Cn2008 2009

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Cn2008 2009

  1. 1. Resolução Comentada da Prova de MATEMÁTICA-2008/2009 Colégio Naval - Prova Verde Elaborada pela equipe de Matemática do Curso General Telles Pires.01- ALTERNATIVA C GTP Colégio Naval-2008Um Triângulo retângulo, de lados expressos por número inteiros consecutivos, estáinscrito em um triângulo eqüilátero T de lado x. Se o maior cateto é paralelo a um doslados de T, pode-se concluir que x é aproximadamente igual a(A) 6,8 (B) 7,0 (C) 7,5 (D) 8,0 (E) 8,5Resolução: Traçando a altura referente ao vértice A:Pelo Teorema de Pitágoras: ( a+1) =a2 + ( a-1 ) 2 2 a2 +2a+1=a2 +a2 -2a+1 a2 - 4a = 0 ⇒ a ⋅ ( a - 4 ) = 0 a = 0 (incompatível) ou a = 4 assim, o triângulo retângulo possui medidas: 3, 4 e 5. x 3 x 2 = 2 x 3 x ⇒ = ⇒ 3 x-4 6 x-4 2 ⇒ 3x 2 - 4 3x = 6x ⇒ ⇒ ( ) 3x2 - 4 3 + 6 x = 0 ⇒ ( ⇒ x ⋅ ⎡ 3x - 4 3 + 6 ⎤ = 0 ⎣ ⎦ ) x = 0 ( incompatível) ou 6+4 3 x= = 2 3 + 4 ≅ 7, 5 3 1
  2. 2. 02- ALTERNATIVA E GTP Colégio Naval-2008Duas tangentes a uma circunferência, de raio igual a dois centímetros, partem de ummesmo ponto P e são perpendiculares entre si. A área, em centímetros quadrados, dafigura limitada pelo conjunto de todos os pontos P do da figura limitada pelo conjunto detodos os pontos P do plano, que satisfazem as condições dadas, é um número entre(A) vinte e um e vinte e dois.(B) vinte e dois e vinte e três.(C) vinte e três e vinte e quatro.(D) vinte e quatro e vinte e cinco.(E) vinte e cinco e vinte e seis.Resolução: FIG. I FIG. II FIG. IIIObservando as figuras I e II, conclui-se que o conjunto de todos os pontos quesatisfazem as condições dadas formam uma circunferência cujo raio é a metade dadiagonal do quadrado de lado 4 cm (FIG. III). Assim, a área pedida é a de um círculo deraio 2 2 cm: ( ) 2 A=π⋅ 2 2 = 8 × πcm2 ∴ A ≅ 25,12 cm203- ALTERNATIVA B GTP Colégio Naval-2008Do vértice A traçam-se as alturas do paralelogramo ABCD. Sabendo-se que essas alturasdividem o ângulo interno do vértice A em três partes iguais, quanto mede o maior ângulointerno desse paralelogramo?(A) 1200 (B) 1350 (C) 1500 (D) 1650 (E) 1750Resolução: No quadrilátero AFCE: 3x + x + 90o + 90 o = 360o 4x = 180o x = 45o Então o maior ângulo interno será igual a 135o . 2
  3. 3. 04- ALTERNATIVA D GTP Colégio Naval-2008 2 3Qual é a soma dos quadrados das raízes da equação + =1 , com x real e x ≠ ±1? x-1 x+1(A) 16 (B) 20 (C) 23 (D) 25 (E) 30Resolução:Sejam x1 e x 2 , as raízes da equação.Resolvendo a equação, temos: 2 3 2 ( x+1 ) +3 ( x-1 ) ( x+1 )( x-1 ) + =1 ⇒ = ⇒x-1 x+1 ( x-1)( x+1) ( x-1 )( x+1 )⇒ 2 ( x+1 ) +3 ( x-1 ) = ( x+1 )( x-1 ) ⇒ 5x-1=x 2 -1 ⇒⇒ x2 -5x=0 ⇒ x=0 ou x=5Logo:x1 + x2 = 02 +52 = 0 + 25 = 25 2 205- ALTERNATIVA C GTP Colégio Naval-2008O gráfico de um trinômio do 2º grau y tem concavidade voltada para cima e intercepta oeixo das abscissas em dois pontos à direita da origem. O trinômio –y tem um valor(A) mínimo e raízes negativas.(B) mínimo e raízes positivas.(C) máximo e raízes positivas.(D) máximo e raízes negativas.(E) máximo e raízes de sinais opostos.Resolução:Esboçando o gráfico do trinômio do 2º grau y=ax2 +bx+c (a ≠ 0) , de acordo com osdados do problema, temos: y 0 x° 1 °x2 x valor ° ° mínimo 3
