Aufgaben vorkurs Mathematik

1. Mathematischer Vorkurs f¨ur BWL, Informatik und WI Technische Universit¨at Clausthal
Wintersemester 2015/16 Dr. Marco Bender
Aufgabe 1 (Bruchrechnung)
Vereinfachen Sie die folgenden Br¨uche so weit wie m¨oglich.
a) 27a
18b b) 1
3 + 1
5 c) 2
3 · 1
5 d) 54a2
a3 e) −5
−3 : −3
5
Aufgabe 2 (Potenzen)
Vereinfachen Sie mithilfe der Rechenregeln f¨ur Potenzen die folgenden Ausdr¨ucke soweit wie m¨oglich.
a) (x − y)(x − y)(x − y)(x − y) b) (2x)(−2x)
c) 1
a −1
a
1
−a d) (x + y)−3(x + y)8(x + y)−2
e) x2y−5
a−3b−1 · a−1b
x−2y−7 f) a−1b−2
c−7
2
: ab−2
c7
−2
g) ((a+b)(a−b))−5
((a2−b2)
Aufgabe 3 (Wurzeln)
Vereinfachen Sie die Wurzeln soweit wie m¨oglich:
a) ( 4
√
8 + 4
√
27)( 4
√
3 − 4
√
2) b) (
√
x +
√
y)(
√
2x −
√
2y) c) (
√
ax −
√
bx) :
√
x
Aufgabe 4 (Br¨uche mit Wurzeln)
Formen Sie die Br¨uche so um, dass der Nenner keine Wurzeln mehr enth¨alt, und vereinfachen Sie die
Darstellung so weit wie m¨oglich. (Hinweis: Binomischen Formeln!)
a) 4
3√
2
b) 28
4+
√
2
c) 2(
√
5−
√
3)
√
5+
√
3
Aufgabe 5 (Logarithmen)
Berechnen Sie die folgenden Logarithmen ohne Verwendung eines Taschenrechners.
a) log2(4) b) log4(2) c) log4(64) d) log2(1
8) e) log7(7n)
f) log10(4, 7 · 10150) g) log2(8 · 2−100)
Aufgabe 6 (Exponentialgleichungen)
L¨osen Sie die folgenden Gleichungen:
a) 3
2 log(x) = log(56) − log(7) b) 4x = 0, 125 c) 0, 5x−5 = 15 d) 73x+2 = 10x
Aufgabe 7 (Zinseszins)
Herr M¨uller hat 5000 Euro zu einem Zinssatz von 1% pro Jahr angelegt (die Zinsen werden jeweils
zum Jahresende gutgeschrieben). Nach wie vielen Jahren hat sich das Kapital von Herrn M¨uller
verdoppelt?
Aufgabe 8 (Geschachtelte Quadrate)
Verbindet man die Seitenmitten eines Quadrates, so erh¨alt man wieder ein Quadrat. Setzt man dieses
Verfahren fort, erh¨alt man eine Folge von Quadraten. Wie kann man den Umfang des n-ten Quadrats
aus dem Umfang des Fl¨acheninhalts des ersten Quadrats berechnen?
Aufgabe 9 (Exponentielles Wachstum)
Unter geeigneten Bedingungen verdoppelt eine Hefekultur ihre Masse in zwei Stunden. Dabei w¨achst
die Masse der Kultur exponentiell, d.h.
Masse(t) = Masse(t0) · rt
,
1

2. die Masse zu einem Zeitpunkt t kann also mit Hilfe der Masse zum Startzeitpunkt t0 und einer
Wachstumsrate r bestimmt werden.
Um 100l unterg¨ariges Bier herzustellen, ben¨otigt man 120g Hefe. Wir haben 10g Hefe. Wie lange (in
Stunden und Minuten) m¨ussen wir warten, bis sich die Hefe auf die gew¨unschte Menge vermehrt hat?
(Hinweis: ¨Uberlegen Sie zun¨achst, wie die Wachstumsrate r bestimmt werden kann.)
Aufgabe 10 (Quadratische Gleichungen)
Bestimmen Sie alle L¨osungen der quadratischen Gleichungen:
a) x(x +
√
5) = 0 b) (x + 3
17)(x − 1
11) = 0 c) x2 − 8x + 16 = 0
Aufgabe 11 (Polynomidivision)
L¨osen Sie die folgenden Gleichungen mithilfe von Polynomdivision:
a) x3 − 6x2 + 11x − 6 = 0 b) 3x4 + 4x3 − 24x = −3x3 − 14x2
Aufgabe 12 (Quadratische Gleichungen)
Erl¨autern Sie, wie viele L¨osungen die Gleichung a(x − 2)2 + e = 0 f¨ur verschiedene Werte von a ∈ R
und e ∈ R hat und geben Sie diese (falls m¨oglich) an.
