Este documento presenta diferentes formas canónicas de representación por variables de estado para sistemas de control lineales e invariantes en el tiempo, incluyendo las formas canónicas de controlabilidad, observabilidad, modal y de Jordan. También discute ecuaciones de estado en tiempo discreto y la matriz de función de transferencia pulso para sistemas discretos de múltiples entradas y salidas. El documento contiene ejemplos y diagramas de bloques para ilustrar cada forma canónica.

2. DIAGONAL

3. OBSERVABLE

4. DE JORDÀNhttp://controlii.blogspot.com/ ECUACIONES DE ESTADO EN TIEMPO DISCRETO MATRIZ FUNCIÒN TRANSFERENCIA PULSO

5. EDITORIAL La presente publicación se realizo con el objetivo de ahondar un poco sobre las variables de estado. Un método útil específicamente en sistemas no lineales, mientras que los métodos convencionales no se adaptan de manera ideal a los sistemas de control optimo y adaptable, mismos que son, en su mayor parte, variantes en el tiempo y/o no lineales. Un sistema de control moderno puede tener muchas entradas y muchas salidas, y estas están interrelacionadas de una manera complicada. Los métodos en el espacio de estado para el análisis y la síntesis de sistemas de control son mas adecuados para tratar con sistemas de varias entradas y varias salidas que se requiere que sean óptimos en algún sentido

7. OBSERVABLE…………………..7

8. DIAGONAL……………………..11

9. DE JORDÀN ……………………15ECUACIONES DE ESTADO EN TIEMPO DISCRETO…………………………….20 MATRIZ FUNCION TRASNFERENCIA PULSO…………………………23 EXTRAS DE EDICIÒN ……………………………..26

10. FORMAS CANÓNICAS DE REPRESENTACIÓN POR VARIABLES DE ESTADO Para los sistemas lineales e invariantes en el tiempo, y que sean SISO, existen de las infinitas formas de representar los sistemas por variables de estado, formas que son de referencia llamadas canónicas (formas normadas o estandarizadas) que nos serán útiles en el momento de analizar y diseñar el control para el sistema. 1

11. Lamentablemente no existe solamente una sola forma canónica, sino varias, y cada una útil para el análisis de una determinada característica del sistema. Para ver cada una de estas formas es útil partir de la representación gráfica de los sistemas por diagramas de bloques, donde el sistema se encuentre descripto a través de funciones de transferencia de integradores puros (G(s) = 1/s), cuyas respectivas salidas definirán cada una de las variables de estado, y su entrada será la derivada respectiva que será el resultado de sumar las entradas y las variables de estado multiplicadas por constantes. Veamos pues entonces cómo se definen las formas canónicas de representación por variable de estado. 2

12. FORMA CANONICA CONTROLABLE La condición de controlabilidad de estados implica que es posible, mediante entradas admisibles, dirigir los estados desde cualquier valor inicial a cualquier valor final dentro de un intervalo de tiempo. Un modelo de espacio de estados continuo e invariante en el tiempo es controlable si y sólo si: 3

13. Obtengamos la forma canónica de controlabilidad de un sistema genérico de tercer orden (que puede ser extendido sin ningún inconveniente a sistemas de mayor orden). Un sistema de tercer orden (estrictamente propio), puede ser descripto por la siguiente función de transferencia: Esto es: Llamemos una variable intermedia Z(s) como: (*) Y por lo tanto, la salida será: Tomando la ecuación (*), tenemos: Que antitransformándola por Laplace será: FORMA CANÓNICA DE CONTROLABILIDAD 4

14. La cual podemos construir como diagrama de bloques de la siguiente manera con integradores puros: Usando la ecuación y antitransformándola tenemos: Y por lo tanto podemos completar el diagrama de bloques como sigue: FORMA CANÓNICA DE CONTROLABILIDAD Eligiendo ahora como variables de estado la salida de cada integrador: Obtenemos la representación por variable de estado canónica de controlabilidad: 5

15. Observamos que las matrices en la FORMA CANÓNICA DE CONTROLABILIDAD posee las siguientes formas: la matriz A contiene en su primera fila los coeficientes del polinomio denominador de la función de transferencia con los signos cambiados, sigue inmediatamente abajo una matriz identidad de (n-1)x(n-1), siendo n el orden del sistema, completado con un vector columna nulo. el vector columna B es un vector cuyo primer elemento es 1, y los restantes componentes 0. el vector fila C es un vector que contiene los coeficientes del polinomio numerador de la función de transferencia del sistema. Es fácilmente demostrable que estas características de las matrices se mantiene con sistemas de mayor orden. 6

