Aceleración de coriolis

UNIVERSIDAD DE CARABOBO
FACULTAS DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERÍA MECÁNICA
DPTO. DISEÑO MECÁNICO Y AUTOMATIZACIÓN

ACELERACIÓN

ASIGNATURA: MECANISMOS CÓDIGO: DA5M03 Prof.: Carlos Morales Rev.: Dic 2.006

UNIVERSIDAD DE CARABOBO MANUAL DE MECANISMOS
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERÍA MECÁNICA ACELERACIÓN
PÁGINA: 5-A – 1 de 16

INTRODUCCIÓN

El estudio de las aceleraciones en los mecanismos articulados coplanares se puede
abordar ya sea por métodos analíticos o por métodos gráficos. Este capítulo se
determinará las aceleraciones para cualquier punto de un mecanismo haciendo uso del
método gráfico de los Polígonos de Aceleración. Para su comprensión y desarrollo es
necesario el conocimiento y dominio de los polígonos de velocidades. La complejidad
de este tema se debe principalmente a la incorporación de nuevos conceptos, como la
aceleración de Coriolis, y la necesidad de trabajar con sistemas de ecuación
vectoriales más complejas que las utilizadas en los polígonos de velocidades. Este
último aspecto se deriva del requerimiento de desglosar los vectores de aceleración en
dos componentes para cada punto (normal y tangencial). A diferencia del análisis
gráfico de velocidad, los centros instantáneos de aceleración no serán tratados en este
manual por su poca incidencia en los estudios cinemáticos de los mecanismos.



ÍNDICE

ACELERACIÓN .............................................................................................................................................. 4

A.1 Polígono de Aceleración ................................................................................................................. 5

A.1.1 Aceleración Relativa / Diferencia de Aceleración ................................................................. 5

A.1.2 Aceleración Relativa / Aceleración de Coriolis ..................................................................... 6

A.2 Polígono de Aceleraciones. Ejercicio............................................................................................ 12

REFERENCIAS ......................................................................................................................................... 13



Lista de figuras

Figura. A.1 Aceleración normal y tangencial ................................................................................ 4

Figura. A.2 Aceleración Relativa ................................................................................................... 5

Figura. A.3 Perfil de Aceleraciones ............................................................................................... 5

Figura. A.4 Aceleración de Coriolis ............................................................................................... 6

Figura. A.5 Dirección de la Aceleración de Coriolis. Corredera curva ........................................... 8

Figura. A.6 Polígono de aceleraciones. Corredera curva ............................................................. 8

Figura. A.7 Dirección de la Aceleración de Coriolis. Corredera recta ............................................ 10

Figura. A.8 Polígono de aceleraciones. Corredera recta .............................................................. 10

Figura. A.9 Mecanismo equivalente al portador curvo .................................................................. 11

Figura. A.10 Polígono de velocidades del mecanismos de 6 barras ............................................... 12

Figura. A.11 Polígono de aceleraciones en el punto A del mecanismos de 6 barras ...................... 13

Figura. A.12 Perfil de aceleraciones en la barra 4 del mecanismos de 6 barras ............................. 14

Figura. A.13 Polígono de aceleraciones de la barra 5 del mecanismos de 6 barras........................ 14



ACELERACIÓN
En el estudio de los mecanismos la aceleración representa un parámetro básico para la evaluación de las
fuerzas de inercia. Al igual que en la velocidad, la aceleración puede determinarse a partir de métodos
analíticos y por métodos gráficos. Si bien los métodos gráficos tienen sus limitaciones, su estudio es de
gran importancia para la comprensión cinemática de los mecanismos y sirve como herramienta para la
verificación de resultados obtenidos a partir de ecuaciones.
La aceleración se define como la razón de cambio de velocidad respecto del tiempo de un punto o
partícula que pertenece a un cuerpo.
La aceleración, como la velocidad, es una cantidad vectorial; y se define como la derivada de la velocidad
respecto del tiempo.
La aceleración angular se representa como α y la aceleración lineal como A, donde:
dω dV
α= A= (ec.a. 1)
dt dt
A diferencia de la velocidad, la aceleración de una partícula que rota respecto a un punto tiene dos
componentes; la aceleración normal o radial y la aceleración tangencial o transversal. Ver figura A.1.

