Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas-Definición
Matrices Escalonadas-Método de Eliminación
Ejemplos
Ejercicios
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Martha C. Moreno
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Ejemplos
Ejercicios
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Martha C. Moreno
Departamento de Matem´aticas
Universidad Nacional de Colombia

Ejemplos
Ejercicios
Deﬁnici´on

Ejemplos
Ejercicios
Definición
Un conjunto finito de ecuaciones lineales en las variables
x1, x2, ....., xn se denomina:

Ejemplos
Ejercicios
Deﬁnici´on
x1, x2, ....., xn se denomina: Un Sistema de Ecuaciones Lineales o
Sistema lineal

Ejemplos
Ejercicios
Definición
Sistema lineal
En general un sistema lineal de m ecuaciones y n incógnitas se
puede escribir como:

Ejemplos
Ejercicios
Definición
Sistema lineal
En general un sistema lineal de m ecuaciones y n incógnitas se
puede escribir como:


a11x1 + a12x2 + a13x3 + ..... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ..... + a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ..... + amnxn = bm

Ejemplos
Ejercicios
De manera equivalente se puede expresar como:

Ejemplos
Ejercicios





a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
...
am1 am2 am3 · · · amn












x1
x2
x3
...
xn







=







b1
b2
b3
...
bm








Ejemplos
Ejercicios





a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
...












x1
x2
x3
...
xn







=







b1
b2
b3
...
bm







AX = B

Ejemplos
Ejercicios





a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
...












x1
x2
x3
...
xn







=







b1
b2
b3
...
bm







AX = B
Si B = 0 el sistema se denomina Homog´eneo

Ejemplos
Ejercicios





a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
...












x1
x2
x3
...
xn







=







b1
b2
b3
...
bm







AX = B
Si B = 0 el sistema se denomina Homog´eneo
Si B = 0 es No Homog´eneo

Ejemplos
Ejercicios
Una solución del sistema AX = B es una sucesión de números
c1, c2, .....cn tales que la igualdad AX = B se satisface si x1 = c1,
x2 = c2,..........,xn = cn, es decir si:

Ejemplos
Ejercicios
Una solución del sistema AX = B es una sucesión de números
c1, c2, .....cn tales que la igualdad AX = B se satisface si x1 = c1,
x2 = c2,..........,xn = cn, es decir si:





a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
...












c1
c2
c3
...
cn







=







b1
b2
b3
...
bm








Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo

Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Consideremos el sistema:

Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Consideremos el sistema:


x + 2y + z = 3
−x + y + 2z = 6
2x + y − 2z = −5

Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo


x + 2y + z = 3
−x + y + 2z = 6
2x + y − 2z = −5
En notaci´on matricial es:

Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo


x + 2y + z = 3
−x + y + 2z = 6
2x + y − 2z = −5
En notaci´on matricial es:

1 2 1
−1 1 2
2 1 −2




x
y
z

 =


3
6
−5



Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo


x + 2y + z = 3
−x + y + 2z = 6
2x + y − 2z = −5

1 2 1
−1 1 2
2 1 −2




x
y
z

 =


3
6
−5

 El sistema es No Homog´eneo

Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo


x + 2y + z = 3
−x + y + 2z = 6
2x + y − 2z = −5

1 2 1
−1 1 2
2 1 −2




x
y
z

 =


3
6
−5

¿X =


−1
1
2

 es soluci´on?

Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo


x + 2y + z = 3
−x + y + 2z = 6
2x + y − 2z = −5

1 2 1
−1 1 2
2 1 −2




x
y
z

 =


3
6
−5

¿X =


−1
1
2

 es soluci´on?
¿X =


1
2
−3

 es soluci´on?

