Análisis de señales y sistemas usando la variable de frecuencia compleja

La herramienta matemática de la variable de frecuencia
compleja para el análisis de las señales y los sistemas
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ISBN 9783659049927

Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas Dr. Javier Cabrera Vázquez y Mtra. María
Guadalupe Casillas Limón
2
ÍNDICE DE CONTENIDO
Libro Ingeniería de señales y sistemas lineales usando matlab
8 La variable de frecuencia compleja ....................................................................................... 4
8.1. Definición de la Transformada de Laplace........................................................................... 4
8.2 Propiedades de La transformada de Laplace ............................................................. 10
8.3 Técnica de fracciones parciales.................................................................................... 23
8.4 Función de transferencia.............................................................................................. 28
8.5 Polos y ceros................................................................................................................. 31
8.6 El criterio de estabilidad BIBO ....................................................................................... 31
8.7 Simulaciónpara un sistema de primer orden.................................................................. 38
8.8 Simulación para un sistema segundo orden.................................................................. 44
Actividad 12........................................................................................................................... 51
ANEXO Series de Fourier Con Matlab................................................................................... 51
Bibliografia................................................................................................................................... 59
Sobre los autores ........................................................................................................................ 60

4
8 La variable de frecuencia compleja
8.1. Definición de la Transformada de Laplace
Algunas señales determinísticas que utilizamos en la práctica de
la ingeniería por ejemplo
(La función rampa y la función escalón)
Son necesarias para excitar la entrada de un sistema LTI
¿existirá algún procedimiento de resolución para predecir la salida
o respuesta del sistema a estas entradas?, podemos afirmar que si.
En efecto existe una transformada idónea que opera con la mayoría
de las funciones determinísticas y se le conoce como la
Transformada de Laplace.
La transformada de Laplace X(s) de la señal en el dominio del
tiempo x (t) se define como la integral
(8.1.1)
Observaciones:
1.- Note el parecido con la definición de la transformada de Fourier,
se dice que la transformada de Laplace es una extensión de ésta.
2.- En esta definición se adiciona un factor de convergencia
exponencial e
tα−
a fin de incorporar señales que no tienen
transformada de Fourier dado que este factor forzara a la integral
de la definición de la transformada de Laplace a converger.
dtetxdtetxsX sttjw
∫∫
∞
−
∞
+−
−−
==
0
)(
0
)()( )(σ
)()( ttutx = )()( tAutx =

5
3- Esta integral define la transformada de Laplace unilateral o de un
sólo lado, esto significa que la transformada de Laplace X(s) de
una señal tiene implícita la suposición de que la señal x( t ) vale
cero antes de ser “activada” por lo que se denomina causal, algunas
veces se indica este supuesto escribiendo la señal como x ( t ) u(t),
como por ejemplo la señal
(Que es una función exponencial
decreciente y causal ya que inicia en t=0 y vale cero para tiempos
negativos).
4.- La cantidad 𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔, se identifica como la variable de
frecuencia compleja.
5.- A la señal x (t) y X(s) se les denomina parejas de transformadas;
lo que significa dos representaciones alternativas de la misma cosa:
la señal, se dice que estas dos guardan una relación univoca o en
otras palabras una señal sólo le corresponde un sola transformada
de Laplace y viceversa.
Existencia de la transformada de Laplace:
La transformada de Laplace existe para una señal siempre y
cuando la integral de Laplace (8.1.1) converge, la integral de
Laplace convergerá si x (t), cumple con:
a.- x (t) no tiene comportamientos anómalos es decir es una función
continua y su variación esta acotada en un intervalo de tiempo finito
en el dominio para t > 0;
b.- Si es de orden exponencial cuando t tiende a infinito.
Vale la pena aclarar esto, una función x (t) es de orden exponencial
si existe una constante real positiva σ (σ> 0) tal que el producto
│x(t)│e-σt
tienda a cero cuando t tiende a infinito* es evidente
que sólo ciertos valores de σ, harán que esto acontezca, el intervalo
de valores de σ que asegura la convergencia definen la región de
convergencia (ROC) de la transformada de Laplace para ilustrar
esto vea los ejemplos 6.1 y 6.2
)()( tuAtx e
tα−
=

6
Ejemplo 8.1.1
Obtengamos la transformada de Laplace de la señal
Escalón escalado en amplitud.
Veamos el papel que juega el factor de orden exponencial 𝑒−𝜎𝑡
;
dteAdttAusX tjtjt
ee ∫∫
∞
+−
∞
−−
==
0
)(
0
)1()()( ωσωσ
Ahora veamos que
* Existe si y sólo si en cuyo caso, esto garantiza que la
exponencial es decreciente con el tiempo esto es
Ya que al ser σ > 0 la función es una exponencial
decreciente y se hace cero cuando el tiempo tiende
a infinito.
Por lo que sustituyendo limites tenemos (donde se observa el papel
fundamental de 𝑒−𝜎𝑡
.
Ya que
Por lo que tenemos la primera pareja de transformada de Laplace
<=>
e
tj
t
)(lim ωσ +−
∞→
0
lim )(
=
∞→
+−
e
tj
t
ωσ
[ ] ∞=
=
+−
+
−=
t
t
tj
ej
A
sX 0
)(
)(
ωσ
ωσ
[ ]
ωσωσ j
A
j
A
sX
+
=−
+
−= 10)(
)()( tAutx =
s
sX
1
)( =
)( ωσ js += s
sX
1
)( =
)()( tutx =

7
Ejemplo 8.1.2
Obtener la transformada de Laplace de
==== ∫∫∫
∞
−+−
∞
−−−
∞
dteAdteAdteAesX tjtsstt
0
)2(
0
)2(
0
2
)( ωσ
*Existe si y sólo si en cuyo caso, esto
garantiza que la exponencial es decreciente
con el tiempo esto da
Nuevamente si σ > 2 la función es
una exponencial decreciente y se
hace cero cuando el tiempo tiende a
infinito.
Por lo que tenemos la segunda pareja de transformada de Laplace
)()( tuAtx e
tα
= <=>
α−
=
s
A
sX )(
[ ] 2
)2(
2
)(
0 −
=−+−
−+
−=
∞
s
Atj
j
A
sX e ωα
ωσ
)()(
2
tuAtx e
t
=
e
tj
t
)2(lim −+−
∞→
ωσ
0
lim )2(
=
∞→
−+−
e
tj
t
ωσ
[ ]
2
10
2
)(
−
=−
−+
−=
s
A
j
A
sX
ωσ

8
Ejemplo 8.1.3
Obtener la transformada de la funcion
Rampa unitaria
De
Ejemplo 8.1.4
Obtener la transformada de la funcion impulso
De la propiedad de seleleccion del impulso
Actividad 8.1.1
Completa la siguiente Tabla
Dominio del tiempo
)(tx
Dominio de la variable de
frecuencia compleja s. )(sX
Escalón
)()( tAutx =
Rampa
)()( ttutr =
Función impulso
)()( ttutr =
ss
ee s
t
s
dtttusX
st
st
22
00
11
0
1
)()( =








−=



−−==
∞−∞
−
∫
)0()()(
0
xdttxt =∫
∞
δ
1)()(
0
=== ∫
∞
−
ee
ost
dttsX δ
)(tδ




+=∫ αα
α
α 1
tdxx ee
x
x

9
)(tδ
Exponencial creciente
)(tue
tα
Exponencial
decreciente
)(tue
tα−
Rampa amortiguada
)(tut e
tα−
Función de
crecimiento
exponencial
)()1()( tuAtx e
tα−
−=
Sinusoide coseno
)()cos( tutω
Sinusoide seno
)()( tutsen ω
Coseno amortiguado
)()cos( tute t
ωα−
ωα
α
22
)( ++
+
s
s
Seno amortiguado
)()( tutsene t
ωα−
ωα
ω
22
)( ++s
Tabla 8.1 Parejas de transformadas

