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SUMÁRIO – TERCEIRO VOLUMECAPÍTULO 00: ALGUMAS PALAVRAS A RESPEITO DO QUE CONVÉM SERENSINADO .................................
CAPÍTULO 04: REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE.SIMETRIAS ........................................................................
CAPÍTULO 08:FUNÇÕES CIRCULARES INVERSAS.FUNÇÃO ARCO-SENO ....................................................................
Outra solução:                                          B              sen α = 0,6                                        ...
CICLO TRIGONOMÉTRICO:       Seja uma circunferência de raio igual a 1 (uma unidade de comprimento), associada a umsistema ...
OBS.: A curva que representa a função y = tg x no plano cartesiano recebe o nome detangentóide. As retas verticais que pas...
1 + cot g 2 x6) EEAR – 2/2004 – turma A – A expressão                                 é idêntica à (ao):                  ...
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                  π             5π              S =  x ∈ R | x = 2kπ + ou x = 2kπ +    ,k∈Z          ou ainda, resumin...
DICA: A igualdade y = arc cotg x é equivalente a cotg y = x.OBS.: Não faz sentido, por exemplo, a afirmação arc cotg 1 = k...
QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES – ESCOLA NAVAL:1) E.N. – 1988 – Considere o problema de determinar o triângulo ABC, conhec...
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  1. 1. Esta é só uma amostra do livro do Prof César Ribeiro.Para adquirir este (e outros livros do autor) vá ao site: http://www.escolademestres.com/dicasemacetes Conheça também nosso Blog: http://blog.escolademestres.comonde há uma página com dicas do Prof. César Ribeiro.
  2. 2. SUMÁRIO – TERCEIRO VOLUMECAPÍTULO 00: ALGUMAS PALAVRAS A RESPEITO DO QUE CONVÉM SERENSINADO ................................................................................................................................ 013CAPÍTULO 01: AS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO.RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ............................................ 018TRIÂNGULOS RETÂNGULOS NOTÁVEIS ................................................................................ 020EXERCÍCIOS PROPOSTOS ....................................................................................................... 026QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES .............................................................................. 028RESPOSTAS ................................................................................................................................ 035TABELA DE SENOS, COSSENOS E TANGENTES DE 0º ATÉ 90º ........................................... 036CAPÍTULO 02: O CICLO TRIGONOMÉTRICO.MEDIDA ANGULAR DE UM ARCO E COMPRIMENTO DE UM ARCO ................................ 037CICLO TRIGONOMÉTRICO ...................................................................................................... 041ARCOS CÔNGRUOS ................................................................................................................... 043ÂNGULO FORMADO PELOS PONTEIROS DE UM RELÓGIO .............................................. 046EXERCÍCIOS PROPOSTOS ....................................................................................................... 047QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES .............................................................................. 048RESPOSTAS ................................................................................................................................ 050CAPÍTULO 03: FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS.INTRODUÇÃO ............................................................................................................................ 051ALGUMAS NOTAÇÕES IMPORTANTES .................................................................................. 051RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO CICLO TRIGONOMÉTRICO ........................................... 