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  1. 1. Pontifícia Universidade Católica de Minas GeraisInstituto de Ciências Econômicas e GerenciaisDepartamento de AdministraçãoMétodos QuantitativosAplicados à AdministraçãoProf. Marcelo Resende
  2. 2. Métodos Quantitativos Aplicados à AdministraçãoCronogramaMétodos Quantitativos Aplicados à Administração4º períodoNºAula Conteúdo/Atividade prevista1 Apresentação e considerações gerais2 Análise de Investimentos: conceito, objetivos, problemas de estimativas3 Problemas de estimativas de fluxos de caixa4 Estrutura genérica de fluxo de caixa para análise de investimentos5 Metodologias de avaliação de fluxos: payback e payback atualizado6 Valor atual líquido e Taxa Interna de Retorno7 Pontos de convergência e divergências das metodologias e limitações8 Taxa interna de retorno modificada e valor atual líquido anualizado9 Exercícios de avaliação de fluxo de caixa10 Exercícios de análise de investimentos11 Exercícios de análise de investimentos12 Exercícios de análise de investimentos13 Exercícios de análise de investimentos14 1ª prova – 25 pontos15 Análise de regressão: conceito, objetivos, limitações e equação da reta16 Séries cronológicas e Método dos Mínimos Quadrados17 Coeficiente de Determinação e Inferência em Regressão18 Intervalo de confiança a níveis de certeza19 Observações discrepantes e conclusões20 Exercícios sobre análise de regressão21 Exercícios sobre análise de regressão22 Exercícios sobre análise de regressão23 Risco e Incerteza em negócios individuais.24 Risco em portfólios, diversificação e correlação e carteira de títulos25 2ª prova – 25 pontos26 Números Índices: conceitos, relativos, Laspeyres.27 Deflacionamento e inflacionamento de dados, construção de índices28 Mudança de base e inflacionamento a partir de séries de índices29 Exercícios de números índices30 Diagrama de decisão/tomada de decisão: objetivos. Estudo de caso “Dahran”31 Continuação do estudo de caso32 Exercício de diagramas de decisão33 3ª prova – 30 pontos2
  3. 3. Métodos Quantitativos Aplicados à AdministraçãoANÁLISE DEINVESTIMENTOS1. Introdução2. Estimativa de fluxos de caixa3. Exemplo de montagem de fluxos de caixa4. Métodos de análise3
  4. 4. Métodos Quantitativos Aplicados à Administração1. INTRODUÇÃOQuando uma empresa faz um investimento, ela incorre em saídas correntes decaixa, na "expectativa" de ganhos futuros. Portanto, sabemos que devemosanalisar uma proposta de acordo com seu retorno esperado e tendo em menteos riscos específicos a tais iniciativas.Nesse aspecto, pode-se argumentar que se deva impor uma taxa de descontoajustada ao risco de cada projeto. Para o momento, vamos supor apenas quese estabeleça para a empresa uma taxa de desconto (ver taxa requerida deretorno), não importando os diferentes graus de risco dos projetos. Vale dizerque consideramos constante o complexo do risco ambiente dos negócios daempresa.Adicionalmente, aprofundaremos comentários sobre inflação em análises deinvestimentos, em especial, colocando a necessidade premente decompatibilidade entre fluxos de caixa e taxas de descontos. Assim, se osinvestimentos se ajustam à inflação, estas deverão ser corrigidas igualmente.Pode-se verificar, então, o desamparo em que se processa a ação executiva,sendo, na verdade, uma quimera a ocorrência de fluxos de caixa certos notempo – contrariamente ao que costuma ser apontado em textos introdutóriosde finanças e de matemática financeira.Sendo assim, nos preocuparemos basicamente com os seguintes itens:$ estimativa de fluxos de caixa para as propostas;$ avaliação dos fluxos;$ seleção das propostas.No que se refere às motivações para a geração de propostas, citamos:$ novos produtos ou expansão dos atuais;$ reposição de equipamentos;$ pesquisa e desenvolvimento;$ exploração;$ outros.2. ESTIMATIVA DE FLUXOS DE CAIXAUm dos mais importantes objetivos dentro da análise de investimento é aestimativa de fluxos de caixa futuros, o que influencia sobremaneira a açãogerencial. Veja-se que caixa, e não lucro, é o ponto central para todas asdecisões de uma firma e, por isso, expressamos os benefícios futuros emtermos de fluxo de caixa líquido, ou seja, entradas menos saídas a cadaperíodo.4
  5. 5. Métodos Quantitativos Aplicados à AdministraçãoPara cada proposta de investimento, devemos prover informações sobre fluxosde caixa numa base não apenas após o imposto de renda (IR), mas, ainda, emtermos incrementais. Vale dizer: se a empresa avalia o lançamento de umproduto novo que competirá com sua linha atual de produtos, a consideraçãodesta "canibalização" é vital na análise. Enfatizando, apenas o fluxo de caixaincremental nos interessa.Outra consideração de grande importância se refere aos custos deoportunidade sobre recursos alocados a projetos. Veja-se, por exemplo, emque a consecução de um projeto envolve a ocupação de terrenos próprios, quepoderiam ser vendidos pela empresa. Seu valor de venda deveria ser tratadoexatamente como uma saída de caixa, embora não envolva desembolsoefetivo.A seguir, procedemos à elaboração de uma lista, a mais exaustiva possível,dos problemas associados à constituição de fluxos de caixa de projetos.1. Dimensão temporal do projetoÉ certo que quanto menor o período total considerado tanto menor o valor doprojeto. Os valores concernentes a períodos muito afastados no tempo perdemem relevância e precisão.Ao administrador cabe, portanto, maior atenção e responsabilidade sobre osfluxos iniciais, que são aqueles que mais fortemente impactam o valor atual dosprojetos.2. "Timing" dos fluxos de caixaEste problema é algo sério quando se procede a análises com intervalos detempo anuais. Nesse caso, considerarmos as saídas de caixa no início ou aofinal de um projeto traria diferenças sensíveis, podendo levar à rejeição debons projetos ou à aceitação de projetos danosos à empresa.3. Depreciação na análise de investimentoDepreciação é uma despesa que não envolve desembolso de caixa, porém,seu valor "transita" do balanço patrimonial para a Demonstração deResultados, diminuindo o lucro antes do IR e, portanto, reduzindo o montantede IR a pagar.Além disso, pois há de se ter em conta que, freqüentemente, o período legalpara depreciação não coincide com o período de vida daquele equipamento ouinstalação, que consubstancia o projeto. Naturalmente, tais observações hãode estar presentes na constituição dos fluxos de caixa.4. Movimento de "preços relativos"Este aspecto é de importância capital numa economia inflacionária, em que apar da subida geral dos preços, temos ainda que tais elevações não se dãouniformemente. Se é assim, a demanda pelo produto gerado do projeto deverá5
  6. 6. Métodos Quantitativos Aplicados à Administraçãoapresentar "instabilidades" com o passar do tempo e um acurado levantamentodos fluxos de caixa futuros fica dificultado.5. Constância dos custos de produção ao longo do tempoEste ponto guarda relação com o anterior, na medida em que estamos nosreferindo a movimentos não-uniformes de preços relativos. Assim, se todos ospreços da economia (ou pelo menos aqueles que afetam a empresa maisdiretamente) se movessem com idênticos percentuais, tudo se passaria comonuma economia sem inflação. Porém, esse não é um fato da vida econômica eisso deve ser considerado, quando da estimativa dos fluxos de caixa futuros.6. Consideração dos juros na análise de investimentosAs decisões de financiamento e de investimento são coisas distintos, e nãodevem ser misturadas. Assim sendo, não se deve incluir juros, querepresentam o custo de financiamentos, nos fluxos de caixa previstos para oprojeto. Ou seja, os projetos devem ser avaliados nos seus próprios termos, notocante à capacidade que apresentem de acrescer a base geradora de riquezada empresa.Naturalmente, porém, se um determinado projeto detiver vantagens fiscaisespecíficas, estas deveriam, então, ser consideradas na análise.7. Capital de giroAlém do investimento em ativos, por vezes é preciso que se considerem asnecessidades adicionais de caixa, assim como as decorrentes de políticas deestoques e de contas a receber.Tal "investimento" em capital de giro há de ser tratado como uma saída decaixa no período inicial do projeto, que retornará ao final do período de vida domesmo. Sendo assim, em termos de valor presente, sua consideração vai"contra" a aceitação de projetos, pois que valores mais próximos do períodoinicial impactam mais fortemente o valor atual líquido do que aqueles locadosde maneira mais distante no tempo.Nesse sentido, cada fluxo de caixa no tempo é descontado pelo fator 1/(1+i)t,sendo que "i" representa a taxa requerida de retorno para aceitação de projetose "t" o período de ocorrência de cada fluxo específico. Naturalmente, quantomaior "t", menor o valor atualizado de um fluxo descontado até o período inicial.3. EXEMPLO DE MONTAGEM DE FLUXO DE CAIXASe o projeto sob análise se refere à reposição de máquinas, sem alterar opadrão de oferta de produtos pela empresa, os cálculos deverão incluir tanto asreduções de custos trazidos por tais equipamentos como, ainda, os valoresrelativos à depreciação de ambos os itens, substitutos e substituídos. Vejamoso exemplo a seguir.6
  7. 7. Métodos Quantitativos Aplicados à AdministraçãoDados:(-)Preço da nova máquina: $18.500(-)Custo da instalação: $ 1.000(-)Custo de desmontagem: $ 500(+)Venda da máquina antiga: $ 2.000Investimento Inicial $18.000Aumento de vendas/ano: $ 8.100Imposto de renda 40%Tempo de depreciação:-Máquina antiga: 10 anos-Máquina nova : 5 anosObservação: Tempos de vida útil das máquinas nova e antiga são de,respectivamente, 5 e 10 anos. O valor residual da máquina nova (ao final dos 5anos) é de $1.000. A máquina antiga já tem 5 anos de vida, tendo sidoadquirida por $20.000.A par desses dados, os fluxos de caixa se determinam como a seguir:Valores contábeis Fluxo de caixaAumento de vendas $8.100 $8.100(-)Depreciação s/máquina nova 4.000(+)Deprec. s/máquina antiga 2.000Lucro tributável 6.100(-)Imposto de renda (40%) 2.440 2.440Lucro adicional l======> $3.660Fluxo de Caixa Anual ======> $5.660Assim é que o fluxo de caixa se determina numa base incremental e apósconsideração do imposto de renda.Por agora, temos que análises de investimentos se fariam sobre os fluxos aseguir:Saída inicial (Ano 0): $18.000Fluxo de caixa (Ano 1 ao 4): $ 5.660Fluxo de caixa (Ano 5)*: $ 6.6607
  8. 8. Métodos Quantitativos Aplicados à Administração* FC 1 a 4 + valor residual. Observa-se que tal consideração não é a maisprecisa. Contudo, neste momento, é a que utilizaremos para fins desimplificação, a despeito de não estar considerando a tributação ideal do FC5.4. MÉTODOS DE ANÁLISEUma vez determinado o fluxo de caixa esperado para o projeto, partimos para odetalhamento dos métodos de avaliação de rentabilidade dos mesmos. Vamosnos deter sobre as seguintes metodologias:· Payback· Valor Atual Líquido ou Valor Presente Líquido· Taxa Interna de Retorno· Taxa Interna de Retorno ModificadaNaturalmente, à exceção do primeiro, todos os demais são métodos que seapegam a fluxos de caixa descontados no tempo. Vamos a eles.4.1 Payback (Tempo de retorno)Este método nos diz o número de períodos requeridos para se recuperar asaída inicial de caixa, sendo resultado apenas da relação entre x e y, entre oinvestimento inicial e o fluxo de caixa por período. Por exemplo, no caso acima,teríamos:Payback = $18.000 = 3,18 anos$ 5.660Naturalmente, surgiriam problemas de cálculo caso o fluxo de caixa não fosseuniforme. Tal fórmula só contempla fluxos de caixa uniformes. Assim, noexemplo em pauta, não foi considerado o retorno dado pelo valor residual damáquina nova, ao final do 5o ano.Mas esse não é um grande problema com o método, se pensarmos, porexemplo, no fato de que não são considerados o fluxo de caixa queaconteceriam após o período do Payback. Deixa-se de considerar um montantede $10.300 de entradas.Outro aspecto negativo do método tem como base a máxima de que o dinheirotem valor no tempo, ou seja, é necessário atentar para uma taxa de retornocomo expressão do custo de oportunidades, para que se analise a aceitaçãoou a rejeição de um projeto. E isso não se faz, quando se adota o métodoPayback.8
