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Anatomia do sistema respiratorio

  1. 1. Modelos constitutivos para opulmão: caso unidimensionalConstitutive models for the lung:one dimensional caseResumoA simulação de fenômenos vitais pode contribuir tanto nosentido de definir as condições mais adequadas aos seresvivos quanto no sentido de determinar o tratamento deafecções. Essas simulações exigem a elaboração de modeloscapazes de descrever o comportamento dos sistemas bioló-gicos e o processo de elaboração desses modelos envolveestudos experimentais e analíticos. A simulação da mecâni-ca do sistema respiratório pode contribuir para avaliardetalhes de sua fisiologia. O pulmão é um órgão funda-mental nesse processo e, usualmente, a descrição de seucomportamento mecânico é feita através de modelos quedescrevem o comportamento mecânico do tecido biológicoassociados a modelos que descrevem o efeito da tensãosuperficial nas paredes alveolares. Este trabalho apresentauma revisão sobre os modelos constitutivos para o tecidobiológico e sugere modelos viscoelásticos para descrever aresposta do pulmão de uma forma geral. Consideram-seos modelos elásticos não-lineares, polinomial e exponencial,utilizados para descrever o comportamento elástico dotecido biológico. Propõem-se alguns modelos viscoelásticosem um contexto unidimensional. Simulações numéricasapresentam respostas qualitativamente coerentes.Palavras-chave: Biomecânica, Equações constitutivas,Mecânica do pulmão.AbstractThe simulation of vital phenomena may contribute either todefine the best conditions for living beings or to determinepathological treatments. These simulations need models, whichare capable to describe the behavior of biological systems. Theelaboration of these models needs experimental and analyticalstudies. The simulation of the respiratory system may contributeto evaluate some physiologic details of this system. The lung isthe fundamental organ of this process. Usually, constitutivemodels used to describe the mechanical behavior of the lung is acombination of models to describe the biological tissue behaviorassociated with models to describe the surface tension stress effectin the alveolar walls. This work presents an overview ofconstitutive models for soft tissues and suggests viscoelasticmodels to describe the complete response of the lung. Polynomialand exponential models are considered to describe the elasticbehavior of biological tissues. Some viscoelastic models arepresented and discussed. One-dimensional results illustrate withqualitative coherence the stress-strain curves prescribed by thesemodels.Keywords: Biomechanics, Constitutive equations, Mechanics oflungs.M.A. SaviDepartamento de Engenharia Mecânica e de Materiais,Instituto Militar de Engenharia22.290-270, Rio de Janeiro, RJe-mail: savi@epq.ime.eb.brP.M.C.L. PachecoDepartamento de Engenharia Mecânica, CEFET/RJ20.271-110, Rio de Janeiro, RJe-mail: calas@cefet-rj.brRevista Brasileira de Engenharia Biomédica,v. 15, n. 3, p. 125-133, set/dez 1999© SBEB - Sociedade Brasileira de Engenharia BiomédicaISSN 1517-3151125Artigo Originalrecebido: 23/12/1997 e aceito em 01/11/1999
  2. 2. 126Revista Brasileira de Engenharia Biomédica / v. 15 / n. 3Brazilian Journal of Biomedical Enginnering / v. 15 / n. 3Modelos constitutivos para o pulmão: caso unidimensionalM.A. Savi e P.M.C.L. PachecoIntroduçãoA biomecânica relaciona aplicações mecânicas aosproblemas biológicos. Os primeiros estudos nestesentido são atribuídos a da Vinci, Galileo, Lagrange,Bernoulli, Euler e Young (Winter, 1990; Ascenzi, 1993).Nos últimos anos, a biomecânica vem se tornandouma área de pesquisa cada vez mais importantepossibilitando uma melhor compreensão dosfenômenos vitais dos seres vivos. Isso permite umaevolução tanto no tratamento de afecções quanto nacriação de condições de vida mais adequadas.Muitas áreas de pesquisa têm sido objeto deestudos na biomecânica, dentre as quais deve-sedestacar: a mecânica de sistemas fisiológicos, tais comoos sistemas respiratório e cardiovascular; a mecânicado movimento humano, que trata vários aspectos dosmúsculos e do sistema motor; a mecânica de tecidos ebiomateriais, que