052FUNÇÃO PERIÓDICA ............................................................................................................... 060FUNÇÃO y = sen x ...................................................................................................................... 060DILATAÇÃO, TRANSLAÇÃO E SIMETRIA NO GRÁFICO DE y = sen x ................................. 061FUNÇÃO y = cos x ...................................................................................................................... 065DILATAÇÃO, TRANSLAÇÃO E SIMETRIA NO GRÁFICO DE y = cos x ................................. 066FUNÇÃO y = tg x ........................................................................................................................ 071DILATAÇÃO, TRANSLAÇÃO E SIMETRIA NO GRÁFICO DE y = tg x ................................... 072FUNÇÃO y = cotg x .................................................................................................................... 077DILATAÇÃO, TRANSLAÇÃO E SIMETRIA NO GRÁFICO DE y = cotg x ............................... 077FUNÇÃO y = sec x ...................................................................................................................... 081DILATAÇÃO, TRANSLAÇÃO E SIMETRIA NO GRÁFICO DE y = sec x ................................. 081FUNÇÃO y = cossec x ................................................................................................................. 083DILATAÇÃO, TRANSLAÇÃO E SIMETRIA NO GRÁFICO DE y = cossec x ............................ 083RELAÇÕES ENTRE AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS – IDENTIDADES ....................... 085EXERCÍCIOS PROPOSTOS ....................................................................................................... 087QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES .............................................................................. 092RESPOSTAS ................................................................................................................................ 099
  3. 3. CAPÍTULO 04: REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE.SIMETRIAS .................................................................................................................................. 100REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE ................................................................................ 100  π ARCOS DA FORMA  n. ± x  ................................................................................................... 104  2 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ....................................................................................................... 109QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES .............................................................................. 110RESPOSTAS ................................................................................................................................ 114CAPÍTULO 05:TRANSFORMAÇÕES.ADIÇÃO DE ARCOS ................................................................................................................... 116SOMA DE VÁRIOS ARCOS ........................................................................................................ 117SUBTRAÇÃO DE ARCOS ........................................................................................................... 119DUPLICAÇÃO DE ARCOS ......................................................................................................... 120SOMA DE SENOS OU DE COSSENOS DE ARCOS EM P.A. ................................................... 123TRIPLICAÇÃO DE ARCOS ........................................................................................................ 123FÓRMULAS DE SIMPSON ......................................................................................................... 124CÁLCULO DO SENO E DO COSSENO DO ARCO nα ............................................................. 