  4. 4. Agora, esboçando o gráfico do trinômio do 2º grau y= - y = - ax 2 - bx - c ( a ≠ 0 ) , também, deacordo com os dados do problema, temos: Y’ valor ° máximo x1 x2 ° ° xObserve que na função -y, muda-se apenas a concavidade da parábola (para baixo).Logo –y tem um valor máximo e raízes positivas.06- ALTERNATIVA C GTP Colégio Naval-2008O mínimo múltiplo comum e o máximo divisor comum entre os números naturais a, x e b,são respectivamente iguais a 1680 e 120. Sendo a < x < b , quantos são os valores de xque satisfazem essas condições?(A) Nenhum.(B) Apenas um.(C) Apenas dois.(D) Apenas três.(E) Apenas quatro.Resolução:MMC(a, x, b) = 1680 e MDC(a, x, b) = 120Decompondo em fatores primos: 1680=2 4 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 e 120 = 23 ⋅ 3 ⋅ 5M.M.C. é o produto dos fatores não comuns e comuns com o maior expoente e queM.D.C. é o produto dos fatores comuns com menor expoente. Possibilidade 1 Possibilidade 2 Possibilidade 3 Possibilidade 4 a= 23 ⋅ 3 ⋅ 5 23 ⋅ 3 ⋅ 5 X X x= 23 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 24 ⋅ 3 ⋅ 5 X X b= 24 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 23 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 X X 4
  5. 5. 07- ALTERNATIVA A GTP Colégio Naval-2008 4 y2 z2Sejam y e z números reais distintos não nulos tais que + + = 3 . Qual o valor de yz 2z 2yy+z?(A) –2 (B) –1 (C) 0 (D) 2 (E) 3Resolução:4 y2 z2 8+y 3 +z3 + +yz 2z 2y =3 ⇒ 2yz ( = 3 ⇒ ( y+z ) ⋅ y2 -yz+z2 =6yz-8 ⇒ )⇒ ( y + z ) ⋅ ⎡( y + z ) - 3yz ⎤ = -2 ⋅ ( 4 - 3yz ) 2 ⎢ ⎣ ⎥ ⎦por comparação, conclui-se que y + z = -208- ALTERNATIVA A GTP Colégio Naval-2008Analise as afirmações abaixo.I – Dois números consecutivos positivos são sempre primos entre si.II – Se o inteiro x é múltiplo do inteiro y e x é múltiplo do inteiro z, então x é múltiplo dointeiro yz.III- A igualdade (1/a ) + (1/b ) =2/ ( a+b ) é possível no campo dos reais.Assinale a opção correta.(A) Apenas a afirmativa I é verdadeira.(B) Apenas a afirmativa II é verdadeira.(C) Apenas a afirmativa III é verdadeira.(D) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.(E) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.Resolução:I – verdadeira, pois MDC(n, n+1) = 1II – falsa, pois esta afirmativa nem sempre se verifica. Tome, por exemplo: x = 30, y = 2e z = 10. 30 é múltiplo de 2 e 30 é múltiplo 10, mas 30 não é múltiplo 20. 1 1 2 b+a 2 ⇒ ( a + b ) = 2 ⋅ a ⋅ b ⇒ a2 + b2 = 0 2III - + = ⇒ = a b a +b a.b a +bPara que a2 + b2 = 0 é necessário que: a = 0 e b = 0, porém na expressão inicial, não seadmitem estes valores. (divisão por zero!), assim a afirmativa é falsa. 5
  6. 6. 09- ALTERNATIVA B GTP Colégio Naval-2008Um trinômio do 2º grau tem coeficientes inteiros, distintos e não nulos. Se o termoindependente for uma das suas raízes, a outra será o(A) inverso do coeficiente do termo do 1º grau.(B) inverso do coeficiente do termo do 2º grau.(C) simétrico inverso do coeficiente do termo do 1º grau.(D) simétrico inverso do coeficiente do termo do 2º grau.