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Resolução da prova do colégio naval de 2002

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Resolução da prova do colégio naval de 2002

  1. 1. Prof. Carlos LoureiroFormado Matemática -UFF – Niterói/RJCurso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPAPromovido pela FAPERJ – SBM – IMPAPÓS Graduando UFRJ - Ensino da MatemáticaPÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemáticaprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-7006Colégio Naval 2002 (prova azul)01) O número de múltiplos de 12 compreendidos entre 357 e 3578 é igual a(A) 268 (B) 269 (C) 270 (D) 271 (E) 2721ª SOLUÇÃO:   KKSeja A o número que denota a quantidade no intervalo 1, N de númerosque são divisíveis por k, tal que A , onde representa a parte inteira da divisãode N por k.Podemos notar que no intervalo 1, 3Nk      121235757 A existem 29 múltiplos de 12,123578Do mesmo modo no intervalo 1, 3578 A existem 298 m ltiplos de 12,12Assim o número de múltiplos de doze no intervalo de 357 a 3578 é igual a 298 – 29 =ú       269357 3578Ou podíamos ver que no intervalo 357, 3578 , 29,75; 298,16 ou12 12seja, ver quantas soluções inteiras existem no intervalo, isto é, quantos números inteirosexistem nesse intervalo 3      0, 31, 32, 33, 34,..., 298 298 30 1 299 30 269     Alternativa B2ª SOLUÇÃO: temos que 360 é o primeiro termo da seqüência, o último termo é 3578 divididopor 12, cujo quociente é 298 e o resto é 2, logo 3578 – 2 = 3576 é divisível por 12.Assim os números da seqüência são:  360; 372; 384; ...; 3576 usando o conceito de Progressão Aritmética, temos:" "A = A 1 onde A é um termo qualquer, A é o primeiro termo,1 1n é o número de termos e R é a razãon númerosn Rn n  ou diferença entre um termo qualquer e otermo anterior.Logo: A 3576, A 360, R=12 e n = ?13576 = 360 + ( n - 1) 12 dividindo por 12298 = 30 + ( n - 1) n - 1 = 298 - 30 n - 1 = 268 n = 268n     + 1n = 269Alternativa B
  2. 2. Prof. Carlos LoureiroFormado Matemática -UFF – Niterói/RJCurso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPAPromovido pela FAPERJ – SBM – IMPAPÓS Graduando UFRJ - Ensino da MatemáticaPÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemáticaprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-700602) Se o conjunto solução da inequação 221 13 8 10 0x xxx               é S, então onúmero de elementos da interseção do conjunto S com o conjunto dos números inteiros éigual a(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (E)41ª SOLUÇÃO:   4 222 24 3 24 22 224 3 2 4 3 22 21 1 1 1 103 8 10 0 3 8 013 1 8 101 1 103 8 0 0113 3 8 8 10 3 8 10 8 30 0Observe que a soma dosx xx xx xx xx x x xx xxx xx xx x x x x x x xx x                                                                      4 3 24 3 2 3 2coeficientes de 3 8 10 8 3 é zero, issoindica que uma das raizes é um, logo divisível por (x - 1), assim fazendo a divisãoencontramos 3 8 10 8 3 = 1 3 5 5 3Do mesmo modo tex x x xx x x x x x x x                      3 23 2 224 3 2 22 24 3 22 22mos que 3 5 5 3 é divisível por 1Assim 3 5 5 3 1 3 2 3Logo 3 8 10 8 3 = 1 3 2 31 3 2 33 8 10 8 3Daí 0 0Observem que:) 1 0 (será zero quando x fox x x xx x x x x xx x x x x x xx x xx x x xx xa x                           22r igual a um)) 3 2 3 0 pois delta é menor do que zero.) 0 (pois está no denominador)Como no problema é pedido menor ou igual a zero, temos que x = 1b x xc x  Alternativa B