  9. 9. Métodos Quantitativos Aplicados à AdministraçãoComo observações finais, devemos lembrar que, apesar desses problemasmetodológicos sérios, o método do Payback recebe relativa importância naanálise de investimentos. Talvez isso aconteça porque as administraçõesentendam tal método como uma aproximação ao risco dos projetos. Vale dizer,entende-se que quanto maior o período de recuperação de investimentos maioro risco inerente a cada projeto.De qualquer forma, se se deseja utilizar o Payback, que isto seja feito comoanálise suplementar a outros métodos, buscando, com ele, apenas umaabordagem superficial ao risco do negócio.4.2 Taxa Interna de Retorno (TIR)Este método se insere de fato dentre aqueles que lidam com fluxos de caixadescontados, tomando em conta tanto o aspecto do valor do dinheiro no tempo,como a magnitude e o "timing" dos fluxos ao longo de toda a duração doprojeto.Podemos definir a TIR como a taxa de desconto que zera a diferença entre osvalores presentes dos fluxos de entradas e de saídas de caixa de projetos sobanálise. Enfatizando, ela será a taxa que leva a zero a equação a seguir:n∑ _ FCt __ = 0t=0 (1 + i)tem que,FCt : o fluxo de caixa líquido (entradas menos saídas), relativo a cada período"t"i : a taxa de desconto, a que denominamos TIR;n : número de períodos considerados, ou a dimensão de vida do projeto.Em outras palavras, também é possível definir a TIR como a taxa de descontoque leva a zero o Valor Atual Líquido de um projeto.Com o fim de levantarmos a TIR do projeto em pauta, teremos:-18.000 + 5.660 + 5.660 + 5.660 + 5.660 + 6.660 = 0(1+i)1 (1+i)2 (1+i)3 (1+i)4 (1+i)5Perfazendo os cálculos por interpolação (exatamente como o faria uma planilhaeletrônica em computador), encontraríamos a taxa de 18,33% a.a. Com isso,se diz que o projeto corresponderia a um investimento que rendesse exatos18,33% ao ano.9
  10. 10. Métodos Quantitativos Aplicados à AdministraçãoComo critério de aceitação de propostas com base neste método, sua "regrade ouro" seria verificar se: TIR ≥ Taxa requerida de retornoDigamos que a empresa em apreço coloque uma taxa de 12% a.a. como omínimo aceitável para aceitação de projetos. Sendo assim, a aludida troca deequipamentos se processaria sem problemas. Entretanto, se a exigência fossede 20%, haveria de se rejeitar tal iniciativa.Adicionalmente, no caso da taxa de corte de 12%, a aceitação do projetosignificaria, em linguagem de finanças, que o projeto acresceria a basegeradora de riquezas da empresa.4.3 Valor Presente Líquido ou Valor Atual LíquidoDa mesma forma que o método da TIR, este se constitui em método baseadoem fluxos de caixa descontados, sendo que tal desconto se dá pela inserçãode uma taxa requerida de retorno. Vejamos:nVAL = ∑ FCt em que as variáveis se definem como no item anterior.t=0 (1 + i)tCom vista à aceitação de projetos, a pertinente "regra de ouro" fica sendo:VAL≥0Dessa forma, um VAL maior do que zero implica em dizer que o projetopossibilita um retorno superior ao caso de aplicações no mercado financeiro,p.ex., em que se teria retorno certo de uma taxa "i". Ou, em outros termos, abase geradora de riquezas da empresa se elevaria à par da aceitação doprojeto em questão.Atendo-nos novamente ao nosso exemplo, impondo-se uma taxa mínima deretorno da ordem de 12% a.a., teremos:VAL = -18.000 + 5.660 + 5.660 + 5.660 + 5.660 + 6.660 = $2.970,1,121 1,122 1,123 1,124 1,125o que nos capacita à aceitacão do projeto.Obviamente, um VAL≤0 representaria um retorno aquém do nível demandadode 12% a.a. e, a aceitação de projetos nestas condições representaria umdecréscimo na base geradora de riquezas da empresa.10
  11. 11. Métodos Quantitativos Aplicados à Administração4.4 A TIR versus o VALPontos de convergênciaAmbos os métodos proporcionam o mesmo "sinal" de aceitação ou de rejeição,em análises em que se avaliem propostas únicas. Com a Fig.1, podemosvisualizar a relação que se estabelece entre ambos:Fig.1 VAL e TIRVAL($)$11.300,0018,33%0Taxa de juros %Nesse exemplo hipotético, temos que, a uma taxa de desconto zero, o VALserá tão somente a diferença entre entradas e saídas ao longo da vida doprojeto. Por outro lado, à taxa de 18,33% a.a., ainda aceitaríamos o projeto,visto que, nesse ponto, o VAL se iguala a zero. Qualquer outra taxa requeridade retorno que se situasse entre 0 e 18,33% levaria à aceitação da proposta,enquanto taxas superiores não encontrariam fluxo esperado de retornos que ajustificassem.Pontos de divergênciaSituamos tais pontos nos seguintes aspectos:$ taxa de reinvestimento dos fluxos intermediários;$ escala do investimento;$ taxas múltiplas de retorno.A divergência na sinalização para aceitação ou rejeição de propostas deinvestimentos ocorre quando da comparação de projetos mutuamenteexcludentes, em que somente um será selecionado. Vejamos o exemplo aseguir:FLUXO DE CAIXAAno 0 1 2 3 4Proposta A -$23.616 $10.000 $10.000 $10.000 $10.000Proposta B -$23.616 $0 $ 5.000 $10.000 $32.67511
  12. 12. Métodos Quantitativos Aplicados à AdministraçãoProcedendo aos cálculos do VAL e da TIR, a uma taxa requerida de retorno de10%, teremos:Projeto A Projeto BVAL $8.083 $10.347TIR 25% 22%Com isto, vemos um evidente conflito gerado da consideração simultânea dosdois métodos, onde, pelo uso da TIR preferimos o Projeto A, enquanto pelométodo do VAL, escolhemos o Projeto B.Qual, então, a decisão mais sensata?A escolha recai sobre o Projeto B, visto que ele tomou em conta o custo deoportunidade da empresa, representado por aplicações alternativas quepoderiam lhe render até 10% a.a.E quanto à TIR? Qual a razão de seu preterimento? Isso se deve à suposição"heróica" do reinvestimento dos fluxos intermediários (1 e 2) à própria TIR, oque se constitui em equívoco evidente, já que colocamos que o custo deoportunidade da empresa seria de 10% a.a.Um novo problema que decorre do uso do método da TIR refere-se à escala doinvestimento inicial. Assim, desde que este método se expressa como umaporcentagem, a escala do investimento pode gerar problemas sérios naseleção de projetos. Vejamos o próximo exemplo:Fluxos de CaixaAno 0 1 TIR VAL(a 10% a.a)Proposta X -$100 $150 50% $36,36Proposta Y -$500 $625 25% $68,18Utilizando o método da TIR, recusaríamos um maior ganho ($68,18 no Y) emtroca de um menor ($36,36 no X) apenas porque este nos daria maior"porcentagem". Nada mais absurdo.Outro problema surge quando da ocorrência de taxas de retorno múltiplas.Consideremos o seguinte projeto de investimento:Investimento Inicial: $ 1.600,00FC 1: $ 10.000,00FC 2: $ -10.000,00A equação de determinação da TIR se escreve então:Equação resultante: -10.000,00/(1+TIR)2 + 10.000,00 / (1+TIR)1 - 1.600,00 = 012
  13. 13. Métodos Quantitativos Aplicados à AdministraçãoDividindo por 1.000 e substituindo 1 / (1+TIR) por X, temos:-10X2 + 10X - 1,6 = 0 => 10X2 - 10X + 1,6 = 0Raízes: X1 = 0,80 e X2 = 0,20. Substituindo X1 e X2 por 1 / (1+TIR) temos:TIR 1 = 25% e TIR 2 = 400% VAL (a 10%) = -774,00Pelo critério do VAL o referido projeto deve ser rejeitado (VAL de -774,00).Entretanto, pelo critério da TIR, deverá ser aceito (TIR de 25% e TIR de 400%).Tal fato demonstra sua inadequação para o referido caso.É também útil mostrar outra limitação do método, ao possibilitar a ocorrênciade taxa de retorno inexistente na análise de propostas.Pelo exemplo que segue, pode ser demonstrada tal limitação. Observe-se:Inv. Inicial FC1 FC2-$100,00 $200,00 -$150,0020011501100 01 2( ) ( )++−+− =TIR TIRDividindo por 100 e substituindo11+ TIRpor x, temos:2 15 1 015 2 1 0422 4 4 15 12 152 23222x xx xxb b acaxx− − =− + ==− ± −=± − × ××=± −=,,( , ),Isto se deveu à ocorrência de fluxo de caixa negativo. A presença de FCnegativo gera a probabilidade de ocorrência de TIR inexistente, mas nãodetermina sua inexistência, necessariamente. Quanto maior o número deinversões e de discrepância dos fluxos maior a probabilidade de aparecimentoda TIR inexistente.13∃ não existem raízes reais
  14. 14. Métodos Quantitativos Aplicados à AdministraçãoDescrevemos um outro empecilho à aceitação deste método, e que se refere ànão aditividade das taxas quando da consideração conjunta de projetos não-excludentes.Melhor explicando, vejamos os dois projetos abaixo, já apontadosanteriormente:Fluxos de CaixaAno 0 1 2 3 4Proposta A -$23.616 $10.000 $10.000 $10.000 $10.000Proposta B -$23.616 $0 $ 5.000 $10.000 $32.675Proposta A+B -$47.232 $10.000 $15.000 $20.000 $42.675Vimos que as TIRs para os projetos A e B são, respectivamente, 25% e 22%.Porém, com sua consideração conjunta (Projeto A+B) não temos 47% e, sim,23,19%. Visando melhor esclarecimento, com o uso do método da VAL,teríamos a característica de aditividade, com seu valor alcançando $18.430(que corresponde à soma dos valores parciais de $8.083 e $10.347).Mas, enfim, por que a ampla aceitação da TIR no mundo empresarial? Osdados apontados restringem-lhe enormemente a significação econômica. Emespecial, a idéia do reinvestimento dos fluxos intermediários à própria TIR semostra um equívoco grosseiro.As razões de aceitação da TIR se prendem ao fato de que, sendo uma taxa,ela é mais fácil de ser visualizada e interpretada. Paralelamente, com o métodoconcorrente dado pelo VAL, a decisão se faz sobre um número absoluto,"descontado" para o momento zero, o que traz dificuldades de entendimentopara muitos profissionais.Adicionalmente, sendo a taxa requerida de retorno apenas uma aproximaçãoao real custo de oportunidade da empresa, o uso do VAL não recebe apoiounânime da comunidade empresarial, deixando campo para a aceitação dométodo da TIR.Outrossim, temos o fato real de que as empresas não se defrontamfreqüentemente com análises de projetos mutuamente excludentes ou, ainda,de projetos cujos fluxos não apresentem o padrão usual (que poderia trazertaxas múltiplas de retorno). Então, se o que importa na análise de projetosúnicos é uma correta sinalização quanto a aceitá-los ou rejeitá-los, e desde queambos os métodos apontariam sinal idêntico, tem-se a preferência pelo métododa TIR.14
  15. 15. Métodos Quantitativos Aplicados à Administração4.5 Taxa Interna de Retorno Modificada (TIRM)Se os problemas aludidos acima se constituem de fato em sérias restrições aouso do método da TIR, a solução estaria num método que tomasse em conta ocusto de oportunidade sobre os recursos da empresa nos cálculos paralevantamento de uma taxa de retorno para iniciativas empresariais. Vejamoscomo, através do nosso primeiro exemplo:Fig.2 Avaliação de projeto0 1 2 3 4 5-18.000 5.660 5.660 5.660 5.660 6.660Taxa de desconto: 12% ao anoTaxa de juros do mercado financeiro: 14% ao anoAssim, procedendo ao reinvestimento dos fluxos intermediários (1 a 5) à taxade juros do mercado financeiro (que representa o custo de oportunidade sobrerecursos disponíveis da empresa), a equação de cálculo será:TIRMVFIIxn= −11 100em que falta definir e relembrar que:VF = valor futuro (no último período) dos fluxos de caixa da empresa;n = período de vida considerado para o projeto;II = investimento inicial.Já a operacionalização dos cálculos da TIRM no problema anterior se dariacomo abaixo:Ano 1: 5.660 x 1,144 = 9.559,51Ano 2: 5.660 x 1,143 = 8.385,54Ano 3: 5.660 x 1,142 = 7.355,74Ano 4: 5.660 x 1,141 = 6.452,40Ano 5: 6.660 x 1,140 = 6.660,00VF ============> 38.413,19TIRM = ((38.413,19/18000)1/5 - 1) x 100 = 16,37% aaNesse caso, são dois os passos para aferição da viabilidade de projetos deinvestimentos:15