(E) simétrico inverso do coeficiente do termo do independente.Resolução:Seja o trinômio do 2º grau ax2 +bx+c , com coeficientes a, b e c inteiros, distintos e nãonulos e c o termo independente.Sendo c uma das raízes da equação ax2 +bx+c=0 , a outra raiz chamaremos de r.Sabemos que o produto das raízes é: c 1x1 .x 2 = c ⋅ r= ⇒ r= a aLogo, a outra raiz será o inverso do coeficiente do 2º grau.10- ALTERNATIVA C GTP Colégio Naval-2008Quantas vezes inteiras a raiz quadrada de 0,5 cabe na raiz cúbica de 10?(A) Uma. (B) Duas. (C) Três. (D) Quatro. (E) Cinco.Resolução: 63 10 102 6 100 = = = 6 800 6 0,5 ( 0,5 ) 0,125 6 36 729 < 6 800 < 6 4096 ⇒ 3 < 6 800 < 4Logo, a raiz cúbica de 0,5 cabe 3 vezes inteiras na raiz cúbica de 10.11- ALTERNATIVA E GTP Colégio Naval-2008O número a ≠ 0 tem inverso igual a b . Sabendo-se que a + b = 2 , qual é o valor de(a + b ) ⋅ (a - b ) ? 3 3 4 4(A) 8 (B) 6 (C) 4 (D) 2 (E) 0 6
  7. 7. Resolução: 1a+b=2 ( I ) e ainda b = ( II ) aSubstituíndo ( II ) em ( I ) ,temos : 1 a2 +1-2aa+ =2 ⇒ =0 ⇒ a2 -2a+1=0 ⇒ a=1 a a 1Logo b= =1 1Substituindo os valores na expressão a3 +b3 ⋅ a4 - b4 ( )( ), ( )(temos: a3 +b3 ⋅ a4 -b 4 ) = (1 +1 3 3 ) ⋅ (1 4 -14 ) = 2⋅0 = 012- ALTERNATIVA D GTP Colégio Naval-2008 (3 +2 2 ) 2008O valor de + 3 - 2 2 é um número (5 2 + 7 ) 1338(A) múltiplo de onze.(B) múltiplo de sete.(C) múltiplo de cinco.(D) múltiplo de três.(E) primo.Resolução: ( ) ( ) 2 3Fazendo 3 + 2 2 = 1+ 2 e 5 2+7= 1+ 2 , temos: 2008 ⎡ ( ) 2⎤(3 +2 2 ) 2008 ⎢ 1+ 2 ⎥ +3 -2 2 = ⎣ ⎦ +3-2 2 =(5 2 + 7 ) 1338 1338 ⎡ ( ) 3⎤ ⎢ 1+ 2 ⎥ ⎣ ⎦ (1 + 2 ) + 3 - 2 2 = 1 + 2 4016 ( ) 4016-4014= +3 -2 2 = ( 1+ 2) 4014= (1 + 2 ) + 3 - 2 2 = 3 +2 2 + 3 - 2 2 2 =6 3+2 2 7
  8. 8. 13- ALTERNATIVA C GTP Colégio Naval-2008De uma determinada quantidade entre 500 e 1000 DVDs, se fossem feitos lotes de 5DVDs sobram 2; se forem feitos lotes com 12 DVDs sobram 9 e se forem feitos lotes com14 DVDs sobram 11. Qual é a menor quantidade, acima de 5 DVDs por lote, de modo anão haver sobra?(A) 6 (B) 8 (C) 9 (D) 13 (E) 15Resolução: ⎧m.5 + 2 ⎧m.5 + 2 − 5 ⎧m.5 − 3 ⎧m.5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪N = ⎨m.12 + 9 ⇒ ⎨m.12 + 9 − 12 ⇒ ⎨m.12 − 3 ⇒ N + 3 = ⎨m.12 ⎪m.14 + 11 ⎪m.14 + 11 − 14 ⎪m.14 − 3 ⎪m.14 ⎩ ⎩ ⎩ ⎩Temos que N+3 é um múltiplo do mmc(5, 12, 14)= {420, 840, ...}Sendo 500< N <1000Então, N+3 = 840 ⇒ N=837Portanto a quantidade de DVDs é 837, e para não haver sobras, o lote deverá ser de 9.14- ALTERNATIVA E GTP Colégio Naval-2008Sabendo-se que 2x+3y=12 e que mx+4y=16 são equações sempre compatíveis, com xe y reais, quantos são os valores de m que satisfazem essas condições?(A) Um.(B) Dois.(C) Três.(D) Quatro.(E) Infinitos.Resolução:2 3 8 ≠ ⇒ 3m ≠ 8 ⇒ m ≠m 4 3 8portanto teremos infinitos valores de m. (basta ser diferente de ) 3 8
  9. 9. 15- ALTERNATIVA E GTP Colégio Naval-2008Num determinado jogo, o apostador recebe, toda vez que ganha, o valor apostadoinicialmente, mais 25% do mesmo; e recebe, toda vez que perde, apenas 25% do valorapostado inicialmente. Sabendo-se que foi feita uma aposta inicial de uma quantia x eque foram realizadas quatro jogadas, sempre sendo apostado o valor total obtido najogada anterior, das quais ganhou-se duas e perdeu-se duas, qual é, aproximadamente, opercentual de x obtido no final?