124BISSECÇÃO DE ARCOS ............................................................................................................. 124SENO, COSSENO E TANGENTE EM FUNÇÃO DA TANGENTE DO ARCO METADE ......... 127FÓRMULAS DE PROSTAFÉRESE (TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO) ............................. 127EXERCÍCIOS PROPOSTOS ....................................................................................................... 132QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES .............................................................................. 136RESPOSTAS ................................................................................................................................ 143CAPÍTULO 06:EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS.EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS – INTRODUÇÃO .............................................................. 144EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ELEMENTARES ............................................................... 144EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NÃO ELEMENTARES ...................................................... 157EQUAÇÕES SOLUCIONÁVEIS POR OUTROS ARTIFÍCIOS .................................................. 166SISTEMAS DE EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS .................................................................. 181EXERCÍCIOS PROPOSTOS ....................................................................................................... 183QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES .............................................................................. 188RESPOSTAS ................................................................................................................................ 195CAPÍTULO 07:INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS.RESOLUÇÃO DAS INEQUAÇÕES ............................................................................................ 197EXERCÍCIOS PROPOSTOS ....................................................................................................... 206QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES .............................................................................. 208RESPOSTAS ................................................................................................................................ 210
  4. 4. CAPÍTULO 08:FUNÇÕES CIRCULARES INVERSAS.FUNÇÃO ARCO-SENO ............................................................................................................... 211FUNÇÃO ARCO-COSSENO ....................................................................................................... 211FUNÇÃO ARCO-TANGENTE ..................................................................................................... 212FUNÇÃO ARCO-COTANGENTE ............................................................................................... 212FUNÇÃO ARCO-SECANTE ........................................................................................................ 213FUNÇÃO ARCO-COSSECANTE ................................................................................................ 213SOMAS DE FUNÇÕES CIRCULARES INVERSAS .................................................................... 215ALGUMAS EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES COM FUNÇÕES CIRCULARES INVERSAS ........ 216EXERCÍCIOS PROPOSTOS ....................................................................................................... 217QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES .............................................................................. 219RESPOSTAS ................................................................................................................................ 222CAPÍTULO 09:RESOLUÇÃO DOS TRIÂNGULOS.LEI DOS COSSENOS .................................................................................................................. 