  16. 16. Métodos Quantitativos Aplicados à Administraçãoa) TIRM ≥ TRR: se isso ocorrer, o projeto é viável, por superar a taxa requeridade retorno, que é julgada suficiente para os propósitos de crescimento esustentação da empresa no longo prazo.b) TIRM ≥ im: se essa nova restrição é atendida, isso implica em que arentabilidade do projeto supera possíveis aplicações de recursos nomercado financeiro. Em outros termos, a empresa terá retornos superioresaplicando na produção em lugar de investir em produtos financeiros.Outro detalhe diz respeito à fórmula da TIR, que se refere a casos onde ocorrao padrão usual na análise de projetos, com investimentos num período inicial,sendo seguidos, no tempo, por fluxos de caixa líquidos.Caso houvesse fluxos de caixa negativos, além daquele referente aoinvestimento inicial, o critério internacionalmente aceito é o de sedescontar tais fluxos negativos para o momento zero à taxa requerida deretorno, aumentando o valor de "II" na fórmula dada.Observa-se que não importa o padrão do fluxo de entradas e de saídas, poisque poderíamos adaptar novas configurações, quando necessário. Planilhaseletrônicas como o Excel, já incorporam soluções nesta direção.Quanto à regra para aceitação de projetos, o procedimento segue aquele dométodo da TIR, ou seja:TIRM ≥ Taxa requerida de retornoPara nosso exemplo acima, temos que a TIRM se iguala a 16,37%, superandoa taxa requerida de retorno de 12%. Nesse sentido, o projeto contribuirádecisivamente para acrescer a base geradora de riquezas da empresa.16
  17. 17. Métodos Quantitativos Aplicados à AdministraçãoExercícios de Aprendizagem/Fixação de metodologias de avaliação defluxos de caixa de projetos de investimentosCalcule o payback:Inv.Inicial FC1 FC2 FC3 FC4 FC5-18.000,00 5600,00 4780,00 6620,00 4789,00 -Payback = _______ períodosInv.Inicial FC1 FC2 FC3 FC4 FC5-540,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00Payback = _______ períodosComente:________________________________Inv.Inicial FC1 FC2 FC3 FC4 FC5-99.000,00 15000,00 24500,00 24500,00 34570,00 87900,00Payback = _______ períodosInv.Inicial FC1 FC2 FC3 FC4 FC5-8.500,00 9000,00 5600,00 - 10000,00 14500,00 2000,00Payback = _______ períodosComente:________________________________Inv.Inicial FC1 FC2 FC3 FC4 FC5-8.500 4500,00 - 5600,00 10000,00 14500,00 2000,00Payback = _______ períodosComente:________________________________Inv.Inicial FC1 FC2 FC3 FC4 FC5- 54.600,00 28400,00 8976,00 4550,00 4550,00 16248,00Payback = _______ períodos________________________________________Calcule o payback atualizado do 1º e do 3º exercícios acima (i=4,65%):Inv.Inicial FC1 FC2 FC3 FC4 FC5Payback atualizado = ________ períodosInv.Inicial FC1 FC2 FC3 FC4 FC5Payback atualizado = ________ períodos17
  18. 18. Métodos Quantitativos Aplicados à AdministraçãoCalcule o VPL e a TIR:Inv.Inicial FC1 FC2 FC3 FC4 FC5-32000,00 9800,00 19000,00 8600,00 17000,00 5000,00TRR=15%VPL= R$____________ TIR= ______ %Inv.Inicial FC1 FC2 FC3 FC4 FC5-32000,00 9800,00 19000,00 8600,00 17000,00 -5000,00TRR=17,5%VPL= R$____________ TIR= ______ %Inv.Inicial FC1 FC2 FC3 FC4 FC5-50000,00 13875,00 13875,00 13875,00 13875,00 40000,00TRR=20%VPL= R$____________ TIR= ______ %Inv.Inicial FC1 FC2 FC3 FC4 FC5-100 70,00 -10,00 170,00 -15,00 200,00TRR=25%VPL= R$____________ TIR= ______ %Um veículo é financiado em 18 prestações mensais iguais e sucessivas deR$325,00 e mais três prestações semestrais de R$775,00, R$875,00 eR$975,00. Calcular o valor financiado, sabendo-se que a taxa cobrada pelafinanceira foi de 8,7% a.m.__________________________________________Calcular a TIR-M:Inv.Inicial FC1 FC2 FC3 FC4 FC5-100 70,00 -10,00 170,00 -15,00 200,00TRR=25% im=20%TIR-M= ______ %18
  19. 19. Métodos Quantitativos Aplicados à AdministraçãoExercícios de Análise de Investimentos:1)A empresa XYZ estuda a reposição de parte de seu parque fabril e, paraisso, levantou os seguintes dados:Equipamentos novos• Valor: $800.000• Vida útil: 5 anos• Tempo de depreciação.: 2 anos• Valor residual: $350.000• Receitas adicionais : $580.000/ano nos 2 primeiros anos: $620.000/ano nos 2 anos seguintes: $440.000 no último ano• Custos de produção : 25% das receitas, a cada ano• Despesas com manutenção: $50.000 no 2oano;$80.000 no 3oano;$90.000 no 4oano;• Instalação do equipamento novo (valor a ser lançado como despesa no fluxoseguinte): $60.000Equipamentos antigos• Valor residual hoje: $180.000• Vida útil restante: 3 anos• Valor original dos equipamentos: $1.150.000• Tempo restante para depreciação: 2 anos• Idade atual dos equipamentos: 3 anosA par destes dados, pergunta-se se vale a pena a troca do parque fabril hoje,dada a taxa requerida de retorno de 20%, uma taxa de juros do mercadofinanceiro de 22% ao ano e a alíquota do imposto de renda de 40%.OBS: Os equipamentos antigos devem ser vendidos hoje e o método deanálise deve ser o da taxa interna de retorno modificada.2)Uma empresa vem considerando promover a automação de sua fábrica, numinvestimento em equipamentos que custaria $1.000.000, valor a ser cobertoparcialmente pela venda de maquinaria obsoleta no total de $350.000. Estaúltima custou $800.000 há 5 anos atrás, tem vida útil restante de 3 anos edeverá ser depreciada por adicionais 2 anos (além da vida útil).Espera-se um aumento anual de $500.000 nas vendas dos 3 primeiros anos ede $800.000 nos 3 últimos. A cada ano, os custos de produção corresponderãoa 40% das vendas.19
  20. 20. Métodos Quantitativos Aplicados à AdministraçãoOutros dados relacionados ao empreendimento novo são de que aoinvestimento inicial se acresceria dispêndio de $500.000 por conta de trabalhosde consultoria no campo da informática (dispêndios esses que devem serlançados contabilmente como despesas no Ano 1), além do período de 5 anospara depreciação dos itens imobilizados e de um valor residual de $100.000 aofinal da vida útil de 6 anos.Sendo de 40% a alíquota do imposto de renda e de 20% a taxa requerida deretorno da empresa, pergunta-se se o projeto de troca de equipamentos éviável.OBS: Proceda a sua análise com base no método do Valor Presente Líquido eda Taxa Interna de Retorno.3)A Politécnica S/A está considerando um plano de investimento para produçãode um novo produto desenvolvido pela área industrial por 06 anos. Para tanto,a empresa deve aplicar imediatamente $300.000 na compra de equipamentos,além de dispender $35.000 por conta de trabalhos de consultores demarketing. Além desses gastos, prevê-se que manutenções periódicas anuaisdas instalações demandariam $25.000 no 3oano, $30.000 no 4oano e $20.000no 5oano. As receitas adicionais esperadas do plano são projetadas em$160.000 no 1oano, crescendo à taxa de 15% até o 4oano. Para os 2 últimosanos (5oe 6o), projeta-se queda anual das receitas de 20%. O tempo dedepreciação dos equipamentos é de 5 anos e seu valor residual de $80.000.Por outro lado, os custos de produção devem representar 42% das receitas no1oano, 35% no 2oe 30% da receita do 3oano para o terceiro ano e demaisanos até o final do projeto. Além disto, o novo produto deve reduzir a receita deprodutos atuais num valor equivalente a 15% das vendas anuais do produtonovo, assinaladas no parágrafo acima.Outro aspecto do atual projeto é que a empresa poderá livrar-se deequipamentos atualmente em uso, os quais podem ser vendidos no estado emque se encontram pela soma de $85.000 (mesmo valor de livro). A idade atualdesses equipamentos é de 4 anos e seu tempo restante de depreciação é de 2anos. Caso sejam vendidos ao final destes 2 anos, seu valor de mercado seriade apenas $35.000, além do que seriam necessários $8.000 para reforma-losantes de poderem ser colocados à venda.As novas instalações ocuparão um terreno avaliado em $1.000.000, o qual nãodeve sofrer variação significativa de valor nos próximos anos e que encontrariacompradores até com uma certa facilidade, o que permitiria sua venda semmaiores problemas.20
  21. 21. Métodos Quantitativos Aplicados à AdministraçãoO custo de capital da empresa é de 17% ao ano e a taxa de juros do mercadofinanceiro é de 20% anuais. Além disso, a alíquota do imposto de renda é de40%. A par destas informações, responda se o projeto é viável de acordo coma metodologia da taxa interna de retorno modificada.Obs: Despesas no ano zero devem ser lançadas contabilmente no fluxoseguinte.4)Um analista de empresa industrial foi convocado a avaliar a conveniência datroca da frota de caminhões pesados da empresa. Os dados de que dispõe sãoos seguintes:Para compra:.Valor de cada unidade : $90.000.Tempo de depreciação : 5 anos.Manutenção por veículo: despesas de $3.000 no 1oano, crescendo àrazão de $1.500 por ano, até o 5oano..Vida útil na empresa : 5 anos.Valor residual : $30.000 por veículo.Tamanho da frota : 10 unidadesPor outro lado, a frota de 13 veículos que seria substituída poderia ser utilizadapor adicionais 5 anos e alcançaria o valor de venda de $22.000 por unidade sevendida hoje no mercado de veículos usados. Vendidos ao final de 5 anos, opreço unitário seria de apenas $6.000. Ademais, esses veículos foramadquiridos três anos antes por $80.000 cada e teriam mais 2 anos paradepreciação.O acréscimo de produtividade que seria alcançado no setor de transportepossibilitaria ganhos adicionais estimados em $350.000 por ano. Assim, sendode 20% a taxa requerida de retorno para aceitação de projetos e de 40% aalíquota do imposto de renda, pergunta-se se a troca da frota seria vantajosapara a empresa. (Faça sua análise com base no Valor Atual Líquido e noPayback)5)Uma empresa industrial está analisando a conveniência da troca deequipamentos para modernização de sua linha de montagem. O valor dessesequipamentos alcança $320 milhões, com vida útil prevista de 5 anos e valorresidual (valor de sucata) de $85 milhões ao final desse prazo. As receitaslíquidas previstas são de $180 milhões/ano para os 3 primeiros anos e de $240milhões/ano para os demais.Adicionalmente, prevê-se reformar os equipamentos ao final do segundo ano,de forma a adequá-los a recursos modernos de informática, que custarãoadicionais $200 milhões. Ademais, esses equipamentos serão depreciados em21
  22. 22. Métodos Quantitativos Aplicados à Administração3 anos. Ao final deste período, terão valor de mercado da ordem de $100milhões.No que tange às depreciações, essas se fariam exclusivamente em linha reta.Por outro lado, os equipamentos que seriam substituídos na troca custaram$210 milhões, quando de sua instalação 4 anos antes, e seriam depreciadospor mais 3 anos. Vendidos no momento, alcançariam o valor de $40 milhões nomercado de máquinas usadas. Vendidos ao final de sua vida útil (em 3 anos),valeriam apenas $10 milhões.Enfim, sabendo-se que a alíquota do Imposto de Renda é de 40%, que aempresa exige taxa mínima de retorno sobre investimentos da ordem de 20%ao ano e que a taxa de juros do mercado financeiro é de 18% ao ano, analiseesta operação e descubra se ela é de fato vantajosa.6)A destilaria McDaniel está contemplando a reposição de sua máquinaengarrafadora por uma nova e mais eficiente. A máquina velha tem valor delivro de $400.000 e restantes 5 anos de vida útil. Seu valor residual seriairrisório quando de seu esgotamento produtivo (ao final dos 5 anos); caso aempresa se decidisse a vendê-la hoje, conseguiria $200.000. Ademais, adepreciação se faz em "linha reta" e tal vantagem tributária se obterá por mais2 anos.A nova máquina tem um preço de compra de $800 mil e uma vida útil estimadaem 5 anos, com valor residual de $100.000 ao final desse período. Espera-seque economize energia elétrica, trabalho, custos de manutenção e peças dereposição, num montante anual de $200.000. Ademais, a depreciação ocorreráde forma linear pelos mesmos 5 anos.Sendo de 40% a alíquota do imposto de renda incidente sobre a empresa e de18% ao ano a taxa de desconto usada para avaliação de projetos, pergunta-sese valeria a pena a compra da máquina.7)Uma empresa vem considerando a troca de uma máquina pela qual obteria$20.000 no mercado de máquinas usadas. Ela teria adicionais 3 anos de vidaútil (e igual período de depreciação por apropriar), que se dariam sobre o valorde livro (ou valor que falta depreciar) de $33.000. Ademais, não teria valorresidual se fosse vendida ao final desses 3 anos.No tocante à máquina nova, seu preço é de $60.000 (a ser depreciado em 6anos), e valor residual de $8.000 ao final desse período. Seu uso permitiráganhos incrementais de $20.000/ano nos 3 primeiros anos e de $25.000/anonos 3 últimos.22