10
8.2 Propiedades de La transformada de Laplace
La transformada de Laplace es ampliamente utilizada como una
transformada operacional. Esto es, es utilizada como una
herramienta para resolver problemas. Hay dos razones para su uso
tan expandido. Primero, un gran número de señales comunes
tienen transformadas de Laplace sencillas. Segundo, varias de las
propiedades de la transformada de Laplace permiten que sea
aplicada a muchos problemas de interés práctico.
Propiedad 1.- Linealidad: Dados los pares transformados de
Laplace )()( 11 sXtx ↔ y )()( 22 sXtx ↔ y cualesquiera números reales a1
yb2
entonces:
)()()}()({ 22112211
sXsXtxtxL baba +=+
Terminología: Decimos que la transformada de Laplace es lineal
porque sustenta la superposición.
Ejemplo 8.2.1
Veamos la función de crecimiento exponencial y su transformada
mediante la propiedad de linealidad.
)()()()1()( tuAetAutuAtx tt
e
αα −−
−=−=
Su transformada es
)(
)(
α
α
α +
=
+
−=
ss
A
s
A
s
A
sX
Fig.8.2.1 Función de crecimiento exponencial

11
Ejemplo 8.2.2
)()(
2
)()]cos([)( tuee
A
tutAtx s
tjtj
s
ωω
ω −
+==
Definida la función:
)()()( 0
1 tuAetx s
tjω
=
Siguiendo encontramos que:
0
1 )}({
ωjs
A
txL
−
=
Similarmente tenemos:
0
2 )}({)}({ 0
ω
ω
js
A
tueLtxL s
tj
+
== −
Ahora tomamos
2
21
A
ba == en la propiedad del inicio del ejemplo.
Tenemos entonces que:
=+== )}()({)}()]{[cos()}({ 2211 txtxaLtutLtxL bsω
22
)
1
(
2
)
1
(
2
}
22
{)(
ωωω
ωω
+
=
−
+
+
=+= −
s
As
js
A
js
A
e
A
e
A
LsX tjtj
Propiedad 2.- Convolución: Dados los pares transformados de
Laplace )()( sXtx ↔ y )()( sHth ↔ entonces:
)()(})()({)(
0
sXsHdxthLsY =−= ∫
∞
−
τττ
Ejemplo 8.2.3
La respuesta en el dominio del tiempo de una red de paso bajo
(primer orden) a una entrada escalón unitario mediante la
operación de convolución está dada por:
∫
∞
−−
−=
0
1
)(
)()()( λλλ
λ
dxtuAety s
RC
t
Note la dificultad que tendría resolver esta integral.

12
Sabemos que la respuesta al impulso de la red RC de paso bajo
representa a dicho sistema LTI en el dominio del tiempo está dada
por
)()( tuAeth RC
t
−
=
Cuya transformada de Laplace es la llamada función de
transferencia H(s) que representa un sistema lineal de una red
eléctrica en el dominio de la variable de frecuencia compleja:
α+
=
+
=
s
A
RC
s
A
sH
1
)(
Donde la constante de tiempo del sistema está definida como:
RC
RC
1
;
1
=== α
α
τ
A= 1/RC supongamos que la red es excitada por un escalón
unitario u(t), cuya transformada de Laplace es 1/s,
Fig. 8.2.2 Entrada de excitación a la red RC
Por lo tanto la salida utilizando la propiedad de convolución de la
transformada de Laplace es;
ααα +
+=
+
=
+
==
ssss
A
ss
A
sXsHsY kk 21
)(
)
1
)(()()()(
Por la técnica de fracciones parciales:
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1

13
αα +
+=
+
=
ssss
A
sY kk 21
)(
)(
𝑌(
𝑠
)
=
ααα
A
s
A
ss
sA
ssk =
+
=
+
=
== 001
)(
αα
α
αα
A
s
A
ss
As
ssk −==
+
+
=
−=−=)(
)(
2
Tomando la transformada:
[ ] [ ] [ ] )(11)(1
1
1
)(1)()()( tutu
RC
RCtu
A
tuAtu
A
ty eeee
tttt αααα
ααα
−−−−
−=−=−=−=
Cuya respuesta en el tiempo es de la forma:
α
ααααα
+
−=
+
+=
+
=
+
==
s
A
s
A
ssss
A
ss
A
sXsHsY kk 21
)(
)
1
)(()()()(

14
Fig.8.2.3 Salida de la red RC de paso bajo (primer orden) a una
entrada escalón unitario.
Propiedad 3.- Integración: Dados el par de transformadas de
Laplace )()( sXtx ↔ tenemos:
)(
1
})({
0
sX
s
dxL
t
=∫ λλ
Ejemplo la función rampa unitaria es la integral de la función paso
unitario:
∫==
t
duttutr
0
)()()( ττ
2
0
11
)
1
()}({
1
})({)}({
sss
uL
s
duLtrL s
t
s ==== ∫ τττ
Propiedad 4.-Diferenciación: Dado el par transformado de Laplace
)()( sXtx ↔ asumimos que:

15
Ejemplo se sabe que
La propiedad de diferenciación se puede extender a
)0´()0()()0()]0()([)}({ 2
−−−−=−−−−=
••
xsxsXsxxssXstxL
En general, la transformada de Laplace de la derivada del enésimo
es:
)0()0(.....)0()(}
)(
{ )1()2()1(
−−−−−−−= −−− nnnn
n
n
xsxssXs
d
t
L
t
d
Ejemplos 8.2.4
Empleando las propiedades de derivación de la transformada de
Laplace encuentre la solución a la ecuación diferencial que
representa a un sistema:
)(
)(
t
dt
tu
d δ=
}{ } 101)0(
1)(
{)( =+=−−== u
s
s
dt
tu
dLtL δ
0)(12)('7)('' =++ tytyty

16
Ejemplo 8.2.5
Empleando las propiedades de la transformada de Laplace
encuentre la solución a la ecuación diferencial:
Con condiciones iníciales y(0) =5 y y’(0)=1
[ ]
}
}
)(]2)(
)
5
2
3
4
()(
2
1
2
1
108
)34(
10)4(2
4
)4)(3(
102
)4(
4
1
4
1
106
)43(
10)3(2
3
)4)(3(
102
)3(
)4()3()4)(3(
102
127
102
)(
0102127)(
0)(2)2(7)(742)(
0)(12)0(7)(7)0()0()(
43
2
2
2
'2
4[ tuty
ss
sY
s
ss
s
sB
s
ss
s
sA
s
B
s
A
ss
s
s
s
sY
sssY
sYssYssY
sYyssYssY
ee
s
s
s
yys
tt −−
−=
+
−
+
=
−−=
−
+−
=
+−
+−
=−=
++
+
+=
==
+−
=
+−
+−
=−=
++
+
+=
+
+
+
=
++
+
=
++
+
=
=−−++
=+−++−
=+−+−−
0)(2)('3)('' =++ tytyty
[ ]
)1(
2
)2(
1
)1)(2(
165
23
165
)(
016523)(
0)(2)5(3)(315)(
0)(2)0(3)(3)0()0()(
2
2
2
'2
+
+
+
=
++
+
=
++
+
=
=−−++
=+−+−−
=+−+−−
s
k
s
k
ss
s
s
s
sY
sssY
sYssYssY
sYyssYsysY
s
s
s
ys

