Resolução da prova do colégio naval de 2007

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Resolução da prova do colégio naval de 2007

  1. 1. RESOLUÇÃO DA PROVA DO COLÉGIO NAVAL DE 2007:1) Qual é a soma das raízes quadradas da equação do 2º grau x ²  6 x  2  0 ?       1 1 1 1 2 1 2 1 2a) 6  2  2 2 b) 6  2  3 2 c) 3  2  2 2d ) 3  2  3  e)  3  3  2  1 1 1 2 1 2 2 2Resolução:x 2  6 x  2  0    b 2  4a  c    36  4 1  2   28 62 7 62 7x  e x   x  3  7 e x  3  7 2 2       2 2Assim S= 3  7  3  7  S 2  3 7  2 3 7  3 7  3 7 S2  3 7  2  3  7   3  7    3    7  S2  3 7  2 9  7  3 7 S2  6  2 2  S  6  2 2ALTERNATIVA A2) Se x  y  2 e  x²  y ²  /  x ³  y ³   4 , então x  y é igual aa) 12/11 b) 13/11 c) 14/11 d) 15/11 e) 16/11 Resolução: x2  y 2 x2  y 2 x2  y 2 4 4  2  8 1 x  y    x 2  xy  y 2  2   x 2  xy  y 2   x  xy  y 2  2 x  y  22  x 2  y 2  2 xy  4  x 2  y 2  4  2 xy  2  2assim, pondo  2  em 1 , temos : 4  2 xy 4  2 xy 8  8  4  2 xy  8   4  3xy   4  2 xy  32  24 xy 4  2 xy  xy   4  3 xy   14 28 28 14 24 xy  2 xy  32  4  22 xy  28  xy   xy   xy  22  22 11 11ALTERNATIVA C Prof. Carlos Loureiro Formado Matemática -UFF – Niterói/RJ Curso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPA Promovido pela FAPERJ – SBM – IMPA PÓS Graduando UFRJ - Ensino da Matemática PÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemática professorcarlosloureiro@hotmail.com (21) 8518-7006
  2. 2. 3) Um hexágono regular ABCDEF está inscrito em uma circunferência de raio 6.Traçam-se as tangentes à circunferências nos pontos A, B, D e F, obtendo-se, assim, umquadrilátero circunscrito a essa circunferência. Usando-se 1,7 para raiz quadrada de 3,qual é o perímetro desse quadrilátero?a) 54,4 b) 47,6 c) 40,8 d) 34,0 e) 30,6Resolução: Prof. Carlos Loureiro Formado Matemática -UFF – Niterói/RJ Curso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPA Promovido pela FAPERJ – SBM – IMPA PÓS Graduando UFRJ - Ensino da Matemática PÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemática professorcarlosloureiro@hotmail.com (21) 8518-7006
  3. 3. Fazendo as figuras acima de acordo com o enunciado, temos :   180º  FED, pois IF e ID são tangentes    180º 120º    60º daí   120º .Por outro lado sabemos que o lado hexágono incrito em uma circunferência é igualao raio dessa circunferência assim l6  R  6, com os triângulos retângulos de ângulos30 / 60 podemos determinar x e y e consequentemente 2 p  4 x  4 y  2 p  4  ( x  y ),fazendo isso encontramos x  6 3 e y  2 3  2 p  4  ( x  y )  2 p  4  6 3  2 3   2 p  4  8 3  2 p  32 3  2 p  32 1, 7  2 p  54,4ALTERNATIVA A4) Qual será o dia da semana na data 17 de setembro de 2009?a) 2ª feira b) 3ª feira c) 4ª feira d) 5ª feira e) 6ª feiraResolução: Nessa questão o aluno tinha que observar que 2008 será um ano bissexto, ou seja, terá366 dias. Um ano é bissexto se é múltiplo de quatro, se o ano terminar em “oo” (zero, zero),ou seja, for múltiplo de 100, terá que ser divisível por quatrocentos (400), observe que 1900não foi bissexto e nem 2100 o será, mas 2000 foi bissexto e 2400 será bissexto. Vamos contar os dias restantes de 2007 AGO SET OUT NOV DEZ TOTAL 31 30 31 30 31 153 DIAS Vamos contar os dias de 2009 JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET TOTAL 31 27 31 30 31 30 31 30 17 260 DIASAssim somando esses valores, temos: 153 + 260 + 366 = 