  23. 23. Métodos Quantitativos Aplicados à AdministraçãoSendo de 40% a alíquota do IR, 15% a taxa requerida de retorno e 16% a taxapara aplicações no mercado financeiro, pergunta-se se é viável a troca deequipamentos.8)A empresa Toninhas vem considerando a reposição de uma máquina com 2anos de vida e que ainda deverá ser depreciada por mais 3 anos, por umanova que acrescerá os ganhos de $25.000 para $65.000/ano. A máquina custa$60.000, tem vida útil de 5 anos, período de depreciação de 2 anos e valorresidual de $8.000.Ademais, prevêem-se gastos com consultores externos no 20ano, no valor de$5.000.Por outro lado, a máquina antiga havia sido adquirida por $45.000 e, sevendida hoje, alcançaria o valor de $10.000. Vendida ao final de sua útil, nãoteria qualquer valor.Sabendo-se que o custo de oportunidade da empresa se expressa por umataxa de desconto de 20% e que a alíquota do Imposto de Renda é de 40%,pergunta-se: a empresa deve proceder à troca da máquina?9)Está em questão a aquisição de um reator de planta química, no valor de$500.000, o qual exigiria gastos adicionais de $50.000 no Ano 0 (a seremcontabilizados como despesa no ano seguinte) e de $60.000 no Ano 4. Otempo de vida útil previsto do reator é de 6 anos, o tempo de depreciação estádeterminado em 4 anos e os ganhos anuais derivados de sua incorporaçãoseriam $180.000.Sendo de $60.000 seu valor residual, 40% a alíquota do imposto de renda e de18% tanto a taxa requerida de retorno como a taxa de mercado parareaplicações dos fluxos de caixa, pergunta-se se o projeto é totalmente viávelpara a empresa.Sua conclusão seria a mesma para uma taxa requerida de retorno de 16%?23
  24. 24. Métodos Quantitativos Aplicados à AdministraçãoLEITURA COMPLEMENTARQuanto vale a sua empresa??!!1Domingos Xavier Teixeira2Determinar qual o valor de uma empresa é algo complexo e difícil,mas não impossível. Quanto vale, por exemplo, a Petrobrás e todo o seucomplexo de empresas controladas e coligadas dos mais variados ramos?Pergunta simples e direta, porém cuja resposta não é tão simples quantoparece a primeira vista. Quanto vale uma rede de supermercados, porexemplo, o Carrefour? Ou quanto vale uma lanchonete da Praça Sete, como oCafé Nice, por exemplo?Todas essas perguntas levam o leitor a pensar como é possívelcalcular o valor de um negócio desses. Teoricamente, cada “negócio” vale, emprincípio, o montante do patrimônio líquido apurado pelo balanço da empresaajustado pelos ativos e passivos a valor presente acrescido da mais ou menosvalia dos estoques e do imobilizado, mais ainda o valor do ativo intangível, quenão está contabilizado, que é o fundo de comércio, deduzido das contingênciascertas e um percentual das contingências prováveis. Esse seria, então, o valorteórico da empresa, à vista. A prazo, esse valor seria então acrescido dos jurosde uma aplicação financeira.Essa é uma forma simplista de calcular o valor de um negócio, masé um critério utilizado quanto não se tem história do negócio ou orçamentosprojetados de anos futuros com forte margem de certeza. Mas existe uma outraforma mais técnica de calcular o valor de uma empresa. Trata-se dasistemática de fluxo de caixa descontado. Com base nesse critério, a empresavale o montante que ela pode gerar de lucros futuros, que seriam descontadosa valor presente. Em outras palavras, o valor da empresa seria determinado1Diário do Comércio, 25 a 27 de abril de 1998, pág 16.2Contador, economista e administrador de empresas. Sócio da Teixeira e Associados, Diretor Técnico daIbracon-MG e vice-presidente da Câmara de Desenvolvimento Profissional do Conselho de Contabilidadede Minas Gerais.24
  25. 25. Métodos Quantitativos Aplicados à Administraçãocom base no fluxo de caixa futuro (a soma das sobras futuras de caixa) que aempresa irá gerar, descontado o valor presente. Assim sendo, emconformidade com esse raciocínio, o montante do fluxo de caixa futuro seráigual à diferença entre os ativos e passivos que a empresa tem hoje, queseriam acrescidos ou ajustados pelo valor presente dos lucros futurosacrescidos das depreciações e amortizações que não representam desembolsode caixa, e deduzido das saídas de caixa. Nessa sistemática de avaliação daempresa com base no fluxo de caixa, o imobilizado e o diferido não seriamconsiderados nos saldos iniciais, porque a sua geração seria anualmenteconsiderada pelo acréscimo ao resultado da amortização do diferido e dadepreciação do imobilizado.Os fluxos de caixa anuais assim encontrados seriam então trazidosa valor pressente e ter-se-ia então o valor do negócio à vista. Assim, ao seprojetar o valor dos lucros futuros, estaria então sendo levado em consideraçãotodo o esforço de vendas e de redução de custos, a política de negócios, demarketing, a eficiência do pessoal de vendas ou do gerente financeiro paraaplicar recursos disponíveis, ou do engenheiro de produção. O valor do fundode comércio seria então levado nessa consideração para gerar lucros. Eisporque não seria pago nada de adicional por esse fundo, em virtude de o seubenefício já estar sendo considerado. Todo esse esforço estaria então sendoconsiderado como parte dos lucros futuros. Portanto, o valor do goodwill*representado pela marca, pelo fundo de comércio, pela qualidade da gerência,ou pela carteira de clientes, tudo isso já estaria sendo considerado como partedo lucro futuro. Assim, neste critério de avaliação não há que se falar em valorde mercado do imobilizado, ou em valor da patente. Tudo isto já estará refletidonos lucros futuros projetados. Nessas condições, qualquer negócio só temvalor se ele puder gerar resultados. De nada adianta escritório bonito ou fábricamodelo, se isso tudo não gera lucros. Sob a ótica do investidor, nada valecomo negócio.Um aspecto importante a se considerar também na avaliação dofluxo de caixa é o percentual a ser adotado para se estabelecer o desconto aser reduzido dos lucros futuros. Para concluirmos sobre esse assunto, vamos25
  26. 26. Métodos Quantitativos Aplicados à Administraçãopensar do ponto de vista do investidor. Se ele tem uma determinada quantiapara investir e, teoricamente, não quer correr risco, ele então irá aplicá-la emum fundo que lhe garanta por exemplo um retorno pelo menos igual ao CDI,hoje em torno de 30%. Nesse tipo de investimento, o investidor teria o únicoesforço e risco de dar um telefonema para o gerente de sua conta e lhe solicitarpara fazer a aplicação do seu dinheiro. Agora, se o investidor quer correr algumrisco, ele então precisaria de uma remuneração adicional, além desses 30%. Ede quanto seria, então, esse percentual adicional que ele teria para correrrisco? Nas circunstâncias atuais, poderíamos falar em algo em torno de umrendimento adicional de 10%. Portanto, o valor do desconto a ser aplicado aoslucros futuros seria de 40% ao ano. Essa taxa seria aplicada até atingir aperpetuidade.Normalmente, o consultor, ao ser contratado para calcular o valor deum negócio, estabelece inicialmente com seu cliente, que geralmente é ocomprador, o critério de avaliação a ser adotado. Definido esse critério, quegeralmente é o do fluxo de caixa descontado, o consultor e o auditor, quetrabalham em conjunto nessas avaliações, adotam vários procedimentos deavaliação e de auditoria. Um procedimento, por exemplo, seria a revisão decomo a empresa chegou a cada um dos valores de seu orçamento de caixapara os próximos dez anos. Ainda para confirmar essa tendência futura, é feitauma auditoria dos últimos três anos para se ter certeza de que os valoresinformados pela contabilidade nesse período estariam corretos. Nesse trabalhode auditoria do passado, são obtidas inúmeras informações para que oavaliador possa também confirmar as projeções futuras.Outros aspectos que o trabalho de auditoria e avaliação levam emconsideração se relacionam com as contingências ativas e passivas,principalmente essas últimas, que reduzem o preço de partida. Quando se fazessa auditoria do passado, o auditor procura se certificar também de que ossaldos atuais, que serão os saldos iniciais do fluxo de caixa ao qual serásomado o valor dos fluxos futuros, são corretos. Da mesma forma que o fluxode caixa futuro, esses saldos iniciais serão trazidos a valor presente, utilizando-26
  27. 27. Métodos Quantitativos Aplicados à Administraçãose, por exemplo, a sistemática adotada para a contabilidade pela correçãointegral.O consultor procura também se certificar das projeções da empresautilizando-se de informações externas, de terceiros. Uma fonte importante é atendência da história das empresas concorrentes e como essas empresasestão vendo o futuro. Outra fonte externa importante é o setor em que aempresa opera. Ou, também, os órgãos de classe, o governo, ou as empresascongêneres do exterior. Considerar também a tendência de mercado é algomuito importante. Por exemplo, avaliar o preço de uma empresa fabricante deaparelhos de fax de mesa é algo impossível, pois esta empresas já estãoentrando em decadência, já que o fax de mesa está sendo substituído pelo faxvia computador ou pela própria Internet. É a mesma coisa de um fabricante deaparelhos de telex ou de máquina de escrever: são máquinas recentes que jáviraram peça de museu.Toda essa pesquisa tem por objetivo permitir ao consultor formaruma opinião sobre o negócio e sobre as suas perspectivas futuras, cujo únicoobjetivo é o de confirmar as cifras que foram projetadas no fluxo de caixa.Aliás, esse fluxo de caixa é que será a base para determinar o valor daempresa para fins de negócio entre comprador e vendedor.* Goodwill: expressão em inglês que significa, literalmente “boa vontade”, mas,aplicada à atividade empresarial denota a reputação que esta e/ou seus produtos gozam juntoaos consumidores. Uma empresa obtém essa condição por meio de qualidade dos seusprodutos e de sua propaganda e publicidade, mas também por meio de atitudes eprocedimentos como financiamento de campanha humanitária, a defesa do meio ambiente, oapoio a esportistas e artistas, etc., o que, de uma forma direta ou indireta ajuda a criar umaimagem positiva junto aos consumidores (efetivos ou potenciais) de seus produtos. O goodwillé considerado um ativo da empresa e, no caso de venda da mesma, ele é avaliado e entracomo parte do seu valor.27