17
Una forma alterna para encontrar el valor de los residuos es
utilizando el programa matlab:
b=[5,16];
a=[1,3,2];
[r,p,k]=residue(b,a)
r =
-6
11
p =
-2
-1
k = []
Donde se debe tener cuidado en asociar cada residuo con su polo
correspondiente:
Propiedad 5.- Retardo en el Tiempo: Dado el par transformado de
Laplace )()( sXtx ↔ para cualquier número positivo 0>st :
)()}({ sXettxL st
s
s−
=−
1
11
2
6
)1()2()1)(2(
165
23
165
)( 2
+
+
+
−
=
+
+
+
=
++
+
=
++
+
=
sss
B
s
A
ss
s
s
s
sY
s
ee
tt
ty
−−
+−= 116)(
2

18
Ejemplo8.2.6
Considere un pulso que comienza en el origen:
0),()()( ≥−−= ssss tttututp
Utilizando la linealidad de la transformada de Laplace y esta
propiedad de retardo en el tiempo tenemos:
s
e
s
e
s
ttutuL
ss stst
sss
−−
−
=−=−−
11
)}()({
Ejemplo 8.2.7
Obtenga la respuesta de un sistema modelado por 𝐻( 𝑠) =
1
𝑠+1
si la
entrada es un pulso rectangular de 1volt de amplitud y tiene un
periodo de T segundos.
Fig. 8.2.4 Señal de entrada Fig. 8.2.5 Señal de salida
Utilizando la propiedad de convolución y la propiedad de retardo en
el tiempo
𝑌( 𝑠) = 𝐻( 𝑠) 𝑋(𝑠)
𝒀( 𝒔) = (
𝟏
𝒔 + 𝟏
)(
𝟏
𝒔
−
𝟏
𝒔
𝒆−𝒔𝑻
)
𝒀( 𝒔) =
𝟏
𝒔
−
𝟏
𝒔 + 𝟏
− (
𝟏
𝒔
𝒆−𝒔𝑻
+
𝟏
𝒔 + 𝟏
𝒆−𝒔𝑻
)
𝒚( 𝒕) = ( 𝟏 − 𝒆−𝒕) 𝒖( 𝒕) − �𝟏 − 𝒆−(𝒕−𝑻)
�𝒖(𝒕 − 𝑻)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1

19
Propiedad 6.- Escalamiento en el Tiempo: Dado el par de
transformadas de Laplace )()( sXtx ↔ entonces, para cualquier
número positivo a:
)(
1
)}({
a
s
X
a
atxL =
Propiedad 7.- Teorema del Valor Inicial: Dado el par transformado
de Laplace )()( sXtx ↔ , suponga que existe:
)()(lim 00 +→
= xtx
t
Entonces tenemos:
)()(lim 0+∞→
= xssX
s
Ejemplo 8.2.8
Calcular el valor inicial en el dominio del tiempo de la función:
racionalFuncion
s
s
sX
s
s =
++
+
=
65
53
)( 2
2
Aplicando el teorema del valor inicial
3
001
03
65
1
5
3
lim
65
53
1
1
65
53lim
)0(
2
2
2
2
2
2
2
=
++
+
=
++
+
∞→
=
++
+
=
++
+
∞→
=+
S
s
s
s
s
s
s
S
S
s
s
s
s
s
s
s
s
x
Comprobando: Tomando la transformada inversa de
{ }
65
53
)( 2
2
1
++
+
=
−
s
s
sX
s
sL
Mediante matlab encontramos los residuos con sus polos
asociados
b=[3,5,0];
a=[1,5,6];
r =

20
-12.0000
2.0000
p =
-3.0000
-2.0000
k = 3
Tal que
2
2
3
12
3
65
53
)( 2
2
+
+
+
−=
++
+
=
sss
s
sX
s
s
Tomado la transformada inversa de estas fracciones simples
)(2)(12)(3
23
tututu ee
tt −−
+−
Cuyo valor inicial x(0+) =3
Comprobando el teorema de valor inicial.
También:
52
56
65
53lim
2
2
+
+
=
++
+
∞→ s
s
s
s
ds
d
s
s
s
s
3
2
6
52
56
==
+
+
s
s
ds
d

21
Propiedad 8.- Teorema del Valor Final: Dado el par transformado
de Laplace Xstx ↔)( suponga que:
)(lim tx
t ∞→
Existe. Entonces tenemos que:
)(lim)(lim
0
ssXtx
st →∞→
=
Ejemplo 8.2.9
Sea la función en el tiempo
Si utilizamos la propiedad
10
20
20
20
)0(320)0(10
)2(
32010
lim
2*
3)2(10
lim)
2
310
(
0
lim
)(
=
+
=
+
++
=
+
++
=
+
++
=
+
+
→
=∞
ss
ss
s
ss
ss
s
ss
s
s
x
Comprobando:
La transformada inversa de )()310(
2
310 2
tues
ss e
t−
+
+
+
Cuyo valor es 10 para cuando t tiende a infinito.
)()310()(
2
tutx e
t−
+=
∞→∞→
=+=+=
−
tt
tutx e
t
10010)()310lim()(lim
2
)(lim)(lim
0
ssXtx
st →∞→
=

22
Debemos ser cuidadosos al aplicar esta propiedad ya que solo es
valido cuando la función racional de la transformada de Laplace
tenga polos en el semiplano izquierdo del plano s entonces el
limite de x(t) existe si el tiempo tiende a infinito.
Propiedad 9.- Multiplicación por una exponencial
)()( α
α
+⇔
−
sXtxe
t
Propiedad 10.- Multiplicación por coseno
[ ])()(5.0)()cos( jasXjasXtxat −++⇔
Propiedad 11.- Multiplicación por t
dssdXttx /)()( −⇔
Ejemplo encuentre la transformada de e
t
ttx
2
5)(
−
=
Se inicia con
[ ]
2
5
)(
+
=
s
txL
Y utilizando la propiedad de multiplicación por t
( )2
2
2
5
2
5
5
+
=



