Conversion de angulos

DOCUMENTO DE TRABAJO 2009

TRIGONOMETRÍA

Prof. Juan Gutiérrez Céspedes


TRIGONOMETRÍA

ANGULO TRIGONOMÉTRICO

* ANGULO TRIGONOMETRICO
Es aquel que se genera por la rotación de un rayo desde una posición
inicial hasta otra posición final, siempre alrededor de un punto fijo
llamado vértice. En el gráfico podemos distinguir dos tipos de rotación:
:

Debemos aclarar que la medida de un ángulo trigonométrico no puede
ser limitada, ya que la rotación puede efectuarse indefinidamente en
cualquiera de los dos sentidos. Además para operar ángulos
trigonométricos, estos deben obedecer a un sentido común. Por ello
las siguientes consideraciones:

* SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR
Son las diferentes formas en que se pueden medir los ángulos;
destacando los siguientes; con sus respectivas sub-unidades:

Módulo de Estudios 1 2009


TRIGONOMETRÍA

Sistema Unidad ∠1 vuelta Sexagesimal Centesimal
g m
Sexagesimal 1° 360° 1° = 60' 1 = 100
g g m s
Centesimal 1 400 1' = 60'' 1 = 100
g s
Radial 1rad 2 πrad 1° = 3600'' 1 = 10000

A partir de estas definiciones, se pueden establecer :

1. 1 rad. > 1º > 1g 2. 180º < > 200g < > πrad
3. 9º < > 10g 4. aºb'c'' = aº+b'+c''
27' < > 50m xgymzs = xg + ym + zs
81"< > 250s

* CONVERSIÓN ENTRE SISTEMAS
Es el proceso mediante el cual la medida de un ángulo pasa de un
sistema a otro. Para ello se puede aplicar el método del factor de
conversión que consiste en lo siguiente:
• Convertir 40g → radianes Convertir π/3 rad → sexagesimal

* FORMULA GENERAL DE CONVERSIÓN
Es otro criterio para convertir de un sistema a otro. La fórmula general
de conversión es la relación entre los números que representan la
medida de un ángulo en los tres sistemas conocidos. Dado el ángulo
"α ", se cumple:

• Por ejemplo, si queremos convertir 30° → radianes:
tenemos: S = 30 y R = ??

2009 2 Módulo de Estudios



TRIGONOMETRÍA

Luego:

S R 30 R π
= ⇒ = ⇒R =
180 π 180 π 6

∴ 30° < > π rad
6
Pero el uso de la fórmula es mayor en otro tipo de problemas en los
cuales se requiere tener además, lo siguiente :

S C S C S 9
1. = ⇒ = ó =
180 200 9 10 C 10

S R R
2. = ⇒ S = 180
180 π π

C R R
3. = ⇒ C = 200
200 π π

* Una aplicación sería:
"Hallar la medida de un ángulo en radianes sabiendo que sus números
de grados sexagesimales y centesimales, suman 19" Aquí por ejemplo,
planteamos el problema así:

Si:
S
 # grados + # grados = 19
" α" C
R
⇒ sexag. centes.
S + C = 19


como piden "R", entonces:
180R 200R 380R π
+ = 19 ⇒ = 19 ⇒ R =
π π π 20

π
∴el ángulo mide rad
20



TRIGONOMETRÍA

PROBLEMAS
NIVEL 1
4. A qué es igual 320''
1. En el gráfico, señale lo que es
correcto respecto a " α " y " β ": a) 3º40' b) 3'40''
c) 3º20'' d) 5º 40'
e) 5'20''

5. A qué es igual: 1º 20'

a) 1500'' b) 3620''
c) 4000'' d) 4800''
e) 6000''

6. A qué es igual:
a) α + β =90º b) α - β = 90º 2°3'
E=
c) β - α = 90º d) α + β = 0º 3'

e) α + β = -90º a) 2 b) 1 2 c) 4 0
d) 4 1 e) 5 2
2. En el gráfico, señale lo que es correcto
respecto a los ángulos mostrados: 7. Convierta a radianes: 45º