  28. 28. Métodos Quantitativos Aplicados à AdministraçãoDestruição criativa, essencial para o progresso3Gary S. Becker4Ainda que a capacidade de empreender seja um conceito difícil dedefinir, os economistas reconhecem sua importância desde a análise brilhantedo desenvolvimento econômico feita pelo grande economista austríaco JosephSchumpeter, na virada do século. Indivíduos com visão, dispostos a arriscarseu próprio dinheiro e o de outros investidores em novos produtos, são o motorque combina capital humano e físico, estimulando o crescimento econômico eo progresso.Um ambiente que favorece empreendimentos de sucesso tem comocaracterística uma “destruição criativa” permanente, nos termos do próprioSchumpeter. Novas empresas prosperam e ajudam a economia em partedestruindo os mercados de concorrentes estabelecidos. Entre os exemplospodemos citar a concorrência feita aos telefones tradicionais pelo telefonecelular, o corroído mercado dos pequenos varejistas de frutas e verduras, dadaa maior eficiência dos supermercados, e o declínio acentuado do mercado decomputadores da IBM após a introdução dos PCs de rede pela SunMicrosystems e outras empresas. Países que protegem os mercados e rendasde empresa já existentes impedem a destruição criativa, tão essencial aoprogresso.Embora algumas culturas encorajem a capacidade empresarial maisdo que outras, todas as culturas têm reservas de talento que vêm à tonaquando o ambiente é propício para negócios. Chineses prosperam nosnegócios na Indonésia, Malásia e Cingapura, enquanto são impedidos deutilizar seus talentos na China comunista. O Chile descobriu reservas enormesde capacidade empresarial após as reformas de livre mercado dos anos 80.Regulamentação e burocracia são os principais obstáculos àformação dos novos negócios. Entre os mais onerosos estão as licenças eoutras exigências que atrasam enormemente a aprovação oficial para novos3Gazeta Mercantil, 2 de maço de 1998, pág. A-3. Artigo publicado originariamente na Business Week.4Prêmio Nobel de Economia em 1992. Professor da Universidade de Chicago e membro da HooverInstitution.28
  29. 29. Métodos Quantitativos Aplicados à Administraçãoempreendimentos. Alguns países chegam a exigir certificação de que a novaempresa é “necessária” numa particular localidade ou setor industrial -aprovação freqüentemente recusada.Os impostos sobre lucros, ganhos de capital e propriedade sãofreqüentemente tão opressivos que também eles desencorajam os que queremcomeçar. Embora os impostos sobre os lucros das empresas e sobre ganhosde capital nos Estados Unidos sejam moderadamente pesados, as brechas nalegislação são suficientemente abundantes para permitir que muitos dos novosricos amealhassem sua fortuna via novos investimentos. Isso também éverdade em Hong Kong, Taiwan e Chile.Os países europeus, infelizmente, erigiram sérias barreiras nessecaminho para a riqueza. Um bom exemplo é a Suécia, famosa pela eficiênciacompetitiva de empresas como a L.M. Ericsson, Volvo e ABB - Asea BrownBoveri. Todavia, com poucas exceções, elas foram fundadas entre 1875 e1915, auge do crescimento sueco e do livre mercado. Apenas um pequenonúmero de empresas suecas importantes, como a Tetra-Pak ProcessingSystems, foi criado em anos recentes, em razão dos impostos confiscatórios eda pressão igualitária nos mercados de trabalho. Frustradas, algumas das maisbem-sucedidas empresas, como a ABB, mudaram sua sede e fábricas para oexterior.Mesmo em países europeus, com um grande número de pequenasempresas, como a Itália, os executivos se queixam das regulamentaçõesintrusivas que desencorajam e prejudicam os que desejam iniciar um negócio.Estão impressionados como é mais rápido obter aprovação para suas fábricasnos Estados Unidos, embora estejam começando a se preocupar com onúmero crescente de litígios e regulamentações ambientais.Estatísticas da Organização para Cooperação e DesenvolvimentoEconômico confirmam que o capital de risco é mais abundante nos EstadosUnidos do que na Europa, e que a América investe muito mais desse capitalem novos projetos. Além disso, muito desse dinheiro é investido em empresasde alta tecnologia em Silicon Valley e em outros centros de energiaempresarial.29
  30. 30. Métodos Quantitativos Aplicados à AdministraçãoUma conseqüência disso foi o crescimento do emprego. Háevidência de que empresas menores forneceram cerca da metade dos novosempregos durante o “boom” do emprego que começou nos anos 80. Emcontraste, a Europa não experimentou, de um modo geral, um crescimento doemprego no setor privado nas últimas décadas.Outra vantagem é a renovação da vitalidade das grandes empresasde capital aberto. Há enormes oportunidades na América para pequenasempresas crescerem. A listagem do Financial Times das cem maioresempresas do mundo contém muitas empresas européias, mas quase todaselas fundadas muitos anos atrás. Em contraste, Microsoft, Intel, Wal-MartStores, Hewlett-Packard, McDonald’s e outras empresas americanas listadasforma fundadas apenas umas poucas décadas atrás e se tornaram grandesempresas.Impressiona-me o número de pessoas que acredita que ganharámuito dinheiro começando um novo negócio. A grande maioria fracassará aotentar levar adiante suas idéias. Ainda assim, esses sonhos conduzem umaeconomia para novos apogeus quando encorajados por uma atmosferaregulatória favorável e baixos impostos sobre lucros, ganhos de capital erendimentos.30
  31. 31. Métodos Quantitativos Aplicados à AdministraçãoANÁLISE DEREGRESSÃO1. Introdução2. A regressão linear3. Método dos mínimos quadrados4. Inferência em análise de regressão5. O coeficiente de determinação (r2)6. Intervalos de confiança7. Observações discrepantes8. Conclusão31
  32. 32. Métodos Quantitativos Aplicados à Administração1. INTRODUÇÃOO objetivo principal da análise de regressão é predizer o valor de uma variável(a variável dependente), desde que seja conhecido o valor de uma variávelassociada (a variável independente). A equação de regressão é a fórmulaalgébrica para determinação do valor previsto da variável dependente.Mais especificamente, a análise de regressão compreende o exame de dadosamostrais para saber se e como duas ou mais variáveis estão relacionadasuma com a outra numa população, propiciando, como resultado, uma equaçãomatemática que descreva o relacionamento. Tal equação pode ser usada paraestimar ou predizer valores futuros de uma variável quando se conhecem ou sesupõem conhecidos os valores da outra variável.Os dados para a análise de regressão resultam de observações de variáveisemparelhadas. Para um problema de duas variáveis, cada observação originadois valores, um para cada variável. Por exemplo, um estudo que envolvacaracterísticas do mercado específico (de carros usados) poderia focalizarníveis de quilometragem e preços de carros.2. REGRESSÃO LINEARA regressão linear simples constitui uma tentativa de estabelecer uma equaçãomatemática linear (linha reta) que descreva o relacionamento entre duasvariáveis e que seja fácil de lidar e de interpretar.2.1 Equação LinearDuas importantes características da equação linear são o coeficiente angularda reta e a cota da reta em determinado ponto. Uma equação linear tem aforma:y = a + bxem que a e b são valores que se determinam com base nos valores amostrais;a é a cota da reta em x=0, e b é o coeficiente angular. A variável y é aquela aser predita, e x é o valor preditor.A Fig.1 ilustra a relação entre o gráfico de uma reta e sua equação. A reta, comequação y = a + bx, intercepta o eixo dos ys no ponto y = a. Esse ponto échamado intercepto-y. O coeficiente angular da reta, b, indica a variação de ypor unidade de variação de x.32
  33. 33. Métodos Quantitativos Aplicados à AdministraçãoFig.1 A reta de regressãoy = a + bxy Coef. angular = b = ∆yx ∆xy = aConsideremos a equação linear y = 5 + 3x. A reta intercepta o eixo dos ys noponto em que y = 5. O coeficiente da reta é 3, o que significa que a cadaunidade de variação em x, correspondem 3 unidades de variação de y.Podemos usar a equação para determinar valores de y correspondentes avalores de x, como se vê na tabela abaixo.Valor de x Valor de y (Calculado de y = 5 + 3 x x)2,0 5 + 3 x 2,0 = 11,03,1 5 + 3 x 3,1 = 14,37,2 5 + 3 x 7,2 = 26,62.2 Decisão por um Tipo de RelaçãoDeve-se atentar para o fato de que nem todas as situações são bemaproximadas por uma equação linear. Por isso, em geral é necessáriodesenvolver um trabalho preliminar para determinar se um modelo linear éadequado. O processo mais simples consiste em grafar os dados e ver se umarelação linear é adequada. Vejamos os gráficos da Fig.2:Fig.2 situações diversas para regressões linearesa. b.33
  34. 34. Métodos Quantitativos Aplicados à Administraçãoc. d.e. f.Quando os dados não podem ser aproximados por um modelo linear, asalternativas são procurar um modelo não-linear conveniente, ou transformar osdados para a forma linear.2.2.1 Análises de séries cronológicasVamos verificar a pertinência de equações lineares, analisando as relaçõesentre variáveis. O que se espera é que os dados históricos expressem relaçõescausais e que, ademais, sejam estáveis no tempo. Com isto, as previsõestornam-se extremamente simples e baratas de serem obtidas.Infelizmente para o analista, sua ação neste campo não será das mais fáceis.Vemos, na próxima seqüência de figuras, que, em alguns casos, encontramosprodutos, marcas e serviços, cuja demanda progride regularmente com opassar do tempo (Fig.3a), enquanto, em outros casos, há comportamentosmenos previsíveis.A Fig.3b, em especial, sugere produtos - bastante influenciados pelo ambienteeconômico -, cujas vendas variam na dependência de promoções de preços,campanhas publicitárias, modas passageiras etc. Nesse caso, análises deséries cronológicas e jogos estatísticos não serão de grande valia. O34
  35. 35. Métodos Quantitativos Aplicados à Administraçãodesamparo do analista poderá diminuir pela recorrência a métodos de opinião(de compradores, de especialistas ou de força de vendas).Entre os extremos aludidos acima, temos as situações intermediárias,representadas pela Fig.3c, em que vemos três forças sistemáticas reais ematuação, sendo a primeira a tendência que resulta do processo de crescimentoe de desenvolvimento econômicos.A segunda força é o ciclo, que motiva os movimentos variáveis das vendas eresulta, muitas vezes, das variações das atividades econômicas.Por fim, temos a força sistemática dada pela estação, que decorre de eventossazonais como férias e condições climáticas, em especial.E se tudo isto não bastasse, temos de lidar ainda com fatores erráticos comogreves, concorrência inesperada, pacotes governamentais, dentre outros.Fig. 3a Fig. 3b Fig. 3c2.3 Determinação da Equação MatemáticaCom o objetivo de levantarmos um modelo preditivo, com base na análise deregressão, vamos nos utilizar do exemplo do Quadro 1, para determinar se háalguma relação entre quilometragem e preços dos carros de um determinadomodelo. Isto é, queremos saber se e como o preço dos veículos varia com aquilometragem dos mesmos. Em linguagem de regressão, a quilometragemseria a variável independente, ou explicativa, e o preço dos veículos a variáveldependente, ou explicada. Ademais, é tradicional usar o símbolo x pararepresentar valores da variável independente e o símbolo y para valores davariável dependente.Repetindo:Na regressão, os valores "y" são preditos com base em valores dados ouconhecidos de "x". A variável "y" é chamada dependente, e a variável "x",variável independente.35