n t
A = A +A (ec.a. 2)

Figura. A.1. Aceleración normal y tangencial
n
La aceleración normal A se presenta debido a la dirección cambiante del vector de velocidad cuando un
punto rota. La dirección es siempre radial y su sentido va desde el punto que se encuentra en movimiento
hacia el centro de rotación de referencia. La magnitud de la aceleración normal depende de la velocidad
de la particula y del radio de rotación y viene dada por las siguientes ecuaciones:
2 2 2
⎛V⎞ V V
A = ⎜ ⎟ ×R =
n n n
A = ω ×R 2
A = (ec.a. 3)
⎜R⎟ R R
⎝ ⎠
Un caso especial de la aceleración normal es cuando la barra se encuentra en traslación pura. Cuando un
cuerpo se traslada el radio de rotación tiende a infinito y la aceleración normal es igual a cero (R=∞ ⇒
An=0).
t
La aceleración tangencial A se define como la razón del cambio de la aceleración angular. La dirección
es tangencial a la trayectoria (90º de la An) y el sentido está dado por la aceleración angular. La magnitud
de la aceleración tangencial depende de la aceleración angular y del radio de rotación y viene dada por la
siguiente ecuación:
t
A = α×R (ec.a. 4)



A.1 Polígono de Aceleración
A diferencia de la velocidad, para la aceleración sólo se puede emplear el polígono de aceleraciones como
método gráfico para resolver problemas.
Para la aplicación del polígono de aceleraciones se requiere la comprensión del movimiento relativo entre
dos partículas.

A.1.1 Aceleración Relativa / Diferencia de Aceleración
Cuando la aceleración está referida a la tierra (sistema de referencia) se denomina aceleración absoluta.
En cambio, cuando la aceleración esta referida a un observador que pudiera estar en movimiento se
denomina aceleración relativa. La diferencia de aceleración está referida al movimiento relativo entre dos
partículas que pertenecen a un cuerpo rígido (barra). Ver figura A.2.

AA = aceleración absoluta del punto A
observado desde la referencia Por definición se tiene que:
AB = aceleración absoluta del punto B
observado desde la referencia
A B = A A + A B/A (ec.a. 5)
AB/A= aceleración relativa del punto B
observado desde el punto A

Figura. A.2. Aceleración Relativa

La ecuación de diferencia de aceleración se puede expresar de la siguiente forma
0
n t n t n t
AB + AB = AA + AA + AB/ A + AB/ A (ec.a. 6)

Perfil de Aceleraciones (P.A.)
Como las partículas que pertenecen a una barra tienen la misma velocidad y aceleración angular cuando
éstas están rotando, las dos componentes de la aceleración (An y At) son directamente proporcionales al
radio de rotación. Como se observa en la figura A.3, la dirección del vector de aceleración siempre
mantiene la misma inclinación respecto al radio y su sentido corresponde al de la aceleración angular.

Figura. A.3. Perfil de Aceleraciones
Se define perfil de aceleraciones como el lugar geométrico donde se representan todas las magnitudes de
los vectores de aceleración que pertenecen a una misma barra. En los perfiles de aceleración los vectores
tienen la misma dirección y sentido.



A.1.2 Aceleración Relativa / Aceleración de Coriolis
Un caso especial es el movimiento relativo entre dos puntos coincidentes en barras distintas. En este caso
se va a considerar el movimiento deslizante entre dos eslabones. La aceleración relativa está compuesta
por tres vectores: La aceleración normal, la aceleración deslizante (equivalente a la tangencial) y la
aceleración de Coriolis. Ver figura A.4.a.