Aufgabe 13 (Lineare Gleichungssysteme)
L¨osen Sie das folgende LGS mit dem Eliminationsverfahren von Gauss.
2x1 − 4x2 + 5x3 = 3
3x1 + 3x2 + 7x3 = 17
4x1 − 2x2 − 3x3 = −1
Aufgabe 14 (Lineare Gleichungssysteme)
”
Ein Vater und seine beiden S¨ohne sind zusammen 100 Jahre alt. Der Vater ist doppelt so alt wie
sein ¨altester Sohn und 30 Jahre ¨alter als sein j¨ungster Sohn.“
Bestimmen Sie das Alter der drei M¨anner, indem Sie ein LGS aufstellen und l¨osen.
Aufgabe 15 (Lineare Gleichungssysteme)
F¨ur welche Werte von r ∈ R besitzt das folgende LGS keine L¨osung, genau eine L¨osung, unendlich
viele L¨osungen?
x1 − x2 +
r
3
x3 = 1
3x2 − rx3 = 0
3x1 − 3x2 + r2
x3 = r + 2
Aufgabe 16 (Funktionen)
Entscheiden Sie, welche der Zuordnungen mit Definitionsbereich D = {a, b, c, d} und Wertebereich
W = {a, c, e} Funktionen von D nach W sind.
a) a → a, b → a, c → a, d → a
b) a → a, c → c
c) a → a, b → a, c → c, c → e, d → a
d) a → c, b → c, c → e, d → b
e) a → e, b → c, d → a, c → e
2

3. Aufgabe 17 (Definitionsbereich und asymptotisches Verhalten)
Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich der folgenden Funktionen und untersuchen Sie das
asymptotische Verhalten von f bei Ann¨aherung an (m¨ogliche) Definitionsl¨ucken und f¨ur x → ±∞:
a) f(x) = (x − 1)2 b) f(x) = 1
x2 c) f(x) = ln(1
x ) d) f(x) = 2x−3
4x
e) 2x2−3
4x f) x
1+|x|
Aufgabe 18 (Monotonie)
Treffen Sie Aussagen zum Monotonieverhalten der folgenden Funktionen:
a) f(x) = −2x b) f(x) = (x − 5)2 + 3
c) f(x) = 1
xn , mit n ∈ N d)f(x) = a + bx mit a, b ∈ R
Aufgabe 19 (Angebot und Nachfrage)
Die j¨ahrliche Nachfrage f¨ur Reis in einer Marktwirtschaft l¨asst sich durch folgende lineare Funktion
beschreiben:
qN = 100 − 20p,
wobei p den Preis (in Geldeinheiten GE) und q den Konsum pro Person (in Mio. T.) bezeichnet. Das
j¨ahrliche Angebot f¨ur Reis ist auch eine lineare Funktion, dessen Parameter (a und b) aber unbekannt
sind:
qA = a + b · p,
Die Marktforschungen haben gezeigt, dass die Produzenten bei einem Preis von 1 GE 40 Mio.T. Reis
auf dem Markt anbieten, bei einem Preis von 5 GE sogar 120 Mio.T.
a) Bestimmen Sie mit Hilfe der gegebenen Informationen die Angebotsfunktion f¨ur Reis.
b) Der Markt befindet sich im Gleichgewicht, wenn Nachfrage und Angebot ¨ubereinstimmen.
Bestimmen Sie den Gleichgewichtspreis und die Gleichgewichtsmenge f¨ur diesen Fall.
Aufgabe 20 (Differenz monotoner Funktionen)
Gilt die Behauptung:
”
Die Differenz zweier monoton wachsender (fallender) Funktionen ist monoton
wachsend (fallend)“? Geben Sie eine Begr¨undung oder ein Gegenbeispiel.
Aufgabe 21 (Pilzbek¨ampfung)
Durch Pilzbefall verringert sich der Ertrag eines Landwirtes drastisch. Um diesem entgegen zu wirken
verwendet er ein Pflanzenschutzmittel. Pro Einheit verwendeten Fungizids ver¨andert sich der Verlust
relativ, dies wird dargestellt durch die Funktion
f(x) = 1
2
x
3
a) Wie verh¨alt sich der Verlust? Zeichnen Sie dies in einer Funktion mit geeignetem Maßstab.
b) Handelt es sich hierbei um eine monotone Funktion ?
c) Wie verh¨alt sich nach diesem Modell der Verlust durch den Pilzbefall, wenn man beliebig viel
Fungizid einsetzt? Ist das realistisch?