envolve o desenvolvimento depróteses e órgãos artificiais; a construção de equipa-mentos de instrumentação médica e a mecânica dabiologia molecular (Hung et al., 1978; Winter, 1990).Dentre as áreas envolvidas com a biomecânica pode-se citar o treinamento de atletas, as cirurgias ortopédi-cas e o projeto de equipamentos para reabilitação etreinamento (Winter, 1990).A simulação da mecânica do sistema respiratório po-de contribuir para avaliar detalhes de sua fisiologia.Oprocessorespiratóriodosseresvivospodeserentendi-do como um mecanismo necessário para isolar o oxigê-nioqueéindispensávelàsatividadescelulares.Opulmãoé um órgão fundamental nesse processo. Os pulmõeslocalizam-se na caixa torácica, preenchendo-a quasetotalmente. O ar entra nos pulmões através das fossasnasais ou da boca, de onde passa à faringe, à laringe, àtraquéia e aos brônquios, chegando até aos alvéolos,unidade básica do pulmão, onde ocorre o intercâmbiode gás carbônico e de oxigênio com o sangue.A função respiratória se processa em três fasesdistintas. A ventilação, através da qual o ar dos alvéolosé continuamente renovado; a perfusão, quando o san-gue venoso procedente do coração aflui aos alvéolos;e a difusão, que é o processo em que ocorre a trocagasosa do oxigênio do ar dos alvéolos com o gás carbô-nico contido no sangue (Guyton e Hall, 1996).Muitos estudos são realizados no sentido de mo-delar o comportamento mecânico do pulmão. Usual-mente, utilizam-se modelos elásticos não-lineares paradescrever o comportamento do tecido biológico, en-quanto o comportamento da tensão superficial dainterface ar-fluido nas paredes alveolares é conside-rado em modelos isolados. Com relação aos modelospara os tecidos biológicos, Lee e Frankus (1975)propuseram um modelo polinomial, baseado nosestudos experimentais de Hoppin et al. (1975) sobre ocomportamento mecânico de cubos do parênquimapulmonar submetidos a carregamentos triaxiais. Fung(1974), por sua vez, propõe um modelo exponencial,baseado na formulação do alvéolo médio. Maisrecentemente, Maksym e Bates (1997) propuseramum modelo que considera a associação em paralelode dois elementos elásticos que representam as fibrasde colágeno e de elastina existentes no tecido. Outrostrabalhos apontam a importância de se considerar oefeito viscoelástico para descrever o comportamentodo tecido biológico (Navajas et al., 1995; Lorino et al.,1994; Suke e Bates, 1991).De uma maneira geral, a análise do problema datensão superficial estabelece uma função analítica paradescrever a relação entre essa tensão e a sua variaçãona inspiração e na expiração. Fung (1975, 1978) admiteuma curva representativa da dissipação de energia apartir da série de Fourier. Wilson (1982) propõe umaoutra abordagem onde a curva é obtida a partir darelação pressão-volume. Kowe et al. (1986), por suavez, desenvolvem outro procedimento através dautilização do método dos elementos finitos e Venegaset al. (1998) apresentam um estudo a partir da curvapressão-volume.A análise de tensões e deformações no pulmãocomo um todo foi impulsionada a partir da utilizaçãodo método dos elementos finitos. Lee (1980) apresen-ta uma revisão sobre alguns dos importantes traba-lhos utilizando essa técnica.O presente trabalho propõe a utilização de modelosconstitutivos viscoelásticos com o objetivo de modelaro comportamento do pulmão contemplando o tecidobiológico e a tensão superficial nas paredes alveolaresde forma simultânea. O estudo é desenvolvido emum contexto unidimensional. Inicialmente, apresenta-se uma breve discussão sobre o pulmão, sua anatomiae a relação pressão-volume. Em seguida, discute-se aelaboração de modelos constitutivos de uma maneirageral, baseada no formalismo da mecânica dos meioscontínuos e da termodinâmica dos processos irrever-síveis. Os modelos elásticos, polinomial e exponencial,utilizados para descrever o comportamento mecânicodo tecido biológico, e a proposta de modelos viscoelás-ticos, são apresentados a seguir. Algumas simulaçõesnuméricas mostram que a resposta desses modelos équalitativamente consistente, contudo, esses resulta-dos devem ser validados a partir de ensaios experi-mentais, o que está fora do objetivo deste trabalho.