a) Corredera curva b) Corredera recta
Figura. A.4. Aceleración de Coriolis
Aceleración normal: Esta aceleración no representa la componente usual de dos puntos en el mismo
cuerpo. El módulo de la aceleración normal se puede calcular a partir de la siguiente ecuación
2
VS
A =
n
(ec.a. 7)
R
Donde VS es el módulo de la velocidad deslizante (velocidad relativa entre dos puntos coincidentes) y R es
el radio de curvatura instantáneo de la trayectoria de la corredera respecto al portador. Un caso particular
es el mostrado en la figura A.4.b, donde el movimiento entre las dos superficies es lineal, es decir el
portador se representa con una barra recta; en este caso R = ∞ An = 0.
La dirección y sentido de la aceleración normal de dos puntos coincidentes (deslizantes) va desde el punto
en movimiento “C” hacia su centro relativo de rotación “X”.
Aceleración Deslizante: Este componente representa la derivada de la velocidad deslizante y su
dirección coincide con la de la velocidad deslizante (tangente a la superficie deslizante o perpendicular a
la componente normal). La magnitud y sentido de la componente deslizante se obtiene de la resolución
gráfica del polígono de aceleración.
Aceleración de Coriolis: Esta aceleración se produce cuando un punto está girando y simultáneamente
cambiando su radio de rotación respecto a un punto de referencia. El módulo de la aceleración de Coriolis
se determina a partir de la siguiente ecuación:
c S
A Coriolis = A = 2 × ωPortador × V (ec.a. 8)

Como se puede observar la aceleración se presenta cuando simultáneamente la partícula está rotando
(ωPortador) y está cambiando la distancia del centro de rotación VS. Si alguno de los dos componentes es
igual a cero la aceleración de Coriolis desaparece (Ac = 0).
La dirección y sentido de la aceleración de Coriolis se establece de acuerdo al siguiente enunciado: La
aceleración de Coriolis está 90° de la velocidad deslizante en sentido de la velocidad angular del Portador.



Polígono de Aceleraciones / Aceleración de Coriolis con Portador curvo
En el mecanismo de cuatro barras que se muestra a continuación se aprecia como se puede desarrollar la
ecuación y el polígono de aceleración cuando hay presente una corredera que genera un deslizamiento no
lineal respecto al portador. El análisis considera como variables conocidas la velocidad y aceleración
angular del portador.
La ecuación tiene como premisa que el polígono de velocidades se ha desarrollado con antelación y se
procede a determinar la aceleración angular de la corredera (componente de aceleración tangencial).

ACorredera = APortador + ACorredera / Portador
AC = AP + AC / P (ec.a. 9)
Como el portador presenta una curvatura de radio conocido es necesario incorporar a la aceleración
relativa la componente normal; en adición a las componentes deslizante y de Coriolis.
n t n t s n c
AC + AC = A P + A P + AC / P + AC / P + AC / P (ec.a. 10)
Para desarrollar la ecuación vectorial del polígono de aceleraciones se debe analizar separadamente los
módulos y las direcciones como si se tratara de dos ecuaciones. Si el análisis arroja dos incógnitas, ya
sean módulos o direcciones, la ecuación tiene resolución vectorial.
Para el análisis suele ser conveniente expresar la aceleración angular en función de vectores de velocidad
conocidos de las barras, en lugar de la velocidad angular.

n t n t s n c
V AC + AC = AP + AP + AC / P + AC / P + AC / P
2
VC
2
VP
2
α P × PR + VC / P 2 × ωP × V C / P
S
M + ? = + ? + +
CQ PR PX

⊥ PX // PX
⊥ PR
(⊥ V )
C→Q ⊥ CQ P→R + P→X +
( ) s s
D + = + +
// V

En el polígono de aceleración se desarrolla la suma vectorial de cada lado de la igualdad desde el polo,
comenzando por los vectores conocidos (módulo y dirección) y dejando para el final de cada sumatoria los
vectores desconocidos.
Para la figura A.5, el lado derecho de la ecuación se inicia con el vector de aceleración normal del punto C
y finaliza con la dirección de la componente tangencial del mismo punto.
Para el lado derecho se inicio la suma vectorial con las componentes tangencial y normal del punto P,
seguido de la componente normal y de Coriolis de la aceleración relativa y al final se indicó la dirección de
la componente deslizante de la aceleración relativa (C/P).
t
El sentido de la aceleración tangencia A P corresponde al sentido de la aceleración angular del portador.



Como se observa en la figura A.5, el sentido de la aceleración de Coriolis se determina girando el vector
de la velocidad deslizante 90º en sentido de la velocidad angular del Portador.

