matematica

1. Elaborado
por
@gbaqueri
Página
1
de
6
ESCUELA
SUPERIOR
POLITÉCNICA
DEL
LITORAL
FACULTAD
DE
CIENCIAS
NATURALES
Y
MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO
DE
MATEMÁTICAS
CURSO
DE
NIVELACIÓN
2014
(1S)
LECCIÓN
3
–
FRANJA
1
GUAYAQUIL,
MAYO
19
DE
2014
S
O
L
U
C
I
Ó
N
y
R
Ú
B
R
I
C
A
TEMA
1
(40
puntos)
Sobre
EXPRESIONES
ALGEBRAICAS:
a) (30
puntos)
Determine
el
dominio
de
la
variable
y
simplifique
al
máximo.
i)
x xy3
z−33
y z( )
3
ii)
1
a2
+3a + 2
+
1
a2
+ 5a + 6
−
1
a2
+ 4a +3
"
#
$
%
&
'÷
1
a +3
"
#
$
%
&
'
b)
(10
puntos)
Racionalice:
2
2 + 23
Solución:
a)
i)
x xy3
z−33
y z( )
3
=
x x
1
2
y3
z−3
( )
y
1
2
z
1
2
( )
3
1
3
3
1
2
3
2
1
332
1
1
zy
zyx ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
−
+
3
1
2
3
2
1
332
3
zy
zyx ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
=
−
2
3
2
1
12
1
zy
zyx −
=
= x
1
2
y
1 −
1
2
z
−1−
3
2
= x
1
2
y
1
2
z
−5
2
= x y z−5
( )
1
2
2
1
5 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
z
yx
Las
variables
x,
y,
z
están
contenidas
en
raíces
cuadradas.
Por
lo
tanto,
debe
cumplirse
que:
x ∈ !+
, y ∈ !+
,z ∈ !+
.
ii)
1
a2
+3a + 2
+
1
a2
+ 5a + 6
−
1
a2
+ 4a +3
"
#
$
%
&
'÷
1
a +3
"
#
$
%
&
'
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )3
31
1
32
1
21
1
+⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++
−
++
+
++
= a
aaaaaa

2. Elaborado
por
@gbaqueri
Página
2
de
6
=
a+3( )+ a+1( )− a+ 2( )
a+1( ) a+ 2( ) a+3( )
⋅ a+3( ) =
a+3+ a+1− a − 2
a+1( ) a+ 2( ) ( )( )21
2
++
+
=
aa
a
1
1
+
=
a
Se
puede
observer
que
existen
factores
lineales
en
los
denominadores.
Para
que
estos
no
sean
ceros,
debe
cumplirse
que:
a ∈ ! − −3,−2,−1{ }.
b)
2
2 + 23
=
2
2 + 23
⋅
2( )
5
− 2( )
4
23
( )+ 2( )
3
23
( )
2
− 2( )
2
23
( )
3
+ 2( ) 23
( )
4
− 23
( )
5
2( )
5
− 2( )
4
23
( )+ 2( )
3
23
( )
2
− 2( )
2
23
( )
3
+ 2( ) 23
( )
4
− 23
( )
5
=
2 4 2 − 4 23
+ 2 2 23
( )
2
− 2( ) 2( )+ 2 2 23
− 2 23
( )
2"
#$
%
&'
2( )
6
+ 23
( )
6
=
2 4 2 − 4 23
+ 2 2 23
( )
2
− 4+ 2 2 23
− 2 23
( )
2"
#$
%
&'
23
+ 22
=
2( ) 2( ) 2 2 − 2 23
+ 2 23
( )
2
− 2 + 2 23
− 23
( )
2"
#$
%
&'
12
=
1
3
2 2 − 2 23
+ 2 23
( )
2
− 2 + 2 23
− 23
( )
2"
#$
%
&'
Rúbrica:
a) i)
Transforma
los
radicales
en
exponentes
fraccionarios.
Aplica
la
propiedad
del
producto
de
potencias
de
la
misma
base
y
la
propiedad
del
cociente
de
potencias
de
la
misma
base.
Aplica
la
propiedad
de
potencia
elevada
a
otra
potencia.
Simplifica
al
máximo
la
expresión
algebraica.
Determina
el
dominio
de
las
variables.
2
puntos
2
puntos
2
puntos
2
puntos
2
puntos
ii)
Factoriza
cada
denominador
de
la
forma
x
2
+
bx
+
c.
Obtiene
el
denominador
común
y
realiza
la
suma
algebraica
de
las
expresiones
planteadas.
Simplifica
al
máximo
la
expresión
algebraica.
Determina
el
dominio
de
la
variable.
3
puntos
3
puntos
2
puntos
2
puntos
b) Identifica
que
debe
obtener
el
mínimo
común
múltiplo
entre
2
y
3
para
poder
aplicar
el
producto
notable
y
multiplica
por
el
factor
apropiado
para
poder
racionalizar.
Simplifica
al
máximo
la
expresión.
5
puntos
5
puntos