  3. 3. 127Revista Brasileira de Engenharia Biomédica / v. 15 / n. 3Brazilian Journal of Biomedical Enginnering / v. 15 / n. 3Modelos constitutivos para o pulmão: caso unidimensionalM.A. Savi e P.M.C.L. PachecoAnatomia do PulmãoA unidade básica do pulmão é o alvéolo, que é umpoliedro com mais de 14 lados sendo um deles aberto.Cada alvéolo possui um diâmetro médio de 200-300µme suas paredes possuem espessura de 10-14 mm. Aárea da superfície total das paredes de todos os alvéolospode ser superior a 100m2(Lee, 1978). Os alvéolosformam um conglomerado cujas saídas convergempara um duto comum, os bronquíolos, que sãoramificações menores dos brônquios, que por sua vezsão bifurcações da traquéia. A malha de paredesalveolares representa 90% do volume dos pulmões eé denominado como parênquima pulmonar.O parênquima pulmonar é estruturado em váriosníveis, sendo dividido em duas cavidades - direita eesquerda - onde cada uma delas é denominada comopulmão. Essas cavidades são separadas por uma paredevertical, o mediastino, que compreende o coração,vasos sangüíneos, traquéia, timo, esôfago e troncosnervosos. Cada pulmão possui incisuras que o divideem partes denominadas lobos.Os brônquios penetram nos pulmões através defendas denominadas de hilo pulmonar, e se ramificamde modo que cada ramo penetre em um lobo. Nointerior do lobo, eles voltam a se ramificar de forma aestabelecer ligações independentes com diversaspartes de um lobo, chamadas segmentos. Essessegmentos são autônomos sob os aspectos anatômicoe funcional.O pulmão possui a forma de um cone irregular. Abase, côncava, apoia-se na curva de um músculodenominado diafragma. O ápice, obtuso, chega até onível do primeiro par de costelas. As faces externas,convexas, adaptam-se às paredes do tórax, enquantoas faces internas, côncavas, delimitam o mediastino.A superfície externa do pulmão é envolvida poruma membrana denominada pleura. Essa membranaé composta de duas camadas separadas por umacavidade pleural que comporta uma fina película defluido intersticial. A pleura pulmonar ou visceral é acamada mais externa e é colada à parede interna dacaixa torácica, enquanto a pleura parietal reveste asuperfície do pulmão, recobrindo o mediastino egrande parte do diafragma.Na inspiração, o diafragma se contrai, auxiliadopelos músculos do abdome, o que provoca umadescida de todo o fundo da caixa torácica acarretandouma expansão do tórax e o conseqüente movimentoda pleura visceral. A queda de pressão na cavidadepleural acarreta o movimento da pleura parietal e aconseqüente expansão do pulmão. Na expiração, oprocesso inverso ocorre. De um modo geral, existemoutros mecanismos auxiliares para a inspiração e/ouexpiração.Nos seres humanos, cada pulmão possui cerca de300-400 milhões de alvéolos e mede cerca de 25cm dealtura para uma massa de aproximadamente 350g. Opulmão direito é um pouco maior do que o esquerdopossuindo 3 lobos e cerca de 8 segmentos, enquantoo esquerdo possui 2 lobos e cerca de 10 segmentos. Ovolume ocupado pelos pulmões é da ordem de 1,7 m3o que permite armazenar cerca de 3,5 m3de ar. AFigura 1 mostra uma representação esquemática dospulmões.Relação Pressão-VolumeNo sistema respiratório, a relação pressão-volumeapresenta-se como a característica mais mensurável ecom melhores índices de reprodutibilidade e confiabi-lidade. Tipicamente, o volume é medido por porcenta-gem da capacidade total do pulmão. A pressão estáassociada à expansão do pulmão e é avaliada como adiferença entre a pressão das vias respiratórias e a dacavidade pleural, sendo denominada pressão transpul-monar. A elaboração de ensaios experimentais darelação pressão-volume do pulmão é feita separando-se o pulmão da parede torácica. Desta forma, a pressãotranspulmonar pode ser facilmente avaliada.A relação pressão-volume é altamente não-linearo que implica na não-linearidade da relação tensão-deformação dos modelos constitutivos do pulmão. Oprocesso respiratório está associado a grandesvariações de volume que acarretam taxas de extensãode deformação que podem atingir valores superioresa 1,7. Além disso, a relação é dependente da trajetória,sendo portanto, diferente para a inspiração e aFigura 1. Representação esquemática dos pulmões.