  3. 3. Prof. Carlos LoureiroFormado Matemática -UFF – Niterói/RJCurso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPAPromovido pela FAPERJ – SBM – IMPAPÓS Graduando UFRJ - Ensino da MatemáticaPÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemáticaprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-7006O polinômio 4 3 23 8 10 8 3x x x x    podia ter sido fatorado da seguinte forma:                           4 3 2 4 3 3 2 23 23 23 232223 8 10 8 3 3 3 5 5 5 8 33 1 5 1 1 5 31 3 5 5 31 3 3 5 51 3 1 5 11 3 1 1 5 11 1 3 1 51 1 3 3 3 5x x x x x x x x x xx x x x x xx x x xx x x xx x x xx x x x x xx x x x xx x x x x                                                         22 21 1 3 2 31 3 2 3x x x xx x x          2ª SOLUÇÃO:   2222 2 222 2 2 22 22 222 21 1 13 8 10 0 seja y =1 1 121 12 21 1Assim 3 8 10 0 3 2 8 10 03 6 8 10 0 3 8 4 0x x xx xxy x y x xx x xy x y xx xx x y yxxy y y y                                                                  221 23 8 4 0 8 4 3 4 64 48 168 4 8 4 12 8 4 4 22 e6 6 6 6 6 3y yy y y                         
  4. 4. Prof. Carlos LoureiroFormado Matemática -UFF – Niterói/RJCurso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPAPromovido pela FAPERJ – SBM – IMPAPÓS Graduando UFRJ - Ensino da MatemáticaPÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemáticaprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-70062 1 2 1Assim y 2 mas como y = 23 32Como "x" tem que ser inteiro 2 x = 13x xx xx         Alternativa B03) Se 52104 a e 52104 b , então a+b é igual a :(A) 10 (B) 4 (C) 22 (D) 15  (E) 23 SOLUÇÃO:    2 2 2222 22 222Usando o produto notável 2 , temos:4 10 2 5 4 10 2 54 10 2 5 2 4 10 2 5 4 10 2 5 4 10 2 54 10 2 5a b a ab bx a b x a b xxx                                          2 16 10 2 5 4 10 2 5               22 2222 2 222 28 2 6 2 56 2 5 2 5 2 1 5 5 1 5 2 1 5 1 5 2 5 16 2 58 2 6 2 5 8 2 5 1 8 2 5 18 2 5 2 6 2 2 6 2 2 5 1 5 1xx x xx x x x x                                            Alternativa D
  5. 5. Prof. Carlos LoureiroFormado Matemática -UFF – Niterói/RJCurso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPAPromovido pela FAPERJ – SBM – IMPAPÓS Graduando UFRJ - Ensino da MatemáticaPÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemáticaprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-700604) Se x e y são números inteiros e positivos, representa-se o máximo divisor comum de x e ypor MDC ( x , y ); assim, o número de pares ordenados ( x , y ) que são soluções do sistema45),(810yxmdcyx(A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 16 (E) 18        Temos que e ., ,81018, , , 45Logo a + b = 18onde "a" e "b" são primos entre six ya bmdc x y mdc x yx y x ya bmdc x y mdc x y mdc x y       Onde os valores possíveis para os pares ordenados são:a b a b Serve ou não serve1 17 17 1 Serve2 16 16 2 não serve3 15 15 3 não serve4 14 14 4 não serve5 13 13 5 Serve6 12 12 6 não serve7 11 11 7 Serve8 10 10 8 não serve9 9 X X não serveLogo são seis os pares ordenados que são soluções do sistema.Alternativa A
  6. 6. Prof. Carlos LoureiroFormado Matemática -UFF – Niterói/RJCurso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPAPromovido pela FAPERJ – SBM – IMPAPÓS Graduando UFRJ - Ensino da MatemáticaPÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemáticaprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-700605) Um relógio indica dois minutos menos do que a hora certa e adianta t minutos por dia. Seestivesse atrasado três minutos e adiantasse12t   minutos por dia, então marcaria a horacerta exatamente um dia antes do que vai marcar. O tempo t, em minutos, que esse relógioadianta por dia está compreendido entre(A)9291e (B)9392e (C)9594e (D)9796e (E)9998e1ª SOLUÇÃO:DIA ADIANTA21 dia __________ t minutos 2n dias__________ 2 minutosDIA ADIANTA11 dia __________ minutos2m dias__________ 3 minutosnt ntt         222 2 21 2 1 21 331223 2 3 2 6 21 1 1 12 11 2 1226 1 26 2 2 1 22 1 12 126 2 4 2 2 3 2 0 3 4 01 41 4 =0,5 2 não ser2 2t m mtcomo m ntt t t ttt t t tt tt tt tt t t t t t y yy e y t e t                                                        veAlternativa C