3. Elaborado
por
@gbaqueri
Página
3
de
6
TEMA
2
(15
puntos)
50
hombres
tienen
provisiones
para
20
días
consumiendo
3
raciones
diarias.
Si
las
raciones
se
disminuyen
en
1/3
y
se
aumentan
10
hombres,
¿cuántos
días
durarán
los
víveres?
Solución:
Como
se
indica
que
las
raciones
se
disminuyen
en
1/3,
quiere
decir
que
ahora
se
tendrán
2/3
de
las
raciones
originales,
esto
es,
2
raciones
diarias.
Se
trata
de
una
regla
de
tres
compuesta:
• Si
el
tiempo
(en
días)
de
duración
de
las
provisiones
aumenta,
quiere
decir
que
el
número
de
hombres
debería
disminuir.
O,
cuando
el
número
de
hombres
aumenta,
la
duración
de
las
provisiones
disminuye.
Se
tiene
una
relación
inversa
entre
estas
2
cantidades.
• Si
el
tiempo
(en
días)
de
duración
de
las
provisiones
aumenta,
las
raciones
diarias
deberían
disminuir.
O,
habrán
más
raciones,
si
se
tuvieran
menos
días
de
consumo.
Se
tiene
una
relación
inversa
entres
estas
2
cantidades.
HOMBRES
DURACIÓN
(días)
RACIONES
50
20
3
60
x
2
x
20
=
50
60
⋅
3
2
x =
5
6
⋅
3
2
⋅ 20
x = 25
Considerando
las
nuevas
condiciones
(disminución
de
raciones
y
aumento
de
hombres),
los
víveres
durarán
25
días.
Rúbrica:
Identifica
que
la
reducción
en
1/3
de
las
raciones
generará
2
raciones
diarias.
Deduce
que
la
relación
entre
duración
y
hombres
es
inversa.
Deduce
que
la
relación
entre
duración
y
raciones
es
inversa.
Relaciona
las
cantidades
del
problema
y
despeja
la
variable.
Interpreta
el
resultado
obtenido.
2
puntos
3
puntos
3
puntos
6
puntos
1
punto
TEMA
3
(20
puntos)
Justificando
su
respuesta
en
cada
caso,
determine
el
valor
de
verdad
de
las
siguientes
proposiciones:
a) ∀a,b ∈ !, a > b( )→ a2
> b2
( )$
%
&
'
b) ∀a,b ∈ !, a −b = a − b$
%
&
'
c) ∀a,b ∈ !, a +b ≥ a + b$
%
&
'
d) ∃x ∈ !, x2
+1 < 0#
$
%
&
Relación
Inversa
Relación
Inversa

4. Elaborado
por
@gbaqueri
Página
4
de
6
Solución:
a)
a > b
a2
> b2
22
ba >
∴
La
proposición
es
VERDADERA.
b) Se
proporciona
uno
de
los
posibles
contraejemplos,
con
a
=
1
y
b
=
–1.
( ) 1111 −−≠−−
1+1 ≠ 1−1
02 ≠
02 ≠
∴
La
proposición
es
FALSA.
c) Se
proporciona
uno
de
los
posibles
contraejemplos,
con
a
=1
y
b
=
–1.
1+ −1( ) < 1 + −1
1−1 < 1+1
0 < 2
20 <
∴
La
proposición
es
FALSA.
d) Por
definición,
el
valor
absoluto
aplicado
a
un
número
real
da
por
resultado
un
valor
no
negativo.
∴
La
proposición
es
FALSA.
Rúbrica:
a) Realiza
las
operaciones
adecuadas
para
demostrar
la
propiedad.
Concluye
que
la
proposición
es
verdadera.
4
puntos
1
punto
b) Identifica
un
posible
contraejemplo.
Concluye
que
la
proposición
es
falsa.
4
puntos
1
punto
c) Identifica
un
posible
contraejemplo.
Concluye
que
la
proposición
es
falsa.
4
puntos
1
punto
d) Aplica
la
definición
del
valor
absoluto.
Concluye
que
la
proposición
es
falsa.
4
puntos
1
punto
TEMA
4
(25
puntos)
Sobre
ECUACIONES:
a) (10
puntos)
Obtenga
los
valores
de
𝒌
para
los
cuales
la
ecuación
2x2
− kx + x +8 = 0
tiene
raíces
reales
e
iguales.