  36. 36. Métodos Quantitativos Aplicados à AdministraçãoSuponha-se que tenhamos coligido dados de venda do veículo "GOL", modeloCL, ano 1992, junto a vendedores de veículos em Belo Horizonte (na zona decomércio do Estádio Mineirão). Segue uma possível tabela de apresentação dedados amostrais, originados aleatoriamente.Quadro 1. Quilometragens e preços dos veículosObservação Quilometragem(1.000 kms)PreçosNegociados(R$1.000)1 40 10002 30 15003 30 12004 25 18005 50 8006 60 10007 65 5008 10 30009 15 250010 20 200011 55 80012 40 150013 35 200014 30 2000Os dados da tabela acima são plotados no gráfico da Fig.4 a fim de decidirmosse uma reta descreve adequadamente os dados. Conquanto seja evidente aimpossibilidade de achar uma reta que passe por cada um dos pontos dodiagrama, parece que uma relação linear é razoavelmente consistente com osdados amostrais.Fig.4 Expressão gráfica dos dados do Quadro 1Preço ($)km36
  37. 37. Métodos Quantitativos Aplicados à Administração3. O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOSO método mais usado para ajustar uma linha reta a um conjunto de pontos éconhecido como método dos mínimos quadrados. A reta resultante do usodesse método, tem duas características importantes: (1)a soma dos desviosverticais dos pontos em relação à reta é zero, e (2)a soma dos quadradosdesses desvios é mínima (isto é, nenhuma outra reta daria menor soma dequadrados de tais desvios). Simbolicamente, o valor minimizado será:∑(yi - yc)2sendo,Yi = um valor observado de yYc = o valor de y calculado a partir do método dos mínimos quadrados, comos valores xi correspondentes a yi.Os valores de a e b para a reta Yc = a + bx que minimiza a soma dosquadrados dos desvios são dados por:b = n∑(XY) - ∑X∑Yn∑X2- (∑X)2a = ∑Y - bΣXnPodemos usar o método dos mínimos quadrados para obter uma reta para oexemplo dos preços dos veículos face às quilometragens apresentadas. Dasequações acima é evidente que para determinar a equação linear, devemosprimeiro calcular ∑X, ∑Y, ∑X2, ∑XY, além de ∑Y2para uso no cálculo docoeficiente de determinação, conforme veremos adiante.Note-se que, sendo n (o número de observações amostrais) igual a 14,teremos:b = -38,56 a = 2.934Vale dizer, a equação de regressão resultante é: yc = 2.934 - 38,56xA equação pode ser interpretada da seguinte forma: o preço esperado dosveículos é de $2.934 menos $38,56 para cada 1.000 kms rodados. Porexemplo: para um veículo com 20.000 kms rodados, a equação sugere umpreço de $2.163.Outrossim, cabe reconhecermos certos fatos relativos à equação de regressão.Um deles é que se trata de uma relação média e, assim, um carro comdeterminada quilometragem não custará, necessariamente, o preço previsto elaequação.37
  38. 38. Métodos Quantitativos Aplicados à AdministraçãoOutro ponto importante é que seria muito arriscado extrapolar essa equaçãoentre preço e quilometragem para fora do âmbito dos dados. Vale dizer que seestamos contentes em verificar uma relação causal de preço e quilometragemem Belo Horizonte, nada nos autoriza a extrapolar conclusões para o Rio deJaneiro, por exemplo, cidade litorânea com enormes problemas derivados daação da maresia sobre os carros.4. INFERÊNCIA EM ANÁLISE DE REGRESSÃOOs dados amostrais usados para calcular uma reta de regressão podem serencarados como um número relativamente pequeno de observações possíveis,provenientes de uma população infinita de pares de valores. Nesse sentido, areta de regressão calculada pode ser encarada como uma estimativa darelação real, porém desconhecida, que existe entre as duas variáveis napopulação. Logo, os coeficientes de regressão a e b servem como estimativaspontuais dos dois parâmetros populacionais correspondentes, A e B, e aequação Yc= a + bx, é uma estimativa da relação populacional y = A + BX + e,onde e representa a dispersão na população (variável estocástica).A Fig.5 ilustra o conceito de uma população de pares de valores. Note-se que,mesmo nessa população, os valores não se dispõem segundo uma única linhareta, mas tendem a apresentar certo grau de dispersão. De fato, se nãohouvesse dispersão na população, todas as observações amostrais estariamsobre uma reta, e não haveria necessidade de fazer inferências quanto aosverdadeiros valores populacionais. Infelizmente, na vida real, são poucos osexemplos de população sem dispersão.Fig.5 Dados populacionaisUma pergunta que se pode fazer é: "Por que existe dispersão?" A respostaestá no fato de não existir um relacionamento perfeito entre duas variáveis napopulação. Há outros fatores que influenciam os valores da variáveldependente, talvez mesmo um número surpreendentemente grande deinfluências não consideradas na análise de regressão.38
  39. 39. Métodos Quantitativos Aplicados à AdministraçãoOs níveis de preços de carros, no caso em questão, são influenciados poroutros fatores além da quilometragem: condições climáticas, idade e profissãodos vendedores, propaganda etc. Deveriam tais variáveis ser incluídas noestudo? A influência de cada uma delas provavelmente é pequena, e o custoda inclusão de tais fatores na análise supera o benefício que adviria de suaconsideração. Além disso, um ou dois fatores geralmente respondem porquase toda a gama da variável dependente, de modo que pouco se ganhaprocurando explicar completamente como se determina o preço dos veículos,no nosso exemplo. E o que é mais importante, o número de variáveisexplanatórias potenciais é tão grande que seria sem dúvida impossível (oualtamente improvável) obter uma descrição perfeita. Uma conseqüência disso éque sempre haverá alguma dispersão. Assim é que há muitas equações deregressão diferentes, que poderiam concebivelmente ser obtidas, conformesugerido na Fig.6.Fig.6 Possibilidades de retas de regressãoy = a+bxA dispersão na população significa que, para qualquer valor de x, haverámuitos valores possíveis de y. Assim, se se vende um lote de veículos comigual quilometragem, os preços variarão conforme ilustra a Fig.7.Fig.7 Dispersão em torno da reta Fig.8 Dispersão emtornode regressão da médiayFreq. Relativa(%)x ym39
  40. 40. Métodos Quantitativos Aplicados à AdministraçãoA análise de regressão supõe que, para cada valor possível de x, há umadistribuição de ys potenciais que segue a lei normal. Tal é a chamadadistribuição condicional (isto é, dado x). A distribuição condicional equivale auma fatia vertical da população tomada em dado valor de x. A média de cadadistribuição condicional é igual ao valor médio de y na população para esseparticular x: y = A + BX e estimada por yc = a + bx. Vejamos a Fig.9 que segue.Fig.9 A restrição de "normalidade" na análise de regressãoReta de Regressão(Valores de Yc)0 x1 x2 x3Admite-se, além disso, que todas as distribuições condicionais tenham omesmo desvio-padrão e que Y seja uma variável aleatória (isto é, os Xs podemser pré-selecionados, mas não os Ys). Assim, as hipóteses da análise deregressão são as seguintes:a) Existem dados de mensurações tanto para X como para Y.b) A variável dependente é aleatória.c) Para cada valor de X há uma distribuição condicional de Ys que é normal.d) Os desvios padrões de todas as distribuições condicionais são iguais.5. O COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO (r2)Uma medida útil associada à análise de regressão é o grau em que aspredições baseadas na equação de regressão superam as predições baseadasnum Y médio, Ym. Isto é, se as predições baseadas na reta não são melhoresque as baseadas no valor médio de y, então não adianta dispormos de umaequação de regressão. Nesse caso, o coeficiente de determinação, r2, nosauxilia na aferição da qualidade do modelo para fins de previsão.40
  41. 41. Métodos Quantitativos Aplicados à AdministraçãoConsideremos a dispersão de pontos na Fig. 10, em torno de um valor Ym, emoposição à dispersão (vertical) de pontos em torno da reta de regressão, talcomo na Fig. 11. Se a dispersão associada à reta é menor que a dispersãoassociada ao Ym, as predições baseadas na reta serão melhores.Fig. 10 Fig.11yDispersão de pontos em torno damédia do grupo ( y_)y Dispersão de pontos em torno dareta (yc)ycy_y_x xA variação de pontos em torno de ym é chamada variação total e se calculacomo uma soma de desvios elevados ao quadrado:variação total = ∑(yi - ym)2Já os desvios verticais dos yis em relação à reta de regressão chamam-se"variação não-explicada", porque não podem ser explicadas somente pelo valorde “x” (isto é, ainda há uma dispersão, mesmo depois de se levar em conta areta). A variação não-explicada se calcula como a soma de quadrados emrelação à reta:variação não-explicada = ∑(yi - yc)2A quantidade de desvio explicada pela reta de regressão é a diferença entre avariação total e a variação não-explicada, ou:variação explicada = variação total - variação não-explicadaA percentagem de variação explicada, r2, é a razão da variação explicada paraa variação total:r2= variação explicada = variação total - variação não-explicadavariação total variação total41
  42. 42. Métodos Quantitativos Aplicados à AdministraçãoUm modo simples de cálculo deste coeficiente nos é dado a seguir:r2= a∑y + b∑(xy) - nym2∑y2 - nym2em que ym2= y médio ao quadrado =yn∑2Para nosso exemplo, temos: r2= 0,81O valor de r2pode variar de 0 a 1. Quando a variação não-explicada constituiuma grande percentagem da variação total (isto é, a variação explicada é umapercentagem pequena), r2será pequeno. Inversamente, quando a dispersãoem torno da reta de regressão é pequena face à variação total dos valores de Yem torno de sua média, isso significa que a variação explicada responde poruma grande percentagem da variação total, e r2estará muito próximo de 1,00.Logo, o fato de que r2seja igual a 0,81, em nosso exemplo, indica queaproximadamente 81% da variação nos preços dos veículos estão relacionadoscom a quilometragem dos mesmos. Em outras palavras, 19% da variação nãoé explicada pela quilometragem, assim sendo, as predições baseadas naequação de regressão se aproximarão satisfatoriamente dos níveis de preçosefetivos.Portanto, o fato de r2não estar próximo de zero sugere que a equaçãoé melhor que a média Ym como preditor.6. INTERVALOS DE CONFIANÇA PARA A MÉDIAO modelo desenvolvido em termos da equação da reta nos é útil paraprevisões da variável resposta (Y) para níveis desejados da variável controle(X). Além disso, é fundamental que saibamos o intervalo de confiança dentrodo qual deva ocorrer o valor da variável dependente, a partir de um valorqualquer da variável independente. Vale dizer que importa saber o intervalo deconfiança para o preço, relativamente a possíveis quilometragens.Para tanto, a fórmula de cálculo nos é dada por:IC = y ± t(n-2) x Se x( )( )122212nX XXXnm+−−∑∑em que t(n-2) é a estatística t-Student, para (n-2) graus de liberdade. Porexemplo, como temos 14 observações, resulta haver 12 graus de liberdade42
  43. 43. Métodos Quantitativos Aplicados à Administração(GL). Enfim, desejando-se um grau de certeza para o intervalo de confiança(95%, por exemplo) e tendo-se os GLs (12, no nosso caso), basta recorrer auma tabela estatística para a determinação do valor de t(n-2).Exemplo: Qual a estimativa de preço médio para o grupo de carros de dequilometragem de 45.000 kms, a um grau de certeza de 95%?Y(45) = 2.934 - 38,56 x 45 = 1.199e,IC = 1.199 ± 2,179 x Se x (1/14 + (45 - 36,07)2/ 3.608,9)1/2Ademais, "Se" nos é dado por:Se =Y a Y b XYn2122− −−∑∑∑em que n é o número de observações, igual a 14, no exemplo. Assim,Se = (39.960.000 - 2.934 x 21.600 + 38,56 x 640.000)1/2= 325,314 - 2E o intervalo de confiança fica dado por:IC(45) = 1.199 ± 2,179 x 325,3 x (1/14 + (45 - 36,07)2/ 3.608,9)1/2IC(45) = 1.199 ± 216,75Outros exemplos já calculados:IC(36) = 1.546 ± 189,4 IC(50) = 1.006 ± 250,8IC(45) = 1.199 ± 216,8Interpretação: de acordo aos dados coletados de quilometragem e preços,pode-se esperar que o preço médio dos veículos com quilometragem média de45.000 kms se situe no intervalo de $1.415,6 e $982,0, dado um grau decerteza de 95%.43