  4. 4. 128Revista Brasileira de Engenharia Biomédica / v. 15 / n. 3Brazilian Journal of Biomedical Enginnering / v. 15 / n. 3Modelos constitutivos para o pulmão: caso unidimensionalM.A. Savi e P.M.C.L. Pachecoexpiração. Esse comportamento é caracterizado poruma histerese que representa a dissipação de energiano processo respiratório. Outra característicaimportante diz respeito à dependência no tempo daresposta do pulmão (Lee, 1978).Estas características podem ser compreendidasconsiderando-se que o comportamento mecânico dopulmão é uma combinação do comportamento dotecido biológico e da tensão superficial da interfacear-fluido nas paredes alveolares. Dessa forma, a tensãona parede alveolar consiste de duas partes: uma devidaa extensão da parede alveolar e outra devida à tensãosuperficial.O tecido biológico é basicamente composto por doistipos de fibras: O colágeno, que é relativamente inex-tensível, e a elastina, que é extremamente extensível. Ocomportamento mecânico desses tecidos, portanto, éuma combinação do comportamento destas duasfibras.A tensão superficial no pulmão varia na medidaque a área da superfície é alterada. Dessa forma, aexpansão do pulmão acarreta um aumento da tensãosuperficial, enquanto a contração provoca a diminui-ção dessa tensão. Esse comportamento é devido àpresença de uma substância ativa na superfície dopulmão chamada surfactante pulmonar. A presença dosurfactante pulmonar impede que o ar dos alvéolosmenores possam fluir para os maiores, impedindo, comisso, que partes do pulmão se colabem.A ação do surfactante pulmonar pode ser elimina-da em ensaios experimentais onde os pulmões sãosubmetidos a um banho salino. Dessa forma, avalia-seo comportamento mecânico do pulmão desconside-rando-se o efeito da tensão superficial. A Figura 2mostra, qualitativamente, curvas típicas da relaçãopressão-volume, com e sem a influência da tensão su-perficial. A partir dessa curva, pode-se observar que oefeito do surfactante pulmonar é o principal responsá-vel pela dissipação de energia no processo respiratório.Modelos ConstitutivosOs processos de elaboração de modelos constitutivospara descrever o comportamento mecânico do pulmãopodem ser enquadrados em várias categorias, ondedestacam-se três:Contínuo Compressível - A relação constitutiva édefinida a partir de ensaios com uma porção doparênquima pulmonar. Essa abordagem leva emconsideração a natureza compressível do parênquimapulmonar, que é constituído de alvéolos, vasossangüíneos, tecidos biológicos, dentre outros.Parede Alveolar - A caracterização do compor-tamento mecânico do pulmão é baseada no comporta-mento da parede alveolar. Isso é possível pelo fato deque 90% do pulmão intersecta as paredes alveolares esuas partes internas.Alvéolo Médio - A definição da relação consti-tutiva é baseada na consideração de que um únicoalvéolo de tamanho e forma que representem a médiade todos os alvéolos do pulmão, alvéolo médio, secomporta da mesma forma que o parênquimapulmonar. O grande apelo desta abordagem é que aspropriedades dos modelos constitutivos podem serobtidas a partir das relações pressão-volume.A formulação de equações constitutivas é baseadaem evidências experimentais e deve respeitar umasérie de princípios mecânicos, explicitados em seusaxiomas (Eringen, 1967). Um procedimento consistenteé desenvolvido no contexto da mecânica dos meioscontínuos e da termodinâmica dos processosirreversíveis (Lemaitre e Chaboche, 1990). Nessecontexto, o estado termodinâmico de um sólido écompletamente definido a partir do conhecimento dasvariáveis de estado e, para satisfazer a segunda lei datermodinâmica, é usual definirem-se funções deenergia a partir das quais obtém-se as relaçõesconstitutivas. As equações de estado de um materialpodem ser obtidas a partir de uma energia dedeformação, W = W(E,β), onde E é a deformaçãounidimensional e β representa um conjunto de variá-veis de estado. Assim, definem-se as forças termodi-nâmicas conforme está apresentado a seguir,(1)Figura 2. Representação esquemática da relaçãopressão-volume.