223LEI DOS SENOS OU TEOREMA DE LAMY .............................................................................. 224ÁREA DE UM TRIÂNGULO ....................................................................................................... 226LEI DAS TANGENTES OU TEOREMA DE NEPPER ................................................................ 227FÓRMULAS DE BRIGGS ........................................................................................................... 227TEOREMA DAS PROJEÇÕES OU DE CARNOT ...................................................................... 227EXERCÍCIOS PROPOSTOS ....................................................................................................... 228QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES .............................................................................. 230RESPOSTAS ................................................................................................................................ 236APÊNDICEFORMULÁRIO-RESUMO DO TERCEIRO VOLUME ............................................................... 241
  5. 5. Outra solução: B sen α = 0,6 cos α = 0,8 α x tg α = 0,75 α 2α x2 + y2 = 2500 (I) D 50 C A x 3 150 + 3 y Pela tg α, temos: = ⇒x= (II) 50 + y y 4 Substituindo (II) em (I), encontramos: 2 150 + 3 y  22500 + 900 y + 9 y 2  + y = 2500 ⇒ + y 2 = 2500 . 2 4  16 Ou ainda: 25 y 2 + 900 y − 17500 = 0 ⇒ y 2 + 36 y − 700 = 0 , cujas soluções são y1 = 14 e y2 = –50 (não serve). Para y = 14, encontramos x = 48.RESPOSTA: alternativa c.EXERCÍCIO RESOLVIDO: (UFGO) No triângulo abaixo, os valores de x e y, nesta ordem, são:a) 2 e 3.b) 3 – 1 e 2. x 2 3 6− 2c) e . y 135º 15º 3 3 6− 2 2 3d) e . 2 3 3e) 2 e 3 – 1.RESOLUÇÃO: O melhor truque a ser utilizado na resolução dessa questão é “completar” o triânguloretângulo conforme a figura abaixo, em que o ângulo A é reto: B x y 135º 15º C 2 D A 25
  6. 6. CICLO TRIGONOMÉTRICO: Seja uma circunferência de raio igual a 1 (uma unidade de comprimento), associada a umsistema de coordenadas ortogonais com origem em seu centro. Convencionemos como sentidopositivo de percurso dessa circunferência o sentido anti-horário (contrário ao movimento dosponteiros do relógio) e, em contrapartida, o sentido negativo será o oposto (a favor do movimentodos ponteiros do relógio). A intersecção do semi-eixo positivo das abscissas do sistema decoordenadas com a circunferência (ponto A na figura abaixo) será a origem dos arcos, isto é, oponto a partir do qual marcaremos os arcos que serão considerados sobre a circunferência. A esseconjunto chamamos de ciclo trigonométrico ou círculo trigonométrico ou circunferênciatrigonométrica. Os arcos com os quais trabalharemos, marcados sobre o ciclo, serão denominados arcostrigonométricos e esses, ao contrário do que ocorre na Geometria Plana, poderão ter medidasmaiores do que 360º (bastando para isso que se percorra todo o ciclo mais de uma vez no sentidopositivo) ou menores do que 0º (bastando para isso que se percorra o ciclo, a partir da origem dosarcos, no sentido negativo). Sempre que, para chegarmos à extremidade de um arco, precisarmos, a partir da origem dosarcos, percorrer o ciclo no sentido positivo, esse arco terá medida positiva; em caso contrário, terámedida negativa. Na figura, temos: B(0, 1) Γ O(0, 0) – origem do sist. cartesiano. A – origem dos arcos. F+ F – extremidade do arco AF (α > 0). E – extremidade do arco AE (γ < 0). α C(–1, 0) O(0, 0) γ A(1, 0) – E D(0, –1) Existe uma correspondência entre os pontos da reta real e os pontos do ciclo. A cadanúmero real corresponde um único ponto do ciclo que é sua imagem. O ponto O do eixo real temcomo correspondente o ponto A do ciclo. O sentido positivo de percurso do eixo real correspondeao sentido positivo de percurso do ciclo (sentido anti-horário) enquanto que o sentido negativo depercurso do eixo real corresponde ao sentido negativo de percurso do ciclo (sentido horário). Dessa maneira, chamando o ciclo trigonométrico de Γ, e fixando uma origem A nesse ciclo,criamos uma função F : R → Γ, de forma que, para determinarmos a imagem de um número real xqualquer, devemos: • A partir da origem A, percorrer Γ no sentido positivo, se x > 0; ou • A partir da origem A, percorrer Γ no sentido negativo, se x < 0. 41