+
−⇔
−
ssds
d
t e
t

23
8.3 Técnica de fracciones parciales
Normalmente se requiere interpretar la respuesta de un sistema
volviendo al dominio del tiempo a partir de la trasformad inversa de
Laplace, por lo general las funciones en el dominio de la variable de
frecuencia compleja se dan como un cociente de polinomios la que
denominamos funciones racionales, es una practica común utilizar
la técnica de fracciones simples para facilitar mediante la tabla de
parejas de transformada la vuelta al dominio del tiempo, veamos
varias casos para obtener fracciones simples de funciones
racionales.
Todas las transformadas que nos interesen son funciones
racionales de la forma.
𝑋( 𝑠) =
𝐵( 𝑠)
𝐴( 𝑠)
=
𝑏 𝑚 𝑠 𝑚
+ 𝑏 𝑚−1 𝑠 𝑚−1
+ ⋯ + 𝑏1 𝑠 + 𝑏0
𝑎 𝑛 𝑠 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑠 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑠 + 𝑎0
Donde 𝐵(𝑠) y 𝐴(𝑠) son los polinomios de la variable de frecuencia
compleja de s.
Los polinomios se pueden expresar en forma factorial en función de
su raíz.
𝑋( 𝑠) =
𝐵(𝑠)
𝐴(𝑠)
=
𝑘( 𝑠 − 𝑧1)( 𝑠 − 𝑧2) … (𝑠 − 𝑧 𝑚)
( 𝑠 − 𝑝1)( 𝑠 − 𝑝2) … (𝑠 − 𝑝 𝑛)
Donde: 𝑍 𝑘, 𝑘 = 1,2,3, … , 𝑚𝑆𝑜𝑛𝑙𝑎𝑠𝑟𝑎𝑐𝑖𝑐𝑒𝑠𝑑𝑒𝑙𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜𝐵( 𝑠)
𝑃𝑘, 𝑘 = 1,2,3, … , 𝑛𝑆𝑜𝑛𝑙𝑎𝑠𝑟𝑎𝑐𝑖𝑐𝑒𝑠𝑑𝑒𝑙𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜𝐴(𝑠)
Las 𝑍 𝑘recibe el nombre de ceros de la función racional 𝑋(𝑠), por
que 𝑠 = 𝑍 𝑘 , la función 𝑋(𝑠) es nula.
Las 𝑃𝑘 se denominan polos, por que cuando 𝑠 = 𝑃𝑘 , 𝑋(𝑠) se hace
infinita.
Sea X(s) una función racional estrictamente propia (el grado del
polinomio del denominador es mayor que el grado del polinomio del
numerador), por lo que hay más polos que ceros (n > m) y si
ninguno de los polos es una raíz repetida del polinomio 𝐴(𝑠) se
podrá descomponer 𝑋(𝑠) en fracciones parciales donde los K son
denominados residuos que incluso pueden ser mumeros complejos:
𝑋( 𝑠) =
𝑘1
𝑠 − 𝑝1
+
𝑘2
𝑠 − 𝑝2
+
𝑘3
𝑠 − 𝑝3
+ ⋯ +
𝑘 𝑛
𝑠 − 𝑝 𝑛

24
Ejemplo de caso 1: Este es el caso cuando las raíces del
polinomio del denominador son reales y diferentes por lo que la
función racional se puede descomponer en fracciones parciales de
la siguiente manera.
4
3
2
21
)4)(2(
)6(2
)(
+
+
+
+=
++
+
=
s
K
s
K
s
K
sss
s
sX
5.1
8
12
)40)(20(
)60(2
*)(*1 0
==
++
−
== =
s
ssXsK s
2
4
8
)42)(2(2
)62(2
*)2()(*)2(2 2
−=
−
=
+−+−
+−
+=+= −=
s
ssXsK s
5.0
8
4
)4)(24(4
)64(2
*)4()(*)4(3 4
==
++−−
+−
+=+= −=
s
ssXsK s
)(5.0)(2)(5.1)(
4
5.0
2
25.1
)( )4()2(:: 1
tuetuetutx
sss
sX ttLT −−
+−= →←
+
+
+
−=
−
Caso 2: Este es el caso cuando las raíces del polinomio del
denominador son reales e iguales por lo que la función racional se
puede descomponer en fracciones parciales de la siguiente
manera.
22
)4(
2,2
4
1,21
)4(
)6(8
)(
+
+
+
+=
+
+
=
s
K
s
K
s
K
ss
s
sX
3
16
48
)40(
)60(8
*)(*1 20
==
+
+
== =
s
ssXsK s
4
4
16
)4(4
)64(8
*)4()(*)4(2,2 2
2
4
2
−=
−
=
+−
+−
+=+= −=
s
ssXsK s
=+=
+
+
+=+= −
−=
1
2
2
4
2
)6(8
)4(
)6(8
*)4()(*)4(1,2 ss
ds
d
ss
s
s
ds
d
sXs
ds
d
K s
[ ] 3
16
48
16
6
08
6
08608)61(8
4
24
21
−=
−
=





−=




−=−=+
−=
−=
−−
s
s
s
ss
ds
d
)()(4)(3)(3)(
)4(
4
4
33
)( )4()4(..
2
1
tuettuetutx
sss
sX ttLT −−
−−= →←
+
−
+
−=
−

25
Caso 3: Este último caso que estudiaremos es el caso cuando
surgen raíces en el polinomio del denominador que son números
complejos conjugados este par de polos dan lugar a encontrar
residuos también complejos conjugados los que se combinan para
producir en el dominio del tiempo una onda sinusoidal amortiguada .
Sea
El residuo esta asociado con el polo que tiene parte
imaginaria
Positiva el conjugado esta asociado con el polo que tiene
parte imaginaria negativa
Escribiendo el residuo complejo en su representación polar
Donde los residuos como se ve son eK
tσ
1
2 conjugados entre si por
lo tanto conocer el valor de uno de ellos es suficiente.
ωσ jp +=
p
kk
s
ps
sX ∗
∗
−
+
−
= 1)( 1
)cos(2
)()
)(
1()()1
11
)(
11
()(
keK
ekekekeKtx
wt
tu
tj
tu
pt
t
tjpt
∠+==
−
+=+
−−
−
+
−
=
σ
ωσ ωσ
k1
k1
−
[ ] )cos(2
2
1
2)(
()()
)(
1()(
11
)()(
1
)(
1
)(
1
)(
1
keKeeeK
eekeekekek
wttx
tu
tj
tx
tktJktJt
tjkjtjkjtj
∠+=+=
+=
−
+=
∠+−∠+
−∠−+∠
−
+
−
σωωσ
ωσωσωσ ωσ
ωσ jp −=
∗

26
El ángulo de fase de la sinusoide amortiguada es el ángulo del
residuo y la amplitud de la sinusoide es igual al doble de la
magnitud del residuo, el exponente sigma es la parte real del polo
complejo y la frecuencia angular de la sinusoidal amortiguada es la
parte imaginaria del polo complejo.
Por lo que la función racional se puede descomponer en fracciones
parciales de la siguiente manera:
jsjs
K
s
K
S
S
sss
s
sX k
SS 4495.224495.22
2
2
1
20186
24040
)104)(2(
)6(40
)(
*
2
232
++
+
−+
+
+
=
+++
+
=
+++
+
=
)4495.22)(4495.22(1042
jsjsss ++−+=++
66.26
6
160
)10)2(4)2)((2(
)62(40
*)2()(*)2(1 22
==
+−+−+
+−
+=+= −=
s
ssXsK s
=
++−++
+
−+=−+= +−=
)4495.22)(4495.22)(2(
)6(40
*)4495.22()(*)4495.22(2 4495.22
jsjss
s
jssXjsK js
K2=
=
−
+
=
+
=
+
=
+++−++−
++−
12
98.97160
12
98.97160
)899.4)(4495.2(
94495.24(40
)4495.224495.22)(24495.22(
)64495.22(40
2
j
j
j
jj
j
jjj
j
radMjk 5495.0,63.15165.833.131
−=∠==−−= θ
Por tanto
radMjK 5495.0,63.15165.833.132
*
=∠==+−= θ
Con matlab
>> b=[40,240];
>> a=[1,6,18,20];
>> [r,p,k]=residue(b,a)
r =