  5. 5. 129Revista Brasileira de Engenharia Biomédica / v. 15 / n. 3Brazilian Journal of Biomedical Enginnering / v. 15 / n. 3Modelos constitutivos para o pulmão: caso unidimensionalM.A. Savi e P.M.C.L. Pacheco(2)onde SRrepresenta a parcela reversível da tensão e Xrepresenta uma força termodinâmica associada àvariável β.A evolução das variáveis irreversíveis é descrita apartir de equações complementares, definidas a partirde um potencial de dissipação, ),( βΦΦ &&E= . Com isso,pode-se definir os fluxos termodinâmicos da seguinteforma,(3)(4)onde SIrepresenta a parcela irreversível da tensão.Desde que o potencial de dissipação ),( βΦΦ &&E= sejaconvexo, positivo, e nulo na origem (Rockafellar,1970), a versão local da segunda lei da termodinâmica,para o caso isotérmico (Eringen, 1967),(5)é automaticamente satisfeita (Lemaitre e Chaboche,1990).Desta forma, é possível escrever um conjunto deequações que descreve completamente o compor-tamento do material.(6)(7)A elaboração de um modelo constitutivo para opulmão implica na escolha adequada da função energiade deformação, W, e do potencial de dissipação, Φ . Aescolha das variáveis mais convenientes paradescrever o fenômeno, representada pela variávelgenérica β, também é fundamental na análise.Modelos ElásticosNesta seção, consideram-se versões unidimensionaisdos modelos elásticos utilizados para descrever ocomportamento do tecido biológico (Savi et al., 1995).Modelo PolinomialO modelo polinomial, proposto por Lee & Frankus(1975), é baseado nos estudos experimentais deHoppin et al. (1975) sobre o comportamento mecânicode cubos do parênquima pulmonar submetidos acarregamentos triaxiais.A função energia de deformação, W, pode serescrita da seguinte forma (Savi et al., 1995),(8)onde Bisão constantes.O potencial de dissipação é nulo, uma vez que seconsidera um material elástico. Assim, obtém-se umarelação tensão-deformação do tipo(9)Modelo ExponencialO modelo exponencial é baseado na formulação doalvéolo médio e foi proposto por Fung (1974). A versãounidimensional da energia de deformação possui aseguinte forma,(10)onde bisão constantes.O potencial de dissipação é nulo e, com isso, tem-se uma relação tensão-deformação do tipo,(11)Deve-se observar que o modelo exponencialdescreve o comportamento do pulmão utilizandomenos constantes que o modelo polinomial.Resposta dos Modelos ElásticosVisando estabelecer uma comparação entre asrelações tensão-deformação, previstas pelos modeloselásticos, polinomial e exponencial, desenvolve-se umasimulação admitindo que as deformações sãoprescritas. A parte inicial do carregamento, com taxapositiva, está associada à inspiração. Por outro lado, aparte do carregamento que possui taxa negativa estáassociada à expiração. As constantes utilizadas estãoapresentadas na Tabela 1 e foram extraídas dos traba-lhos de Lee e Frankus (1975) e de Fung (1978). A Figura3a apresenta a deformação prescrita enquanto a Figura3b mostra as respostas previstas pelos dois modelos.A dissipação de energia do processo respiratório émuitas vezes incluída no modelo considerando-sediferentes constantes para a inspiração e a expiração(Savi et al., 1995). Outro procedimento usual é estabe-lecer uma função analítica para descrever a relação