  7. 7. OBS.: A curva que representa a função y = tg x no plano cartesiano recebe o nome detangentóide. As retas verticais que passam pelos pontos x = kπ + π 2 , k ∈ Z são as chamadasassíntotas.DILATAÇÃO, TRANSLAÇÃO E SIMETRIA NO GRÁFICO DE y = tg x: π Para funções do tipo y = a + b . tg (mx + n), temos período p = e temos imagem igual a mR. Na verdade, cada um dos números reais a, b e m provoca uma deformação no gráfico de y = tgx. Veja gráficos comparativos no intervalo [0, 2π] abaixo: xA) f(x) = tg x e g ( x) = tg   . 2 período de f = π rad período de g = 2π rad O π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π x f(x) = tg x g ( x) = tg   2 Houve uma dilatação horizontal no gráfico de y = tg x, porque 0 < m < 1; se tivéssemos m >1, haveria uma compressão horizontal. 72
  8. 8. 1 + cot g 2 x6) EEAR – 2/2004 – turma A – A expressão é idêntica à (ao): 1 + tg 2 xa) tg2 x. b) sen2 x. c) cotg2 x. d) cos2 x.7) EEAR – 2/2005 – Existirá x ∈ R que satisfaça a igualdade sen x = 2k – 5 se, esomente se:a) 1 < k ≤ 3. b) 1 < k < 4. c) 2 ≤ k < 4. d) 2 ≤ k ≤ 3.8) EEAR – 2/2006 – turma B – O quadrante em que as funções seno, cosseno etangente são, simultaneamente, crescentes é o:a) 1º. b) 2º. c) 3º. d) 4º.QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES – EPCAR:1) EPCAR – 1998 – Sejam f e g duas funções trigonométricas definidas no conjuntodos números reais por f(x) = 4 cos 2x e g(x) = 2 cos (x/4). Se PF é o período de f e PGé o período de g, pode-se afirmar que:a) PG = PF. b) PG = (1/2)PF. c) PG = 8PF. d) PG = 4PF.2) EPCAR – 1998 – Examine o gráfico abaixo e assinale a função correspondente:a) y = cos 2x. yb) y = 2 cos x.c) y = 2 sen x. 1d) y = sen 2x. π/2 3π/2 O π 2π x3) EPCAR – 2002 – Se A = log (1 + cotg2 x) + log (1 + cos x) + log (1 – cos x), sendo 0 <x < π/2, então A é igual a:a) log (1/10). b) log (1/2). c) log 1. d) log 10.4) EPCAR – 2002 – No sistema cartesiano abaixo, estão sobrepostos os gráficos detrês funções y1 = k1.cotg x, y2 = k2.cotg x e y3 = k3.cotg x. Tem-se, necessariamente,que: ya) k1 < k2. < k3.b) k1 = k2. = k3.c) k3 < k2. < k1.d) k2 < k3. < k1. O π/2 π 93
  9. 9. 2x 2 5 • cos α = = . x 5 5 z 2x Pelo teorema das bissetrizes no triângulo ABC, ficamos com = ⇒ z = 2y. y x x+ y Pelo triângulo ABC, podemos concluir que sen 2α = . Substituindo z por 2y e z x+ ydesenvolvendo a expressão do arco duplo, ficamos com 2 . sen α . cos α = . Substituindo os 2y 5 2 5 x+ y 8yvalores do seno e do cosseno, ficamos com: 2 . . = ⇒ = x + y ⇒ 5x = 3y 5 5 2y 5 5 5⇒y= x = AD . 3 3RESPOSTA: alternativa b.EXERCÍCIO RESOLVIDO: Provar que sen 10º . sen 50º . sen 70º = 1/8.RESOLUÇÃO: Façamos x = sen 10º . sen 50º . sen 70º. No momento em que provarmos que o valor de x éigual a 1/8, estaremos provando a igualdade da questão. Multiplicando ambos os membros por 2 cos 10º, ficamos com:2 cos 10º . x = 2 sen 10º . cos 10º . sen 50º . sen 70º = sen 20º . sen 50º . sen 70º. Substituindo sen 70º por cos 20º e novamente multiplicando por 2 ambos os membros,caímos em: 2 . 2 cos 10º . x = 2 . sen 20º . cos 20º . sen 50º = sen 40º . sen 50º, ou seja:4 cos 10º . x = sen 40º . sen 50º. Substituindo sen 50º por cos 40º e, mais uma vez, multiplicando ambos os membros por 2,chegamos a: 2 . 4 cos 10º . x = 2 . sen 40º . cos 40º ⇒ 8 cos 10º . x = sen 80º. Finalmente, substituindo sen 80º por cos 10º, cancelando cos 10º em ambos os membros e 1isolando x, chegamos a: 8 cos 10º.x = cos 10º ⇒ 8 x = 1 ⇒ x = , c.q.d. 8RESPOSTA: Veja desenvolvimento.EXERCÍCIO RESOLVIDO: (MACK) Se y = 3 + sen x cos x, 0 ≤ x ≤ π/2, então o maior valor quey pode assumir é:a) 3. b) 13/4. c) 10/3. d) 7/2. e) 4.RESOLUÇÃO: Multiplicando ambos os membros da lei de associação da função por 2 e isolando y, vem: 6 + sen 2 x 12 y = 6 + 2 sen x cos x ⇒ y = = 3 + . sen 2 x . 2 2 O maior valor de sen 2x implicará o maior valor de y. Sabemos que o seno de um arcovaria de –1 até 1, isto é, o maior valor que sen 2x pode assumir é igual a 1. Então, o maior valor 1 7que y pode assumir é igual a 3 + .1 = . 2 2RESPOSTA: alternativa d. 122