  7. 7. Prof. Carlos LoureiroFormado Matemática -UFF – Niterói/RJCurso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPAPromovido pela FAPERJ – SBM – IMPAPÓS Graduando UFRJ - Ensino da MatemáticaPÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemáticaprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-70062ª SOLUÇÃO:Como o relógio está atrasado 2 minutos, em "n" dias com adiantamento de"t" minutos por dia a hora estará certa, isto é:n t = 2 (1)Do mesmo modo, se estivesse atrasado 3 minutos em "n-1" dias coma 1diantamento do relógio em " " minutos a hora estará correta, ou seja:21 11 3 3 2 2 1 62 2 22 2 7 0 mas como nt = 24 2 7 0 2 3 0 2 3 (2)Pondo (2) em (1),tnn t nt t nt n tnt n tn t n t n t                                    2 21 2 1 2temos:2 3 2 2 3 2 0 3 4 01 41 4 =0,5 2 não serve2 2t t t t y yy e y t e t                   Alternativa C
  8. 8. Prof. Carlos LoureiroFormado Matemática -UFF – Niterói/RJCurso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPAPromovido pela FAPERJ – SBM – IMPAPÓS Graduando UFRJ - Ensino da MatemáticaPÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemáticaprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-700606) Considere um triângulo e uma circunferência que passa pelos pontos médios dos seus trêslados. Se X, Y e Z, (X < Y < Z) são as medidas dos arcos dessa circunferência, em graus,exteriores ao triângulo, então(A) Z = 360° - y (B) Z = X + Y (C) X + Y +Z =180°(D) X + Y =180° (E) Z = 2X + YFazendo a figura de acordo com o enunciado e denotando os arcos conforme abaixo, temos:O arco AO por Z; O arco AM por X; O arco PN por Y; O arco MP por B eO arco NO por A.Observe que o quadrilátero AMNO é inscritível, pois, ON é paralelo a AB e MN é paralelo a AC,assim AMNO é um retângulo, logo os ângulos opostos são suplementares. Assim temos:Z + A = 180º e Z + X = 180º A = XA + Y + B = 180º Z + A = A + Y + B Z = Y + BComo MO é paralelo a BC, pois os pontos M e O são pontos médios, temos:AOM = MNB arco MP = arco A  M B = XDaí, como Z = Y + B Z = X + YAlternativa B
  9. 9. Prof. Carlos LoureiroFormado Matemática -UFF – Niterói/RJCurso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPAPromovido pela FAPERJ – SBM – IMPAPÓS Graduando UFRJ - Ensino da MatemáticaPÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemáticaprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-700607) Se os lados de um triângulo medem, respectivamente 3X, 4X e 5X, em que X é umnúmero inteiro positivo, então a distância entre os centros dos círculos inscritos ecircunscritos a esse triângulo corresponde a(A)45x(B) 221 x(C) 2x (D)25x(E)65xSejam FC = a, EC = a, AF = R, AD = R, BD = b, BE = b.Onde R é o raio do cículo inscrito.a + R = 3XR + b = 4X como os lados são 3X, 4X e 5X, isso indica que o triângulo é retângulo.b + a =5X2a+ 2R + 2b = 12X a + R + b = 6XComo R + b = 4X a + R + b = 6X a = 2X4De a + R = 3X R = X e de R + b = 4X b = 3X5 6 5GE = BE - BG = GE = 3X - = GE =2 2 2Logo do triângulo OEG, temos:xX X X X   2 2 22 2 2 2 22X 5XD = X - D = X - D =2 4 45X X 5D = D =4 2X     Alternativa D