Ejemplos
Ejercicios
Consideremos los siguientes sistemas:

Ejemplos
Ejercicios
1.
x + y = 3
x − y = −1

Ejemplos
Ejercicios
1.
x + y = 3
x − y = −1
Soluci´on x = 1, y = 2

Ejemplos
Ejercicios
1.
x + y = 3
x − y = −1
Soluci´on x = 1, y = 2
-1
0
1
2
3
4
5

Ejemplos
Ejercicios
2.
x + y = 3
x + y = 6

Ejemplos
Ejercicios
2.
x + y = 3
x + y = 6
No existen reales x y y que lo satisfagan

Ejemplos
Ejercicios
2.
x + y = 3
x + y = 6
No existen reales x y y que lo satisfagan
-2
-1
0
1
2
3
4
5

Ejemplos
Ejercicios
3.
x + y = 3
2x + 2y = 6

Ejemplos
Ejercicios
3.
x + y = 3
2x + 2y = 6
x = 1, y = 2,

Ejemplos
Ejercicios
3.
x + y = 3
2x + 2y = 6
x = 1, y = 2, x = −1, y = 4,

Ejemplos
Ejercicios
3.
x + y = 3
2x + 2y = 6
x = 1, y = 2, x = −1, y = 4,Hay mas?

Ejemplos
Ejercicios
3.
x + y = 3
2x + 2y = 6
x = 1, y = 2, x = −1, y = 4,Hay mas?
-2
-1
0
1
2
3
4
5

Ejemplos
Ejercicios

Ejemplos
Ejercicios
En el caso de un sistema lineal, se pueden presentar alguna de las
tres situaciones descritas:

Ejemplos
Ejercicios
tres situaciones descritas: Tiene ´unica soluci´on o

Ejemplos
Ejercicios
tres situaciones descritas: Tiene única solución o Tiene infinitas
soluciones o

Ejemplos
Ejercicios
soluciones o No tiene soluci´on.

Ejemplos
Ejercicios
En general los sistemas se clasiﬁcaran en:

Ejemplos
Ejercicios
Consistentes:

Ejemplos
Ejercicios
Consistentes: Tienen soluci´on;

Ejemplos
Ejercicios
Consistentes: Tienen soluci´on; Unica o

Ejemplos
Ejercicios
Consistentes: Tienen soluci´on; Unica o Inﬁnitas

Ejemplos
Ejercicios
Inconsistentes:

Ejemplos
Ejercicios
Inconsistentes:No tienen soluci´on.

Ejemplos
Ejercicios
Nota

Ejemplos
Ejercicios
Nota
Los Sistemas Homog´eneos:

Ejemplos
Ejercicios
Nota
Los Sistemas Homog´eneos: AX = 0

Ejemplos
Ejercicios
Nota
Los Sistemas Homog´eneos: AX = 0 Son consistentes,

Ejemplos
Ejercicios
Nota
X = 0 es una soluci´on, se denomina

Ejemplos
Ejercicios
Nota
X = 0 es una soluci´on, se denomina Soluci´on trivial,

Ejemplos
Ejercicios
Nota
X = 0 es una solución, se denomina Solución trivial,puede pasar
que sea la única o que tenga infinitas soluciones.

Ejemplos
Ejercicios
Ejercicio

Ejemplos
Ejercicios
Ejercicio
Sean X1 y X2 soluciones del sistema homog´eneo:

Ejemplos
Ejercicios
Ejercicio
AX = 0

Ejemplos
Ejercicios
Ejercicio
AX = 0
Mostrar que:

Ejemplos
Ejercicios
Ejercicio
AX = 0
Mostrar que:
X1 − X2 es tambi´en soluci´on.

Ejemplos
Ejercicios
Ejercicio
AX = 0
Mostrar que:
2X1 + 3X2 es tambi´en soluci´on.

Ejemplos
Ejercicios
Ejercicio
AX = 0
Mostrar que:
En general cualquier combinación lineal (c.l) de X1 y X2 es
también solución, es decir:

Ejemplos
Ejercicios
Ejercicio
AX = 0
Mostrar que:
En general cualquier combinación lineal (c.l) de X1 y X2 es
también solución, es decir:
αX1 + βX2 con α, β ∈ R es solución.