  44. 44. Métodos Quantitativos Aplicados à Administração7. OBSERVAÇÕES DISCREPANTESÉ freqüente, em análise de regressão, o aparecimento de pontos cujocomportamento é bastante diferenciado das demais observações. A existênciadessas observações discrepantes num conjunto de dados pode trazerproblemas sérios no ajuste do modelo e na estimativa dos parâmetros. Asdificuldades podem ser melhor entendidas através do exemplo a ser discutido.Na quadro a seguir aparecem dados sobre o número de telefones (X) e aarrecadação de ICMS - Imposto de Circulação de Mercadorias e de Serviços(Y), em 10(dez) sub-regiões administrativas do Estado de São Paulo.Também foram adicionadas 3(três) outras sub-regiões: São Sebastião, SãoJosé dos Campos e Região Metropolitana de São Paulo. As observações forampadronizadas em relação ao número de habitantes de cada sub-região.Estamos interessados em ajustar o modelo de equação linear ==> Y = a + bx.Quadro 2. Número de Telefones e Arrecadação de ICMSSub-região X YDracena 42 1,95Adamantina 44 2,39Avaré 48 2,50Catanduva 53 3,22Araçatuba 56 3,63Lins 58 3,54Assis 58 3,65Franca 65 4,49São Carlos 68 5,78ExtrasSão Sebastião 77 1,14São José dos Campos 86 13,94São Paulo 138 12,66X = Node telefones x 100 y = Total de ICMS (em R$1.000)Node habitantes Node habitantesPara exemplificar a influência de observações discrepantes na modelagem,vamos considerar quatro conjuntos de dados:(i) Caso 1: formado pelas 9 sub-regiões básicas.(ii) Caso 2: formado pelas 9 sub-regiões e São Sebastião.(iii)Caso 3: formado pelas 9 sub-regiões e São José dos Campos(iv) Caso 4: formado pelas 9 sub-regiões e São Paulo.44
  45. 45. Métodos Quantitativos Aplicados à AdministraçãoPara o caso 1, obtemos o modelo ajustadoYc = -3,484 + 0,127x r2= 0,93O modelo estimado para o caso 2 éYc = 1,468 + 0,031x r2= 0,07Em primeiro lugar convém observar a grande diferença entre as estimativasdos dois modelos. A observação introduzida está "arruinando" o modelo,tirando-lhe qualquer força preditiva.O caso 3 é estimado porYc = -9,832 + 0,248x r2= 0,85e tem comportamento inverso; a nova observação não altera substancialmentea qualidade explicativa do modelo.Finalmente, no caso 4, embora a nova observação seja diferente das demais,ela não altera muito a estimativa do primeiro modelo, pois está alinhada com osdemais valores. O modelo, ajustado neste caso éYc = -2,700 + 0,112x r2= 0,99Essas diferenças ficam mais realçadas quando comparamos as estatísticasassociadas aos modelos conforme apresentado no quadro 3.Quadro 3. Estatísticas Associadas aos 4 ModelosCaso A b r2n1 -3,484 0,127 93% 92 1,468 0,031 7% 103 -9,832 0,248 85% 104 -2,700 0,112 99% 10Existem várias razões para o aparecimento de pontos discrepantes. Alguns sãoresultados claros de erro de mensuração, e devem ser corrigidos ou entãoremovidos do conjunto básico de dados. Para outros, após cuidadosa análisedas informações, encontra-se uma razão para a inadequação daquelaobservação, o que justificaria sua eliminação, já que não esperaríamos outrospontos como aquele na população. Por exemplo, no caso 2 sabemos que asub-região de São Sebastião é uma região litorânea, com muitas residênciastemporárias, o que justificaria uma alta taxa de telefones, e com poucas sedesde empresa na região, acarretando uma baixa arrecadação do ICMS. Comonão esperamos outra sub-região com tais características, é razoável ajustar omodelo sem essa observação.45
  46. 46. Métodos Quantitativos Aplicados à AdministraçãoOutras vezes, o caso é perfeitamente legítimo, com nada de improvável ouexcepcional ocorrendo, mas com o par observado formando um pontodiscrepante em relação aos demais. Pode ser, inclusive, um daquelespossíveis pontos, pouco prováveis de ocorrer, mas dentro das especificaçõesdo modelo. Aqui a eliminação da observação pode produzir modelos de poucointeresse para explicar o fenômeno real, e a manutenção do ponto introduz asdificuldades discutidas acima. Tem sido procedimento usual a estimativa sem aobservação, mas na análise ressalta-se o fato, chamando a atenção para que aanálise seja adequada para aqueles pontos bem comportados, havendo poréma possibilidade de existência de pontos com um particular comportamentoatípico. Diríamos que o caso 3 está nesta situação, já que esperamos algumasoutras poucas sub-regiões cuja arrecadação do ICMS deva ser alta, mas onível de telefones nem tanto. Assim, o modelo 1 seria adotado com ressalvas.Quanto à situação do caso 4, embora o ponto discrepante não altere muito asestimativas do modelo, somos da opinião de que pontos desse tipo devam sereliminados, pois, nesse caso, ele é praticamente único no Estado de SãoPaulo, com valor exagerado da variável preditora x.Assim, a presença de elementos discrepantes é um problema muito sério paraconstrução de modelos de regressão, e envolve três etapas:(i) identificação de possíveis pontos discrepantes;(ii) avaliação dos efeitos sobre os estimadores e previsões;(iii)análise criteriosa para eliminação da observação.8. CONCLUSÃOA regressão linear é uma técnica destinada a estimar o relacionamento entreduas variáveis, indo ao ponto de equacionar matematicamente talrelacionamento. A equação gerada por meio do método dos mínimosquadrados pode ser usada para predição de valores de uma variáveldependente, face aos movimentos da outra variável, dita independente. Já asrelações lineares são relativamente simples, fáceis de interpretar e servem deaproximação para muitas relações da vida real.Finalmente, realçamos que o coeficiente de determinação, o qual aponta aqualidade do modelo preditivo, demonstra, muitas vezes, a base frágil sobre aqual se assenta a ação empresarial. À luz de nossa experiência, taiscoeficientes em torno de 0,65 já representam alento considerável à açãoexecutiva.46
  47. 47. Métodos Quantitativos Aplicados à AdministraçãoANÁLISE DE REGRESSÃOEXERCÍCIOS51) Suponhamos que uma cadeia de supermercados tenha financiado umestudo dos gastos com mercadorias para famílias de quatro pessoas. Ainvestigação se limitou a famílias com renda líquida entre $8.000 e $20.000.Obteve-se a seguinte equação:Yc = -200 + 0,10x r2= 0,71onde,Yc = despesa anual com mercadoriasx = renda líquida anualSuponha que os dados tenham sido obtidos por amostragem aleatória.a) À luz do coeficiente r2acima, qual sua opinião sobre a qualidade da retapara previsão de despesas?b) Estime a despesa de uma família de quatro pessoas com renda anual de$15.000.c) Um dos diretores ficou intrigado com o fato de a equação aparentementesugerir que uma família com $2.000 de renda não gaste nada emmercadorias. Qual é a explicação?d) Explique suscintamente por que a equação acima não poderia ser usada noscasos seguintes:1.Estimativa das despesas com mercadorias para famílias com cinco pessoas.2.Estimativa das despesas com mercadorias para famílias com renda líquidade $21.000 a $35.000.2) Um grupo de pessoas fez uma avaliação do peso aparente de algunsobjetos. Com o peso real e a média dos pesos aparentes, dados pelo grupo,obteve-se a tabelaPeso real 18 30 42 62 73 97 120Peso aparente 10 23 33 60 91 98 159Calcule o índice de correlação.5Extraídos de: CRESPO, Antônio Arnot. Estatística fácil., STEVENSON, Willian. Estatística Aplicada àAdministração., DOWNING, Douglas; CLARK, Jeffrey. Estatística Aplicada., WERKEMA, MariaCristina Catarino, AGUIAR, Sílvio. Análise de Regressão: Como entender o relacionamento entre asvariáveis de um processo, e alguns badulaques.47
  48. 48. Métodos Quantitativos Aplicados à Administração3) Considere os resultados de dois testes, X e Y, obtidos por um grupo dealunos da escola A:X 11 14 19 19 22 28 30 31 34 37Y 13 14 18 15 22 17 24 22 24 25Verifique, graficamente, se existe correlação retilínea entre as variáveis;Em caso afirmativo, calcule o coeficiente de correlação.4) A tabela abaixo apresenta valores que mostram como o comprimento deuma barra de aço varia conforme a temperatura:Temperatura (ºC) 10 15 20 25 30Comprimento (mm) 1003 1005 1010 1011 1014Determine: o coeficiente de correlação; a reta ajustada a essa correlação; o valor estimado do comprimento da barra para a temperatura de 18ºC; o valor estimado do comprimento da barra para a temperatura de 35ºC.(comente qual a ressalva necessária a esta estimação)5) Certa empresa, estudando a variação da demanda de seu produto emrelação à variação de preço de venda, obteve a tabela:Preço 38 42 50 56 59 63 70 80 95 110Demanda 350 325 297 270 256 246 238 223 215 208Determine o coeficiente de correlação;Estabeleça a equação da reta ajustada;Estime Y para x=60 e x=120.6) Calcule a reta de regressão, sendo M2 a variável independente:M2 = moeda em circulaçãoIPC = Índice de preços ao consumidorAno M2 IPC1977 1286,7 60,61978 1389,0 65,21979 1497,1 72,61980 1629,8 82,41981 1793,3 90,91982 1952,9 96,51983 2186,3 99,61984 2374,7 103,948
  49. 49. Métodos Quantitativos Aplicados à Administração1985 2569,7 107,61986 2811,6 109,61987 2910,1 113,61988 3069,9 118,31989 3223,1 124,01990 3327,8 130,71991 3425,4 136,27) Com base nos dados abaixo:a - calcule os coeficientes da equação de regressão.b - duplique cada valor de X e recalcule os coeficientes.c - duplique os X’s e os Y’s originais e recalcule os coeficientes.d - use os X’s originais mas some 2 a cada valor Y original e recalcule oscoeficientes.Dados originais:x 1 2 3 4 5 6 7y 2 4 5 6 7 7 9a - Equação =>b -xyEquação =>Comentário:_____________________________________________________c -xyEquação =>Comentário:_____________________________________________________d -xyEquação =>Comentário:_____________________________________________________49
  50. 50. Métodos Quantitativos Aplicados à Administração8) Pretendendo-se estudar a relação entre as variáveis “consumo de energiaelétrica”(xi) e “volume de produção nas empresas industriais”(yi), fez-se umaamostragem que inclui vinte empresas, computando-se os seguintes valores:xi∑ =11,34 yi∑ =20,72 xi2∑ =12,16 yi2∑ =84,96 x yi i∑ =22,13Determine: o cálculo do coeficiente de correlação; a equação de regressão de Y para X; a equação de regressão de X para Y; Responda: há diferença entre o r2de Y para X e de X para Y?9) A tabela abaixo apresenta a produção de uma indústria:Anos 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998Quantidade 34 36 36 38 41 42 43 44 46Calcule:a) o coeficiente de correlaçãoSugestão: para simplificar os cálculos, use para o tempo uma variável auxiliar,por exemplo: xi’ = xi - 1994b) a reta ajustadac) a produção estimada para 1999.Obs: lembre-se que foi usada uma variável auxiliar.10) A variação no valor do BTN (Bônus do Tesouro Nacional), relativamente aalguns meses de 1990, deu origem à tabela:Meses abr. mai. jun. jul. ago. set. out. nov.Valor (Cr$) 41,73 41,73 43,98 48,91 53,41 59,06 66,65 75,76Calcule o grau de correlação;Estabeleça a equação de regressão de Y sobre X;Estime o valor do BTN para o mês de dezembro.Sugestão: substitua os meses, respectivamente, por 1, 2, ..., 8.11) Uma companhia com 09 lojas compilou dados sobre a área de vendas (emm2) versus lucro mensal. Determine a equação de regressão, bem como ocoeficiente de determinação. Dê sua opinião quanto à pertinência desta retaface aos dados levantados.Comente se, de fato, lucro depende de lojas maiores ou menores.50