  10. 10. Prof. Carlos LoureiroFormado Matemática -UFF – Niterói/RJCurso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPAPromovido pela FAPERJ – SBM – IMPAPÓS Graduando UFRJ - Ensino da MatemáticaPÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemáticaprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-7006Observações sobre a questão 07:Se o triângulo for retângulo o raio do círculo inscrito é igual ao semi-perímetro menos ahipotenusa ou r = P - aTeorema: Em todo triângulo retângulo, a soma dos catetos é igual a soma dos diâmetrosdos círculos incrito e circunscrito ou seja b + c = 2r + 2RSe o triângulo retângulo tem os lados iguais a 3R, 4R e 5R, então os lados estão emProgressão aritmética, daí o raio do círculo inscrito é igual a razão (ou diferença entredois lados consecutivos) ou r = Razão.O problema poderia ter sido resolvido usando o teorema abaixo:Em qualquer triângulo à distância “D” do centro do círculo inscrito tendo “r” comoraio, ao centro do círculo circunscrito de raio R é dado pela relação. D = R R - 2rResolvendo o problema fazendo uso das observações acima temos:Como o triângulo tem os lados iguais a 3X, 4X e 5X r = X (raio do círculo inscrito)Sendo o triângulo retângulo, então 2R = 5X ( o diâmetro é igual a hipotenusa), assim:Usando a fórmula D = R× R - 2 25X 5Xr D = × -2X2 25 5 4 5 5 5D = D = D = D =2 2 2 2 2 4 2X X X X X X X             
  11. 11. Prof. Carlos LoureiroFormado Matemática -UFF – Niterói/RJCurso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPAPromovido pela FAPERJ – SBM – IMPAPÓS Graduando UFRJ - Ensino da MatemáticaPÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemáticaprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-700608)Observe o quadrado acima em que as letras representam números naturais distintos desde 1até 9. Se a adição de três números de cada linha, de cada coluna ou de cada diagonal, dessequadrado, tem sempre o mesmo resultado, então a letra E representa o número:(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5Solução:Primeiramente temos:Observe que, como a, b, c, d, e, f, g, h, i são números distintos que variam de 1 a 9, então:Como 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 45Doa b c d e f g h i xa b c d e f g h i                  mesmo modo, temos que:45153Por outro lado temos:15153 60 45 3 601545153 60 45 3 15 5a b c d e f g h i a b c d e f g h ia e ic e ga b c d e f g h i e eb e hd e fe e e                                               Alternativa E
  12. 12. Prof. Carlos LoureiroFormado Matemática -UFF – Niterói/RJCurso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPAPromovido pela FAPERJ – SBM – IMPAPÓS Graduando UFRJ - Ensino da MatemáticaPÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemáticaprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-700609) Justapondo-se os números naturais conforme a representação abaixo, onde o sinal * indicao último algarismo, forma-se um número de 1002 algarismos.1234567891011121314151617181920212223..................*O resto da divisão do número formado por 16 é igual a(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 10Solução:Temos que:De 1 à 9 9-1+1 = 9 algarísmos189 algarísmosDe 10 à 99 99-10+1=90 90 2=180 algarísmosLogo 1002 - 189 = 813 algarísmos 813 3 271 númerosAssim, sendo X um número de três algarísmos, te    mos:X - 100 + 1 = 271 X = 271 + 100 - 1 X = 370Daí a seguência de números 1234567891011...368369370Fato teórico:Um número é divisível por dois se é par e um número é par se o último algarísmoa dire ita for divisível por dois ou seja é par (algarismo das unidades).Um número é divisível por quatro guando os dois últimos algarísmos da direitafor divisível por quatro (algarísmos das unidades e das dezenas).Um número é divisível por oito quando os três últimos algarísmos da direitafor divisível por oito (algarísmos das unidades, das dezenas e das centenas).Podemos mostrar que isso vale para dezesseis, isto é:Um número é divisível por dezesseis se os quatro últimos algarísmos dadireira for divisível por dezesseis.Então 16 | 1234567891011...368369370 16 | 9370Que tem como resto 10Alternativa E