16. FORMA CANONICA OBSERVABLE La observabilidad es la medida de que tan bien los estados internos de un sistema pueden ser inferidos conociendo las salidas externas. La observabilidad y la controlabilidad son matemáticamente duales. 7

17. Partamos nuevamente de la función de transferencia suponiendo aquí también un sistema de tercer orden: Por lo tanto: Que si antitransformamos por Laplace, tenemos: En un principio contamos con la señal u en todo momento, y supongamos tener también la señal de salida y. Si a la señal u la multiplicamos por la constante b0 y le restamos la señal y multiplicada por a0, esto deberá ser: Si esa señal así evaluada la integramos, el resultado será: a la que nuevamente le podemos sumar la señal u multiplicada por b1 y restar la señal y multiplicada por a1, quedando: Que nuevamente podemos integrar dando: A la que podemos sumar la señal u multiplicada por a2 y restar la señal y multiplicada por b2, quedando: Que integrándola obtenemos y que es la señal que debíamos determinar en un principio. 8

18. Todo este proceso lo podemos graficar con el siguiente diagrama de bloques: Llamando la salida del último integrador x1, la salida del integrador del medio x2 y la salida del primer integrador x3, obtenemos la representación por variable de estados del sistema en su forma canónica de observabilidad, que es: 9

20. El vector columna B es un vector que contiene los coeficientes del polinomio numerador de la función de transferencia del sistema.

21. El vector fila C es un vector cuyo primer elemento es1, y los restantes componentes0. De igual manera que en la forma canónica de controlabilidad, es fácil demostrar que estas características de las matrices se mantienen con sistemas de mayor orden. 10

22. FORMA MODAL (DIAGONAL) Esta forma canónica se obtiene al desarrollar por fracciones parciales la función de transferencia del sistema. 11

23. La forma canónica modal consiste en llevar a la matriz A de la representación por variable de estado a su forma diagonal. Supongamos que su función transferencia lo podemos descomponer en fracciones simples de la siguiente manera: donde li son las raíces del polinomio denominador y Ci son sus respectivos residuos. Por simplicidad, vamos a suponer que estas raíces son todas distintas entre sí. Entonces la relación entre la entrada y salida del sistema lo podemos describir como: Si llamamos: Resulta ser: Antitransformando por Laplace las ecuaciones, obtenemos 12

24. Que ya es la descripción por variable de estado. Podemos describir estas ecuaciones en un diagrama de bloques de la siguiente manera: Como puede observarse del diagrama de bloques, cada variable de estado elegida de esta manera se encuentra aislado de los otros estados, y se mueven en forma independiente unos de otros. Se dice que cada una de las variables de estado está asociado a un modo del sistema: l1, l2, o l3 (que son las raíces del polinomio denominador de la función de transferencia del sistema y que coinciden también con los autovalores de la matriz A). Por esta razón esta forma canónica se la denomina modal. En esta forma canónica, la representación por variables de estado en forma matricial es: 13

25. Observar en este caso que la forma que posee A es la de una matriz diagonal, el vector B es un vector que posee todos sus elementos iguales a 1, y el vector fila C posee como elementos cada uno de los residuos Ci. Para sistemas de mayor orden la obtención de la forma canónica modal se desarrolla de manera semejante. Cuando la matriz A posee autovalores que se repiten, entonces puede ser que dicha matriz no pueda ser diagonalizable completamente. En esos casos la matriz A se la lleva a su Forma de Jordan. 14

26. Al tratar de diagonalizar una matriz, si ésta posee algunos de sus autovalores que sean iguales, puede ser que no lleguemos encontrar ninguna transformación lineal que logre diagonalizarla completamente. Esto ocurre cuando para ese autovalor múltiple, no podamos encontrar suficientes autovectores linealmente independientes (debemos encontrar autovectores –linealmente independientes- en la misma cantidad que la multiplicidad del autovalor para poderlo diagonalizar completamente). FORMA DE JORDAN 15

27. En los casos en que no es posible diagonalizar la matriz, se puede llevar la misma –a través de una transformación lineal- a la forma de Jordan, que consiste en tener en la diagonal principal los autovalores li de la matriz, y “unos” extra-diagonales en bloques de Jordan en los lugares de los autovalores múltiples: La cantidad de “unos” extra-diagonales dependerá de la cantidad de autovectores linealmente independientes que podamos obtener del autovalor múltiple. Si la multiplicidad del autovalor es k, y obtenemos l autovectores linealmente independientes para ese autovalor, entonces la cantidad m de “unos” extra-diagonales será m = k – l. 16