779Observando que primeiro de agosto de 2007 (1º AGO 2007) é uma QUARTA-FEIRA, somando-se 777 dias, teremos 1 + 777 = 778 dias, que será uma QUARTA-FEIRA, logo somando-se maisum dia, teremos 778 + 1 = 779 dias, que será QUINTA-FEIRA.ALTERNATIVA D Prof. Carlos Loureiro Formado Matemática -UFF – Niterói/RJ Curso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPA Promovido pela FAPERJ – SBM – IMPA PÓS Graduando UFRJ - Ensino da Matemática PÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemática professorcarlosloureiro@hotmail.com (21) 8518-7006
  4. 4. 5) Dado um triângulo ABC de área 72, sobre a mediana AM=12, traçam-se ossegmentos AQ=3 e QP=6. Sabendo-se que E é o ponto de intersecção entre as retas BPe QC, qual é a área do triângulo QPE?a) 6 b) 8 c) 9 d) 12 e) 18Resolução:Fazendo a figura conforme o enunciado, ligue os pontos “Q” e “B” formando assim o triânguloBQC, observe que o ponto “P” é BARICENTRO do triângulo BQC, assim traçando a MEDIANAque falta, temos seis triângulos que podemos mostrar que possuem a mesma área, do mesmomodo pode-se mostrar que as áreas dos triângulos ACQ e PCM são iguais, desse modopodemos concluir que a área do triângulo ABC ficou dividida por oito. 72Daí , QPE   9 u.a 8ALTERNATIVA C Prof. Carlos Loureiro Formado Matemática -UFF – Niterói/RJ Curso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPA Promovido pela FAPERJ – SBM – IMPA PÓS Graduando UFRJ - Ensino da Matemática PÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemática professorcarlosloureiro@hotmail.com (21) 8518-7006
  5. 5. 6) Dois amigos compraram um rifa por R$ 20,00, cujo prêmio é de R$ 1.000,00. Umdeles deu R$ 15,00, e, o outro, R$ 5,00. Caso sejam contemplados, quantos reais a maisdeverá receber o que deu a maior parte?a) R$ 250 b) R$ 300 c) R$ 450 d) R$ 500 e) R$ 750Resolução:1ª solução: (ÁLGEBRA)Divisão de R$ 1000,00 em partes diretamente proporcionais a R$ 15,00 e R$ 5,00. Sejam X eY as partes, temos: x  y  1000  x  y  1000 x y   x y x y x y 100015  5 15  5  20  15  5  20  50  x  50  x  15  50  750 e y  250 15x  y  750  250  500ALTERNATIVA D2ª solução: (ARITMÉTICA)15  5  20  1000  20  50Assim 15  50  750 e 5  50  250Daí 750  250  500ALTERNATIVA D Prof. Carlos Loureiro Formado Matemática -UFF – Niterói/RJ Curso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPA Promovido pela FAPERJ – SBM – IMPA PÓS Graduando UFRJ - Ensino da Matemática PÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemática professorcarlosloureiro@hotmail.com (21) 8518-7006
  6. 6. 7) Teoricamente, num corpo humano de proporções perfeitas, o umbigo deve estarlocalizado num ponto que divide a altura da pessoa na média e extrema razão (razãoáurea), com a distância, aos pés maior que a distância à cabeça. A que distância,aproximadamente, deverá estar localizado o umbigo de uma pessoa com 1,70m dealtura, para que seu corpo seja considerado em proporções perfeitas?Dados:- Usar 2,24 para raiz quadrada de 5a) 1,09 b) 1,07 c) 1,05 d) 1,03 e) 1,01Resolução: d 1, 7  d   d 2  1, 7  1, 7  d   d 2  1, 7 2  1, 7 d  d 2  1, 7 d  1, 7 2  01, 7 d 1, 7  1, 7 5  1, 7 2  4 1   1, 7 2     1, 7 2  4 1, 7 2    5 1, 7 2  d  2d  1, 7  5 1d  1, 7  2, 24  1  d  0,62  1, 7  d  1, 054 2 2 1, 7  1, 7 5Observe que d  não serve, pois é negativo. 2ALTERNATIVA C Prof. Carlos Loureiro Formado Matemática -UFF – Niterói/RJ Curso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPA Promovido pela FAPERJ – SBM – IMPA PÓS Graduando UFRJ - Ensino da Matemática PÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemática professorcarlosloureiro@hotmail.com (21) 8518-7006