  6. 6. 130Revista Brasileira de Engenharia Biomédica / v. 15 / n. 3Brazilian Journal of Biomedical Enginnering / v. 15 / n. 3Modelos constitutivos para o pulmão: caso unidimensionalM.A. Savi e P.M.C.L. PachecoFigura 3. (a) Deformação prescrita; (b) Curvas tensão-deformação previstas pelos modelos polinomial eexponencial.Tabela 1. Constantes dos Modelos Polinomial eExponencial.As constantes são expressas em g/cm2exceto b2que é adimensional.B1B3B5B8b1b24,388 14,216 -13,968 16,992 40,488 0,577entre a tensão superficial e a sua variação na inspiraçãoe na expiração (Fung, 1978; Wilson, 1982).Modelos ViscoelásticosCom o objetivo de elaborar um modelo constitutivoque seja capaz de descrever o comportamento mecâ-nico do pulmão, tratando simultaneamente as carac-terísticas do tecido biológico e da tensão superficialdo surfactante pulmonar nas paredes alveolares, opresente trabalho sugere a utilização de modelosviscoelásticos. Esta proposta é uma alternativa paradescrever a dissipação de energia associada aoprocesso de respiração.A modelagem de materiais viscoelásticos pode serfeita através da associação de elementos elásticos eviscosos. No caso do pulmão, pode-se considerar queo elemento elástico representa o tecido biológico,descrito pelas equações constitutivas clássicas,discutidas na seção anterior. Por outro lado, adissipação de energia é representada no elementoviscoso. As associações desses elementos, propostasaqui, são baseadas nos modelos viscoelásticos clássicosde Kelvin e de Maxwell (Flügge, 1975). Admite-se queo elemento elástico possui um comportamento não-linear, polinomial ou exponencial. Considera-se aindaque o elemento viscoso apresenta uma relação linearentre a tensão e a taxa de deformação.Modelo de KelvinO modelo de Kelvin considera que os elementoselástico e viscoso estão associados em paralelo (Figura4). Com isso, a deformação no elemento elástico, Ee, ea deformação no elemento viscoso, Ev, são idênticas(E = Ee= Ev), enquanto as tensões se somam paracompor a tensão total (Flügge, 1975).De acordo com a equação (8), define-se umaenergia de deformação do tipo,(12)e considera-se um potencial de dissipação quadrático, Figura 4. Modelo de Kelvin.(a)(b)
  7. 7. 131Revista Brasileira de Engenharia Biomédica / v. 15 / n. 3Brazilian Journal of Biomedical Enginnering / v. 15 / n. 3Modelos constitutivos para o pulmão: caso unidimensionalM.A. Savi e P.M.C.L. PachecoFigura 5. Resposta dos Modelos de Kelvin. (a) Poli-nomial; (b) Exponencial.(13)onde d é uma constante associada ao elemento viscoso.A partir de (6), chega-se à seguinte relação tensão-deformação para o modelo Kelvin-polinomial,(14)O modelo Kelvin-exponencial, por sua vez, possuia seguinte expressão para a energia de deformação,de acordo com a equação (10),(15)Considerando um potencial de dissipação quadrá-tico, conforme definido na expressão (13), chega-se àseguinte relação tensão-deformação,(16)A seguir, analisam-se as respostas destes modelossubmetidos a um carregamento em deformações,conforme mostrado na Figura 3a. As constanteselásticas estão apresentadas na Tabela 1. Consideram-se diferentes valores para a constante associada àdissipação, d. A discretização temporal é feita atravésdo método de Euler implícito (Conte & de Boor, 1980).A Figura 5 apresenta a resposta dos