27
-13.3333 - 8.1650i
-13.3333 + 8.1650i
26.6667
p =
-2.0000 + 2.4495i
-2.0000 - 2.4495i
-2.0000
k = []
js
j
js
j
s
sX
4495.22
165.833.13
4495.22
165.833.13
2
66.26
)(
++
−
−
−+
+
−
+
=
Finalmente transformando término a término de la tabla y tomando
en cuenta
)()( βα
θ
βα
θ
js
M
js
M
−+
−∠
+
++
∠
→ [ ] )()cos(2 tutMe t
θβα
−−
)()549.04495.2cos()63.15(2)(66.26)(
22
turadtutx ee
tt
++=
−−
TRANSFORMACIONES INVERSAS DE LAPLACE PARA LOS
TERMINOS QUE APARECEN EN LAS FRACCIONES PARCIALES
Termino del desarrollo en
fracciones parciales
Transformada inversa
as
K
+
)(tuK e
at−
)( as
n
K
+
)(
)1(
1 tu
n
K
et
atn −−
•
Ι−
22
)( βα +
+
+s
DCs
)()()cos( tutsen
CD
tCe
at





 −
+
− β
β
α
β
(*) βαβα js
jBA
js
jBA
−+
−
+
++
+
[ ] )()()cos(2 tutBsentAe
t ββ
α +
−

28
)()( βα
θ
βα
θ
js
M
js
M
−+
−∠
+
++
∠
(*)
[ ] )()cos(2 tutMe t
θβα
−−
(*) Tómese en cuenta para el
ejemplo No. 3.15
Tabla 8.3.1 Términos del desarrollo de fracciones parciales.
8.4 Función de transferencia
El concepto de la F. de T. Se encuentra en el centro del análisis de
los sistemas mediante el uso de métodos de transformación:
Sea un sistema LTI también que puede describirse mediante la
siguiente ecuación diferencial:
)(.......
)()(
)(.......
)()(
01
1
101
1
1 txb
dt
txd
b
dt
txd
btya
dt
tyd
a
dt
tyd
m
m
mm
m
mn
n
nn
n
na +++=+++ −
−
−−
−
−
Donde
)(tx es la entrada o excitación al sistema y )(ty es la salida o
respuesta del sistema
an
y bm
son coeficientes numéricos reales
Su transformad de Laplace término a término:
=→→→→+++ −
− inicialesscondicionedeosterlossYasYsasYsa n
n
n
n min)(....)()( 0
1
1
inicialesscondicionedeosterlossXbsXsbsXsb m
m
m
m →→→→+++ −
− min)(....)()( 0
1
1
Esta expresión es una ecuación algebraica.
Si suponemos condiciones iníciales iguales a cero o decimos que el
sistema esta en reposo:
)()...()()....( 0
1
10
1
1 sXbsbsbsYasasa m
m
m
m
n
n
n
n +++=++ −
−
−
−
0
1
1
0
1
1
....
...
)(
)(
)(
asasa
bsbsb
sH
sX
sY
n
n
n
n
m
m
m
m
++
+++
== −
−
−
−

29
Donde
Se define como la función de transferencia del sistema y esta dado
como la transformada de Laplace de la salida sobre la
transformada de Laplace de la entrada con condiciones iníciales
nulas, por lo tanto un sistema LTI relajado (condiciones iníciales
cero) puede describirse por tres representaciones:
¡) Ecuación diferencial:
)(.......
)()(
)(.......
)()(
01
1
101
1
1 txb
dt
txd
b
dt
txd
btya
dt
tyd
a
dt
tyd
m
m
mm
m
mn
n
nn
n
na +++=+++ −
−
−−
−
−
ii) Función de transferencia:
iii) Respuesta al Impulso:
Ejemplo 8.4.1
Considere un sistema LTI relajado (condiciones iníciales nulas) el
cual ésta representada por la siguiente ecuación diferencial:
)(3)(2)(2)(3)( txtxtytyty +′=+′+′′
Utilice la propiedad de derivada de la transformada de Laplace y
encuentre la función de transferencia del sistema y su respuesta al
impulso.
Solución:
Transformando término a término la ecuación se transforma en:
)(3)(2)(2)(3)( 2
sXssXsYssYssY +=++
Sacando término común Y(s)
)(sH
)(
)(
)(
sX
sY
sH =
1
)()( −
= sHth

30
{ } { }32)(23)( 2
+=++ ssXsssY
La función de transferencia se obtiene de un sistema relajado
tomando la transformada de Laplace de la salida entre la
transformada de Laplace de la entrada
23
32
)(
)(
)( 2
++
+
==
ss
s
sX
sY
sH
Utilizando la técnica de fracciones parciales tenemos;
)2(
1
)1(
1
)2()1(23
32
2
+
+
+
=
+
+
+
=
++
+
sss
B
s
A
ss
s
b=[2,3];
a=[1,3,2];
r =
1
1
p =
-2
-1
k = []
Obtenemos la respuesta al impulso del sistema es;
)()()( 2
tuetueth tt −−
+=

31
8.5 Polos y ceros.
La función de transferencia de los sistemas LTI es una función
racional (un cociente de polinomios) cuya forma general puede
expresarse como:
N
NN
M
MM
asas
bsbsb
sQ
sP
sH
+++
+++
==
−
−
........
......
)(
)(
)(
1
1
1
10
Se acostumbra normalizar el coeficiente de SN
del denominador del
polinomio haciéndolo 1.
Si el grado N del denominador Q(s) es mayor que el grado M del
numerador P(s), se dice que H(s) describe una función racional
estrictamente Propia. Si N es mayor o igual que M, H(s) es una
función racional propia.
Polos y ceros de una función de transferecia racional H(s) = N(s)
/D(s)
Ceros: raíces del numerador N(s) Polos: raíces del
denominador D(s)
8.6 El criterio de estabilidad BIBO
Este criterio afirma: Un sistema es estable si el grado del
polinomio del denominador de la F de T es mayor o igual que el
grado del polinomio del numerador y los polos se ubican en el lado
izquierdo del eje jw.

32
Si alguno de los polos cae en el eje jw el sistema se denomina
marginalmente estable y es inestable. Otra posibilidad es que los
polos estén localizados en el lado derecho en este caso el sistema
es inestable.
Fig. 8.6.1 Plano s constelación de polos y su relación con la
respuesta al impulso en el dominio del tiempo
Como se observa en la figura del plano s los polos en el plano
izquierdo delejejw están relacionados con señales en el tiempo que
decaen con el tiempo de aquí que si estos polos pertenecieran a
una función de transferencia se ve que la respuesta al impulso
decae con el tiempo.

33
Ejemplo 8.6.1
Los polos de La F. de T. están ubicados en s=-2 y en s=-1 y
tenemos que el sistema es estable ya que La F. de T. es una razón
de polinomios en s estrictamente propia y los polos se ubican en el
lado izquierdo Del eje jw.
Fig. 8.6.2 Constelación de polos
Código Matlab
a=[1,3,2];
b=[2,3];
h=tf(b,a);
pzmap(h)
-2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Pole-Zero Map
Real Axis
ImaginaryAxis

34
Ejemplo 8.6.2
Dibuje el diagrama de polos y ceros para la siguiente función de
transferencia, determine si el sistema es estable condiciones: i)
polos en el lado izquierdo del eje jw y ii) la función de transferencia
deberá ser una función racional estrictamente propia, o propia
además encuentre la función en el dominio del tempo h(t):
12
1
)(
2 ++
=
ss
sH
b=[1];
a=[1,square(2),1];
>> [r,p,k]=residue(b,a)
r =
0 - 0.5774i
0 + 0.5774i
p =
-0.5000 + 0.8660i
-0.5000 - 0.8660i
k = []
Fig. 8.6.3localización de polos y ceros de La funciónde
transferênciaracional estrictamente propia.
-0.5 -0.45 -0.4 -0.35 -0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.040.090.140.20.280.4
0.56
0.8
0.040.090.140.20.280.4
0.56
0.8
0.2
0.4
0.6
0.8
0.2
0.4
0.6
0.8
Pole-Zero Map
Real Axis
ImaginaryAxis