  7. 7. 8) ABC é um triângulo retângulo de hipotenusa BC e altura AH. Seja P um ponto domesmo semi plano de A em relação à reta suporte BC. Os ângulos HPC e ABC sãoiguais a 15º. Se o segmento PH é o maior possível, pode-se afirmar que PH é igual a:a) AC b) AB c) BC/2 d) HC/2 e) AHResolução:Outra questão envolvendo o conceito de quadrilátero inscritível, Fazendo a figura conforme oenunciado e sendo “P” um ponto do mesmo semi-plano do ponto “A”, em relação ao  segmento de reta BC, podemos notar que o ângulo HAC  15º e como HPC  15º , temos que o quadrilátero HAPC é inscritível e assim sendo AC é diâmetro (pois o ângulo AHC=90º )da circunferência que circunda o quadrilátero HAPC, como PH deve ser o maior possível entãoPH tem que ser diâmetro ou sela PH = AC.ALTERNATIVA A Prof. Carlos Loureiro Formado Matemática -UFF – Niterói/RJ Curso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPA Promovido pela FAPERJ – SBM – IMPA PÓS Graduando UFRJ - Ensino da Matemática PÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemática professorcarlosloureiro@hotmail.com (21) 8518-7006
  8. 8. 9) Qual é a soma dos valores reais de x que satisfazem a equaçãox²  3x  1   x²  3x  2  = 1 ? 1a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4Resolução:x 2  3x  1   x 2  3x  2   1 1 Somando  se um aos dois menbros, temos :x 2  3x  2   x 2  3x  2   2 1 1 seja y  x 2  3 x  2  y   2  y 2  1  2 y  y 2  2 y  1  0  y  y"  1 yAsim x 2  3 x  2  1  x 2  3 x  1  0 b (3)Logo como S  S S 3 a 1ALTERNATIVA D Prof. Carlos Loureiro Formado Matemática -UFF – Niterói/RJ Curso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPA Promovido pela FAPERJ – SBM – IMPA PÓS Graduando UFRJ - Ensino da Matemática PÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemática professorcarlosloureiro@hotmail.com (21) 8518-7006
  9. 9. 10) Em um número natural N de 9 algarismos,tem-se: os algarismos das unidadessimples, unidades de milhar e unidade de milhão iguais a x; os algarismos das dezenassimples, dezenas de milhar e dezenas de milhão iguais a y; e os algarismos das centenassimples, centenas de milhar e centenas de milhão iguais a z. Pode-se afirmar que Nsempre será divisível por:a) 333664 b) 333665 c) 333666 d) 333667 e) 3336681ª solução:Aparentemente uma questão difícil, mas as repostas tornaram a questão fácil, se não vejamos:Sendo N=ZYXZYXZYX, temos:Se X não for par então, as alternativas A, C e E não são respostas possíveis.Do mesmo modo se X não for ZERO ou CINCO então B não é resposta possível, daí porexclusão só sobra à alternativa D e a questão ficou FÁCIL.Observe que o valor de N não pode depender de X ser par ou impar.2ª solução: (SEPARANDO EM ORDENS)Sendo N=ZYXZYXZYX, temos:N  ZYXZYXZYX  N  Z 108  Y 107  X 106  Z 105  Y 104  X 103  Z 102  Y 10  X N  Z  108  105  102   Y  107  104  10   X  106  103  1 N  Z 102  106  103  1  Y 10 106  103  1  X  106  103  1 N  106  103  1   Z 102  Y 10  X  N  1000000  1000  1   Z 102  Y 10  X  N  1001001  100Z  10Y  X  observe que 1001001 é divisível por 3, daí N  3   333667   100Z  10Y  X  Logo, N é