i b) x  6 68) a) i 5 3 5 4  b) São os complexos de módulo 1, exceto z = i, ou seja, os complexos da forma z = a + bi, com a2 +b2 = 1 (seus afixos pertencem à circunferência de centro na origem e raio 1). 69) Alternativa: A 70) Alternativa: D 71) Alternativa: A 72) Alternativa: E 73) a) S1 = {z  C | z=x+yi e x2 +y2 = 4, x, y  R } e S2 = {z  C | z =  ou z = i, R } b) S = { -2, 2, -2i, 2i }
  16. 16. OBS: Note que S1 é uma circunferência de raio 2 centrada na origem (complexos com módulo 2) e S2 são os eixos coordenados (abscissa e ordenada) 74) a) Se z = x+iy, então z+2i = x+i(y+2) e z-2 = (x-2)+iy. Então, dividindo 2z 2iz   encontramos   22 y2)(x xy2)2)(y(xi2)y(y2)x(x   e assim a parte real é 22 y2)(x 2)y(y2)x(x   . Fazendo 22 y2)(x 2)y(y2)x(x   = 2 1 de onde se chega em x2 +(y+2)2 = 8 para x2 e y0. Note que x2 +(y+2)2 = 8 seria a equação da circunferência de centro (0,-2) e raio 2 2 se não tivéssemos x2 e y0. Assim, acrescentando-se o ponto (2,0) temos a circunferência. b) y = x+2 75) Alternativa: A 76) a) (x-y) + (x+y)i b) x = 1 e y = -1 77) Alternativa: D 78) Alternativa: A 79) a) 0, i, i 2 1 2 3  , i 2 1 2 3  b) 80) a) Sendo z = x + yi e w = 2z – i + z tem-se: w = 2(x + yi) - i + (x – yi) = 3x + (y – 1)i Então: Re(w) = 3x e Im(w) = (y - 1)i b) 2z – i + z = 0 Û 3x + (y – 1)i  3x = 0 e y – 1 = 0  x = 0 e y = 1. Então: z =0 + 1i = i 81) a) S = { 1, –1, i, – i } b) 1 – 2i 82) Alternativa: C 83) a) Z = 2+3i ou Z = 2-3i b) { 1, 2, 1+2i, 1-2i } 84) Alternativa: B 85) Resposta: -72 +72 3 i 86) a) Re( -1 ) = 2 1 e Im(-1 ) = 2 3  ; Re(3 ) = 1 e Im(3 ) = 0 b) c) 1; i 2 3 2 1  ; i 2 3 2 1  87) Alternativa: D 88) a) z = 2        44 cos  isen e z3 = 2 2        4 3 4 3 cos  isen b) x 3 - 4x 2 + 6x - 4 89) Alternativa: E 90) a) 4096 b) 0 91) Alternativa: C 92) Alternativa: B 93) Alternativa: D 94) Alternativa: D 95) A parte imaginária é zero. 96) Alternativa: D 97) Alternativa: D
  17. 17. 98) a) z1.z2 = (cos1+isen1) (cos2+isen2) = cos1.cos2 + isen1.cos2 + isen2.cos1 -sen1.sen2 = cos(1+2) + isen(1+2) b) se z= cos48o +isen48o então z10 = cos480o +isen480o = cos120o +isen120o = - cos60o +isen60o z5 = cos240o +isen240o = - cos60o -isen60o daí, z10 +z5 +1 = - cos60o +isen60o - cos60o -isen60o + 1 = - 2 1 - 2 1 +1 = 0. Como z verificou a equação, então ele é raiz. 99) Alternativa: C 100) Alternativa: C 101) Alternativa: B 102) Alternativa: D 103) Alternativa: D 104) Perímetro = 6 105) Alternativa: E 106) Alternativa: A As raízes do polinômio p(x) = x6 - 1 são as raízes sextas da unidade. As raízes sextas da unidade são números complexos cujo módulo é igual a 1 e, portanto, suas representações geométricas são pontos eqüidistantes sobre a circunferência de raio 1 e centro na origem. Como 1 é uma destas raízes, a representação geométrica destas raízes coincide com os vértices do hexágono regular (veja figura abaixo) inscrito na circunferência de raio 1 e centro na origem. A área de um hexágono regular inscrito em uma circunferência de raio r é 6. 4 3r2 . Como neste caso r =1, a área deste hexágono é 2 33 . 107) a) (0,1), (0,-1), ( 3 /2, 1/2), (- 3 /2, 1/2), ( 3 /2, - 1/2), (- 3 /2, -1/2) b) qualquer k(x6 +1) serve portanto os coeficientes são do tipo k,0,0,0,0,0,k com k0. 108) Alternativa: E 109) a)  = 6 b) z1 = 3, z2 = 1 + i, z3 = 1 – i c) V = 3 8

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