Aufgabe 22 (Stetigkeit)
Untersuchen Sie die Funktion f auf Stetigkeit an der Stelle x0:
a) f(x) =
−x − 1
2x2, x ≤ 2
x2 − 4x, x > 2
x0 = 2 b) f(x) =
2x − 25
2 , x < 5
1
2x2 − 3x, x ≥ 5
x0 = 5
Aufgabe 23 (Ableitungen)
Bestimmen Sie die erste Ableitung von f:
a) f(x) = 5x3 − 4x2 b) f(x) = 5
√
x + 2
3x6
c) f(x) = −2x2 + sin(x) d) f(x) = 2
3x4 − 3
2x6
e) f(x) =
√
x2 + 1(x2 − 2x) f) f(x) = (3x − 2) 4
(x + 3)3
3

4. Aufgabe 24 (Lokale Extrema)
Berechnen Sie f¨ur die folgenden Funktionen die ersten beiden Ableitungen und bestimmen Sie mit
deren Hilfe alle lokalen Extrema.
a) f(x) = x3 + 2x2 − 1 b) f(x) = (x2 − 3)ex
Aufgabe 25 (Gewinnkurve eines Projektes)
Ein Unternehmen m¨ochte die Gewinnkurve eines Projektes bestimmen. Man nimmt an, dass diese
durch ein Polynom vom Grad 2 beschrieben wird. Es ist bekannt, dass das Projekt bei einer Ab-
satzmenge von 200 keinen Gewinn aber auch keinen Verlust macht (Break-Even-Punkt) und dass die
Gewinnkurve bei 320 verkauften St¨ucken eine Steigung von 12 hat. Um das Projekt umzusetzen, wird
mit Fixkosten (Kosten, die nicht von der verkauften Menge x abh¨angen) von 20.000 gerechnet.
a) Wie sieht die Gewinnfunktion aus?
b) Bei welcher Absatzmenge ist der Gewinn am gr¨oßten?
Aufgabe 26 (Optimierung mit quadratischen Funktionen)
Sie besitzen ein großes Waldgrundst¨uck entlang einer Autobahn, die schon mit einem Wildzaun
gesichert ist. Als zus¨atzliche Einnahmequelle wollen Sie auf einer rechteckigen Teilfl¨ache von zwei
Hektar Weihnachtstannen anpflanzen. Da diese vom Wild gut angenommen werden, m¨ussen Sie die
drei ¨ubrigen Seiten einz¨aunen. Wie lang m¨ussen die Seiten des Rechtecks sein, damit Sie m¨oglichst
wenig Kosten haben?
Aufgabe 27 (Differenzierbarkeit)
Wie m¨ussen a, b ∈ R gew¨ahlt werden, damit f f¨ur x0 = 2 differenzierbar ist?
f(x) =
3
x−3, x ≤ 2
ax2 + 2x + b x > 2
Aufgabe 28 (Integrale)
Berechnen Sie die folgenden Integrale:
a)
2
0 (3x2 + 7x + 17)dx b)
4
−3 |x|dx c)
−1
−2 (3x2 − 4
x2 )dx d)
2
1 6(x3 − 2
x )dx +
2
1 (1 + 12
x )dx
Aufgabe 29 (Fl¨achenbestimmung mittels Integralen)
Skizzieren Sie die Funktion f(x) = 1
2x2(x2 − 4). Wie groß ist die Fl¨ache, die der Graph von f mit der
x-Achse einschließt?
Aufgabe 30 (Fl¨achenbestimmung mittels Integralen)
Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen f(x) = −x2 + 4.25 und g(x) = 1
x2 . Bestimmen Sie den
Inhalt der Fl¨ache, die von den f und g eingeschlossen wird.
Aufgabe 31 (Partielle Integration)
Berechnen Sie die folgenden Integrale mittels partieller Integration:
a)
1
−1 xe4xdx b)
π
0 x sin(x)dx c)
2
0 x2exdx
Aufgabe 32 (Fl¨achenbestimmung mittels Integralen)
Betrachten Sie die Funktionen f(x) = x2 und g(x) = mx mit m > 0.
a) Bestimmen Sie die beiden Schnittpunkte von f und g (in Abh¨angigkeit vom Parameter m).
b) Bestimmen Sie m so, dass diese Fl¨ache, die f und g einschließen, 1
6 ist.
4