sempre divisível por 333667, alternativa D.3ª solução: (SEPARANDO EM CLASSES)N  ZXYZXYZXY   ZXY 106   ZXY 103   ZXY 10  ZXY  106  103 +10    ZXY 1001001  3   333667  ZXY  .Logo, N é sempre divisível por 333667, alternativa D. Prof. Carlos Loureiro Formado Matemática -UFF – Niterói/RJ Curso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPA Promovido pela FAPERJ – SBM – IMPA PÓS Graduando UFRJ - Ensino da Matemática PÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemática professorcarlosloureiro@hotmail.com (21) 8518-7006
  10. 10. 11) Num triângulo acutângulo qualquer ABC, os pontos D, E e F são, respectivamente,os pés das alturas AD, BE e CF. Traçam-se, a partir de D, as semi-retas DE e DF. Umareta r passa por A, intersectando a semi-reta DE em G e a semi-reta DF em H. Qualquerque seja a reta r, pode-se afirmar quea) AG:AH :: DG:DH b) EG:DE :: FH:DF c) DG:DH :: DE:DFd) AG:GE :: AH:HF e) DE:AG :: DF:AHResolução:   Observeque os ângulos ABE e ACF são congruentes  pois  ABE   ACF   ABE  ACF Repare que os quadriláteros BDOF e DCEO são inscritíveis ( pois possuem um par de ângulos     opostos iguais a 90º ), Assim os ângulos ODF  OBF  ABE e ODE  OCE  ACF , Daí DA é bissetriz do ângulo GH D do triângulo GDH .Em particular (usando o Teorema da Bissetriz Interna no triângulo GDH ), temos :DH DG AG DG   AH AG AH DHALTERNATIVA A Prof. Carlos Loureiro Formado Matemática -UFF – Niterói/RJ Curso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPA Promovido pela FAPERJ – SBM – IMPA PÓS Graduando UFRJ - Ensino da Matemática PÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemática professorcarlosloureiro@hotmail.com (21) 8518-7006
  11. 11. 12) Uma dívida, contraída à taxa de juros simples de 10% ao mês, deverá ser paga emduas parcelas, respectivamente iguais a R$ 126,00, daqui a 4 meses, e R$ 192,00, daquia 6 meses. Caso essa mesma dívida fosse paga em duas parcelas iguais, uma daqui a 4meses, e a outra daqui a 6 meses, qual seria a diferença entre as somas dos valorespagos em cada caso?a) R$ 4,30 b) R$ 4,40 c) R$ 4,50 d) R$ 4,60 e) R$ 4,70Resolução:126  192  x 1, 4  y 1,6  126       192 x 1, 4 y 1, 6   318 126 196 126 192 630 960seja "d" a dívida  d  x  y      90  120 1, 4 1, 6 7 8d  210Agora queremos determinar A e B tais que: A  B  210 A 1, 4  B 1, 6ou A  B  210 8B7 A  8 B  A  7 8B 8B 7 Bcomo A  B  210   B  210    210  15 B  210  7 7 7 7 210  7 3 7 5 27B B  B  98  A  112 15 15logo 112 1, 4  98 6  156,80 valor a ser pago   1,    156,80 156,80156,80  2  313, 60  318  313, 60  4, 40ALTERNATIVA B Prof. Carlos Loureiro Formado Matemática -UFF – Niterói/RJ Curso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPA Promovido pela FAPERJ – SBM – IMPA PÓS Graduando UFRJ - Ensino da Matemática PÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemática professorcarlosloureiro@hotmail.com (21) 8518-7006