35
abs( 0 - 0.5774i)
ans =
0.5774 % valor absoluto Del resíduo
>>angle(0 - 0.5774i)
ans = -1.5708
r = 0 - 0.5774i
0 + 0.5774i
p = -0.5000 + 0.8660i
-0.5000 - 0.8660i
866.0500.0
577.0
866.0500.0
577.00
12
1
)( 2
+
−
+
−
+
=
++
=
j
ss
sH
en cuenta
)()( βα
θ
βα
θ
js
M
js
M
−+
−∠
+
++
∠
θβα
−−
Ejemplo 8.6.3
14142.1
1
)( 2
++
=
ss
sH
código:
b=[1];
a=[1,1.4142,1];
h=tf(b,a);
pzmap(h)
)57.18860.0cos()5774.0(2)(
5.0
−=
−
tth e

36
Fig. 8.6.4 Constelación de polos y ceros del ejemplo
r = 0 - 0.7071i
0 + 0.7071i
p = -0.7071 + 0.7071i
-0.7071 - 0.7071i
k =[]
El sistema anterior es estable dada la ubicación de los polos en el
lado izquierdo del eje jw y la respuesta al impulso es de la forma:
Para obtener su respuesta en el tiempo
abs( 0 - 0.7071i) %magnitud de residuo
ans = 0.7071
angle( 0 - 0.7071) % ángulo de fase del residuo
ans = 3.1416
Real Axis
ImagAxis
Pole-zero map
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1

37
Portanto : Su respuesta al impulso es de la forma
h(t) = 2(0.7071)e-0.7071t
[cos(0.7071t)-0.7071]u(t)
Uncosenoamortiguado .
Fig. 8.6.5 La respuesta al impulso h(t) =2(0.7071)e-0.7071t
cos(0.7071t-0.7071), cosenoamortiguado.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2

38
8.7 Simulación para un sistema de primer orden
Ejemplo 8.7.1
Sea una red eléctrica RC de paso bajo determinar la respuesta a
una entrada escalón unitario.
Fig. 8.7.1 Circuito eléctrico
La ecuación diferencial del sistema se forma a partir de la ley de
Kirchhoff
dt
d
Ctidonde
t
dt
td
RCttRit
V
VVVV
out
out
out
outinp
=
+=+=
)(
)(
)(
)()()(
=+= )(
)(
)( t
dt
td
RCt VVV out
out
inp
Como se observa es una ecuación diferencial de primer orden.
De la propiedad de derivación de la transformada de Laplace y
considerando el sistema esta relajado,en reposo o condiciones
iniciales iguales a cero.
Vinp(s) = Vout(s)[RCs + 1]
Se transforma en una ecuación algebraica.
C
Vin (t) = tµ(t) Vo (t)

39
Obteniendo la función de transferencia que caracteriza al sistema:
𝑉𝑜𝑢𝑡(𝑠)
𝑉𝑖𝑛𝑝(𝑠)
=
1
[RCs + 1]
=
1
𝑅𝐶
𝑅𝐶
𝑅𝐶
𝑠 +
1
𝑅𝐶
=
1/𝑅𝐶
𝑠 +
1
𝑅𝐶
Tomando los parámetros:
Damos valores a RC=0.01 y sustituyendo nuevas variables
Vout(s)=C(s) es la transformada de la salida del sistema
Vinp(s) =R(s) es la transformada de la entrada del sistema
La función de transferencia nos queda:
Donde
G(S) =H(s) la función de transferencia del sistema
Grafiquemos los polos con matlab de la función de transferencia
b=[100]; a=[1,100];
h=tf(b,a); % tf : function de transferencia
pzmap(h),grid
[ ]100
100
)(
)(
)(
+
==
ssR
sC
sG

40
Fig.8.7.1 mapa de polos y ceros de la función de transferencia.
i) Observando la constelación de polos y en base al criterio de
estabilidad podemos afirmar que éste sistema es estable por
que la función de transferencia es una razón de polinomios
estrictamente propia y que los polos están ubicados en el
lado izquierdo del eje jw del plano s por lo tanto si excitamos
el sistema con una entrada acotada la salida será acotada.
i) Además podemos obtener la respuesta al impulso ya
que sabemos de la pareja ℎ(𝑡) ↔ 𝐻(𝑠), entonces
empleando la transformada inversa para nuestro
ejemplo ℎ( 𝑡) = 𝑠−1{ 𝐺(𝑠)} por lo que la respuesta al
impulso que caracteriza el sistema en el dominio del
tiempo es:
ℎ( 𝑡) = 100𝑒−100𝑡
-100 -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.9940.9980.999111
1
1
0.9940.9980.999111
1
1
204060800
Pole-Zero Map
Real Axis
ImaginaryAxis

41
Indaguemos como responderá nuestro sistema a una entrada
escalón unitario. Utilizando la propiedad de convolución de la
transformada de Laplace
Obtengamos el valor de los residuos k1 y k2 utilizando Matlab
b=[100];a=[1,100,0];
r =
-1
1
p =
-100
0
k = []
De donde la respuesta total del sistema 𝐶(𝑠) consiste en dos partes
la parte de la respuesta forzada o de estado estable debida ala
entrada y la respuesta natural o llamada transitoria debida a la
naturaleza de las componentes del sistema.
Tomando la transformada inversa tenemos la respuesta en el
tiempo de dicho sistema:
)100(
21
)100(
1001
)100(
100
)()()( 2
+
+=
+
=
+
==
s
k
s
k
sss
sRsGsC
s
)100(
111
)100(
100
)()()(
+
−=
+
==
ssss
sRsGsC
)1()()()(
100100
ee
tt
tututc
−−
−=−=

42
𝑐( 𝑡) → 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑢( 𝑡)
→ 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑧𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑐𝑒 𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑒−100𝑡
𝑢( 𝑡)
→ 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑠𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑖𝑛𝑔𝑢𝑒 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑙𝑎𝑝𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
Graficando la salida con matlab tendremos
Fig.8 .7.2 Respuesta al escalón unitario con alfa =100
Codigo matlab para la simulación del sistema:
b=[100];
a=[1,100];
h=tf(b,a);
t=[0:0.001:20];
f=ones(size(t)); %Señal de excitación.
y=lsim(h,f,t);
plot(t,y,'r','linewidth',5),grid
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1

43
Veamos lo que pasa si alfa es igual a 0.5
Fig. 8.7.3 Respuesta al escalón unitario con alfa =0.5
CódigoMatlab de excitacion con otro parametro
b=[0.5];
a=[1,0.5];
h=tf(b,a);
t=[0:0.001:20];
f=ones(size(t)); %señal de entrada.
y=lsim(h,f,t);
plot(t,y,'r','linewidth',5),grid
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1

44
8.8 Simulación para un sistema segundo orden.
Ejemplo 8.8.1
Sea un sistema mecánico el cual se excita mediante un escalón se
requiere conocer la respuesta de éste.
Fig.8 .8.1 Sistema masa resorte amortiguador
Donde:
M: masa del móvil.
K: constante elástica del resorte.
c:coeficiente de amortiguamiento.
f(t): fuerza aplicada al sistema.
y(t):desplazamiento de la masa debido a la fuerza.
La ecuación diferencial se deduce de la segunda ley de Newton
)(
)()(
)( 2
2
tKy
dt
tdy
c
dt
tyd
Mtf ++=
Ecuación diferencial de segundo orden.
2
2
)(
dt
tyd
M
dt
dv
MMaf === dt
tdy
v
dt
dv
a
)(
==