modelos deKelvin. A Figura 5a apresenta o modelo Kelvin-polinomial, enquanto a Figura 5b apresenta o modeloKelvin-exponencial. Deve-se observar que a respostaé dependente da trajetória, sendo portanto, diferentepara a inspiração e a expiração. Esse comportamentocaracteriza a dissipação de energia no processorespiratório que está diretamente associada àconstante d.Modelo de MaxwellO modelo de Maxwell considera que os elementoselástico e viscoso estão associados em série (Figura 6).Dessa forma, as tensões atuantes nos dois elementossão idênticas enquanto as deformações se somam paracompor a deformação total (E = Ee+ Ev) (Flügge, 1975).Considerando uma energia de deformaçãodefinida em (12) e um potencial de dissipaçãoquadrático mostrado em (13), o modelo Maxwell-polinomial é descrito pela seguinte equação,(17)Figura 6. Modelo de Maxwell.Para o modelo Maxwell-exponencial, utiliza-se aenergia de deformação definida em (15) e o potencialde dissipação (13). Com isso, obtém-se a seguinterelação tensão-deformação:(18)(a)(b)
  8. 8. 132Revista Brasileira de Engenharia Biomédica / v. 15 / n. 3Brazilian Journal of Biomedical Enginnering / v. 15 / n. 3Modelos constitutivos para o pulmão: caso unidimensionalM.A. Savi e P.M.C.L. PachecoFigura 7. Resposta dos Modelos de Maxwell. (a) Poli-nomial; (b) Exponencial.As respostas destes modelos são obtidas para osmesmos casos apresentados na análise dos modelosde Kelvin. O método de Newton-Raphson é utilizadopara determinar a tensão a partir de uma deformaçãoconhecida (Conte e de Boor, 1980). A discretizaçãotemporal é novamente feita através do método deEuler implícito. Após a discretização, a deformaçãoelástica pode ser escrita da seguinte forma,(19)onde E, Eee S são as variáveis no instante tn+1, nvE )( éa deformação do elemento viscoso no instante tne∆t = tn+1- tné o passo de integração.A Figura 7 apresenta a resposta dos modelos deMaxwell. A Figura 7a apresenta o modelo Maxwell-polinomial, enquanto a Figura 7b apresenta o modeloMaxwell-exponencial. Mais uma vez deve-se observarque a resposta é dependente da trajetória o quecaracteriza a dissipação de energia no processorespiratório. Essa dissipação está diretamenteassociada ao valor da constante d.ConclusõesEste trabalho discute os modelos constitutivosutilizados para descrever o comportamento mecânicodo pulmão em um contexto unidimensional. Apresen-tam-se os modelos elásticos não-lineares utilizadospara descrever o comportamento do tecido biológico.Propõe-se a utilização de modelos viscoelásticos paradescrever o comportamento mecânico do pulmão deuma forma geral, tratando simultaneamente os efeitosdo tecido biológico e da tensão superficial dosurfactante pulmonar. Adespeito da simplicidade dosmodelos considerados, os resultados são qualitati-vamente coerentes. Todavia, ensaios experimentaisdevem validar, de forma quantitativa, a utilização dosmodelos propostos.AgradecimentosOs autores gostariam de agradecer o suporte do CNPqe da FAPERJ.ReferênciasAscenzi, A. (1993). “Biomechanics and Galileo Galilei”,Journal of Biomechanics, v. 26, n. 2, p. 95-99.Conte, S.D., De Boor, C. (1980). “Elementary NumericalAnalysis”, Auchland: McGraw Hill.Eringen, A.C. (1967). “Mechanics of Continua”, New York:John Wiley & Sons.Flüge, W. (1975). “Viscoelasticity”, Berlin: Springer Verlag.Frankus, A., Lee, G.C. (1974), “A Theory for DistortionStudies of Lung Parenchyma Based on Alveolar Mem-brane Properties”, Journal of Biomechanics, v. 7,n. 1, p. 101-107.Fung, Y.C. (1974). “A Theory of Elasticity of the Lung”,Journal of Applied Mechanics, v. 41, n. 1, p. 8-14.Fung, Y.C. (1975). “Stress, Deformation, and Atelectasisof the Lung”, Circulation Research, v. 37, n. 4,p. 481-486.Fung, Y.C., Tong, P., Patitucci, P. (1978). “Stress and Strainin the Lung”, Journal of Engineering Mechanics Division- ASCE, v. 104, n. 1, p. 201-223.Guyton, A.C., Hall, J.E. (1996). “Medical Physiology”,Phyladelphia: W.B. Saunders.Hoppin, F.G., Lee, G.C., Dawson, S.V. (1975). “Propertiesof Lung Parenchyma in Distortion”, Journal of AppliedPhysiology, v. 39, n. 5, p. 742-751.Kowe, R., Schroter, R.C., Matthews, F.L., Hitchings, D.(1986). “Analysis of Elastic and Surface TensionEffects in the Lung Alveolus Using Finite ElementMethods”, Journal of Biomechanics, v. 19, n. 7,p. 541-549.Lee, G.C., Frankus, A. (1975). “Elasticity Properties of(a)(b)
  9. 9. 133Revista Brasileira de Engenharia Biomédica / v. 15 / n. 3Brazilian Journal of Biomedical Enginnering / v. 15 / n. 3Modelos constitutivos para o pulmão: caso unidimensionalM.A. Savi e P.M.C.L. PachecoLung Parenchyma Derived from ExperimentalDistortion Data”, Biophysical Journal, v. 15, n. 5,p. 481-493.Lee, G.C. (1978). “Solid Mechanics of Lungs”, Journal ofEngineering Mechanics Division - ASCE, v. 104, n. 1,p. 177-200.Lee, G.C. (1980). “Finite Element Analysis in Soft TissuesMechanics”, ASME - Biomechanics Symposium, NewYork, p. 27-42.Lemaitre, J., Chaboche, J.L. (1990). “Mechanics of SolidMaterials”, Cambridge Press.Liu, J.T., Lee, G.C. (1978). “Static Deformation Anlysis ofthe Lung”, Journal of Engineering Mechanics Division -ASCE, v. 104, n. 1, p. 225-238.Lorino, A.M., Lorino, H., Harf, A. (1994). “A Synthesis ofthe Otis, Mead, and Mount Mechanical RespiratoryModels”, Respiration Physiology, v. 97, n. 2,p. 123-133.Maksym, G.N., Bates, J.H.T. (1997). “A DistributedNonlinear Model of Lung Tissue Elasticity”, Journal ofApplied Physiology, v. 82, n. 1, p. 32-41.Navajas, D., Maksym, G.N., Bates JHT. (1995). “DynamicViscoelastic Nonlinearity of Lung Parenchymal Tis-sue”, Journal of Applied Physiology, v. 79, n. 1,p. 348-356.Rockafellar, R.T. (1970). “Convex Analysis”, Princeton Press.Savi, M.A., Giuntini, M.E., Queiroz, R.S. (1995). “ModelosConstitutivos para o Pulmão”, COBEM-CIDIM 95 -XIII Congresso Brasileiro de Engenharia Mecânica - IICongresso Iberoamericano de Ingeniría Mecánica - BeloHorizonte, Brasil, 12/15 Dezembro.Suki, B., Bates, J.H.T. (1991). “A Nonlinear ViscoelasticModel of Lung-Tissue Mechanics”, Journal of AppliedPhysiology, v. 71, n. 3, p. 826-833.Venegas, J.G., Harris, R.S., Simon, B.A. (1998). “A Com-prehensive Equation for the Pulmonary Pressure-Vol-ume Curve”, Journal of Applied Physiology, v. 84, n. 1,p. 389-395.Wilson, T.A. (1982). “Surface Tension-Surface Area CurvesCalculated from Pressure-Volume Curves”, Journal ofApplied Physiology, v. 53, n. 6, p. 1512-1520.Winter, D.A. (1990). “Biomechanics and Motor Control ofHuman Movement”, New York: John Wiley & Sons.

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