  12. 12. 13) Sabe-se que a ³  3a  1  93 e K  a 4 – 6a  1 . Logo, K também pode serexpresso por:a ) 3a ²  86 a  1 b) 3a ²  84 a  1 c) 6 a ²  86a  1d ) 6a ²  84a  1 d ) 9a ²  86 a  1Resolução:a 3  3a  1  93  a3  93  3a  1  a 3  92  3a 1k  a   a3  6   1  2 Assim pondo 1 em  2  , vem :k  a   92  3a  6   1  k  a   86  3a   1  k  3a 2  86a  1ALTERNATIVA A14) Em uma classe de x alunos, o professor de matemática escreveu, no quadro de giz,um conjunto A de n elementos. A seguir, pediu que, por ordem de chamada, cada alunofosse ao quadro e escrevesse um subconjunto de A, diferente dos que já foram escritospelos. Depois de cumprirem com a tarefa, o professor notou que ainda existiamsubconjuntos que não haviam sido escritos pelos alunos. Passou a chamá-losnovamente, até que o 18º aluno seria obrigado a repetir um dos subconjuntos já escritos.O valor mínimo de x, que atende às condições dadas, está entre:a) 24 e 30 b) 29 e 35 c) 34 e 40 d) 39 e 45 e) 44 e 50Resolução:Dado um conjunto A com “n” elementos, dizemos que o conjunto das partes ou conjuntopotência do conjunto A é um conjunto, tal que o seu número de elementos é dado porP ( A)  2n ou seja o número de elementos é sempre uma potência de dois, assim se: Número de elementos do conjunto A  1 2 3 4 5 6 7Número de elementos do conjunto P(A) 1 2 4 8 16 32 64 128Observe que o professor foi obrigado a repetir os alunos, assim a priori na classe temos18 alunos , assim sendo teríamos 35 18  2  36  1  35 subconjuntos, mas como P(A) temque ser uma potência de dois, nesse caso a potência mais próxima seria igual a 64, logo naclasse temos 64  17  47 alunos no mínimo.ALTERNATIVA E Prof. Carlos Loureiro Formado Matemática -UFF – Niterói/RJ Curso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPA Promovido pela FAPERJ – SBM – IMPA PÓS Graduando UFRJ - Ensino da Matemática PÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemática professorcarlosloureiro@hotmail.com (21) 8518-7006
  13. 13. 15) Um reservatório deve ser enchido completamente com uma mistura de 76% degasolina e 24% de álcool. A torneira que fornece gasolina enche este tanque, sozinha,em 4 horas, e a torneira que fornece álcool enche este tanque, sozinha, em 6 horas.Abrindo-se essas torneiras no mesmo instante, quanto tempo a mais uma delas deve serdeixada aberta, depois de a outra ser fechada, para que as condições estabelecidas sejamsatisfeitas?a) 1h 30 min b) 1h 36 min c) 1h 42 min d) 1h 48 min e) 1h 54 minResolução:Supondo que o reservatório possui 100 litros, temos:Para a torneira que fornece gasolina, temos:100 litros __________ 240 min 76 litros __________ x 76  24 0 76  24x x 10 0 10Para a torneira que fornece álcool, temos100 litros __________ 360 min 24 litros __________ y 24  36 0 24  36y y 10 0 10 76  24 24  36 24   76  36  24  4 0Assim x  y      96 10 10 10 10Daí x  y  96 min ou x  y  1h e 36 minALTERNATIVA B Prof. Carlos Loureiro Formado Matemática -UFF – Niterói/RJ Curso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPA Promovido pela FAPERJ – SBM – IMPA PÓS Graduando UFRJ - Ensino da Matemática PÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemática professorcarlosloureiro@hotmail.com (21) 8518-7006
  14. 14. 16) Um móvel P1 parte, no sentido horário, do ponto A de uma circunferência K1 dediâmetro AB = 2 e, no mesmo instante, um outro móvel P2 parte, no sentido anti-horário, do ponto C de uma circunferência K2 de diâmetro BC = 4. Sabe-se que:- A, B e C são colineares;- P1 e P2 têm velocidade constante;- K1 e K2 são tangentes exteriores em B;- P1 e P2 mudam de circunferência todas as vezes que passam pelo ponto B;- P2 leva 4 segundos para dar uma volta completa em K2;- O primeiro encontro de P1 e P2 ocorre no ponto B, quando eles passam pela terceiravez por este ponto.Quantos segundos leva P1 para dar uma volta completa em K1?a) 24/7 b) 22/7 c) 20/7 d) 18/7 e) 16/7Resolução: Prof. Carlos Loureiro Formado Matemática -UFF – Niterói/RJ Curso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPA Promovido pela FAPERJ – SBM – IMPA PÓS Graduando UFRJ - Ensino da Matemática PÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemática professorcarlosloureiro@hotmail.com (21) 8518-7006