  13. 13. Prof. Carlos LoureiroFormado Matemática -UFF – Niterói/RJCurso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPAPromovido pela FAPERJ – SBM – IMPAPÓS Graduando UFRJ - Ensino da MatemáticaPÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemáticaprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-700610) Se 2 1x y  , com X e Y reais, então o maior valor da expressão 2 23x xy y  éigual a(A)45(B)47(C)813(D)817(E)1631Solução:     2 2 2 2 2 2 2 22 1 4 4 1 3 2 12 2 2 2 2 23 2 1 1 12 112 2O maior valor de 1, onde é ( ) 1, ou sejaé função de depende do valox y x xy y x xy y x x xyx xy y x x xy x x K K x xK x xK x x K K x x xK x ou                                  2 2r de , esse valor é obtido quando = .4Assim fazendo as contas, temos:4 1 4 1 1 55 5=4 4 1 4x Kab acK Ka               Alternativa A
  14. 14. Prof. Carlos LoureiroFormado Matemática -UFF – Niterói/RJCurso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPAPromovido pela FAPERJ – SBM – IMPAPÓS Graduando UFRJ - Ensino da MatemáticaPÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemáticaprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-700611) Considere um triângulo eqüilátero ABC, inscrito em um círculo de raio R . Os pontos M e Nsão, respectivamente, os pontos médios do arco menor AC e do segmento BC . Se a reta MNtambém intercepta a circunferência desse círculo no ponto P, PM, então o segmento NPmede(A)27R(B)233R(C)1473R(D)75R(E)35RFazendo a figura conforme o enunciado, ligando os pontos B e M, P e C, A e N, temos a figuraabaixo:Observe que o triângulo BNO é retângulo com ângulos de 30º, 60º e 90º, como BO é igual aoRaio, denotado por R, temos que o lado oposto ao ângulo de 30º é igual à metade dahipotenusa e o lado oposto ao ângulo de 60º é igual a metade da hipotenusa vezes a raiz detrês.Os ângulos MBN e NPC são congruentes pois são metade do arco MC, do mesmo modo osângulos BMN e PCN são congruentes pois são metade do arco BP, logo os triângulos PCN eBMN são semelhantes, daí:
  15. 15. Prof. Carlos LoureiroFormado Matemática -UFF – Niterói/RJCurso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPAPromovido pela FAPERJ – SBM – IMPAPÓS Graduando UFRJ - Ensino da MatemáticaPÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemáticaprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-7006 22222 2= , mas antes de continuar temos que determinar MN, assim:3 3MN 2 2 2 cos 30º2 23MN 4 24PN NCBN MNR RR RRR            232RR 322 22 2 2 2 22 2 2 22 23 3MN 4 3 MN4 44 3 7 7 7MN MN MN MN4 4 4 4 2Daí, temos:=32R RR R RR R R R RRPN NC PNBN MN R              32R 7233927 2 79 7 9 7142 7 7RRPN PNR RPN PN      Alternativa C
  16. 16. Prof. Carlos LoureiroFormado Matemática -UFF – Niterói/RJCurso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPAPromovido pela FAPERJ – SBM – IMPAPÓS Graduando UFRJ - Ensino da MatemáticaPÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemáticaprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-700612) Em um trapézio cujas bases medem A e B, os pontos M e N pertencem aos lados não-pararelos. Se o segmento MN divide esse trapézio em dois outros trapézios equivalentes,então a medida do segmento MN corresponde a(A) média aritmética de A e B. (B) média geométrica das bases.(C) raiz quadrada da média aritmética de A2e B2.(D) raiz quadrada da média harmônica de A2e B2. (E) média harmônica de A e B.Fazendo a figura conforme o enunciado, prolongando os lados não paralelos AD e BC de talmaneira que o ponto “P” seja a interseção desses prolongamentos, temos, assim construídotrês triângulos semelhantes, saber:(semelhantes), assim:222 2 22A área do trapézio ABMN pode ser dada porDo mesmo modo a área de MNCD pode ser dada porABP MNP DCPS a kABPS SSMNP DCPABP k S x kMNPa x bS b kDCPS SMNP ABPS SDCP MNP            Como essas áreas são equivalentes temos:22 2 2 22 2 2 2 2 2 22 22 2S S S S S S SMNP ABP DCP MNP MNP DCP ABPa b a bx k b k a k x a b x x                   Alternativa C