(A) 3,7 (B) 4,7 (C) 5,7 (D) 6,7 (E) 9,8Resolução:No total, temos quatro jogadas; ganhou-se duas jogadas e perdeu-se duas (em qualquerordem).Portanto, temos uma das situações:Valor inicial x.Ganhou a 1ª jogada: 1,25x. 25Ganhou a 2ª jogada: 1,25.1,25x = x. 16 25 25Perdeu a 3ª jogada: 0,25. x= x. 16 64 25 25Perdeu a 4ª jogada: 0,25. x = x ≅ 0,098x=9,8%x 64 256Portanto, o percentual de x obtido no final, é 9,8.16- SEM SOLUÇÃO GTP Colégio Naval-2008Considere um triângulo acutângulo ABC, e um ponto P coplanar com ABC. Sabendo-seque P é eqüidistante das retas suportes de AB e de BC e que o ângulo BPC tem medidaigual a 250, pode-se afirmar que um dos ângulos de ABC mede(A) 250 (B) 450 (C) 500 (D) 650 (E) 850QUESTAÕ ANULADA17-ALTERNATIVA D GTP Colégio Naval-2008Seja ABC um triângulo retângulo com catetos AC = 12 e AB = 5 . A bissetriz internatraçada de C intercepta o lado AB em M. Sendo I o incentro de ABC, a razão entre asáreas de BMI e ABC é(A) 1/50 (B) 13/60 (C) 1/30 (D) 13/150 (E) 2/25 9
  10. 10. Resolução: Cálculo da área do ΔABC: 5 ×12 A ΔABC = = 30 2 Pelo Teorema de Pitágoras: 2 BC = 52 + 122 ⇒ BC = 13 Sabemos que A ΔABC = p ⋅ r , onde p é o semi-perímetro do triângulo e r o raio da circunferência inscrita no triângulo. Assim, 30 = 15 × r ⇒ r = 2 Como ΔAMC ∼ ΔQIC AM 12 12 = ⇒ AM = 2 10 5 podemos concluir que 12 13 MB = 5 - ⇒ MB = 5 5 Podemos agora calcular a área do ΔBMI: 13 ×2 MB × r 13 A ΔBMI = = 5 ⇒ A ΔBMI = 2 2 5 Portanto a razão pedida será: 13 A ΔBMI 13 = 5 = A ΔABC 30 15018-ALTERNATIVA C GTP Colégio Naval-2008Ao dividir-se a fração 3/5 pela fração 2/3 encontrou-se 2/5. Qual é, aproximadamente, opercentual do erro cometido?(A) 35,55% (B) 45,55% (C) 55,55% (D) 65,55% (E) 75,55%Resolução: 3 9 2 9-4 - 5 = 3 × 3 = 9 valor correto 10 5 5 2 5 2 10 ( ) Erro = 9 = 10 = ≅ 0, 5555 = 55, 55% 9 9 3 10 10 10
  11. 11. 19- ALTERNATIVA D GTP Colégio NavaL-2008 3A solução de 4x 2 -4x+1 = -1+6x-12x 2 +8x 3 no campo reais é(A) o conjunto vazio. (B) {1/2} (C) {-1/2, 1/2} (D) ⎡1/2,+∞ ⎡ ⎣ ⎣ (E) ⎤ -∞ ,+∞ ⎡ ⎦ ⎣RESOLUÇÃO: (2x-1) 2 = 3 (2x-1 ) 3 (I) (II)De (I) e (II), temos o sistema:⎧( I ) 2x-1 ≥ 0, pois é um radical de índice par.⎪⎨⎪( II ) x ∈ R, pois é um radical de índice ímpar.⎩Vem que:⎧ 1⎪( I ) x ≥⎨ 2⎪( II ) x ∈ R⎩Fazendo ( I ) ∩ ( II ) ,temos: 1x≥ 2 ⎡1 ⎡Logo: S= ⎢ ,+∞ ⎢ ⎣2 ⎣20-ALTERNATIVA B GTP Colégio Naval-2008Uma expressão constituída por números de dois algarismos é do tipo × − , noqual cada quadrinho deve ser ocupado por um algarismo, num total de seis algarismospara toda a expressão. Sabendo-se que os algarismos que preencherão os quadrinhos sãotodos distintos, o menor valor possível para essa expressão é(Observação: números do tipo 07 são considerados de um algarismo).(A) 123 (B) 132 (C) 213 (D) 231 (E) 312Resolução:O produto de dois números com 2 algarismos pode ser representada por: AB x CD = (10A + B ) × (10C + D ) = 100 × A × C + 10 × ( A × D + BC ) + B × D 1o termo 3o termo 2o termoNo 1o termo, A e C precisam ser os menores possíveis. Portando, A = 1 e C = 2.No 3o termo, D = 3 e B = 0 tornam este termo, o menor possível.O termo a ser subtraído terá que ser o maior possível, portanto 98 é o número procurado.Assim, a expressão será: 10 × 23 - 98 = 230 - 98 = 132 11

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