45
Suponiendo condiciones iniciales iguales a cero para el sistema
también se dice que el sistema esta relajado o en reposo y
utilizando la transformada de Laplace
)()()()()
1
(
2
sY
M
K
ssY
M
c
sYsF
M s ++=
Considerando los siguientes valores de los parámetros del sistema.
La función de transferencia queda
El Mapa de polos y ceros de la función de transferencia se obtiene
m=900; c=60;k=700;b=[1/m];a=[1,c/m,k/m]; h=tf(b,a);
figure(1)
pzmap(h),axis([-0.15,0,-1.5,1.5]),title('mapa polo-cero'),grid
Fig. 8.8.2Localización de polos
damp(h);
400
600
400
80
400
1
/1
)(
)(
)(
22
++
=
++
==
s
M
K
s
M
c
M
SF
SY
sH
ss

46
Eigenvalue Damping Freq.
(rad/s)
(Amortiguamiento)
-3.33e-002 + 8.81e-001i 3.78e-002 8.82e-001
-3.33e-002 - 8.81e-001i 3.78e-002 8.82e-001
i) Como se observa de la fig. 6.8.2 los polos de la función de
transferenciaestán ubicados en el lado izquierdo del eje jw
del plano s por tanto el sistema esta estable ya que la
función racional es estrictamente propia.
ii) También se puede leer que la respuesta a la muestra
unitaria que caracteriza al sistema en el dominio del
tiempo h(t) es una señal en forma de coseno amortiguado.
Utilizando la propiedad de convolución de la transformada de
Laplace y suponiendo unaseñal de entrada de excitación en escalón
unitario u(t) cuya transformada es 1/s tenemos como respuesta:

47
Obtengamos los valores de los residuos con matlab
m=900;
c=60;
k=700;
b=[1/900];
a=[1,60/900,600/400,0];
r =
1.0e-003 *
-0.3704 + 0.0101i
-0.3704 - 0.0101i
0.7407
p =
-0.0333 + 1.2243i
-0.0333 - 1.2243i
0
k = []
jwsjwsssS
sY kkk
s
−+
+
++
+=
++
=
σσ
*
221
2
)
900
700
900
60
(
900
1
)(
=
+++
=
++
=
0
900
700
900
60
900
1
)
900
700
900
60
(
900
1
)(
232
ssS
sY
sss
=
+++
=
++
=
0
900
700
900
60
900
1
)
900
700
900
60
(
900
1
)(
232
ssS
sY
sss
=
++
=










++
==
)
900
700
900
60
(
900
1
1/1
)()()(
22
sSs
M
K
s
M
c
M
sXsHsY
ss

48
en cuenta
)()( βα
θ
βα
θ
js
M
js
M
−+
−∠
+
++
∠
θβα
−−
Transformado de numero complejo algebraico a numero complejo
polar
abs(0.0003704 + 0.0000101i)
ans = 3.7054e-004 % Magnitud del residuo
angle(0.0003704 + 0.0000101i)
ans = 0.0273 %Angulo del residuo en radianes
de donde
Nota:
i) Donde los residuos como se ve son eK
tσ
1
2 conjugados
entre si por lo tanto conocer el valor de uno de ellos es
suficiente.
ii) El ángulo de fase de la sinusoide amortiguada es el ángulo
del residuo y la amplitud de la sinusoide es igual al doble
de la magnitud del residuo, el exponente sigma es la parte
real del polo complejoy la frecuencia angular de la
sinusoidal amortiguada es la parte imaginaria del polo
complejo.
2243.10333.0
00001.00003.0
2243.10333.0
00001.000037.07407.0
)
900
600
900
80
(
900
1
)(
*
2 −+
−
+
−+
+
+=
++
=
s
j
js
j
ssS
sY
s
)27.0224.1cos()*7054.3(2)cos(2)(0017.0)(
0333.04
22 10 +=∠++=
−−
twttuty ekek
tα

49
iii) Salida del sistema cuando se excita mediante una entrada
de señal escalón unitario (cambio súbito en la entrada no
recomendable para elevadores). Por lo que sugiero que
pruebes con una señal de entrada en rampa; su magnitud
crece en forma directa como lo hace el tiempo r(t) = t u(t)
dominio del tiempo o ( 1/s2
Dominio de la variable de
frecuencia compleja).
Fig. 8.8.3 Respuesta del sistema de segundo orden a una entrada
escalón unitario.
Código de simulación en Matlab
m=900;c=60;k=700;b=[1/m];a=[1,c/m,k/m];
h=tf(b,a);
t= [0:0.001:300];
f=ones(size(t)); % Señal de excitacion de entrada
y=lsim(h,f,t); % commando de simulacion
plot(t,y,'linewdth',4),grid
0 50 100 150 200 250 300
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x 10
-3

50
Respuesta del sistema mecanico a una entrada rampa.
>> m=900;c=60;k=700;b=[1/m];a=[1,c/m,k/m];
>> h=tf(b,a);
>> t= [0:0.001:30];
>> f=t.*ones(size(t));
>> y=lsim(h,f,t);
>> plot(t,y,'r','linewidth',2),grid
0 5 10 15 20 25 30
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045

51
Actividad 8
El alumno excitara un sistema mecánico de segundo orden con una
función rampa y graficara la respuesta.
Este trabajo lo puede presentar como el segundo proyecto del
curso.
ANEXO Series de Fourier Con Matlab
1.- Graficar una señal periódica de potencia de tiempo continúo
modelada por la serie de Fourier
𝑥( 𝑡) = 𝑎0 + � −1 𝑚+1
(
1
𝑚
𝑚
1
)𝑠𝑒𝑛𝑜( 𝑚𝜔𝑡); 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 = 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟.
Solución: como se observa de la representación en serie de Fourier
la señal está compuesta de puros armónicos seno impares porque
su forma de onda es una señal simetría impar y de media onda, con
una componente promedio 𝑎0 , además el término antes del
coeficiente de Fourier o de la amplitud de los armónicos seno
impares hace que cada armónico tenga signo intercalado.
t=[-2:.001:2]; % vector de tiempo
f=1; % frecuencia en Hz.
w=2*pi*f; % frecuencia angular
x=1.5; %componente de promedio
for m=1:1000; %número de armónicos
x=x+((-1)^(m+1))*(1/m)*sin(m.*w.*t); % suma de la Amplitud de
los armónicos
end
plot(t,x,'linewidth',2), grid % comando para graficar
señales continuas
Ver fig.1.1

52
Fig. 1.1 Una señal periódica de tiempo continúo de simetría impar y de
media onda de periodo T=1s y valor promedio 1.5
2.- Obtener los coeficientes de Fourier exponenciales de la
siguiente señal de forma de onda en diente de sierra impar y de
media onda
𝑥( 𝑡) = (
10
𝑇𝑜
𝑡 + 𝑘𝑇)
𝑥( 𝑡) = 5 + � �−
10
𝜋𝑚
�
∞
𝑚=1
sin( 𝑚𝑤0 𝑡)
𝑥(𝑡) = 5 + 2 � �
5𝑗
𝜋𝑚
� 𝑒−𝑗𝑚𝑤𝑡
∞
𝑚=1
a) Código matlab usando la representacion trigonometrica:
t=[-1.5:0.001:1.5];
w=2*pi;
x=5;
for i=1:1000
x=x-(10/(pi*i))*sin(i*w.*t);
end;
plot(t,x,'linewidth',4),grid
b).- Código matlab usando la representacion exponencial:
t=[-1.5:0.001:1.5]; w=2*pi;x=5;for m=1:1000
x=x+2*((5*j)/(pi*m)).*exp(j*m*w.*t);
end;
Ver fig. 1.2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5