  17. 17. Prof. Carlos LoureiroFormado Matemática -UFF – Niterói/RJCurso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPAPromovido pela FAPERJ – SBM – IMPAPÓS Graduando UFRJ - Ensino da MatemáticaPÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemáticaprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-700613) Dois ciclistas, com velocidades constantes, porém diferentes, deslocam-se em uma estradaretilínea que liga os pontos A e B. Partem de A no mesmo instante e quando alcançam B,retornam a A, perfazendo o movimento A-B-A-B, uma única vez. Quando o mais veloz alcançao ponto B, pela primeira vez, retorna no sentido de A encontrando o outro a 4 km de B.Quando o mais lento atinge o ponto B, retorna imediatamente e reencontra, no meio dopercurso, o outro que está vindo de A. Desprezando-se o tempo gasto em cada mudança nosentido de percurso, a distância entre os pontos A e B, em km, é igual a(A) 10 (B)12 (C)14 (D)16 (E) 18 4V V4 4 4V e V 14V V 4dd d dx t xx y dt t dy yt            22 52 2V V V V 52 2 1 2 2V e V 23V V V V 31 12 2 21De 1 e 2 , temos:4 53 12 5 20 2 32 164 3ddd d d dd d dtx x x xx y d d dt td dy y y ytdd d d dd                    Alternativa D
  18. 18. Prof. Carlos LoureiroFormado Matemática -UFF – Niterói/RJCurso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPAPromovido pela FAPERJ – SBM – IMPAPÓS Graduando UFRJ - Ensino da MatemáticaPÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemáticaprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-700614) Considere a equação 2 26 m 1 0x x    com o parâmetro m inteiro não nulo. Seessa equação tem duas raízes reais e distintas com o número 4 compreendido entre essasraízes, então o produto de todos os possíveis valores de m é igual a(A)-2 (B)-1 (C) 2 (D) 4 (E) 6Solução:2 2 2 22 2Seja p(x) = 6 m 1 para x = 4 p(4) = 4 6 4 m 1p(4) = 16 24 m 1 p(4) = m 9Por teoria sabemos que a condição para um número (alfa) estar entre as raízesdox x             22Trinômio do Segundo Grau, ( ) é que a p( ) < 0.Assim a p(4) < 0, como a = 1 m 9 0p x ax bx c                Logo m 3, 3 , sendo que m 0 pelo enunciado.Daí "m" pode ser um dos valores do conjunto abaixo:-2, -1, 1, 2Assim o Produto = 2 1 1 2 4       Alternativa D
  19. 19. Prof. Carlos LoureiroFormado Matemática -UFF – Niterói/RJCurso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPAPromovido pela FAPERJ – SBM – IMPAPÓS Graduando UFRJ - Ensino da MatemáticaPÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemáticaprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-700615) João vendeu dois carros de modelo SL e SR, sendo o preço de custo do primeiro 20% maiscaro que o do segundo. Em cada carro teve um lucro de 20 % sobre os seus respectivos preçosde venda. Se o total dessa venda foi R$ 88 000,00, o preço de custo do segundo modelo era,em reais, igual a(A) 30 000,00 (B) 32 000,00 (C) 34 000,00(D) 35 000,00 (E) 36 000,00Solução:Fato teórico: Venda com lucro – A venda de mercadorias pode oferecer um lucro e esse lucropode ser sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda.Quando o lucro incidir sobre o PREÇO DE CUSTO, este valor será o principal, e como tal,corresponderá a 100%. Do mesmo modo quando o lucro incidir sobre o PREÇO DE VENDA,este valor será o principal, e como tal, corresponderá a 100%.SL preço 1,2 X1,2X + X = 2,2XSR preço X2,2 X __________ 80%2,2X × 100% = 88000 × 80% X = 3200088000 __________ 100% Alternativa E
