Elementos Geometricos

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Elementos Geometricos

  1. 1.    geo   Elementos Geométricos
  2. 2. convexo Polígonos convexos Todos os seus ângulos internos medem menos de 180º O prolongamento de qualquer lado não intercepta outro lado D A B C E CÔNCAVO n = 3 n = 4 n = 5 polígono triângulo quadrilátero pentágono n número de lados n = 6 hexágono n = 7 n = 8 n = 9 polígono n n = 11 n = 12 n = 15 polígono undecágono dodecágono pentadecágono n n = 20 icoságono eneágono octógono heptágono n =10 decágono O prolongamento do lado intercepta outro lado Ângulo interno com medida superior a 180º A B C D E F
  3. 3. n = 3 n = 4 n = 5 triângulo quadrilátero pentágono n = 6 hexágono n = 7 n = 8 n = 9 n = 11 n = 12 n = 15 undecágono dodecágono pentadecágono n = 20 icoságono eneágono octógono heptágono n =10 decágono
  4. 4. vértices do polígono Diagonal são os extremos dos lados do polígono segmento que liga dois vértices não consecutivos Lado segmento que liga dois vértices consecutivos vértices consecutivos são os extremos de um mesmo lado
  5. 5. Número de diagonais que partem de um vértice De um dos n vértices partem uma para cada um dos “n”vértice dele para ele mesmo e dele para os dois vértices adjacentes a ele menos d v = n - 3 d v = 4 - 3 d v = 1 d v = n - 3 d v = 5 - 3 d v = 2 d v = n - 3 d v = 6 - 3 d v = 3 d v = n - 3 d v = 3 - 3 d v = 0 d v = n - 3 d v = 7 - 3 d v = 4 zero n - 3 diagonais d v = (n- 3 )
  6. 6. Número de diagonais do polígono De 1 vértice partem (n-3) De 2 vértice partem 2 ( n-3) Ex.: AC e CA são a mesma diagonal Logo o número total de diagonais é a metade de n(n-3) De 3 vértice partem 3 ( n-3) Do vértice A partem as diagonais AC, AD, AE Do vértice B partem as diagonais BD, BE, BF Do vértice C partem as diagonais CA, CE, CF Do vértice D partem as diagonais DA, DB, DF Do vértice E partem as diagonais EA, EB, EC Do vértice F partem as diagonais FB, FC, FD Duas diagonais de mesma cor são apenas uma. polígono de “n” vértices A E B C D F Aparentemente o polígono tem n(n-3) diagonais Mas elas foram contadas em dobro. Veja (n – 3 ) ( n – 3) (n – 3) (n – 3) (n – 3) De n vértice partem n ( n-3) De ... vértice partem .............. (n – 3) ( n – 3) (n – 3 2 n (n - 3) d =
  7. 7. B C D E F G A partir de um dos vértices, dividimos o polígono em triângulos . A soma dos seus ângulos internos é igual à soma dos ângulos de todos os triângulos A Soma dos ângulos internos de qualquer polígono convexo S in S in = 180º “vezes” o número de Δ s
  8. 8. O polígono de “n” lados ficou dividido em n – 2 triângulos. Δ s 6 Δ s 5 Δ s 4 Δ s 3 Δ s 2 n= 8 n= 7 n= 6 n= 5 n= 4 Como a soma dos ângulos internos de cada triângulo é 180º. A soma dos ângulos de todos os triângulos é 180º ( n -2 ) 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 5 1 3 4 1 2 5 2 6 S in = 180º( n -2 ) Δ s n - 2 n = n Soma dos ângulos internos de qualquer polígono convexo
  9. 9. Soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo S ex a’ a b’ b c c’ d’ d e’ e (c+ c’ ) = 180º (d+ d’ ) = 180º (e+ e’ ) = 180º (a+ a’ )+ (b+ b’ )+ (c+ c’ ) + (d+ d’ )+ (e+ e’ ) + ... = 180º n a+b+c+d+e... + a’+b’+c’+d’+e’... = 180º n somando (b+ b’ ) = 180º (a+ a’ ) = 180º S ex 180º( n - 2 ) + S ex = 180º n 180º n - 360º + S ex = 180º n S ex = 360º Polígono de “n” lados S in  ex = 360/n S ex = 360º A soma dos ângulos externos de qualquer polígono é de 360º
  10. 10. Polígono circunscrito In = dentro corda Ponto de tangência Polígono inscrito Polígono inscrito Polígono circunscrito Contém uma circunferência que tangencia todos os seus lados Seus lados são cordas da circunferência
  11. 11. circunscrita Todo triângulo é inscritível numa circunferência Todo triângulo é circunscritível a uma circunferência Circunferência Triângulo inscrito Triângulo circunscrito Circunferência inscrita
  12. 12. Elementos Notáveis do Triângulo
  13. 13. Elementos Notáveis do Trapézio
  14. 14. Apótema

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