Figura. A.5. Dirección de la Aceleración de Coriolis. Corredera curva

El orden de la sumatoria de vectores en el polígono de aceleraciones de la figura A.6 se puede alterar en
caso que se desee evitar la superposición de los vectores; sin embargo, lo más adecuado es mantener la
secuencia indicada en la ecuación vectorial.

Figura. A.6. Polígono de aceleraciones. Corredera curva

Como se puede observar en el polígono de aceleración de la figura A.6, la solución al sistema de
ecuaciones se obtiene cuando ambos lados sistema se igualan. La solución corresponde a la intercepción
de la dirección de la aceleración deslizante (lado derecho de la igualdad) con la dirección de la aceleración
tangencial de la corredera (lado izquierdo de la igualdad). Una vez identificados todos los vectores se
pueden obtener gráficamente las magnitudes de las aceleraciones.
A partir de la aceleración tangencial AtC se obtiene la aceleración angular αC.
t
AC
αC =
CQ



Polígono de Aceleraciones / Aceleración de Coriolis con Portador recto
En el mecanismo de cuatro barras que se muestra a continuación se puede apreciar como se desarrolla la
ecuación y el polígono de aceleración cuando el portador es recto (radio infinito). El análisis considera
como variables conocidas la velocidad y aceleración angular del portador.
La ecuación tiene como premisa que el polígono de velocidades se ha desarrollado con antelación
(Velocidad Relativa V.3.2) y se procede a determinar el componente de aceleración tangencial de la
corredera.
Al ser recto el portador, el radio de curvatura de la trayectoria es infinito y la componente normal igual a
cero. De lo anterior se obtiene como componentes de la aceleración relativa la aceleración deslizante y la
aceleración de Coriolis.

A Corredera = A Portador + A Corredera / Portador
AC = AP + AC / P
0
n t n t s n c
A +A =A +A +A
C C P P C/P +A C/P + AC / P
Para desarrollar la ecuación vectorial del polígono de aceleraciones se debe analizar separadamente los
módulos y las direcciones como si se tratara de dos ecuaciones. Si el análisis arroja dos incógnitas, ya
sean módulos o direcciones, la ecuación tiene resolución vectorial.
Para el análisis suele ser conveniente expresar la aceleración angular en función de vectores de velocidad
conocidos de las barras, en lugar de la velocidad angular.

n t n t s c
V AC + AC = AP + AP + AC / P + AC / P
2 2
VC VP S
M + ? = + α P × PR + ? + 2 × ωP × V C / P
CQ PR
D C→Q + ⊥ CQ = P→R + ⊥ PR + // V
s
+ ⊥ PR

En el polígono de aceleración se desarrolla la suma vectorial de cada lado de la igualdad desde el polo,
comenzando por los vectores conocidos (módulo y dirección) y dejando para el final de cada sumatoria los
vectores desconocidos.
Para la figura A.6, el lado derecho de la ecuación se inicia con el vector de aceleración normal del punto C
y finaliza con la dirección de la componente tangencial del mismo punto.
Para el lado derecho se inició la suma vectorial con las componentes tangencial y normal del punto P,
seguido de la aceleración de Coriolis y al final se indicó la dirección de la componente deslizante de la
aceleración relativa.
t
El sentido de la aceleración tangencia A P corresponde al sentido de la aceleración angular del portador.



Como se observa en la figura A.7, el sentido de la aceleración de Coriolis se determina girando el vector
de la velocidad deslizante 90º en sentido de la velocidad angular del Portador.

Figura. A.7. Dirección de la Aceleración de Coriolis. Corredera recta.

El orden de la sumatoria de vectores en el polígono de aceleraciones de la figura A.8 se puede alterar en
caso que se desee evitar la superposición de los vectores; sin embargo, lo más adecuado es mantener la
secuencia indicada en la ecuación vectorial.