Ejemplos
Ejercicios
Teorema
Sea AX = B un sistema de ecuaciones lineales, entonces es
verdadera solo una de las siguientes afirmaciones:
Tiene única solución
Es inconsistente
Tiene infinitas soluciones

Ejemplos
Ejercicios
Teorema
Es inconsistente
Veamos la tercera opción:
Supongamos que X1 y X2 son soluciones con X1 = X2, entonces:
X0 = X1 − X2 = O, veamos que X0 es solución del sistema
Homogéneo AX = O

Ejemplos
Ejercicios
Teorema
Es inconsistente
Homog´eneo AX = O
AX0 = A(X1 − X2) = AX1 − AX2 =

Ejemplos
Ejercicios
Teorema
Es inconsistente
Homog´eneo AX = O
AX0 = A(X1 − X2) = AX1 − AX2 = B − B = O

Ejemplos
Ejercicios
Teorema
Es inconsistente
Homog´eneo AX = O
AX0 = A(X1 − X2) = AX1 − AX2 = B − B = O
Consideremos ahora X1 + kX0 con k ∈ R

Ejemplos
Ejercicios
Teorema
Es inconsistente
Homog´eneo AX = O
AX0 = A(X1 − X2) = AX1 − AX2 = B − B = O
A(X1 + kX0) = AX1 + kAX0 =

Ejemplos
Ejercicios
Teorema
Es inconsistente
Homog´eneo AX = O
AX0 = A(X1 − X2) = AX1 − AX2 = B − B = O
A(X1 + kX0) = AX1 + kAX0 = B + kO = B,

Ejemplos
Ejercicios
Teorema
Es inconsistente
Homog´eneo AX = O
AX0 = A(X1 − X2) = AX1 − AX2 = B − B = O
A(X1 + kX0) = AX1 + kAX0 = B + kO = B, es decir es soluci´on
del sistema AX = B

Ejemplos
Ejercicios
Definición
Una matriz A de tamaño m × n está en forma Escalonada por filas
cuando satisface:

Ejemplos
Ejercicios
Definición
cuando satisface:
Todas las filas que constan sólo de ceros, si las hay, están en
la parte inferior de la matriz.

Ejemplos
Ejercicios
Definición
cuando satisface:
El primer elemento no nulo de cada fila es 1 y se denomina

Ejemplos
Ejercicios
Definición
cuando satisface:
uno principal de su fila.

Ejemplos
Ejercicios
Definición
cuando satisface:
uno principal de su fila.
El uno principal de cada fila debe estar a la derecha del uno
principal de la fila inmediatamente anterior.

Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
A =


1 3 −1
0 0 1
0 0 0



Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
A =


1 3 −1
0 0 1
0 0 0

 Escalonada

Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
A =


1 3 −1
0 0 1
0 0 0

 Escalonada
A =


1 0 4 3
0 1 3 2
0 0 0 1



Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
A =


1 3 −1
0 0 1
0 0 0

 Escalonada
A =


1 0 4 3
0 1 3 2
0 0 0 1

 Escalonada

Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
A =


1 3 −1
0 0 1
0 0 0

 Escalonada
A =


1 0 4 3
0 1 3 2
0 0 0 1

 Escalonada
A =


1 7 −4
1 0 1
0 0 0



Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
A =


1 3 −1
0 0 1
0 0 0

 Escalonada
A =


1 0 4 3
0 1 3 2
0 0 0 1

 Escalonada
A =


1 7 −4
1 0 1
0 0 0

 No Escalonada

Ejemplos
Ejercicios
Definición
Una matriz A de tamaño m × n está en forma Escalonada
Reducida por filas cuando satisface:

Ejemplos
Ejercicios
Definición
Es Escalonada por filas

Ejemplos
Ejercicios
Definición
Es Escalonada por filas
Si una columna contiene un uno principal en alguna fila,
entonces el resto de entradas de esta columna deben ser ceros.

Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
A =


1 0 0
0 0 1
0 0 0



Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
A =


1 0 0
0 0 1
0 0 0

 Escalonada Reducida

Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
A =


1 0 0
0 0 1
0 0 0

A =


1 0 4 0
0 1 3 0
0 0 0 1



Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
A =


1 0 0
0 0 1
0 0 0

A =


1 0 4 0
0 1 3 0
0 0 0 1


Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
A =


1 0 0
0 0 1
0 0 0

A =


1 0 4 0
0 1 3 0
0 0 0 1

A =


1 0 −4
0 1 0
0 0 1



Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
A =


1 0 0
0 0 1
0 0 0

A =


1 0 4 0
0 1 3 0
0 0 0 1

A =


1 0 −4
0 1 0
0 0 1

 Escalonada pero no reducida

Ejemplos
Ejercicios
Nota

Ejemplos
Ejercicios
Nota
Toda matriz A se puede reducir a una matriz en la forma
Escalonada por filas o Escalonada Reducida por filas realizando
Operaciones Elementales con filas.