  20. 20. Prof. Carlos LoureiroFormado Matemática -UFF – Niterói/RJCurso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPAPromovido pela FAPERJ – SBM – IMPAPÓS Graduando UFRJ - Ensino da MatemáticaPÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemáticaprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-700616) Se X é um número inteiro tal que 1532 2 xxx , o número de elementos doconjunto solução dessa inequação é igual a(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4Solução:   2 22 3 5 1 antes de mais nada temos que 2 3 5 05 51 ou seja , 1, + e2 2Do mesmo modo 1 0 1 ou seja 1, + , feito isso, temos:222 22 3 5 1 2 3 5x x x x xx ou x xx x xx x x x x x                                      2 2 12 6 0 3 2 ou seja 3, 2.xx x x x           Das condições acima e tendo em mente que "x" tem que ser inteiro, temos que 1, 2x Alternativa C
  21. 21. Prof. Carlos LoureiroFormado Matemática -UFF – Niterói/RJCurso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPAPromovido pela FAPERJ – SBM – IMPAPÓS Graduando UFRJ - Ensino da MatemáticaPÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemáticaprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-700617) Se um segmento AB tem 2 cm de comprimento, então a flecha do arco capaz de 135 °desse segmento mede(A) 12  (B) 2 (C) 12  (D) 3 (E) 22 1ª SOLUÇÃO: Fazendo a figura conforme o enunciado, temos:2 2 22 2 2 2 2Do triângulo ABC, temos:Usando a Lei dos cossenos 2 2 cos 135º2 2 2 2 44 2 2 4 2 1 22 2 2 2 2Agora vamos determinar o valor da flexa CD, observando o triânx x x xx x x x x                                              2 2 2 2 22 2 222 2 222gulo ACD, temos:4 2 241 12 2 2 22 2 2 24 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 24 2 2 2 2 4 4 2 2 6 4 24 2 2 23 2 2 3 2 2 Observe que 2 2 2 1 23 2 2 2 1 2 1x CD CD CDCD CD CDCD CD CDCD CDCD CD                                               Alternativa C
  22. 22. Prof. Carlos LoureiroFormado Matemática -UFF – Niterói/RJCurso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPAPromovido pela FAPERJ – SBM – IMPAPÓS Graduando UFRJ - Ensino da MatemáticaPÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemáticaprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-70062ª SOLUÇÃO: Uma saída rápida para QUESTÃO 17 é observar que AB é o lado doquadrado inscrito, isto é:2 2 2 22l = R 2 R 2 = 2 R= R = 24 2Ou observando o triângulo HOG R 1 1 R = 2 R = 2Observe que DO é igual a metade do lado do quardrado ou seja igual a 1,então como DC = CO - DO DC = 2-1raio      
  23. 23. Prof. Carlos LoureiroFormado Matemática -UFF – Niterói/RJCurso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPAPromovido pela FAPERJ – SBM – IMPAPÓS Graduando UFRJ - Ensino da MatemáticaPÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemáticaprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-700618) Se a,b, c são algarismos distintos, no sistema de numeração decimal existe um úniconúmero de dois algarismos  ab tal que      2 2 2ab ba cc  .O valor de  a + b + c é igual a:(A)11 (B)12 (C)13 (D)14 (E) 15Solução:                        2 2 2 2 2 2222 210 10 1010 10 10 10 1011 11 9 9 1111 9 11 11ab ba cc a b b a c ca b b a a b b a c ca b a b ca b a b c                                 29 11 11a b a b c           2229 11 19 3116 e 51Daí a + b + c = 6 + 5 + 3 = 14Observações:Se 9 11 11Daí 3 11 11 2 para ser quadrado perfeito7 (menor valor) 3a b a b cc ca ba ba bc a b a b a bc a b c b b c bb c                                      25 15 que não convém ao problema, poisa, b e c são algarismos na base dez .Se 9 11 11Daí 3 3 11 3 11 2 para ser quadrado perfeito,temos:Se b 1 9, mas se b 1 10, nãocc a b a b a bc a b c b b c bc a                        serve;Se b 5 3, mas se b 5 6, daí 6 5 3 14 ok, serve ao problema.c a a b c           Alternativa D