53
Fig. 1.2 Onda periodica de TC triangular impar oculta y media
onda
3.- De la serie de Fourier se construye la gráfica en matlab
𝑥( 𝑡) =
𝐴
2
�(−1)
𝑚−1
2
∞
𝑚=1
(
2𝐴
𝑚𝜋
)𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜(𝑚𝑤𝑡)
Códigomatlab:
t=[-1:0.001:1];f=1;w=2*pi*f;A=1;
x=A/2;
for m=1:2:999
x=x+(-1).^((m-1)/2).*(2*A./(m*pi)).*cos(w*m.*t);
end;
plot(t,x,'r','linewidth',4),grid
Ver Fig. 1.3




+−+−+= .....)7cos(
7
1
)5cos(
5
1
)3cos(
3
1
)cos(
2
2
)( tttt
AA
tx ωωωω
π
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

54
Fig. 1.3 Onda cuadrada periódica par y media onda
4.- Graficar una señal periódica de potencia cuadrada de tiempo
continúo modelada por la serie de Fourier
∑
∞
−∞=
=
m
tjm
m e O
Xtx
ω)(
∑
∞
−∞=
=
m
tjm
e
Om
c
T
A
tx
ω
π
τωτ
)
2
(sin)( 0
0
t=[-1.5:0.001:1.5];
f=1;
w=2*pi*f;
A=1;
x=A/2; tau=0.5; T=2*tau;
for m=-999:2:999;
x=x+(A*tau/T)*sinc(m*w*tau/(2*pi)).*exp(j*m*w.*t);
end
plot(t,x,'r','linewidth',2),grid
Ver fig.1.4
-1 -0.5 0 0.5 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1

55
Fig. 1.4 Tren de pulsos cuadrados simetría par y media onda
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1

56
5.- Graficar una señal periódica o de potencia de tiempo continúo
𝑥( 𝑡) = 0.5 + �
2𝐴
𝑚𝜋
� � 𝑠𝑖𝑛( 𝑚𝜔𝑡) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 = 1,3,5
∞
1
Represente la siguiente señal periódica mediante una serie de Fourier
trigonométrica. La cual tiene una frecuencia fundamental de F0 = 1Khz.
Observe que simetría tiene y que tipo de armónicos contiene.
CódigoMatlab:
t=[-2:0.001:2]; A=1;f=1;
w=2*pi*f; x=A/2;
for m=1:2:999;
x=x+(2*A/(m*pi)).*sin(m*w.*t);
end
ver fig. 1.5
Fig. 1.5 tren de pulsos periódicos de simetría impar y media onda y
periodo T=1 s por lo que contiene armónicos seno impares
modelada por
𝑥( 𝑡) = 0.5 + �
2𝐴
𝑚𝜋
� � 𝑠𝑖𝑛( 𝑚𝜔𝑡) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 = 1,3,5
∞
1
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1

57
6.- Graficar una señal periódica o de potencia de tiempo continúo
𝑥( 𝑡) =
2
𝜋
− � �
4
𝜋
� 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜(2𝑚𝑡)/(2𝑚 − 1)(2𝑚 + 1)
∞
𝑚=1
Señal de simetría par tiene solo armónicos coseno
t=-2*pi:0.001:2*pi;
x=2/pi;
for m=1:1000
r=2*m;
x=x-4/pi*(cos((2*m)*t)/((r-1)*(r+1)));
end
plot(t,x,'b','linewidth',4), title('Análisis de Fourier'); grid
Ver fig. 1.6
Fig. 1.6 Señal periódica rectificada de onda completa
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Análisis de Fourier

58
7.- Graficar la serie de Fourier Representada por
𝑥( 𝑡) =
2
𝜋
− � �
4
𝜋
� 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜(2𝑚𝑡)/(2𝑚 − 1)(2𝑚 + 1)
∞
𝑚=1
Señal de simetría par tiene solo armónicos coseno
t=-1:0.001:1;f=1;w=2*pi;
x=2/pi;
for m=1:10000
r=2*m;
x=x-4/pi*(cos((w*m)*t)/((r-1)*(r+1)));
end
plot(t,x,'r','linewidth',4), title('Análisis de Fourier'); grid
Fig. 1.7 Señal periódica rectificada en onda completa
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Análisis de Fourier

59
Bibliografia
Eduard W.
Kamen
Bonnie S.
Heck
Fundamentos de señales y
Sistemas usando la web y
matlab,
Pearson
Prentice Hall,
tercera edición
2012
Pablo
Irarrázaval
Análisis de señales Mc. Graw Hill
Interamericana.
edición 2011
M. J.
Roberts
Señales y sistemas.
Análisis mediante métodos de
transformada y MATLAB
Mc. Graw Hill, ,
México, primera
edición 2011
Alan V.
Oppenheim
.
Señales y Sistemas Prentice Hall.
edición 2012
Haykin y
Van Veen.
Señales y Sistemas LimusaWiley,.
Primera
edición2012
DeloresEtte
r.
Solución de problemas de
Ingeniería con
Mat- Lab
Mc. Graw Hill.
edición 2012

60
Sobre los autores
Mtro. Juan Gustavo Ruiz Barajas,
Ingeniero en Comunicaciones y Electrónica por la Universidad de Guadalajara (1978).
Grado de Maestría en Planeación de la Educación Superior en el Centro Universitario
de Ciencias Económico Administrativas en la Universidad de Guadalajara (1997).
Profesor investigador Titular C en el Departamento de Electrónica de la Universidad
de Guadalajara en el área de control automático con una antigüedad de 28 años, e
imparte la materia de Señales y Sistemas Lineales (transformada de Fourier,
transformada de Laplace, Serie de Fourier aplica a señales y sistemas lineales) en la
carrera de Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica.
Dr. Javier Cabrera Vázquez
Recibió el grado de Ingeniero en Comunicaciones y Electrónica del Instituto Politécnico
Nacional en México D. F., el grado de Maestro en Ciencias de la Universidad de
Guadalajara dentro del Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías en la
ciudad de Guadalajara Jalisco y el grado de Doctor en Ciencias del Centro de
Investigación y Estudios Avanzados del I. P. N. en el municipio de Zapopan Jalisco en
1991, 1998 y 2002 respectivamente. Es profesor-investigador Titular A del
departamento de Electrónica e imparte curso sobre sistemas no lineales y tópicos
avanzados de control. Cuenta con dos líneas de investigación principales una sobre la
identificación parámetrica y la otra en el control discontinuo por modos deslizantes.
Mtra. María Guadalupe Casillas Limón
Licenciada en Economía por la Universidad de Guadalajara grado de Maestría en
Planeación de la Educación superior en el Centro Universitario de Ciencias
Económico Administrativas de la Universidad de Guadalajara. Acadámica de tiempo
completo asociada C en la Universidad de Guadalajara con 34 años de experiencia
en docencia en el área de las ciencias económicas y dedicadas a la investigación
educativa, imparte la materia de Economía y Entorno socioeconómico de México y
América Latina en diferentes licenciaturas.

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