28. tiene claramente rango 2 así 4-2 es la dimensión del subespacio propio asociado a 17

29. El rango es 1 así que tiene dimensión 3 , luego tiene dimensión 4 18

30. De esta forma se tiene la descomposición con J la matriz de Jordán y P la matriz de paso dadas por Es facil comprobar que AP=PJ (que es equivalente a o a ) 19

31. ECUACIONES DE ESTADO EN TIEMPO DISCRETO Entre las formas de modelar un sistema matemáticamente se encuentra la de describir al sistema mediante la representación de variables de estado. Buscar un modelo matemático es encontrar una relación matemática entre las salidas y las entradas del sistema. En particular la representación interna (representación por variables de estado) relacionarán matemáticamente las salidas con las entradas a través de las variables de estado como paso intermedio. Podemos describir en forma genérica a un sistema discreto por la siguiente representación por variable de estado: Ecuación de estado Ecuación de salida Donde k, k+1 representan los instantes consecutivos de las series de variables, x(k) es el vector de estados (discreto), u(k) es la serie del vector de entradas, e y(k) es el vector de salida todos en el instante k. Estos vectores nuevamente son de dimensión n, m y p respectivamente. 20

32. ECUACIONES DE ESTADO EN TIEMPO DISCRETO Esta forma de representación es válida para los sistemas discretos no-lineales e invariantes en el tiempo en forma general. Si el sistema es invariante en el tiempo, las funciones f y g dejan de depender explícitamente del tiempo: Si el sistema representado por las ecuaciones de representación por variable de estado, es un sistema lineal, la dependencia del vector de estado en un nuevo tiempo x(k+1) y la salida y(k) pasa a ser lineal: donde A es una matriz de nxn, B es una matriz de nxm (n filas x m columnas), C es una matriz de pxn, y D una matriz de pxm, que pueden ser dependientes del instante k. Si además de lineal, el sistema es invariante en el tiempo, las matrices A, B, C y D dejan de depender del instante de tiempo k: 21

33. De manera similar pueden definirse nuevamente aquí, los sistemas propios y los sistemas estrictamente propios, y en éstos últimos consecuentemente la matriz D se hace nula (no hay transmisión directa de ninguna de las entradas a ninguna de las salidas). 22

34. MATRIZ FUNCION TRANSFERENCIA PULSO Un sistema en tiempo discreto de una entrada y una salida se puede representar o modelar mediante una función de transferencia pulso. La extensión del concepto de la función de transferencia pulso a un sistema en tiempo discreto de varias entradas y varias salidas da la matriz de función de transferencia pulso. A continuación veremos la relación entre la representación en el espacio estado y la representación mediante la matriz de función transferencia pulso 23

35. La representación en el espacio de estados de un sistema lineal en tiempo discreto e invariante en el tiempo de orden n, con r entradas y m salidas, se puede dar mediante donde (k) es un vector –n, u(k) es un vector –r y y(k) es un vector –m, G es una matriz de nxn, H es una matriz de nxr, C es una matriz de mxn y D es una matriz de mxr. Al tomar las transformadas z de las ecuaciones anteriores, se obtiene Observe que la definición de función de transferencia pulso exige la suposición de condiciones iniciales cero, aquí también suponemos que el estado inicial x(0) es cero. Entonces se obtiene Esto se conoce como matriz de función transferencia pulso. Se trata de una matriz de mxr. La matriz de función de transferencia pulso F(z) caracteriza la dinámica de entrada/salida del sistema de tiempo discreto dado. 24

36. En vista de que la inversa de la matriz (zI-G) se puede escribir en la forma La matriz de funcion de transferencia pulso F(z) se puede dar mediante la ecuacion Dado que los polos de F(z) son los ceros de |zI-G|=O. esto significa que la ecuación característica del sistema en tiempo discreto esta dada por |zI-G|=O De los coeficientes dependen de los elementos de G. La matriz de funcion de transferencia pulso es invariante bajo una transformacion de similitud. Es decir, no depende del vector estado determinado x(k) seleccionado para la representacion del sistema. 25

37. EXTRAS DE EDICION SUDOKU HUMOR 26

38. http://tdcii.wikispaces.com/message/list/EDITORES+Y+EDITORAS http://controlii.blogspot.com/ ELABORADO POR. MARIA CAROLINA ESCALONA ANTONIO COLMENAREZ JOHANA ALEJO MARZO 2011