π π π
a) rad b) rad c) rad
3 4 8

π π
d) rad e) rad
a) α + β = 90º b) α - β = 90º 2 9
c) β - α =90º d) α + β = 0º
8. Convierta a radianes: 36º
e) α + β = -90º
π π π
3. Exprese "x" en función de "α" y "β"; a a) rad b) rad c) rad
partir del gráfico mostrado: 2 3 4

π π
d) rad e) rad
5 6

9. Convierta a radianes: 60g

π 3π
a) rad b) rad
20 10

3π π
c) rad d) rad
a) 2π − α − β b) 2π − α + β 20 5
c) 2π + α − β d) β − α − 2π π
e) rad
e) β + α − 2π 4




TRIGONOMETRÍA
10. Convierta a centesimales: 72º
6. La suma y diferencia de dos ángulos
a) 70g b) 80g c) 90g son 1° y 1g. ¿Cuánto mide el menor?
d) 60g e) 72g
a) 1' b) 2' c) 3'
NIVEL II d) 4' e) 5'

1. Convierta al sistema sexagesimal : 7. En un triángulo sus ángulos miden:
π
" rad " 160x g πx
7 14x°; y rad .
9 3

a) 25º 42' 51'' b) 6º 37' 30'' ¿Cuál es el valor de "x"?
c) 5º 37' 20'' d) 5º 32' 30''
e) N.A a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
2. Convierta al sistema centesimal:
8. Señale la medida de un ángulo en
π radianes sabiendo que la diferencia
" rad "
125 de sus números de grados
centesimales y sexagesimales es 5.
a) 1g 30 m b) 1g 50 m
c) 1g 60 m d) 1g 40 m π π π
a) rad b) c)
e) 1g 70 m 2 3 4
π π
3. Convierta al sistema centesimal: d) e)
5 6
π
" rad"
125 9. Sabiendo que el doble del número de
grados sexagesimales que contiene
a) 1g 30 m b) 1g 50 m un ángulo disminuido en su número
de grados centesimales es igual a 8.
c) 1g 60 m d) 1g 40 m
¿Cuánto mide el ángulo en radianes?
e) 1g 70 m

π π π
π a) rad b) c)
4. Si: rad <> a° bc' 4 5 10
48
π π
Calcular: E = (b + c)a-1 d) e)
20 40
a) 1 b) 2 c) 3
10. Sabiendo que: (S + C)π = 4nR donde
1 1 "S", "C" y "R" son lo conocido para un
d) e)
3 2 mismo ángulo. ¿Cuánto vale "n"?

5. La suma de dos ángulos es 40° y su a) 85 b) 78 c) 95
d) 98 e) 100
diferencia es 30 g . ¿Cuánto mide el
mayor?
NIVEL III
a) 27° b) 28°
1. Halle la medida circular de un ángulo
c) 27°50' d) 28°30'
que cumple:
e) 18°30'



TRIGONOMETRÍA

S C R
+ + =6 4. La diferencia de medidas de dos
180 200 π ángulos consecutivos de un
siendo: "S", "C" y "R" lo conocido paralelogramo es 30°. ¿Cuánto mide
el ángulo mayor en radianes?
a) πrad b) 2π c) 3π
d) 4π e) 5π
5π 7π 2π
a) rad b) c)
2. La diferencia de las recíprocas que 12 12 3
representan la medida sexagesimal y
4π 5π
centesimal de un ángulo, es igual a su d) e)
número de radianes entre 2π. ¿Cuánto 3 6
mide el ángulo en el sistema
sexagesimal? 5. Siendo "S" y "C" lo conocido para un
mismo ángulo, tales que:
a) 6° b) 8° c) 10° S 1 C 1
d) 12° e) 15° = x + ; = 2x −
9 x 10 x
3. Se tiene un ángulo que al medirlo en calcular la medida radial del ángulo.
grados sexagesimales dicho número
excede a 7 veces su número de
π 2 π 2 π 2
a) rad b) c)
22 40 15 5
radianes en 79. Si: π= , halle la
7
medida sexagesimal del ángulo. π 2
d) e) N.A.
20
a) 75° b) 90° c) 60°
d) 120° e) 45°



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