  15. 15. Do enunciado podemos montar o quadro abaixo: 1ª passagem pelo 2ª passagem pelo ponto “B”, 3ª passagem pelo ponto “B”, ponto “B”, distância distância percorrida distância percorrida percorrida Do ponto “A” até o Do ponto “B” Do ponto “C” Do ponto “B” até Do ponto “A” até ponto “B” percorre até o ponto até o ponto “B” o ponto “A” o ponto “B”Móvel “P1”  unidades de “C” percorre percorre 2 percorre  percorre  comprimentos 2 unidades unidades de unidades de unidades de de comprimentos comprimentos comprimentos comprimentos Do ponto “C” até o Do ponto “B” Do ponto “A” Do ponto “B” até Do ponto “C” atéMóvel “P2” ponto “B” percorre até o ponto até o ponto o ponto “C” o ponto “B” 2 unidades de “A” percorre “B” percorre percorre 2 percorre 2 comprimentos  unidades de  unidades de unidades de unidades de comprimentos comprimentos comprimentos comprimentos Do quadro anterior, podemos concluir que, enquanto o móvel “P2” percorreu 8 unidades de comprimentos, o móvel “P1” percorreu 7 unidades de comprimentos. Como o móvel “P2” leva quatro segundos para dar uma volta completa na circunferência “K2” (que possui 4 unidades de comprimentos) e pelo enunciado as velocidades dos móveis são constantes, então em 8 unidades de comprimentos percorridos gastará oito segundos, do mesmo modo o móvel “P1”, gastou os mesmos oito segundos para percorrer 7 unidades de comprimentos para ocorrência do primeiro encontro, assim sendo, para percorrer 2 unidades de comprimentos o móvel “K1” gastará: 7 ___________ 8 segundos 2 ___________ x 2  8 16 x x 7 7 ALTERNATIVA E Prof. Carlos Loureiro Formado Matemática -UFF – Niterói/RJ Curso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPA Promovido pela FAPERJ – SBM – IMPA PÓS Graduando UFRJ - Ensino da Matemática PÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemática professorcarlosloureiro@hotmail.com (21) 8518-7006
  16. 16. 17) Sabendo-se que um grado é a centésima parte de um ângulo reto, quantos gradostem o ângulo de 45º 36’ 54’’ ?a) 50,48333... b) 50,58333... c) 50,68333... d) 50,78333... e) 50,88333...Resolução:90º __________100 gr  45º __________ 50 gr  0,9º __________1gr1º __________ 60 __________ 6060  0,9  5454 __________1gr36 __________ x 36 1 2x   0,666... 54 33600  0,9  32403240 __________1gr 54 __________ y 54 1 1y   0,01666... 3240 60x  y  0,666...  0,01666...  0,68333... 2 1 40 1 41ou x  y    x y    x y   x  y  0,68333... 3 60 60 60 60ALTERNATIVA C Prof. Carlos Loureiro Formado Matemática -UFF – Niterói/RJ Curso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPA Promovido pela FAPERJ – SBM – IMPA PÓS Graduando UFRJ - Ensino da Matemática PÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemática professorcarlosloureiro@hotmail.com (21) 8518-7006