Ejemplos
Ejercicios
Nota
Operaciones Elementales por Filas

Ejemplos
Ejercicios
Nota
Intercambiar la ﬁla i y la ﬁla j

Ejemplos
Ejercicios
Nota
Intercambiar la ﬁla i y la ﬁla j Fi↔Fj

Ejemplos
Ejercicios
Nota
Multiplicar la ﬁla i por un escalar α no nulo

Ejemplos
Ejercicios
Nota
Multiplicar la ﬁla i por un escalar α no nulo αFi

Ejemplos
Ejercicios
Nota
Reemplazar la fila j por el resultado obtenido al sumar la fila j
y la fila i

Ejemplos
Ejercicios
Nota
y la ﬁla i Fi + Fj

Ejemplos
Ejercicios
Nota
y la ﬁla i Fi + Fj
Combinaciones de las operaciones anteriores, por ejemplo
αFi + Fj .

Ejemplos
Ejercicios
M´etodo de Eliminaci´on de Gauss

Ejemplos
Ejercicios
Para resolver el sistema lineal:

Ejemplos
Ejercicios
AX = B

Ejemplos
Ejercicios
AX = B
Se considera la Matriz Aumentada

Ejemplos
Ejercicios
AX = B
Se considera la Matriz Aumentada (A|B)

Ejemplos
Ejercicios
AX = B
Se considera la Matriz Aumentada (A|B) (Adicionamos una
columna(t´erminos independientes) a la matriz de coeﬁcientes)

Ejemplos
Ejercicios
AX = B
columna(términos independientes) a la matriz de coeficientes) y
está se reduce a la forma escalonada por filas, se despeja el valor
de la última incógnita y después se usa la sustitución hacia atrás
para las demás incógnitas.

Ejemplos
Ejercicios
AX = B
columna(términos independientes) a la matriz de coeficientes) y
está se reduce a la forma escalonada por filas, se despeja el valor
de la última incógnita y después se usa la sustitución hacia atrás
para las demás incógnitas.
(A|B) ∼∼ ...... ∼ (A
′
|B
′
)

Ejemplos
Ejercicios
M´etodo de Eliminaci´on de Gauss-Jordan

Ejemplos
Ejercicios

Ejemplos
Ejercicios
AX = B

Ejemplos
Ejercicios
AX = B
La Matriz Aumentada se reduce a la forma escalonada reducida
por ﬁlas.

Ejemplos
Ejercicios
AX = B
La Matriz Aumentada se reduce a la forma escalonada reducida
por ﬁlas.
(A|B) ∼∼ ...... ∼ (A”|B”)

Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Estudiar la consistencia o inconsitencia del sistema:


2x1 − 4x2 + 16x3 − 14x4 = 10
−x1 + 5x2 − 17x3 + 19x4 = −2
x1 − 3x2 + 11x3 − 11x4 = 4
3x1 − 4x2 + 18x3 − 13x4 = 17

Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo


2x1 − 4x2 + 16x3 − 14x4 = 10
−x1 + 5x2 − 17x3 + 19x4 = −2
x1 − 3x2 + 11x3 − 11x4 = 4
3x1 − 4x2 + 18x3 − 13x4 = 17




2 −4 16 −14 |10
−1 5 −17 19 | − 2
1 −3 11 −11 |4
3 −4 18 −13 |17





Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo


2x1 − 4x2 + 16x3 − 14x4 = 10
−x1 + 5x2 − 17x3 + 19x4 = −2
x1 − 3x2 + 11x3 − 11x4 = 4
3x1 − 4x2 + 18x3 − 13x4 = 17