Figura. A.8. Polígono de aceleraciones. Corredera recta
Como se puede observar en el polígono de aceleración, la solución al sistema de ecuaciones se obtiene
cuando ambos lados de la igualdad se igualan. La solución corresponde a la intercepción de la dirección
de la aceleración deslizante (lado derecho de la igualdad) con la dirección de la aceleración tangencial de
la corredera (lado izquierdo de la igualdad). Del polígono se puede obtener gráficamente las magnitudes
de las aceleraciones antes señaladas.
t
A partir de la AtC se obtiene la αC. AC
αC =
CQ



Mecanismo de cuatro barras equivalente al portador curvo.
Para mecanismos donde están presentes correderas con centros de curvatura conocidas se pueden
emplear mecanismos equivalentes que permiten estudiar el comportamiento cinemático. Como se puede
ver en la figura A.9, estos mecanismos se obtienen reemplazando el portador y la corredera por dos
barras binarias. El portador es sustituido por una barra que va desde su punto de pivote hasta el centro de
curvatura de la superficie del portador. El par cinemático de deslizamiento se reemplaza por una barra
binaria que va desde el acople de la corredera hasta el centro de curvatura del portador. En caso de que
la curvatura sea variable se debe utilizar el centro instantáneo de velocidad de la corredera respecto al
portador.

Figura. A.9. Mecanismo equivalente al portador curvo



A.2 Polígono de Aceleraciones. Ejercicio.
A continuación se presenta una secuencia para determinar la aceleración del punto B del mecanismo
indicado en la figura A.10, a partir de la velocidad conocida del punto A2. El polígono de velocidad ya
desarrollado se muestra en el lado derecho del mecanismo (Polígono de velocidades V.3.3). Se debe
destacar que cuando no se hace referencia a la aceleración angular de la barra motriz – barra 2 – se
infiere que la velocidad angular es constante y por ende la aceleración angular es igual a cero.

Figura. A.10. Polígono de velocidades del mecanismos de 6 barras
1. El primer paso consiste en determinar todas las aceleraciones normales y de Coriolis presentes
en el mecanismo. La dirección y sentido de los componentes normales van desde el punto de
estudio hacia el centro de rotación respectivo. Todos los módulos son conocidos si se ha
completado con antelación los polígonos de velocidades, ya que estos están en función de la
velocidad y del radio.
2. Para la barra 2 – barra motriz o de entrada – la aceleración tangencial es cero debido que la
aceleración angular de la barra es igual a cero (velocidad angular constante).
3. Para determinar la aceleración del punto B se debe primero determinar la aceleración del punto
A4 (portador) a partir de la aceleración conocida el punto A2 (corredera). La ecuación vectorial se
debe desarrollar planteando la aceleración relativa en función de la deslizante: corredera respecto
al portador. Al aplicar la ecuación de aceleración relativa en las correderas se debe prestar
atención que ésta se corresponda con la velocidad deslizante de la figura A.9 (relación
corredera/portador).

A A2 = A A 4 + A A2 / A4 ⇒ ( A A2 / A4 ↔ V A2 / A4 )
0 0 0
n t n t s n c
A A2 + A A2 = A A4 + A A4 + A A2 / A4 + A A2 / A4 + A A2/ A4

4. Como el portador es recto, la magnitud de la aceleración relativa normal en la corredera es cero.



5. Al desglosar la ecuación en módulo y dirección (dos ecuaciones) se puede observar que el
sistema se puede resolver ya que sólo existen dos incógnitas; que corresponden a los módulos de
la componente tangencial del punto A4 y de la aceleración deslizante A2/A4.

n n t s c
V A A2 = A A4 + A A4 + AC / P + AC / P
S
2 × ω 4 × V A2/A4
2 2
V A2 VA4
M = + ? + ? +
AQ ⎛ V A4 ⎞
AP 2×⎜ ⎟ × VS
⎜ AQ ⎟ A2/A4
⎝ ⎠
s
// V A2/A4
D A→P = A→Q + ⊥ AQ + + ⊥ AQ
// AQ

6. La solución vectorial se observa en la figura A.11, donde primero se representaron los vectores
conocidos desde el “polo” (paso 1) y posteriormente se representaron las direcciones de los
vectores desconocidos (paso 2). La intersección de las dos direcciones representas la solución del
sistema; siendo los segmentos los módulos de los vectores de aceleración de la componente
tangencial del punto A4 y de la aceleración deslizante A2/A4 (AS).

Figura. A.11. Polígono de aceleraciones en el punto A del mecanismos de 6 barras
7. Para determinar el vector de aceleración del punto A4 se procede sumar vectorialmente sus
componentes normal y tangencial como se indica en el paso 3 de la figura A.109.