5. Elaborado
por
@gbaqueri
Página
5
de
6
b) (15
puntos)
La
suma
de
las
edades
de
Eduardo,
Pedro
y
Antonio
es
igual
a
100
años.
Determine
la
edad
de
cada
uno
de
ellos,
si
se
conoce
que
Eduardo
tiene
10
años
menos
que
la
edad
de
Pedro,
y
Antonio
tiene
tantos
años
como
Eduardo
y
Pedro.
Solución:
a) En
la
ecuación
cuadrática
( ) 0812 2
=+−+ xkx
los
valores
de
los
coeficientes
son:
a = 2 ∧ b =1− k ∧ c = 8
El
valor
del
discriminante
∇
es:
∇ = b2
− 4ac
= 1− k( )
2
− 4 2( ) 8( )
=1− 2k + k2
− 64
∇ =k2
− 2k − 63
Para
que
la
ecuación
cuadrática
tenga
raíces
reales
e
iguales,
el
valor
de
su
discriminante
debe
ser
igual
a
cero.
Por
lo
tanto,
debe
resolverse
esta
ecuación
cuadrática:
k2
− 2k − 63= 0
k2
− 2k − 63= 0
k − 9( ) k + 7( )= 0
k − 9 = 0( )∨ k + 7 = 0( )
k = 9( )∨ k = −7( )
Se
comprueba
para
el
primer
valor
obtenido:
2x2
−9x + x +8 = 0
2x2
−8x +8 = 0
x2
−4x +4 = 0
x −4( )
2
= 0 ⇒ Ecuación que tiene una raíz real repetida.
Se
comprueba
para
el
segundo
valor
obtenido:
2x2
− −7( )x + x +8 = 0
2x2
+8x +8 = 0
x2
+4x +4 = 0
x +4( )
2
= 0 ⇒ Ecuación que tiene una raíz real repetida.
Los
2
valores
de
k
que
satisfacen
la
condición
del
problema
son
k1 = −7
y
k2 = 9.
b) Según
el
enunciado
del
problema,
se
deben
determinar
las
edades
de
las
3
personas.
Se
dejará
como
incógnita
a
una
sola
y
las
otras
dos
se
expresarán
en
función
de
la
primera.
Sea
x: la
edad
de
Pedro
Entonces
se
cumple
que:
x – 10: es
la
edad
de
Eduardo
x + (x – 10): es
la
edad
de
Antonio

6. Elaborado
por
@gbaqueri
Página
6
de
6
Pero
la
suma
de
las
3
edades
da
por
resultado
100
años.
Se
expresará
la
ecuación
en
función
de
esta
condición
del
problema.
x
edad$de$Pedro!
+ x −10( )
edad$de$Eduardo!"# $#
+ x + x −10( )!" #$
edad$de$Antonio! "## $##
= 100
suma%de%las%edades!
x + x −10 + x + x −10 =100
4x − 20 =100
4x =120
4
120
=x
30=x
El
valor
de
la
incógnita
x es
la
edad
de
Pedro.
Él
tiene
30
años.
Eduardo
tiene
x – 10
años.
Entonces
él
tiene
20
años.
Antonio
tiene
tantos
años
como
Pedro
y
Eduardo.
Por
lo
tanto,
él
tiene
50
años.
Se
cumple
que
la
suma
de
las
edades
de
las
3
personas
es
el
valor
de
100
años,
el
cual
está
especificado
en
el
problema.
Rúbrica:
a) Obtiene
el
valor
del
discriminante,
a
partir
de
los
coeficientes
de
la
ecuación
cuadrática,
en
función
de
la
condición
del
problema.
Plantea
la
nueva
ecuación
cuadrática
y
la
resuelve.
5
puntos
5
puntos
b) Define
la
incógnita
y
plantea
las
3
edades
en
función
de
esta
variable.
Plantea
la
ecuación
lineal
y
la
resuelve.
Interpreta
los
valores
encontrados
para
las
edades.
OBSERVACIÓN.-­‐
Se
puede
plantear
el
problema
de
una
forma
similar,
pero
se
deben
considerar
los
mismos
conceptos
de
esta
rúbrica.
3
puntos
10
puntos
2
puntos