  24. 24. Prof. Carlos LoureiroFormado Matemática -UFF – Niterói/RJCurso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPAPromovido pela FAPERJ – SBM – IMPAPÓS Graduando UFRJ - Ensino da MatemáticaPÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemáticaprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-700619) Se a e b são dois números reais, denotarmos por  min ,a b o menor dos números a eb, isto é,  a, se a bmin ,a, se a ba b O número de soluções inteiras negativas da inequação  min 2x-7, 8 – 3x - 3x + 3 éigual a(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4Essa questão pelo erro de digitação  a, se aa, sebmainb,a b estaria ANULADA.Observação: Minha solução está sendo baseada na prova azul original e não digitação feitapor terceiros.Desconsiderando o erro, temos: min 2x-7, 8 – 3x - 3x + 3a) se 2x - 7 8 - 3x 2x + 3x 8 + 7 5x 15 x 3Resolvendo:2x - 7 > -3x + 3 5x > 10 x > 2 -, logo 2 < x 3b) se 2x - 7 8 - 3x 2x + 3x 8 + 7 5x 15 x 3Re              solvendo:8 - 3x > - 3x + 3 8 > 3 isso é verdade qualquer que seja o valor de x,mas como inicialmente x 3.Assim pelos itens a e b não existem soluções negativas.Alternativa A
  25. 25. Prof. Carlos LoureiroFormado Matemática -UFF – Niterói/RJCurso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPAPromovido pela FAPERJ – SBM – IMPAPÓS Graduando UFRJ - Ensino da MatemáticaPÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemáticaprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-700620) Considere os triângulos ABC e MNP. Se as medidas dos lados do segundo triângulo são,respectivamente, iguais às medidas das medianas do primeiro, então a razão da área de MNPpara a área de ABC é igual a(A)31(B)21(C)32(D)43(E)651ª SOLUÇÃO: Supondo que ABC seja eqüilátero, temos: 2 31 que é a área de um triângulo equilátero qualquer.4Sabendo-se que em um triângulo equilátero todos os pontos notáveis seconfundem (ou seja são coincidentes), temos que a mediana é a altura,lSABC    bissetriz e mediatriz. Assim o lado do triângulo MNP (equilátero) é23323usando a fórmula anterior2 42 3 33 324 24 16Daí e de 1 e 2 , :23 32162 34llSMNPlS S lMNP MNPvemllS SMNP MNPS SlABC ABC          3 31642l 3434SMNPSABC Alternativa D
  26. 26. Prof. Carlos LoureiroFormado Matemática -UFF – Niterói/RJCurso de Capacitação Permanente para Professores de Matemática do Ensino Médio no IMPAPromovido pela FAPERJ – SBM – IMPAPÓS Graduando UFRJ - Ensino da MatemáticaPÓS Graduando UFF - Novas Tecnologias no Ensino da Matemáticaprofessorcarlosloureiro@hotmail.com(21) 8518-70062ª SOLUÇÃO: Seja um triângulo ABC qualquer, seja “G” o ponto de encontro das três medianas(baricentro), é sabido que o baricentro divide a mediana na razão dois pra um, desse modopodemos construir a figura abaixo. Outro fato importante é que o baricentro determina emqualquer triângulo seis triângulos que possuem a mesma área, isto é, se a área do triânguloABC é S, então a área de cada um dos triângulos formados será S dividida por seis.Seja “D” o ponto médio do segmento CG, ligando os pontos “D” e “N” e observando otriângulo ACG, podemos concluir que DN é paralelo a AG e sua medida é metade de AG, assimsendo o triângulo DNG tem os lados com medidas X, Y e Z. O triângulo MNP formado pelasmedianas do triângulo ABC, tem lados cujas medidas são 3X, 3Y e 3Z, logo os triângulos DNG eMNP são semelhantes (caso LLL – lados proporcionais).Da semelhança entre os triângulos DNG e MNP, temos:S xDNGSMNP3 x2 21 13 9Mas pois á área de DNG é igual a metade da área do triângulo CNG.121 3Daí, 9 99 12 434Como a área de ABC é SS SDNG DNGS SMNP MNPSSDNGS S SDNG S S SMNP DNG MNPSMNPSS SMNP MNPS S SABC AB                    3 SC 4S34Alternativa D

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