  10. 10.  π 5π S =  x ∈ R | x = 2kπ + ou x = 2kπ + ,k∈Z  ou ainda, resumindo em uma única forma,  6 6   π podemos dizer que S =  x ∈ R | x = kπ + (− 1) k , k ∈ Z  , conforme alternativa “c” da  6 questão.RESPOSTA: alternativa c.SISTEMAS DE EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: Neste item, veremos alguns sistemas de equações trigonométricas resolvidos.EXERCÍCIO RESOLVIDO: (UFSCAR) O conjunto das soluções em r e θ do sistema de equaçõesr sen θ = 3 , para r > 0 e 0 ≤ θ < 2π é:r cos θ = 1a) {2, π/6}. b) {1, π/3}. c) {2, 1}. d) {1, 0}. e) {2, π/3}.RESOLUÇÃO: r 2 sen 2 θ = 3 Quadrando as duas equações do sistema, caímos em  2 . Somando as duas r cos θ = 1 2equações, ficamos com r2 sen2 θ + r2 cos2 θ = 4 ⇒ r2 (sen2 θ + cos2 θ) = 4 ⇒ r2 = 4 ⇒ r = 2 (r >0). Sendo r > 0, então, da primeira equação, deduzimos também que sen θ > 0. Substituindo o valor de r = 2 na segunda equação, vem: cos θ = 1/2 ⇒ θ = 60º (π/3 rad) ouθ = 300º (5π/3 rad), que não serve, porque o número sen 300º ficaria negativo (não satisfaria àprimeira equação do sistema). O par ordenado (r, θ) que é solução do sistema é, portanto, (2, π/3).RESPOSTA: alternativa e. x + y = πEXERCÍCIO RESOLVIDO: (ITA) Para que valores de t o sistema  sen x + sen y = log 10 t 2admite solução?a) 0 < t < 10. b) 0 < t < 10π. c) 0 < t < 102. d) 0,1 < t ≤ 10. e) NRA.RESOLUÇÃO: Da primeira equação, tiramos x = π – y, então, sen x = sen (π – y) = sen y. Substituindo esse valor na segunda equação, vem: sen y + sen y = log t2 ⇒ 2 sen y = 2log t ⇒ sen y = log t. Como o valor do seno de um número real varia entre –1 e 1, vem: –1≤ log t ≤ 1 ⇒ 10–1≤t ≤ 101 ⇒ 0,1 < t ≤ 10.RESPOSTA: alternativa d.  π x + y =EXERCÍCIO RESOLVIDO: Resolver o sistema  2 no intervalo de 0 a 2π sen x + cos y = 1 radianos.RESOLUÇÃO: Observe que os arcos x e y são complementares, isto é, a função trigonométrica de um éigual à “co-função” do outro e vice-versa. 181
  11. 11. DICA: A igualdade y = arc cotg x é equivalente a cotg y = x.OBS.: Não faz sentido, por exemplo, a afirmação arc cotg 1 = kπ + π 4 , pois a função f(x) =arc cotg x tem contradomínio ]0, π[, isto é, o arco não pode assumir infinitos valores, mas apenasaqueles compreendidos entre 0 e π.FUNÇÃO ARCO-SECANTE: ] ] ] ] É a função f : ]–∞, –1] ∪ [1, +∞[ → − π ,− π 2 ∪ 0, π 2 , definida por f(x) = arc sec x (lê-se:“f(x)” é igual ao arco cuja secante é “x”). O gráfico da função arco-secante é: y π 2 –1 O 1 x −π 2 –πDICA: A igualdade y = arc sec x é equivalente a sec y = x.OBS.: Não faz sentido, por exemplo, a afirmação arc sec 2 = kπ + π , pois a função f(x) = 4 ] ] ]arc sec x tem contradomínio − π ,− π 2 ∪ 0, π 2 ] , isto é, o arco não pode assumir infinitos valores,mas apenas aqueles compreendidos nesses intervalos de números reais.FUNÇÃO ARCO-COSSECANTE: ] ] ] ] É a função f : ]–∞, –1] ∪ [1, +∞[ → − π ,− π ∪ 0, π , definida por f(x) = arc cossec x 2 2(lê-se: “f(x)” é igual ao arco cuja cossecante é “x”). O gráfico da função arco-cossecante é: 213
  12. 12. QUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES – ESCOLA NAVAL:1) E.N. – 1988 – Considere o problema de determinar o triângulo ABC, conhecidos C =60º, AB = x e BC = 6. Podemos afirmar que o problema:a) sempre admite solução, se x > 0.b) admite duas soluções, se x > 3.c) admite solução única, se x = 3.d) admite duas soluções, se 3 3 < x < 6.e) não admite solução, se x > 6.2) E.N. – 2003 – Considere a figura abaixo: B α β A D C d1 d2 A área do triângulo BDC é: d1 + d 2a) . cot gα − cot gβ d1 .d 2b) . 2(cot gα + cot gβ ) d1 + d 2c) . 2(cot gα − cot gβ ) d1.d 2d) . 2 cot gα − cot gβ d1.d 2e) . 2(cot gα − cot gβ )RESPOSTAS:QUESTÕES DE VESTIBULARES:1) d 2) d 3) e 4) e 5) d 6) a 7) c 8) d 9) c 10) d 11) bQUESTÕES DE CONCURSOS MILITARES:CFT: 1) b.EEAR: 1) b 2) d 3) c 4) c 5) a 6) a 7) c.EPCAR: 1) a.ESPCEX: 1) c. 236

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