8. El siguiente paso consiste en determinar la aceleración del punto C, para ello se desarrolla un
perfil de aceleración (P.A.) en la barra 4 como se muestra en la figura A.12 (pasos 4, 5 y 6).

Figura. A.12. Perfil de aceleraciones en la barra 4 del mecanismos de 6 barras

9. Con la aceleración del punto C se procede a determinar la aceleración del punto B. Como se
observa en la ecuación, se puede obtener vectorialmente la aceleración de B – junto con la
componente tangencial de la aceleración relativa – a partir de la aceleración de C.

n t
V AB = AC + AB/ C + AB / C
2
VB / C
M ? = √ + + ?
BC
D // Sup. = √ + B→C + ⊥ BC
10. En la figura A.13 se observa la solución vectorial del sistema de ecuaciones planteado el cual da
como resultado el módulo, la dirección y el sentido del vector de aceleración de B (pasos 7, 8 y 9).

Figura. A.13. Polígono de aceleraciones



NOTAS:
I. Se recomienda, en caso de no tener el valor de KA, determinar todas las aceleraciones normales y
de Coriolis requeridas para resolver el problema.
II. Se debe establecer la relación entre el módulo de la aceleración y la Aceleración Real
Ka =
distancia de papel (KA) tomando en cuenta los valores de aceleración Distancia Papel
calculados. Cada polo de aceleración tiene asociado un valor de KA.
III. Al aplicar la ecuación de aceleración relativa en las correderas se debe prestar atención que ésta
se corresponda con la velocidad deslizante (relación corredera/portador).
IV. Si la barra es recta, la magnitud de la aceleración normal en la corredera es cero.
V. Todas las magnitudes, dirección y sentido de los vectores de aceleración normal y de Coriolis son
conocidos.
VI. Para facilitar el desarrollo de los polígonos de aceleración es importante desarrollar los sistemas
de ecuaciones. Estos nos permiten verificar que se tiene suficiente información para resolver el
sistema de ecuaciones (dos ecuaciones – M y D – y dos incógnitas “?”)
VII. Las ecuaciones de las aceleraciones normales y de Coriolis se pueden desarrollar para ser
calculadas a partir de los módulos de los vectores y no de las velocidades angulares.
VIII. Se debe tener presente que las ecuaciones de aceleración están expresada en función de valores
“reales”. Para la incorporación de magnitudes de “papel” de deben tomar en cuenta los factores
KS, KV y KA.
IX. Las aceleraciones de las partículas de una barra se pueden obtener empleando perfiles de
aceleraciones cuando el centro de rotación es constante en el tiempo – rotación a partir de un par
cinemático de rotación – y esté referido a la tierra u otra barra.
X. Cuando dos puntos pertenecen a una misma barra y su centro de rotación no es constante se
debe resolver a través del polígono de aceleraciones para diferencia de aceleraciones.
XI. Cuando el portador es la barra de referencia (tierra) no hay Coriolis, ya que la velocidad angular
del portador es cero (ω1=0).
XII. Se debe tener presente que los CIV no pueden ser empleados para resolver problemas de
aceleraciones, ya que estos no representan a los Centros Instantáneos de Aceleración.



REFERENCIAS

La revisión analítica de la derivación del vector de velocidad para obtener los vectores
de aceleración se puede realizar en la guía de Ojeda (6); sin embargo, en éste el
análisis sólo contempla las correderas rectas.

Se debe destacar que aún cuando todos los libros de mecanismos son idóneos para
abordar y profundizar el contenido de este capítulo, a continuación se reseñan algunas
recomendaciones. En los apuntes de Torrealba (1), en el Erdman (2) y en el Mabie (5)
el desarrollo del tema se ajusta más al enfoque adoptado por el manual (suma vectorial
como sistema de ecuaciones). El estudio de la aceleración de Coriolis tomando en
correderas no rectas (curvas) sólo es abordado por los apuntes de Torrealba (1), el
Shigley (4) y el Mabie (5), siendo este último el que hace referencia a los mecanismo
de cuatro barras equivalente al portador curvo. Por otro lado, en el manual se adoptó el
término deslizante – empleado en el Norton (3) – para referirnos al componente
tangencial de la aceleración relativa entre puntos coincidentes.


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