2 −4 16 −14 |10
−1 5 −17 19 | − 2
1 −3 11 −11 |4
3 −4 18 −13 |17



 ∼F1←→F3




1 −3 11 −11 |4
−1 5 −17 19 | − 2
2 −4 16 −14 |10
3 −4 18 −13 |17





Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo


2x1 − 4x2 + 16x3 − 14x4 = 10
−x1 + 5x2 − 17x3 + 19x4 = −2
x1 − 3x2 + 11x3 − 11x4 = 4
3x1 − 4x2 + 18x3 − 13x4 = 17




2 −4 16 −14 |10
−1 5 −17 19 | − 2
1 −3 11 −11 |4
3 −4 18 −13 |17



 ∼F1←→F3




1 −3 11 −11 |4
−1 5 −17 19 | − 2
2 −4 16 −14 |10
3 −4 18 −13 |17



 ∼F1+F2 −2F1+F3 −3F1+F4

Ejemplos
Ejercicios




1 −3 11 −11 |4
0 2 −6 8 |2
0 2 −6 8 |2
0 5 −15 20 5





Ejemplos
Ejercicios




1 −3 11 −11 |4
0 2 −6 8 |2
0 2 −6 8 |2
0 5 −15 20 5



∼1
2
F2




1 −3 11 −11 |4
0 1 −3 4 |1
0 2 −6 8 |2
0 5 −15 20 |5





Ejemplos
Ejercicios




1 −3 11 −11 |4
0 2 −6 8 |2
0 2 −6 8 |2
0 5 −15 20 5



∼1
2
F2




1 −3 11 −11 |4
0 1 −3 4 |1
0 2 −6 8 |2
0 5 −15 20 |5




∼−2F2+F3 −5F2+F4




1 −3 11 −11 |4
0 1 −3 4 |1
0 0 0 0 |0
0 0 0 0 |0





Ejemplos
Ejercicios




1 −3 11 −11 |4
0 2 −6 8 |2
0 2 −6 8 |2
0 5 −15 20 5



∼1
2
F2




1 −3 11 −11 |4
0 1 −3 4 |1
0 2 −6 8 |2
0 5 −15 20 |5




∼−2F2+F3 −5F2+F4




1 −3 11 −11 |4
0 1 −3 4 |1
0 0 0 0 |0
0 0 0 0 |0



↑

Ejemplos
Ejercicios
x2 − 3x3 + 4x4 = 1

Ejemplos
Ejercicios
x2 − 3x3 + 4x4 = 1
x2 = 1 + 3x3 − 4x4 x3, x4 ∈ R

Ejemplos
Ejercicios
x2 − 3x3 + 4x4 = 1
x2 = 1 + 3x3 − 4x4 x3, x4 ∈ R
x1 − 3x2 + 11x3 − 11x4 = 4

Ejemplos
Ejercicios
x2 − 3x3 + 4x4 = 1
x2 = 1 + 3x3 − 4x4 x3, x4 ∈ R
x1 − 3x2 + 11x3 − 11x4 = 4
x1 = 4 + 3x2 − 11x3 + 11x4

Ejemplos
Ejercicios
x2 − 3x3 + 4x4 = 1
x2 = 1 + 3x3 − 4x4 x3, x4 ∈ R
x1 − 3x2 + 11x3 − 11x4 = 4
x1 = 4 + 3x2 − 11x3 + 11x4
x1 = 4 + 3(1 + 3x3 − 4x4) − 11x3 + 11x4

Ejemplos
Ejercicios
x2 − 3x3 + 4x4 = 1
x2 = 1 + 3x3 − 4x4 x3, x4 ∈ R
x1 − 3x2 + 11x3 − 11x4 = 4
x1 = 4 + 3x2 − 11x3 + 11x4
x1 = 4 + 3(1 + 3x3 − 4x4) − 11x3 + 11x4
x1 = 7 − 2x3 − x4

Ejemplos
Ejercicios
x2 − 3x3 + 4x4 = 1
x2 = 1 + 3x3 − 4x4 x3, x4 ∈ R
x1 − 3x2 + 11x3 − 11x4 = 4
x1 = 4 + 3x2 − 11x3 + 11x4
x1 = 4 + 3(1 + 3x3 − 4x4) − 11x3 + 11x4
x1 = 7 − 2x3 − x4
Conjunto soluci´on:
S = {(7 − 2x3 − x4, 1 + 3x3 − 4x4, x3, x4)t | x3, x4 ∈ R}

Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Encontrar una funci´on cuadr´atica que pase por los
puntos:P(−1, 4), Q(2, 1) y R(3, 4).

Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
puntos:P(−1, 4), Q(2, 1) y R(3, 4).
Soluci´on

Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
puntos:P(−1, 4), Q(2, 1) y R(3, 4).
Solución
Una función cuadrática es de la forma:
y = ax2 + bx + c

Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
puntos:P(−1, 4), Q(2, 1) y R(3, 4).
Soluci´on
y = ax2 + bx + c
Como contiene los puntos: P, Q y R, entonces al reemplazar sus
coordenadas obtenemos el sistema:

Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
puntos:P(−1, 4), Q(2, 1) y R(3, 4).
Soluci´on
y = ax2 + bx + c
Como contiene los puntos: P, Q y R, entonces al reemplazar sus
coordenadas obtenemos el sistema:



a − b + c = 4
4a + 2b + c = 1
9a + 3b + c = 4

Ejemplos
Ejercicios
Soluci´on Continuaci´on

Ejemplos
Ejercicios
La matriz aumentada es:


1 −1 1 |4
4 2 1 |1
9 3 1 |4



Ejemplos
Ejercicios


1 −1 1 |4
4 2 1 |1
9 3 1 |4


Aplicamos Gauss-Jordan

1 −1 1 |4
4 2 1 |1
9 3 1 |4

 ∼


1 −1 1 | 4
0 6 −3 | − 15
0 12 −8 | − 32

 ∼


1 −1 1 |4
0 1 −1
2 |−5
2
0 12 −8 | − 32

 ∼


1 −1 1 | 4
0 1 −1
2 | −5
2
0 0 −2 | − 2

 ∼


1 −1 1 | 4
0 1 −1
2 |−5
2
0 0 1 |1



Ejemplos
Ejercicios


1 −1 1 |4
4 2 1 |1
9 3 1 |4



1 −1 1 |4
4 2 1 |1
9 3 1 |4

 ∼


1 −1 1 | 4
0 6 −3 | − 15
0 12 −8 | − 32

 ∼


1 −1 1 |4
0 1 −1
2 |−5
2
0 12 −8 | − 32

 ∼


1 −1 1 | 4
0 1 −1
2 | −5
2
0 0 −2 | − 2

 ∼


1 −1 1 | 4
0 1 −1
2 |−5
2
0 0 1 |1

 se aplicaron las operaciones:

Ejemplos
Ejercicios


1 −1 1 |4
4 2 1 |1
9 3 1 |4



1 −1 1 |4
4 2 1 |1
9 3 1 |4

 ∼


1 −1 1 | 4
0 6 −3 | − 15
0 12 −8 | − 32

 ∼


1 −1 1 |4
0 1 −1
2 |−5
2
0 12 −8 | − 32

 ∼


1 −1 1 | 4
0 1 −1
2 | −5
2
0 0 −2 | − 2

 ∼


1 −1 1 | 4
0 1 −1
2 |−5
2
0 0 1 |1

 se aplicaron las operaciones:
−4F1 + F2; −9F1 + F3; 1
6 F2; −12F2 + F3; −1
2 F3.

Ejemplos
Ejercicios
Continuaci´on

Ejemplos
Ejercicios
Continuación
De la última fila:
c = 1
De la segunda fila:
b = −5
2 + 1
2 (1) = −2
De la primera fila:
a = 4 + (−2) − (1) = 1
Solución Unica

Ejemplos
Ejercicios
Continuación
De la última fila:
c = 1
De la segunda fila:
b = −5
2 + 1
2 (1) = −2
De la primera fila:
a = 4 + (−2) − (1) = 1
Solución Unica
La función cuadrática buscada es:
y = x2 − 2x + 1

Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Balancear la reacci´on quimica:

Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
xCH4 + yO2 → zCO2 + wH2O

Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Soluci´on

Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Solución
x, y, z, w representan el número de móleculas de cada sustancia,
para tener balanceada la reacción el número de átomos en cada
miembro debe ser igual, es decir:

Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Soluci´on
x = z, 4x = 2w, y 2y = 2z + w
Equivalente al sistema:

Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Soluci´on
x = z, 4x = 2w, y 2y = 2z + w
Equivalente al sistema:



x − z = 0
2x − w = 0
2y − 2z − w = 0
Sistema Homog´eneo

Ejemplos
Ejercicios
Continuaci´on Soluci´on

Ejemplos
Ejercicios

Ejemplos
Ejercicios


1 0 −1 0 |0
2 0 0 −1 |0
0 2 −2 −1 |0



Ejemplos
Ejercicios


1 0 −1 0 |0
2 0 0 −1 |0
0 2 −2 −1 |0


Aplicamos Gauss

Ejemplos
Ejercicios


1 0 −1 0 |0
2 0 0 −1 |0
0 2 −2 −1 |0


Aplicamos Gauss

1 0 −1 0 |0
2 0 0 −1 |0
0 2 −2 −1 |0

 ∼


1 0 −1 0 |0
0 0 2 −1 |0
0 2 −2 −1 |0

 ∼


1 0 −1 0 |0
0 2 −2 −1 |0
0 0 2 −1 |0

 ∼


1 0 −1 0 |0
0 1 −1 −1
2 |0
0 0 1 −1
2 |0



Ejemplos
Ejercicios


1 0 −1 0 |0
2 0 0 −1 |0
0 2 −2 −1 |0


Aplicamos Gauss

1 0 −1 0 |0
2 0 0 −1 |0
0 2 −2 −1 |0

 ∼


1 0 −1 0 |0
0 0 2 −1 |0
0 2 −2 −1 |0

 ∼


1 0 −1 0 |0
0 2 −2 −1 |0
0 0 2 −1 |0

 ∼


1 0 −1 0 |0
0 1 −1 −1
2 |0
0 0 1 −1
2 |0


De la tercera ﬁla se obtiene: z = 1
2 w
De la segunda ﬁla:y = z + 1
2w = 1
2w + 1
2w = w
De la primera: x = z

Ejemplos
Ejercicios


1 0 −1 0 |0
2 0 0 −1 |0
0 2 −2 −1 |0


Aplicamos Gauss

1 0 −1 0 |0
2 0 0 −1 |0
0 2 −2 −1 |0

 ∼


1 0 −1 0 |0
0 0 2 −1 |0
0 2 −2 −1 |0

 ∼


1 0 −1 0 |0
0 2 −2 −1 |0
0 0 2 −1 |0

 ∼


1 0 −1 0 |0
0 1 −1 −1
2 |0
0 0 1 −1
2 |0


De la tercera fila se obtiene: z = 1
2 w
De la segunda fila:y = z + 1
2w = 1
2w + 1
2w = w
De la primera: x = z
El conjunto solución del sistema de ecuaciones es:
S = {(x, y, z, w) = (1
2 w, w, 1
2w, w)|w ∈ R} Infinitas soluciones

Ejemplos
Ejercicios
Pero en el contexto del problema, x, y, z y w deben tomar valores
enteros positivos por lo tanto el menor valor que puede tomar w es
2.
Y si es as´ı una de las soluciones del problema es:

Ejemplos
Ejercicios
Pero en el contexto del problema, x, y, z y w deben tomar valores
enteros positivos por lo tanto el menor valor que puede tomar w es
2.
Y si es as´ı una de las soluciones del problema es:
x = 1
y = 2
z = 1
w = 2

Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Determinar (si existen ) valores de x, y, z para los cuales la matriz:

Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
A =


3 2x − 1 −y + 5z
y − 3z −2 3 + 5x + 5y
3x + 2 21z 4


es sim´etrica.

Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
A =


3 2x − 1 −y + 5z
y − 3z −2 3 + 5x + 5y
3x + 2 21z 4


es sim´etrica.
Soluci´on

Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
A =


3 2x − 1 −y + 5z
y − 3z −2 3 + 5x + 5y
3x + 2 21z 4


es simétrica.
Solución
La matriz A es simétrica si satisface que A = At, por lo tanto se
debe cumplir:

Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
A =


3 2x − 1 −y + 5z
y − 3z −2 3 + 5x + 5y
3x + 2 21z 4


es sim´etrica.
Soluci´on
debe cumplir:


2x − 1 = y − 3z
−y + 5z = 3x + 2
21z = 3 + 5x + 5y

Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
A =


3 2x − 1 −y + 5z
y − 3z −2 3 + 5x + 5y
3x + 2 21z 4


es sim´etrica.
Soluci´on
debe cumplir:


2x − 1 = y − 3z
−y + 5z = 3x + 2
21z = 3 + 5x + 5y
⇄



2x − y + 3z = 1
3x + y − 5z = −2
5x + 5y − 21z = −3

Ejemplos
Ejercicios
Soluci´on-Continuaci´on

Ejemplos
Ejercicios
La matriz aumentada es:

2 −1 3 |1
3 1 −5 | − 2
5 5 −21 | − 3



Ejemplos
Ejercicios

2 −1 3 |1
3 1 −5 | − 2
5 5 −21 | − 3


Aplicando operaciones elementales (¿Cu´ales?) se obtiene:

Ejemplos
Ejercicios

2 −1 3 |1
3 1 −5 | − 2
5 5 −21 | − 3


Aplicando operaciones elementales (¿Cu´ales?) se obtiene:

2 −1 3 |1
3 1 −5 | − 2
5 5 −21 | − 3

 ∽ · · · ∽


1 2 −8 |1
0 −5 −19 | − 7
0 0 0 |10



Ejemplos
Ejercicios

2 −1 3 |1
3 1 −5 | − 2
5 5 −21 | − 3



2 −1 3 |1
3 1 −5 | − 2
5 5 −21 | − 3

 ∽ · · · ∽


1 2 −8 |1
0 −5 −19 | − 7
0 0 0 |10


En la ´ultima ﬁla se lee que 0 = 10 (→←֓) Contradictorio.

Ejemplos
Ejercicios

2 −1 3 |1
3 1 −5 | − 2
5 5 −21 | − 3



2 −1 3 |1
3 1 −5 | − 2
5 5 −21 | − 3

 ∽ · · · ∽


1 2 −8 |1
0 −5 −19 | − 7
0 0 0 |10


En la última fila se lee que 0 = 10 (→←֓) Contradictorio.
Esto nos permite concluir que este sistema es Inconsistente y por
lo tanto en el problema no es posible que la matriz A sea simétrica.

Ejemplos
Ejercicios
Ejercicio
1. Determinar los valores de a para los que el sistema:


x + 2y − 3z = 5
2x + 5y − 3z = 14
x + 3y + (4 − a2)z = a + 7
Tiene única solución, tiene infinitas soluciones ó es
inconsistente.

Ejemplos
Ejercicios
Ejercicio
1. Determinar los valores de a para los que el sistema:


x + 2y − 3z = 5
2x + 5y − 3z = 14
x + 3y + (4 − a2)z = a + 7
Tiene única solución, tiene infinitas soluciones ó es
inconsistente.
2. La matriz
6 −8
−1 8
es combinación lineal de las matrices:
A =
4 0
−2 −2
B =
1 −1
2 3
C =
0 2
1 4
?

Ejemplos
Ejercicios
3. En un lago se cultivan tres especies de peces y les suministran tres tipos de
alimento. Cada pez de la especie 1 consume, por semana, un promedio de 1
unidad de alimento A, 1 unidad del alimento B y 2 unidades del alimento C.
Cada pez de la especie 2 , consume por semana en promedio 3, 4 y 5
unidades de los alimentos A,B y C respectivamente. El consumo semanal
promedio de cada pez de la especie 3 es 2,1 y 5 unidades de los alimentos
A,B y C respectivamente.Si semanalmente se vierten al lago 15000
unidades de A, 10000 unidades de B y 35000 unidades de C y se consumen
la totalidad de los tres alimentos.¿Qu´e poblaciones de las tres especies
pueden coexistir en el lago?
3. Determinar si existe una matriz X2×2 que satisfaga la igualdad:
2 6
1 3
X + 2
−1 2
3 1
=
8 11
6 3
t

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