  17. 17. 18) Os conjuntos dos números naturais, inteiros e racionais foram denominados A, B eC, não necessariamente nessa ordem. Em um grupo de 19 números reais, sabe-se que 4são irracionais, 7 pertencem a C e 10 pertencem a A. Quantos desses númerospertencem, exclusivamente, ao conjunto B?a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8Resolução:Assim o conjunto “C” possui sete elementos, sendo assim deve ser o conjunto dos númerosNaturais.O conjunto “A” possui dez elementos, sendo sete pertencentes ao conjunto “C” (NATURAIS) etrês pertencentes ao conjunto “A” exclusivamente, logo “A” é o conjunto dos númerosinteiros.O conjunto “B” possui quinze elementos, pois, do total de dezenove elementos, quatro sãonúmeros Irracionais, logo quinze são números Racionais e, portanto cinco números pertencemao conjunto dos números Racionais exclusivamente.ALTERNATIVA B Prof. Carlos Loureiro Formado Matemática -UFF – Niterói/RJ Curso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPA Promovido pela FAPERJ – SBM – IMPA PÓS Graduando UFRJ - Ensino da Matemática PÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemática professorcarlosloureiro@hotmail.com (21) 8518-7006
  18. 18. 19) Deseja-se revestir uma área retangular, de 198 cm de comprimento e 165 cm delargura, com um número exato de lajotas quadradas, de tal forma que a medida do ladodessas lajotas, expressa por um número inteiro em cm, seja a maior possível. Quantaslajotas deverão ser usadas?a) 27 b) 30 c) 33 d) 36 e) 38Resolução:S  165 198 (1)S  33  33 (2)Dividindo (1) por (2), vem :   15 18 2S 165 198 S 165  198 S 15  18 S S         15  2    30S 33  33 S 33  33   S 33 S S 3 3ALTERNATIVA B Prof. Carlos Loureiro Formado Matemática -UFF – Niterói/RJ Curso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPA Promovido pela FAPERJ – SBM – IMPA PÓS Graduando UFRJ - Ensino da Matemática PÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemática professorcarlosloureiro@hotmail.com (21) 8518-7006
  19. 19. 20) Com a “ponta seca” de um compasso, colocada no centro de um quadrado de lado 2,traça-se uma circunferência de raio r. Observa-se que cada arco da circunferência,externo ao quadrado, tem o dobro do comprimento de cada arco interno. Usando-se raizquadrada de 3 igual a 1,7 e pi = 3, qual a área da região intersecção do quadrado e docírculo, assim determinado?a) 2,8 b) 3,0 c) 3,2 d) 3,4 e) 3,6Resolução: Essa questão foi ANULADA pela Banca Examinadora.Área procurada igual à área da região contornada em vermelho, que chamaremos Áreaprocurada.Área procurada  Área do Círculo  4  Área do segmento Circular 2 2 3Área do Círculo    R  Área do Círculo  3   2  3     4 3 Área do Círculo  3   Área do Círculo  4 33   R 2 R 2  sen  R 2Área do segmento Circular       3  sen   6 2 6 R2 R2  3Área do segmento Circular     3  sen 60º    3  3   6 6  2    6  3 3  R2Área do segmento Circular   R2  2   12  6  3 3 6      12 R2 R2Área do segmento Circular    6  5,1   0,9  9  0,9  0,1 12 12 12Área do segmento Circular  0,1  4  Área do segmento Circular  0, 4Daí , como a Área procurada  Área do Círculo  4  Área do segmento CircularÁrea procurada  4  0, 4  3, 6 u.aALTERNATIVA E Prof. Carlos Loureiro Formado Matemática -UFF – Niterói/RJ Curso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPA Promovido pela FAPERJ – SBM – IMPA PÓS Graduando UFRJ - Ensino da Matemática PÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemática professorcarlosloureiro@hotmail.com (21) 8518-7006

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