  51. 51. Métodos Quantitativos Aplicados à AdministraçãoLoja Lucro Mensal (em $1.000) M2em (10.000)A 45 55B 115 200C 120 180D 75 90E 170 260F 130 200G 75 85H 105 180I 200 30012) Determine uma equação preditora do montante de seguro (em R$mil) emfunção da renda anual (em R$milhão), com base nos dados abaixo. Após isto,calcule o coeficiente de determinação e comente se a demanda de segurosdepende da renda das pessoas.Renda Anual 20 25 26 18 16 17 32 13 38 40 42Seguro 10 12 15 10 15 20 30 5 40 50 4013) A tabela abaixo relata os custos de manutenção por hora, classificados poridade de máquinas em meses. Determinar a reta dos custos sobre a idade efazer uma previsão de custo para uma máquina de 3 anos e meio. E, claro,levante o coeficiente de determinação, comentando a capacidade preditora daequação obtida.Idade (meses) 6,0 15,0 24,0 33,0 42,0Custos Médios ($) 9,7 16,5 19,3 19,2 26,914) A administração de um banco desejava estabelecer um critério para avaliara eficiência de seus gerentes. Para isto levantou, para cada um dos sub-distritos onde possuía agência, dados a respeito do depósito médio mensal poragência e o número de estabelecimentos comerciais existentes nesses sub-distritos. São os seguintes os dados:51
  52. 52. Métodos Quantitativos Aplicados à AdministraçãoSub-distritos No. de EstabelecimentosComerciaisDepósito Médio porAgência ($10.000)Sabará 16 14Casa Verde 30 16Vila Formosa 35 19Mooca 70 30Brooklin 90 31Jardins 120 33Santo Amaro 160 35Lapa 237 43Pinheiros 378 50a)Levante o coeficiente de determinação e explique o que ele representa neste.b)Quais agências você imagina a mais e a menos eficientes?15) Quando da realização do orçamento anual, a empresa Americana deTecidos levantou os seguintes custos de materiais indiretos face às horas demáquinas empregadas na produção ao longo do ano:Mês Horas de UsoDireto de MáquinasCusto de MateriaisIndiretos ($)Jan 44.000 $875Fev 41.000 850Mar 45.000 875Abr 43.000 850Mai 36.000 750Jun 22.000 550Jul 23.000 500Ago 15.000 450Set 30.000 600Out 38.000 700Nov 41.000 800Dez 44.000 850a)Levante o coeficiente de determinação e comente a qualidade do modelo.b)O que representa o coeficiente linear na equação levantada? E o coeficienteangular?c)Qual seria o custo variável de materiais indiretos esperado no caso de 28.500horas de trabalho de máquina?52
  53. 53. Métodos Quantitativos Aplicados à Administração16) A Indústria MIMI vende um remédio para combater resfriado. Após 2 anosde operação, foram coletadas as seguintes informações:Trimestre Vendas(10.000 unids)Despesas comPropagandaTemperaturaMédia no Trim.1 25 11 22 13 5 133 8 3 164 20 9 75 25 12 46 12 6 107 10 5 138 15 9 4a)Encontre as duas retas de regressão.b)Qual das duas você acha estatisticamente mais adequada para prever asvendas? Por que?c)De acordo com a decisão acima, qual a previsão de vendas para umtrimestre em que a despesa de propaganda será 8? E para a temperaturaprevista de 10?17) Tem-se abaixo dados relacionados ao número de semanas de experiênciade trabalhadores numa empresa de eletrônicos face ao número de itensrejeitados durante um período de tempo qualquer.Semanas de experiência 7 9 2 14 8 12 10 4 6 11Node itens rejeitados 26 20 38 16 23 18 24 26 28 22Pede-se:a) Determinar a equação de regressão e o coeficiente de determinação.b) Esclareça o significado dos valores dos coeficientes de determinação eangular encontrados no item anterior.c) Vejam que o terceiro elemento da tabela acima tem 2 semanas deexperiência. Que comentários você faria a propósito deste elemento quanto asua influência no conjunto dos dados amostrais levantados?18) É possível prever o tempo gasto no caixa de um supermercado comofunção do valor da compra? Para responder a essa pergunta tomou-se umaamostra de fregueses, medindo-se as duas variáveis. Os resultados estão noquadro abaixo. Com base nele, determine a equação da reta e o coeficiente dedeterminação. OBS: Resolva este exercício sempre com 06 decimais.Freguês 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Tempo(min) 3,8 4,2 0,9 5,6 3,1 1,7 4,4 0,2 2,6 1,2Valor($) 40 40 3 55 28 8 52 3 20 8t = 2,30653
  54. 54. Métodos Quantitativos Aplicados à Administraçãoa)Qual o tempo gasto para um freguês com despesa de $35?b)Qual o tempo mínimo gasto por um freguês que dispendesse $35, a 95% decerteza? (O valor t acima incorpora tal nível de certeza).19) Um analista de uma empresa de transporte toma uma amostra aleatória de9 carregamentos recentes por caminhão feitos por sua companhia e anota adistância (em kms) e o tempo de entrega (em horas). Os valores levantadossão dados abaixo:Distância 825 215 1070 550 480 920 1350 325 670Tempo 13,8 3,8 15,6 9,4 8,1 14,6 21,2 5,7 11,6t(correspondente a um grau de certeza de 95%) = 2,365OBS: Resolva este exercício sempre com 06 decimais.a)Levante a reta de regressão e o coeficiente de determinação.b)Explique os significados do coeficiente angular e do coeficiente dedeterminação para os valores encontrados.c)Qual o tempo esperado para uma viagem entre o Rio de Janeiro e Recife, nadistância de 2.200 kms?d)A um grau de certeza de 95% (correspondente à estatística t acima), e sevocê fosse o responsável pelo setor de transporte desta empresa, comoavaliaria o comportamento de um motorista que completasse um percurso de1000 kms no tempo de 12 horas?e)E para motoristas que fizessem este percurso em 18,5 horas; qual seria suaavaliação?20) Analise sua capacidade de conceituar:a - regressão linear simples;b - reta de regressão;c - variável dependente;d - variável independente;e - cota da reta em y;f - coeficiente angular;g - método dos mínimos quadrados;h - correlação;i - intervalo de confiança.54
  55. 55. Métodos Quantitativos Aplicados à AdministraçãoRISCO E INCERTEZA1. Projetos individuais2. Portfólio de negócios3. Carteira de títulos55
  56. 56. Métodos Quantitativos Aplicados à Administração1. INTRODUÇÃOO Dicionário Escolar da Língua Portuguesa do Ministério da Educação eCultura, na sua 11aedição, define risco como "perigo; probabilidade oupossibilidade de perigo". Por outro lado, incerteza recebe definição de:"hesitação; dúvida; que não é certo, conhecido". Vamos investir nas definiçõesacima, dando-lhes uma dimensão empresarial:Risco: probabilidade de que retornos futuros fiquem abaixo de valoresesperados.Mais formalmente, o risco existe quando as decisões são tomadas em conjuntocom a probabilidades relativas a vários resultados. Vale dizer, isso acontecequando se dispõe de distribuições probabilísticas objetivas sobre de quêresultados possíveis, as quais se baseiam normalmente em dados históricos.Por exemplo, se o objetivo é determinar probabilidades relativas aos retornospossíveis de um dado negócio, poder-se-ia desenvolver uma distribuiçãoprobabilística baseada em dados históricos de retornos de outros negóciosassemelhados.Incerteza: situação em que decisões não são amparadas por dados históricosque permitam a formulação de distribuições probabilísticas objetivas.Como fatores geradores do risco, citamos a situação econômica geral, osfatores técnicos específicos dos projetos, as inovações tecnológicas, aspreferências dos consumidores, as condições do mercado de trabalho, dentreoutros. Todos esses elementos atuam para dificultar previsões dedesempenhos empresariais no tocante às receitas e as custos dos negócios.Para a mensuração do risco, definido como "probabilidade" de perigo. seráadaptada a medida estatística convencional de dispersão em uma distribuiçãode probabilidade o desvio-padrão. Por quê? Porque quanto menos esparsa adistribuição de probabilidade de retornos esperados, menor o risco de um dadonegócio. Ou,em outras palavras, quanto menor a amplitude dos resultadosfuturos esperados, menor o risco do empreendimento. Para umaexemplificação, observe aFig.1, onde se compara dois ativos com diferentesdistribuições probabilísticas sobre seus retornos, mostra o relatado acima.56
  57. 57. Métodos Quantitativos Aplicados à AdministraçãoFig.1 Distribuições Probabilísticas de 2 AtivosProb.BA4.000Valor Atual Líquido ($)Verifica-se que se, por um lado, o valor esperado líquido para as duasoportunidades tem a mesma dimensão ($4.000), por outro lado, as dispersõesimputadas a cada um são diferentes. Vemos que a proposta A é mais arriscadaque a B e, que se a administração da empresa que as analisa for avessa ariscos, preferirá B a A. Entretanto, se essa mesma administração for confianteo bastante na sua capacidade de lidar com desafios, preferirá o projeto A, vistoque este oferece oportunidades de ganhos superiores.Conduziremos a análise de ativos com base em três seções distintas: paranegócios (ou ativos) individuais; para portfólios de negócios dentro de umamesma empresa e para carteiras de títulos (ações de empresas e/ou títulos dedébito) possuídos por investidores.2. NEGÓCIOS INDIVIDUAIS E O RISCOO enfrentamento do fator risco na avaliação de novos negócios pode ser feitapor 2(duas) formas mais destacadas: por meio de imputações probabilísticas(Ver tópico Diagrama de Decisão) e através de ajustes na taxa de descontoutilizada para cálculo de valores atuais líquidos (ou valores presentes).É importante ter em mente as características de dependência e independênciados fluxos de caixa de projetos no tempo, características estas que afetamsobremaneira a aceitação de projetos de investimentos.Independência dos fluxos de caixa no tempoEsta hipótese nos diz simplesmente de situações em que resultadosalcançados no período t não dependerão do ocorrido em (t-1). Objetivamente,pode se dizer que, para a maioria das propostas de investimentos, esta é umahipótese de difícil realização, pois, se um negócio não vai bem nos primeirosperíodos, quase certamente os demais estarão comprometidos, e vice versa.Apesar disso, esta hipótese encontra-se presente em quase todos os livros-texto de matemática financeira.Dependência dos fluxos de caixaPara a maioria dos negócios (ou projetos de investimentos), o fluxo de caixaem cada um dos períodos depende dos fluxos precedentes. Assim, se as57
  58. 58. Métodos Quantitativos Aplicados à Administraçãoentradas e saídas esperadas para determinado período não corresponderem àexpectativa, as dos períodos subseqüentes estarão também afetadas.Vale dizer, projetos (ou negócios) que tenham fluxos correlacionadospositivamente ao longo do tempo, ou seja, projetos em que o ocorrido em tdepende do ocorrido em (t-1), serão mais arriscados do que aqueles onde severifica a independência dos fluxos de caixa no tempo.2.1 Ajuste na Taxa de DescontoUma forma pela qual o risco pode ser levado em conta consiste, simplesmente,em alterar a taxa de desconto proporcionalmente ao risco existente em cadasituação. Quanto maior o risco, mais elevada a taxa de desconto usada paracálculo de valores atuais líquidos.Naturalmente, a dificuldade relacionada a esse enfoque refere-se a umadequado reajustamento na taxa de desconto. Geralmente o ajustamentotende a ser arbitrário e a gerar inconsistências, pois flui dos sentimentospessoais dos executivos quanto ao risco deste ou daquele projeto.Esse método de enfrentamento do risco parece, portanto, rudimentar paradecisões no campo do orçamento de capital, porém, encontra fortíssimo apoioteórico nos autores Modiglianni e Miller (laureados com o Prêmio Nobel deEconomia) que já em 1958, dispunham que:"Se uma empresa numa determinada faixa de risco k está atuando no melhorinteresse de seus acionistas, ela explorará uma oportunidade de investimentose e somente se a taxa de retorno sobre o investimento, digamos p*, superara taxa pk".Ademais, a facilidade de sua operacionalização o leva a ser mais amplamenteutilizado do que os métodos dos Equivalentes à Certeza (veremos adiante).Com o exemplo abaixo, podemos entender melhor o método.Dados para um projeto cujo padrão de risco não fuja do nível médio de riscopara projetos no interior da empresa:Inv. Inicial = $10.000Fc = $4.500 para 3 períodos à frenteTaxa de Desconto = 10% por períodoentão, o VAL do projeto será, utilizando nossa EquaçãonVPL = ∑ FCt = 0t=0 (1 + i)t58

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